（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試范圍：
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（23-24高一下·甘肅蘭州·期末）設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)交集的定義直接求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：B
2．（23-24高一下·云南·期末）如圖，在中，若為上一點(diǎn)，且滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用將用表示，由共線定理推論即可求得.
【詳解】因?yàn)樗?br>由,
因三點(diǎn)共線，由共線定理推論可得，解得
故選：A.
3．（23-24高一下·河南許昌·期末）有一組樣本數(shù)據(jù)如下：56，62，63，63，65，67，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，80，85，87，88，95，98，則其分位數(shù)與分位數(shù)的和為（ ）
A．144B．145C．146D．147
【答案】D
【分析】由百分位數(shù)的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以樣本?shù)據(jù)的25%分位數(shù)為第六個(gè)數(shù)據(jù)即67；
因?yàn)?，所以樣本?shù)據(jù)的75%分位數(shù)為第十七個(gè)數(shù)據(jù)即80.
所以25%分位數(shù)與75%分位數(shù)的和為.
故選：D.
4．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知角的終邊過點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，對已知進(jìn)行弦化切，即可求出答案.
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，
所以，
所以.
故選：D
5．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，判斷函數(shù)值的正負(fù)情況，由結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組，可求得答案.
【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)榈呐己瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，且，
所以在上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以由可得或或或，
所以得或或，
所以滿足的的取值范圍是．
故選：B．
6．（23-24高一下·福建福州·期末）如圖，圓錐底面半徑為，母線，點(diǎn)為的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿圓錐側(cè)面繞行一周，到達(dá)點(diǎn)，其最短路線長度和其中下坡路段長分別為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】將圓錐側(cè)面沿母線剪開并展開成扇形，最短路線即為扇形中的直線段，利用余弦定理即可求解，過作的垂線，垂足為，由題意得到為上坡路段，為下坡路段，計(jì)算即可.
【詳解】如圖，將圓錐側(cè)面沿母線剪開并展開成扇形，

由題可得該扇形半徑，弧長為，故圓心角，
最短路線即為扇形中的直線段，由余弦定理可得：；，
過作的垂線，垂足為，當(dāng)螞蟻從點(diǎn)爬行到點(diǎn)過程中，它與點(diǎn)的距離越來越小，故為上坡路段，當(dāng)螞蟻從點(diǎn)爬行到點(diǎn)的過程中，它與點(diǎn)的距離越來越大，故為下坡路段，下坡路段長，
故選：D
7．（23-24高二下·江西九江·期末）牛頓冷卻定律（Newtn's law f cling）是牛頓在1701年用實(shí)驗(yàn)確定的：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，環(huán)境溫度為，則分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：.已知環(huán)境溫度為，一塊面包從溫度為的烤箱里拿出，經(jīng)過10分鐘溫度降為，那么大約再經(jīng)過多長時(shí)間，溫度降為？（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A．33分鐘B．28分鐘C．23分鐘D．18分鐘
【答案】C
【分析】根據(jù)題意列出方程，指數(shù)對數(shù)互化，解出即可．
【詳解】解：依題意，得，
化簡得，解得.
設(shè)這塊面包總共經(jīng)過分鐘，溫度降為30°，
則，化簡得，
解得，
故大約再經(jīng)過（分鐘），這塊面包溫度降為30°，
故選：C.
8．（23-24高一下·湖南·期末）冰雹猜想又稱考拉茲猜想、角谷猜想、猜想等，其描述為：任一正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，反復(fù)計(jì)算，最終都將會(huì)得到數(shù)字1．例如：給出正整數(shù)5，則進(jìn)行這種反復(fù)運(yùn)算的過程為5→16→8→4→2→1，即按照這種運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行5次運(yùn)算后得到1．若從正整數(shù)6，7，8，9，10中任取2個(gè)數(shù)按照上述運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算，則運(yùn)算次數(shù)均為奇數(shù)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題中定義，分別求出正整數(shù)6，7，8，9，10按照題中所給運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算的次數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】按照題中運(yùn)算規(guī)律，正整數(shù)6的運(yùn)算過程為，運(yùn)算次數(shù)為；
正整數(shù)7的部分運(yùn)算過程為，
當(dāng)運(yùn)算到10時(shí)，運(yùn)算次數(shù)為10，由正整數(shù)的運(yùn)算過程可知，
正整數(shù)7總的運(yùn)算次數(shù)為；
正整數(shù)8的運(yùn)算次數(shù)為；
正整數(shù)9的部分運(yùn)算過程為，當(dāng)運(yùn)算到7時(shí)，運(yùn)算次數(shù)為3，
由正整數(shù)7的運(yùn)算過程可知，正整數(shù)9總的運(yùn)算次數(shù)為．
正整數(shù)10的運(yùn)算次數(shù)為6；
故正整數(shù)6，7，8，9，10的運(yùn)算次數(shù)分別為偶數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)，
從正整數(shù)6，7，8，9，10中任取2個(gè)數(shù)的方法總數(shù)為：
，共種，
其中的運(yùn)算次數(shù)均為奇數(shù)的方法總數(shù)為：，共種，
故運(yùn)算次數(shù)均為奇數(shù)的概率為．
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知正數(shù)a，b，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為2B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由基本不等式和重要不等式逐一判斷選項(xiàng)，討論等號成立的條件可得結(jié)果.
【詳解】解：A選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，而，故“等號”不成立，A不正確；
B選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故B正確；
C選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故C正確；
D選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故D不正確；
故選：BC
10．（23-24高一下·江蘇無錫·期中）已知，表示直線，，，表示平面，則下列推理不正確的是（ ）
A．，
B．，，且
C．， ，
D．，，
【答案】AB
【分析】對于A，根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系判斷；對于B，根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系判斷；對于C，根據(jù)面面平行的位置關(guān)系判斷；對于D，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理判斷.
【詳解】對于A，因?yàn)?，則可以平行或相交，故A錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)?，則或，或，故B錯(cuò)誤；
對于C，因?yàn)?，則由面面平行的位置關(guān)系得，故C正確；
對于D，因?yàn)椋瑒t由面面平行的性質(zhì)定理得，故D正確.
故選：AB.
11．（23-24高一下·四川綿陽·期末）記的內(nèi)角的對邊分別為，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，為直角三角形
B．當(dāng)時(shí)，最大角與最小角之和為
C．當(dāng).時(shí)，
D．當(dāng)時(shí)，為銳角三角形
【答案】ABC
【分析】根據(jù)余弦定理求解長度，即可判斷A，根據(jù)余弦定理求解中間角，即可求解B，根據(jù)正弦定理即可求解C，利用正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換即可求解D.
【詳解】對于A,由余弦定理可得,
由于，故為直角三角形，A正確，
對于B，三角形的三邊長分別為，
，，，故,
則該三角形最大角與最小角之和為,B正確，
對于C，由正弦定理可得,由于，故，C正確，
對于D，由可得,
所以，由于,所以，進(jìn)而,故，因此三角形為鈍角三角形，D錯(cuò)誤，
故選：ABC
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（廣東省廣州市白云區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知復(fù)數(shù)z滿足，則 ．
【答案】/
【分析】先求出復(fù)數(shù)z，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義直接計(jì)算即可得解.
【詳解】由題意，
故.
故答案為：.
13．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）若不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)絕對值不等式的解法，結(jié)合充分不必要條件的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，
因?yàn)椴坏仁匠闪⒌囊粋€(gè)充分不必要條件是，
所以有，等號不同時(shí)成立，，
當(dāng)時(shí)，是不等式成立的充要條件，不符合題意，
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
14．（23-24高一下·重慶萬州·期中）一個(gè)棱長為2的正四面體盒子內(nèi)部放置了一個(gè)正方體，且該正方體在鐵盒內(nèi)能任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該正方體棱長的最大值為 .
【答案】/
【分析】將所求問題轉(zhuǎn)化為正方體的外接球，即為正四面體的內(nèi)切球，作出圖形，利用等體積法求得內(nèi)切球的半徑，利用正方體的體對角線等于正方體的外接球的直徑即可求解.
【詳解】由題意可知，正方體在正四面體內(nèi)部任意旋轉(zhuǎn)，
當(dāng)正方體的棱長取得最大值時(shí)，正方體的外接球即為正四面體的內(nèi)切球，
將正四面體放到正方體中，作出圖形如圖，
因?yàn)檎拿骟w的棱長為2，則圖中正方體的棱長為，
所以正四面體的體積為，
側(cè)面積為，
設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑為，則，解得，
設(shè)放置進(jìn)去的正方體的棱長最大值為，則，解得.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（23-24高一下·山西大同·期末）某工廠生產(chǎn)某款產(chǎn)品，該產(chǎn)品市場評級規(guī)定：評分在10分及以上的為一等品，低于10分的為二等品．下面是檢驗(yàn)員從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取的10件產(chǎn)品的評分：
經(jīng)計(jì)算得，其中為抽取的第件產(chǎn)品的評分，．
(1)求這組樣本的平均數(shù)和方差；
(2)若廠家改進(jìn)生產(chǎn)線，使得生產(chǎn)出的每件產(chǎn)品評分均提高0.3．根據(jù)以上隨機(jī)抽取的10件產(chǎn)品改進(jìn)后的評分，估計(jì)改進(jìn)后該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品評分的平均數(shù)和方差．
【答案】(1)樣本平均數(shù)為，樣本方差為．
(2)平均數(shù)為，方差為
【分析】（1）根據(jù)題意，由平均數(shù)以及方差的計(jì)算公式代入計(jì)算，即可求解；
（2）根據(jù)題意，由平均數(shù)與方差的性質(zhì)即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）樣本平均數(shù)為．
樣本方差為．
（2）因?yàn)楦倪M(jìn)后隨機(jī)抽取的10件產(chǎn)品的評分是改進(jìn)前抽取的10件產(chǎn)品的評分每個(gè)提高0.3分，所以改進(jìn)后生產(chǎn)的產(chǎn)品評分的平均數(shù)，
方差為．
16．（23-24高一下·湖南株洲·期末）小米在2024年推出SU7汽車，創(chuàng)始人雷軍為了了解廣大客戶對小米SU7的評價(jià)，令銷售部隨機(jī)抽取200名客戶進(jìn)行了問卷調(diào)查，根據(jù)統(tǒng)計(jì)情況，將他們的年齡按，，，分組，并繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)估計(jì)樣本數(shù)據(jù)中用戶年齡的眾數(shù)與平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
(2)銷售部從年齡在，內(nèi)的樣本中按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話回訪，求這2人取自不同年齡區(qū)間的概率.
【答案】(1)平均數(shù)為44.5，眾數(shù)為45.
(2).，
【分析】（1）根據(jù)頻率分步直方圖易知眾數(shù)，由平均數(shù)計(jì)算公式可得結(jié)果；
（2）由抽樣比可確定每層中的抽樣人數(shù)，再由古典概率計(jì)算公式可得結(jié)果
【詳解】（1）由平均數(shù)計(jì)算公式，可估計(jì)平均數(shù)為，
根據(jù)頻率分步直方圖，估計(jì)眾數(shù)為45.
（2）由已知可得抽取的6人中，年齡在內(nèi)的有4人，分別記為；
年齡在內(nèi)的有2人，分別記為；
則從這6人中隨機(jī)抽取2人的樣本點(diǎn)為
，，，，，，，，，
，，，，，，共15個(gè)；
記事件“這2人取自不同年齡區(qū)間”，其包含樣本點(diǎn)有，，，，
，，，，共8個(gè)，
故這2人取自不同年齡區(qū)間的概率為.
17．（23-24高一下·上海寶山·期末）銳角中角、、的對邊分別為、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助正弦定理將角化為邊后，借助余弦定理計(jì)算即可得；
（2）借助正弦定理將邊化為角后，結(jié)合兩角和的正弦公式與輔助角公式可將化為正弦型函數(shù)形式，再利用銳角三角形性質(zhì)可得角的范圍，即可得解.
【詳解】（1）由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，又，則；
（2）由，則、，
則
，
由為銳角三角形，可得，解得，
則，則，
故.
18．（23-24高一上·江西鷹潭·期末）已知函數(shù)（），其相鄰兩個(gè)對稱中心之間的距離為.
(1)求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將圖象上所有點(diǎn)向平左移個(gè)單位長度，再將圖象上所有點(diǎn)向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若在上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間是（）；
(2).
【分析】（1）利用三角恒等變換得，再由相鄰兩個(gè)對稱中心之間的距離為，可求得，即，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解；
（2）由三角函數(shù)的圖象變換可得，然后將的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)在的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，再結(jié)合幾何圖形求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）依題意，
因?yàn)橄噜弮蓚€(gè)對稱中心之間的距離為，
所以的周期，解得，
所以，
由，，
得，
所以單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）由，可得，
由，，
得，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在的圖象如圖所示：
因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)不同零點(diǎn)，
即直線與函數(shù)在的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
19．（23-24高一下·廣東廣州·期中）若是定義在上的增函數(shù)，其中，存在函數(shù)，，且函數(shù)圖像上存在兩點(diǎn)，圖像上存在兩點(diǎn)，其中兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，且，則稱在上可以對進(jìn)行“型平行追逐”，即是在上的“型平行追逐函數(shù)”. 已知是定義在上的奇函數(shù)，是定義在上的偶函數(shù)．
(1)求滿足的的值；
(2)設(shè)函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若函數(shù)是在上的“型平行追逐函數(shù)”，求正數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先確定的表達(dá)式，再解方程得到結(jié)果；
（2）計(jì)算的表達(dá)式，然后對分類討論即可；
（3）將命題轉(zhuǎn)化為在上不是單調(diào)函數(shù)，再通過對換元并分析單調(diào)性得到答案.
【詳解】（1）由于是奇函數(shù)，故，即恒成立，所以；
由于是偶函數(shù)，故，即恒成立，所以.
故，.
現(xiàn)要解方程，而，故命題等價(jià)于，即.
這是關(guān)于正實(shí)數(shù)的二次方程，解得，所以.
（2）由于，
而單調(diào)遞增，且對有，故當(dāng)時(shí)，的取值范圍是.
從而命題等價(jià)于對任意的，有，即.
若，則有，故條件對不成立，不符合要求；
若，則對有，符合要求.
所以的取值范圍是.
（3）我們有，.
根據(jù)題目定義，是在上的“型平行追逐函數(shù)”，當(dāng)且僅當(dāng)存在，滿足.
換言之，函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù).
由于
，
而在上遞增，取值范圍為.
故命題等價(jià)于在上不是單調(diào)函數(shù).
對，我們知道在上遞減，在上遞增.
所以命題等價(jià)于，從而正數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于對型函數(shù)的單調(diào)性的反復(fù)運(yùn)用.
9.5
10.2
9.7
9.8
10.0
9.6
10.1
9.7
10.1
10.3

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