廣東省深圳市深圳科學(xué)高中2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

命題人：卞上審題人：吳冰欣
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．）
1．已知i為復(fù)數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．已知向量，，或，則（）
A．－8B．－7C．7D．8
3．過點作直線l與拋物線只有一個公共點，這樣的直線有（）
A．1條B．2條C．3條D．無數(shù)條
4．如圖，將正四棱臺切割成九個部分，其中一個部分為長方體，四個部分為直三棱柱，四個部分為四棱錐．已知每個直三棱柱的體積為3，每個四棱錐的體積為1，則該正四棱臺的
體積為（）
A．36B．32C．28D．24
5．給出下列命題：
①若A，B，C，D是空間任意四點，則有；
②是、共線的充要條件；
③若，則，共線；
④對空間任意一點O與不共線的三點A，B，C，若且（其中x，y，），則P，A，B，C四點共面．
其中不正確命題的個數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
6．函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，下列排序正確的是（）
A．
B．
C．
D．
7．已知函數(shù)的部分圖象如圖，則函數(shù)（）
A．圖象關(guān)于直線對稱
B．圖象關(guān)于點對稱
C．在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．在區(qū)間上的值域為
8．若數(shù)列滿足，，，，則稱數(shù)列Fibnacci數(shù)列，該數(shù)列是由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年提出，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用．則下列結(jié)論錯誤的是（）
A．
B．?dāng)?shù)列各項除以2后所得的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，若數(shù)列的前n項和為，則
C．記，則數(shù)列的前2021項的和為
D．
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）
9．已知M為直線上的一點，動點N與兩個定點，的距離之比為2，則（）
A．動點N的軌跡方程為B．
C．的最小值為D．的最大角為
10．已知數(shù)列:，，，，，，，，，，，，，…（其中第一項是，接下來的項是，，，再接下來的項是，，，，，，，依此類推），其前n項和為，則下列判斷正確的是（）
A．存在常數(shù)M，使得恒成立
B．是的第2036項
C．
D．滿足不等式的正整數(shù)n的最小值是2100
11．如圖，在邊長為1的正方體中，E是的中點，M是線段上的一點，則下列說法正確的是（）
A．當(dāng)M點與點重合時，直線平面ACM
B．當(dāng)點M移動時，點D到平面ACM的距離為定值
C．當(dāng)M點與E點重合時，平面ACM與平面夾角的正弦值為
D．當(dāng)M點為線段中點時，平面ACM截正方體所得截面面積為
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）
12．命題“”的否定是______．
13．已知為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則曲線在點處的切線方程是______．
14．如圖，橢圓的離心率，F(xiàn)，A分別是橢圓的左焦點和右頂點，Р是橢圓上任意一點，若的最大值是12，則橢圓方程為______．
四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
15．（13分）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
（2）若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
16．（15分）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量，向量，且．
（1）求證：；
（2）延長BC至點D，使得．當(dāng)最大時，求tanD的值．
17．（15分）四棱錐中，底面ABCD，，，，．
（1）求證：平面PAC；
（2）若二面角的余弦值為，求點A到平面PBC的距離．
18．（17分）已知雙曲線C：的離心率是3，點在C上．
（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）已知直線l與C相切，且與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，試問是否為定值?若是，求出該定值：若不是，請說明理由．
19．（17分）已知數(shù)表中的項互不相同，且滿足下列條件：
①；
②．
則稱這樣的數(shù)表具有性質(zhì)P．
（1）若數(shù)表具有性質(zhì)P，且，寫出所有滿足條件的數(shù)表，并求出的值；
（2）對于具有性質(zhì)P的數(shù)表，當(dāng)取最大值時，求證：存在正整數(shù)．
使得；
（3）對于具有性質(zhì)Р的數(shù)表，當(dāng)n為偶數(shù)時，求的最大值．
深圳科學(xué)高中2023-2024學(xué)年第二學(xué)期開學(xué)考試參考答案
一、單選題
二、多選題
三、填空題
12．，，13．，14．
8．對于A：因為，，，，
所以
，故A正確；
對B：顯然，，由可知，，可由判斷，若，則，
若或，則，
由此可得，，，，…，，，，
所以，故B正確；
對于C：因為，，，，
所以
，
又由選項A，易知，
所以，
則，故C錯誤；
對于D：
，
又因為，所以，
故，故D正確．
11．對A，因為，所以點A，，C，四點共面，
當(dāng)M點與點重合時，直線平面ACM，故A正確；
對B，以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
因為E為中點，則設(shè)，，，，
則，，，
設(shè)平面ACM的方向量為，則，
令，則，，所以，
則點D到平面ACM的距離，顯然不是定值，故B錯誤；對C，當(dāng)M點與E點重合時，由B知此時，，平面的法向量，
設(shè)平面ACM與平面夾角為θ，，
則，故C正確；
對D，連接，并在上底面內(nèi)將直線沿著，的方向平移，直至該直線經(jīng)過點M，交于點P，交于點N，
因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，
因為，所以，因為點，
所以平面ACM截正方體所得的圖形為四邊形APNC，
不妨以為坐標(biāo)原點，在上底面內(nèi)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
則，，因為M為線段中點，則．
根據(jù)直線，則，設(shè)直線PN的方程為，代入點M坐標(biāo)得，解得，則，則點P位于線段的四分之一等分點處，且靠近點，點N位于線段的四分之一等分點處，且靠近點，
則，，，結(jié)合，
則四邊形APNC為等腰梯形，則其高為
，
則﹐故D正確．
14．，∴，
設(shè)，則
，，
∴
．
∴當(dāng)時，有最大值為．
∴，則，．
∴所求橢圓方程為．
四、解答題
15．（1）當(dāng)時，，，即切點，
，則，
所以切線，即
（2）定義域為R，恒成立，所以恒成立，即恒成立．
設(shè)，則，，
令，解出．
所以，，為增函數(shù)，
，，為減函數(shù)，
所以，即
故實數(shù)a的取值范圍．
16．（1）因為，
所以，
即
又，
所以，，
整理可得
再由正弦定理得：，
結(jié)合，
可得，．
即
顯然
兩邊同時除以可得，，即
如圖：設(shè)，則．
因為，所以，
則
故，
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號
所以，
此時，
所以，故為等邊三角形，即
17．（1）四棱錐中，底面ABCD，平面ABCD，則，而，即，又，PA，平面PAC，
所以平面PAC．
（2）在平面ABCD內(nèi)作，由底面ABCD可得Ax，AB，AP兩兩垂直，以射線Ax，AB，AP分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
因，，，則，即是正三角形，，，而，則，設(shè)點，
，，，令平面DPC的一個法向量，
則，令，得，由（1）知平面PAC的法向量，
因二面角的余弦值為﹐則，
解得，
則，，令平面PBC的一個法向量，
則，令，得，
又，所以A點到平面PBC的距離．
18．（1）由題可得，解得，
故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l：，，，
聯(lián)立，整理得，
則，即
由（1）可知C的漸近線方程為和，
不妨設(shè)直線l與直線的交點為A，與直線的交點為B，
聯(lián)立，解得，即，
聯(lián)立解得，即，
則，，
得，
因為，所以，
所以，即，
故是定值，且該定值為–7．
19．（1）滿足條件的數(shù)表為，，
所以的值分別為5，5，6
（2）若當(dāng)取最大值時，存在，使得．
由數(shù)表具有性質(zhì)P可得j為奇數(shù)，
不妨設(shè)此時數(shù)表為
①若存在（k為偶數(shù)，），使得，交換和的位置，所得到的新數(shù)表也具有性質(zhì)P，
調(diào)整后數(shù)表第一行和大于原數(shù)表第一行和，與題設(shè)矛盾，
所以存在，使得
②若對任意的（k為偶數(shù)，），都有，交換和的位置，所得到的新數(shù)表也具有性質(zhì)P，此時轉(zhuǎn)化為①的情況
綜上可知，存在正整數(shù)，使得
（3）當(dāng)n為偶數(shù)時，令，，對任意具有性質(zhì)P數(shù)表，一方面，，
因此．①
另一方面，，
因此．②
記，．
由①＋②得；．
又，可得
構(gòu)造數(shù)表
可知數(shù)表具有性質(zhì)P，且．|
綜上可知，當(dāng)n為偶數(shù)時，的最大值為．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
B
C
B
C
C
C
題號
9
10
11
答案
AC
BCD
ACD

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