新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練專題06 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)常見經(jīng)典壓軸小題歸類（26大核心考點）（講義）（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc153451810" PAGEREF _Tc153451810 \h 2
\l "_Tc153451811" PAGEREF _Tc153451811 \h 3
\l "_Tc153451812" PAGEREF _Tc153451812 \h 3
\l "_Tc153451813" PAGEREF _Tc153451813 \h 6
\l "_Tc153451814" PAGEREF _Tc153451814 \h 12
\l "_Tc153451815" 考點一：函數(shù)零點問題之分段分析法模型 PAGEREF _Tc153451815 \h 12
\l "_Tc153451816" 考點二：函數(shù)嵌套問題 PAGEREF _Tc153451816 \h 14
\l "_Tc153451817" 考點三：函數(shù)整數(shù)解問題 PAGEREF _Tc153451817 \h 17
\l "_Tc153451818" 考點四：唯一零點求值問題 PAGEREF _Tc153451818 \h 20
\l "_Tc153451819" 考點五：等高線問題 PAGEREF _Tc153451819 \h 22
\l "_Tc153451820" 考點六：分段函數(shù)零點問題 PAGEREF _Tc153451820 \h 25
\l "_Tc153451821" 考點七：函數(shù)對稱問題 PAGEREF _Tc153451821 \h 29
\l "_Tc153451822" 考點八：零點嵌套問題 PAGEREF _Tc153451822 \h 31
\l "_Tc153451823" 考點九：函數(shù)零點問題之三變量問題 PAGEREF _Tc153451823 \h 34
\l "_Tc153451824" 考點十：倍值函數(shù) PAGEREF _Tc153451824 \h 36
\l "_Tc153451825" 考點十一：函數(shù)不動點問題 PAGEREF _Tc153451825 \h 38
\l "_Tc153451826" 考點十二：函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題 PAGEREF _Tc153451826 \h 40
\l "_Tc153451827" 考點十三：構(gòu)造函數(shù)解不等式 PAGEREF _Tc153451827 \h 42
\l "_Tc153451829" 考點十四：導(dǎo)數(shù)中的距離問題 PAGEREF _Tc153451829 \h 45
\l "_Tc153451831" 考點十五：導(dǎo)數(shù)的同構(gòu)思想 PAGEREF _Tc153451831 \h 49
\l "_Tc153451832" 考點十六：不等式恒成立之分離參數(shù)、分離函數(shù)、放縮法 PAGEREF _Tc153451832 \h 51
\l "_Tc153451833" 考點十七：三次函數(shù)問題 PAGEREF _Tc153451833 \h 54
\l "_Tc153451834" 考點十八：切線條數(shù)、公切線、切線重合與垂直問題 PAGEREF _Tc153451834 \h 56
\l "_Tc153451835" 考點十九：任意存在性問題 PAGEREF _Tc153451835 \h 62
\l "_Tc153451836" 考點二十：雙參數(shù)最值問題 PAGEREF _Tc153451836 \h 65
\l "_Tc153451837" 考點二十一：切線斜率與割線斜率 PAGEREF _Tc153451837 \h 67
\l "_Tc153451838" 考點二十二：最大值的最小值問題（平口單峰函數(shù)、鉛錘距離） PAGEREF _Tc153451838 \h 69
\l "_Tc153451839" 考點二十三：兩邊夾問題和零點相同問題 PAGEREF _Tc153451839 \h 72
\l "_Tc153451840" 考點二十四：函數(shù)的伸縮變換問題 PAGEREF _Tc153451840 \h 74
\l "_Tc153451841" 考點二十五：V型函數(shù)和平底函數(shù) PAGEREF _Tc153451841 \h 76
\l "_Tc153451842" 考點二十六：曼哈頓距離與折線距離 PAGEREF _Tc153451842 \h 78
有關(guān)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)常見經(jīng)典壓軸小題的高考試題，考查重點是零點、不等式、恒成立等問題，通常與函數(shù)性質(zhì)、解析式、圖像等均相關(guān)，需要考生具有邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng). 同時，對于實際問題，需要考生具有數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).

1、求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值；當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍．
2、含有抽象函數(shù)的分段函數(shù)，在處理時首先要明確目標(biāo)，即讓自變量向有具體解析式的部分靠攏，其次要理解抽象函數(shù)的含義和作用（或者對函數(shù)圖象的影響）．
3、含分段函數(shù)的不等式在處理上通常有兩種方法：一種是利用代數(shù)手段，通過對進(jìn)行分類討論將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的不等式求解；另一種是通過作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，利用圖象的特點解不等式．
4、分段函數(shù)零點的求解與判斷方法：
（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成球函數(shù)值域的問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先將解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
5、動態(tài)二次函數(shù)中靜態(tài)的值：
解決這類問題主要考慮二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及式子變形，注意二次函數(shù)的系數(shù)、圖象的開口、對稱軸是否存在不變的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象是否過定點，從而簡化解題．
6、動態(tài)二次函數(shù)零點個數(shù)和分布問題：
通常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)二次函數(shù)的圖象與軸交點的個數(shù)問題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，通過對稱軸，根的判別式，相應(yīng)區(qū)間端點函數(shù)值等來考慮．
7、求二次函數(shù)最值問題，應(yīng)結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解，有三種常見類型：
（1）對稱軸變動，區(qū)間固定；
（2）對稱軸固定，區(qū)間變動；
（3）對稱軸變動，區(qū)間也變動．
這時要討論對稱軸何時在區(qū)間之內(nèi)，何時在區(qū)間之外．討論的目的是確定對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，明確函數(shù)的單調(diào)情況，從而確定函數(shù)的最值．
8、由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為我們最熟悉的二次函數(shù)，所以基本的研究思路是：借助導(dǎo)函數(shù)的圖象來研究原函數(shù)的圖象．如借助導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)研究原函數(shù)的單調(diào)性；借助導(dǎo)函數(shù)的（變號）零點研究原函數(shù)的極值點（最值點）；綜合借助導(dǎo)函數(shù)的圖象畫出原函數(shù)的圖象并研究原函數(shù)的零點…
具體來說，對于三次函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，根的判別式．
（1）當(dāng)時，恒成立，三次函數(shù)在上為增函數(shù)，沒有極值點，有且只有一個零點；
（2）當(dāng)時，有兩根，，不妨設(shè)，則，可得三次函數(shù)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，則，分別為三次函數(shù)的兩個不相等的極值點，那么：
① 若，則有且只有個零點；
② 若，則有個零點；
③ 若，則有個零點．
特別地，若三次函數(shù)存在極值點，且，則地解析式為．
同理，對于三次函數(shù)，其性質(zhì)也可類比得到．
9、由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象變化規(guī)律具有對稱性，所以三次函數(shù)圖象也應(yīng)當(dāng)具有對稱性，其圖象對稱中心應(yīng)當(dāng)為點，此結(jié)論可以由對稱性的定義加以證明．事實上，該圖象對稱中心的橫坐標(biāo)正是三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的極值點．
10、對于三次函數(shù)圖象的切線問題，和一般函數(shù)的研究方法相同．導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是求圖象在該店處切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線問題，要區(qū)分“在”與“過”的不同，如果是過某一點，一定要設(shè)切點坐標(biāo)，然后根據(jù)具體的條件得到方程，然后解出參數(shù)即可．
11、恒成立（或存在性）問題常常運(yùn)用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值問題．
12、如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)性質(zhì)求解，常見的是利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)的最大、最小值．
13、當(dāng)不能用分離參數(shù)法或借助于分類討論解決問題時，還可以考慮利用函數(shù)圖象來求解，即利用數(shù)形結(jié)合思想解決恒成立（或存在性）問題，此時應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍．
14、兩類零點問題的不同處理方法
利用零點存在性定理的條件為函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且．．
①直接法：判斷-一個零點時，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則只需取值證明．
②分類討論法：判斷幾個零點時，需要先結(jié)合單調(diào)性，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，再利用零點存在性定理，在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明．
15、利用導(dǎo)數(shù)研究方程根（函數(shù)零點）的技巧
（1）研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等．
（2）根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極（最）值的位置．
（3）利用數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)．
16、已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的常用方法
（1）分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．
（2）分類討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．
1．（2021?新高考Ⅰ）若過點可以作曲線的兩條切線，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】法一：函數(shù)是增函數(shù)，恒成立，
函數(shù)的圖象如圖，，即切點坐標(biāo)在軸上方，
如果在軸下方，連線的斜率小于0，不成立．
點在軸或下方時，只有一條切線．
如果在曲線上，只有一條切線；
在曲線上側(cè)，沒有切線；
由圖象可知在圖象的下方，并且在軸上方時，有兩條切線，可知．
故選：．
法二：設(shè)過點的切線橫坐標(biāo)為，
則切線方程為，可得，
設(shè)，可得，，，是增函數(shù)，
，，是減函數(shù)，
因此當(dāng)且僅當(dāng)時，上述關(guān)于的方程有兩個實數(shù)解，對應(yīng)兩條切線．
故選：．
2．（2021?乙卷）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】令，解得或，即及是的兩個零點，
當(dāng)時，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使是的極大值點，則函數(shù)的大致圖象如下圖所示，
則；
當(dāng)時，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使是的極大值點，則函數(shù)的大致圖象如下圖所示，
則；
綜上，．
故選：．
3．（多選題）（2023?新高考Ⅱ）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】函數(shù)定義域為，
且，
由題意，方程即有兩個正根，設(shè)為，，
則有，，△，
，，
，即．
故選：．
4．（多選題）（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)，則
A．有兩個極值點
B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心
D．直線是曲線的切線
【答案】
【解析】，令，解得或，令，解得，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，
有兩個極值點，有且僅有一個零點，故選項正確，選項錯誤；
又，則關(guān)于點對稱，故選項正確；
假設(shè)是曲線的切線，設(shè)切點為，則，解得或，
顯然和均不在曲線上，故選項錯誤．
故選：．
5．（2022?新高考Ⅰ）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則的取值范圍是，，．
【答案】，，．
【解析】，設(shè)切點坐標(biāo)為，，
切線的斜率，
切線方程為，
又切線過原點，，
整理得：，
切線存在兩條，方程有兩個不等實根，
△，解得或，
即的取值范圍是，，，
故答案為：，，．
6．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)，，，函數(shù)的圖象在點，和點，的兩條切線互相垂直，且分別交軸于，兩點，則的取值范圍是．
【答案】
【解析】當(dāng)時，，導(dǎo)數(shù)為，
可得在點，處的斜率為，
切線的方程為，
令，可得，即，
當(dāng)時，，導(dǎo)數(shù)為，
可得在點，處的斜率為，
令，可得，即，
由的圖象在，處的切線相互垂直，可得，
即為，，，
所以．
故答案為：．
7．（2023?乙卷）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是．
【答案】的取值范圍是，．
【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，
在上恒成立，
即，化簡可得在上恒成立，
而在上，
故有，由，化簡可得，
即，，
解答，
故的取值范圍是，．
故答案為：，．
8．（2022?乙卷）已知和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點．若，則的取值范圍是．
【答案】．
【解析】對原函數(shù)求導(dǎo)，分析可知：在定義域內(nèi)至少有兩個變號零點，
對其再求導(dǎo)可得：，
當(dāng)時，易知在上單調(diào)遞增，此時若存在使得，
則在單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，
此時若函數(shù)在和分別取極小值點和極大值點，應(yīng)滿足，不滿足題意；
當(dāng)時，易知在上單調(diào)遞減，此時若存在使得，
則在單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，且，
此時若函數(shù)在和分別取極小值點和極大值點，且，
故僅需滿足，
即：，
解得：，又因為，故
綜上所述：的取值范圍是．
9．（2022?新高考Ⅱ）曲線過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為，．
【答案】，．
【解析】當(dāng)時，，設(shè)切點坐標(biāo)為，，
，切線的斜率，
切線方程為，
又切線過原點，，
，
切線方程為，即，
當(dāng)時，，與的圖像關(guān)于軸對稱，
切線方程也關(guān)于軸對稱，
切線方程為，
綜上所述，曲線經(jīng)過坐標(biāo)原點的兩條切線方程分別為，，
故答案為：，．
10．（2022?上海）已知函數(shù)為定義域為的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于對稱，且當(dāng)，時，，若將方程的正實數(shù)根從小到大依次記為，，，，，則．
【答案】2．
【解析】函數(shù)為定義域為的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于對稱，且當(dāng)，時，，
是周期為4的周期函數(shù)，圖像如圖：
將方程的正實數(shù)根從小到大依次記為，，，，，
則的幾何意義是兩條漸近線之間的距離2，
．
故答案為：2．
考點一：函數(shù)零點問題之分段分析法模型
例1．（2023·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)至少存在一個零點，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為函數(shù)至少存在一個零點
所以有解
即有解
令，
則
因為，且由圖象可知，所以
所以在上單調(diào)遞減，令得
當(dāng)時，單調(diào)遞增
當(dāng)時，單調(diào)遞減
所以
且當(dāng)時
所以的取值范圍為函數(shù)的值域，即
故選：A
例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，即
令，
則函數(shù)與函數(shù)的圖象至少有一個交點
易知，函數(shù)表示開口向上，對稱軸為的二次函數(shù)
，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
作出函數(shù)與函數(shù)的草圖，如下圖所示
由圖可知，要使得函數(shù)與函數(shù)的圖象至少有一個交點
只需，即
解得：
故選：B
例3．（2023·全國·高三校聯(lián)考專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在三個不同點，且這三個點關(guān)于原點的對稱點在函數(shù)的圖象上，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，則由題意可得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個交點，即方程有三個不同的實數(shù)根．由可得，即，令，則直線與函數(shù)的圖象有三個交點，易得，當(dāng)或時，當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極小值為，極大值為．又，，所以當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，故實數(shù)的取值范圍為．故選B．
考點二：函數(shù)嵌套問題
例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解，則的所有可能的值為
A．B．或C．或D．或或
【答案】A
【解析】在和上單增，上單減，又當(dāng)時，時，故的圖象大致為：
令，則方程必有兩個根，且，不仿設(shè) ，當(dāng)時，恰有，此時，有個根，，有個根，當(dāng)時必有，此時無根，有個根，當(dāng)時必有，此時有個根，，有個根，綜上，對任意，方程均有個根，故選A.
例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解，則的所有可能的值為（）
A．3B．4C．2或3或4或5D．2或3或4或5或6
【答案】A
【解析】根據(jù)題意作出函數(shù)的圖象：，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以；
函數(shù)，時單調(diào)遞減，所以，
對于方程，令，則，所以，
即方程必有兩個不同的實數(shù)根，且，
當(dāng)時，，3個交點；
當(dāng)時，，也是3個交點；
故選：A．
例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解，則的所有可能的值為（）
A．3B．1或3C．4或6D．3或4或6
【答案】B
【解析】由已知，，令，解得或，則函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值，最小值.
f(x)的圖象如下：
綜上可考查方程的根的情況如下：
（1）當(dāng)或時，有唯一實根；
（2）當(dāng)時，有三個實根；
（3）當(dāng)或時，有兩個實根；
（4）當(dāng)時，無實根.
令，則由，得，
當(dāng)時，由，
符號情況（1），此時原方程有1個根，
由，而，符號情況（3），此時原方程有2個根，綜上得共有3個根；
當(dāng)時，由，又，
符號情況（1）或（2），此時原方程有1個或三個根，
由，又，符號情況（3），此時原方程有兩個根，
綜上得共1個或3個根.
綜上所述，的值為1或3.
故選B.
考點三：函數(shù)整數(shù)解問題
例7．（2023·福建龍巖·高三上杭一中?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)沒有零點，則整數(shù)的最大值是（）
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【解析】函數(shù)定義域為，函數(shù)沒有零點可轉(zhuǎn)化為方程
沒有實根，
設(shè)，則
令，即①，
又函數(shù)，，所以恒成立，所以在單調(diào)遞增，
所以方程①即，即，有唯一的實數(shù)解
且函數(shù)在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，
所以有最小值,
又時，，所以方程沒有實根，可得
則整數(shù)的最大值是1.
故選：C.
例8．（2023·福建泉州·高三泉州五中?？迹╆P(guān)于的不等式的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依題意，關(guān)于的不等式的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù)，
即的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù)，
構(gòu)造函數(shù)，
即的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù)，
當(dāng)時，對于，，
即的解集中有無數(shù)個大于的整數(shù)，不符合題意.
所以.
.
若，即，
設(shè)，
，
設(shè)，
，
在上遞減，且，
所以當(dāng)時，，遞減，
由于，
所以當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，遞減，
所以，
所以當(dāng)時，恒成立，
即的解集中有無數(shù)個大于的整數(shù)，不符合題意.
所以，即，
解得，所以的取值范圍是.
故選：D
例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式有且僅有兩個正整數(shù)解（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】當(dāng)時，由，可得（），
顯然當(dāng)時，不等式在恒成立，不合題意；
當(dāng)時，令，則在上單調(diào)遞增，
令，則，故上，上，
∴在上遞增，在上遞減，
又且趨向正無窮時趨向0，故，
綜上，圖象如下：
由圖知：要使有兩個正整數(shù)解，則，即，解得．
故選：D
考點四：唯一零點求值問題
例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點，則負(fù)實數(shù)
A．B．C．D．或
【答案】A
【解析】函數(shù)有唯一零點，
設(shè)
則函數(shù)有唯一零點，
則
設(shè)∴ 為偶函數(shù)，
∵函數(shù) 有唯一零點，
∴與有唯一的交點，
∴此交點的橫坐標(biāo)為0，解得或（舍去），
故選A．
例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則正實數(shù)的值為（）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】由題設(shè)，，可得：，
由，易知：關(guān)于對稱.
當(dāng)時，，則，
所以單調(diào)遞增，故時單調(diào)遞減，且當(dāng)趨向于正負(fù)無窮大時都趨向于正無窮大，
所以僅有一個極小值點1，則要使函數(shù)只有一個零點，即，解得.
故選：C
例12．（2023春·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為（）
A．或B．1或C．或D．或1
【答案】C
【解析】由題意，函數(shù)，分別是奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，
可得，解得，
則，所以為偶函數(shù)，
又由函數(shù)關(guān)于直線對稱，
且函數(shù)有唯一零點，可得，即，
即，解得或.
故選：C.
例13．（2023春·福建泉州·高三福建省德化第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)有唯一零點，則（）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】因為函數(shù)，
令，
則為偶函數(shù)，
因為函數(shù)有唯一零點，
所以有唯一零點，
根據(jù)偶函數(shù)的對稱性，則，
解得，
故選：B
考點五：等高線問題
例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義域為的函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，當(dāng)時，，若方程有四個不等實根，，，時，都有成立，則實數(shù)的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖，作直線，它與圖象的四個交點的橫坐標(biāo)依次為，，，，
因為函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以，
，即，且，
顯然，不等式變形為，
，
，
所以，
由勾形函數(shù)性質(zhì)知在時是增函數(shù)，所以，
令，則，，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，
所以，即的最小值是．
故選：A．
例15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于的方程恰有三個不等實根，且，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意設(shè)，根據(jù)方程恰有三個不等實根，
即必有兩個不相等的實根，不妨設(shè)
，則，
作出的圖象，函數(shù)與三個不等實根，且，
那么，可得，，
所以，
構(gòu)造新函數(shù)
當(dāng)時，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在單調(diào)遞增；
∴當(dāng)時，取得最小值為，即的最小值為；
故選：A
例16．（2023·吉林長春·東北師大附中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于x的方程恰有三個不同的零點，且，則的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由解析式，在上單調(diào)遞增且值域為，在上單調(diào)遞增且值域為，
函數(shù)圖象如下：
所以，的值域在上任意函數(shù)值都有兩個x值與之對應(yīng)，值域在上任意函數(shù)值都有一個x值與之對應(yīng)，
要使恰有三個不同的零點，則與的交點橫坐標(biāo)一個在上，另一個在上，
由開口向下且對稱軸為，
由上圖知：，此時且，，
結(jié)合圖象及有，，則，
所以，且，
令且，則，
當(dāng)時，遞增；當(dāng)時，遞減；
所以，故最大值為.
故選：A
考點六：分段函數(shù)零點問題
例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù) ，若函數(shù)在內(nèi)恰有5個零點，則a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】當(dāng)時，對任意的，在上至多個零點，不合乎題意，所以，.
函數(shù)的對稱軸為直線，.
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.
①當(dāng)時，即當(dāng)時，則函數(shù)在上無零點，
所以，函數(shù)在上有個零點，
當(dāng)時，，則，
由題意可得，解得，此時不存在；
②當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在上只有一個零點，
當(dāng)時，，則，則函數(shù)在上只有個零點，
此時，函數(shù)在上的零點個數(shù)為，不合乎題意；
③當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在上有個零點，
則函數(shù)在上有個零點，
則，解得，此時；
④當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在上有個零點，
則函數(shù)在上有個零點，
則，解得，此時，.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，故，
則函數(shù)恰有2個零點等價于有兩個不同的解，
故的圖象有兩個不同的交點，
設(shè)
又的圖象如圖所示，
由圖象可得兩個函數(shù)的圖象均過原點，
若，此時兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，
當(dāng)時，
考慮直線與的圖象相切，
則由可得即，
考慮直線與的圖象相切，
由可得，則即.
考慮直線與的圖象相切，
由可得即，
結(jié)合圖象可得當(dāng)或時，兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，
綜上，或或，
故選：B.
例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】令，
當(dāng)時，且遞增，此時，
當(dāng)時，且遞減，此時，
當(dāng)時，且遞增，此時，
當(dāng)時，且遞增，此時，
所以，的零點等價于與交點橫坐標(biāo)對應(yīng)的值，如下圖示：
由圖知：與有兩個交點，橫坐標(biāo)、：
當(dāng)，即時，在、、上各有一個解；當(dāng)，即時，在有一個解.
綜上，的零點共有4個.
故選：B
考點七：函數(shù)對稱問題
例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)上一點，，且關(guān)于軸對稱點坐標(biāo)為，在上，
有解，即有解．
令，則，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增
，，，
有解等價于與圖象有交點，．
故選：B
例21．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)f（x）＝x2＋ex－（x0,且t≠1),
則a==(2e-t)ln t.
令f(t)=(2e-t)ln t,f(t)≠0,
則f'(t)=-(1+ln t).
令=1+ln t,得t=e.由數(shù)形結(jié)合可知,當(dāng)t>e時,f'(t)

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