數(shù)列是高考重點考查的內(nèi)容之一，命題形式多種多樣，大小均有．其中，小題重點考查等差數(shù)列、等比數(shù)列基礎(chǔ)知識以及數(shù)列的遞推關(guān)系，和其它知識綜合考查的趨勢明顯（特別是與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的結(jié)合問題），浙江卷小題難度加大趨勢明顯；解答題的難度中等或稍難，隨著文理同卷的實施，數(shù)列與不等式綜合熱門難題（壓軸題），有所降溫，難度趨減，將穩(wěn)定在中等偏難程度．往往在解決數(shù)列基本問題后考查數(shù)列求和，在求和后往往與不等式、函數(shù)、最值等問題綜合．在考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和基礎(chǔ)上，進一步考查“裂項相消法”、“錯位相減法”等，與不等式結(jié)合，“放縮”思想及方法尤為重要．數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法的結(jié)合問題，也應(yīng)適度關(guān)注．
【核心考點目錄】
核心考點一：等差、等比數(shù)列的基本量問題
核心考點二：證明等差等比數(shù)列
核心考點三：等差等比數(shù)列的交匯問題
核心考點四：數(shù)列的通項公式
核心考點五：數(shù)列求和
核心考點六：數(shù)列性質(zhì)的綜合問題
核心考點六：實際應(yīng)用中的數(shù)列問題
核心考點七：以數(shù)列為載體的情境題
【真題回歸】
1．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·全國·高考真題（文））記 SKIPIF 1 < 0 為等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項和．若 SKIPIF 1 < 0 ，則公差 SKIPIF 1 < 0 _______．
3．（2022·全國·高考真題）已知 SKIPIF 1 < 0 為等差數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 是公比為2的等比數(shù)列，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求集合 SKIPIF 1 < 0 中元素個數(shù)．
4．（2022·全國·高考真題（理））記 SKIPIF 1 < 0 為數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項和．已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
5．（2022·天津·高考真題）設(shè) SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的通項公式；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 的前n項和為 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)求 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2022·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的首項 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ．記 SKIPIF 1 < 0 的前n項和為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若對于每個 SKIPIF 1 < 0 ，存在實數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列，求d的取值范圍．
【方法技巧與總結(jié)】
1、利用定義判斷數(shù)列的類型：注意定義要求的任意性，例如若數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 （常數(shù)）（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）不能判斷數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等差數(shù)列，需要補充證明 SKIPIF 1 < 0 ；
2、數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列；
3、數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為非零常數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列；
4、在處理含 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的式子時，一般情況下利用公式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，進而求出 SKIPIF 1 < 0 的通項公式；但是有些題目雖然要求 SKIPIF 1 < 0 的通項公式，但是并不便于運用 SKIPIF 1 < 0 ，這時可以考慮先消去 SKIPIF 1 < 0 ，得到關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的遞推公式，求出 SKIPIF 1 < 0 后再求解 SKIPIF 1 < 0 ．
5、遇到形如 SKIPIF 1 < 0 的遞推關(guān)系式，可利用累加法求 SKIPIF 1 < 0 的通項公式，遇到形如 SKIPIF 1 < 0 的遞推關(guān)系式，可利用累乘法求 SKIPIF 1 < 0 的通項公式，注意在使用上述方法求通項公式時，要對第一項是否滿足進行檢驗．
6、遇到下列遞推關(guān)系式，我們通過構(gòu)造新數(shù)列，將它們轉(zhuǎn)化為熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列，從而求解該數(shù)列的通項公式：
（1）形如 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），可變形為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項，以 SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列，由此可以求出 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）形如 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），此類問題可兩邊同時除以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，從而變成 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，從而將問題轉(zhuǎn)化為第（1）個問題；
（3）形如 SKIPIF 1 < 0 ，可以考慮兩邊同時除以 SKIPIF 1 < 0 ，轉(zhuǎn)化為 SKIPIF 1 < 0 的形式，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，從而將問題轉(zhuǎn)化為第（1）個問題．
7、公式法是數(shù)列求和的最基本的方法，也是數(shù)列求和的基礎(chǔ)．其他一些數(shù)列的求和可以轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和．利用等比數(shù)列求和公式，當公比是用字母表示時，應(yīng)對其是否為 SKIPIF 1 < 0 進行討論．
8、用裂項相消法求和時，要對通項進行變換，如： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，裂項后產(chǎn)生可以連續(xù)相互抵消的項．抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，但是前后所剩項數(shù)一定相同．
常見的裂項公式：
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ；
（4） SKIPIF 1 < 0 ；
（5） SKIPIF 1 < 0 ．
9、用錯位相減法求和時的注意點：
（1）要善于通過通項公式特征識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；
（2）在寫出“ SKIPIF 1 < 0 ”與“ SKIPIF 1 < 0 ”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“ SKIPIF 1 < 0 ”的表達式；
（3）在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．
10、分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型：
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和；
（2）通項公式為 SKIPIF 1 < 0 ，其中數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和；
（3）要善于識別一些變形和推廣的分組求和問題．
11、在等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），則 SKIPIF 1 < 0 ．
在等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），則 SKIPIF 1 < 0 ．
12、前 SKIPIF 1 < 0 項和與積的性質(zhì)
（1）設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差為 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ．
= 1 \* GB3 ① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…也成等差數(shù)列，公差為 SKIPIF 1 < 0 ．
= 2 \* GB3 ② SKIPIF 1 < 0 也是等差數(shù)列，且 SKIPIF 1 < 0 ，公差為 SKIPIF 1 < 0 ．
= 3 \* GB3 ③若項數(shù)為偶數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
若項數(shù)為奇數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）設(shè)等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公比為 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0
= 1 \* GB3 ①當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…也成等比數(shù)列，公比為 SKIPIF 1 < 0
= 2 \* GB3 ②相鄰 SKIPIF 1 < 0 項積 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…也成等比數(shù)列，公比為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
= 3 \* GB3 ③若項數(shù)為偶數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；項數(shù)為奇數(shù)時，沒有較好性質(zhì)．
13、衍生數(shù)列
（1）設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均是等差數(shù)列，且等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為常數(shù)．
= 1 \* GB3 ① SKIPIF 1 < 0 的等距子數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 也是等差數(shù)列，公差為 SKIPIF 1 < 0 ．
= 2 \* GB3 ②數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 也是等差數(shù)列，而 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列．
（2）設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均是等比數(shù)列，且等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公比為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為常數(shù)．
= 1 \* GB3 ① SKIPIF 1 < 0 的等距子數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 也是等比數(shù)列，公比為 SKIPIF 1 < 0 ．
= 2 \* GB3 ②數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
也是等比數(shù)列，而 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列．
14、判斷數(shù)列單調(diào)性的方法
（1）比較法（作差或作商）；（2）函數(shù)化（要注意擴展定義域）．
15、求數(shù)列最值的方法（以最大值項為例，最小值項同理）
方法 SKIPIF 1 < 0 ：利用數(shù)列的單調(diào)性；
方法2：設(shè)最大值項為 SKIPIF 1 < 0 ，解方程組 SKIPIF 1 < 0 ，再與首項比較大小．
【核心考點】
核心考點一：等差、等比數(shù)列的基本量問題
【規(guī)律方法】
利用等差數(shù)列中的基本量（首項，公差，項數(shù)），等比數(shù)列的基本量（首項，公比，項數(shù)）翻譯條件，將問題轉(zhuǎn)換成含基本量的方程或不等式問題求解．
【典型例題】
例1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B．3C．2D．1
例2．（2022·江西·臨川一中高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A．80B．100C．120D．143
例3．（2022·新疆·高三期中（理））已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，所有項之和為所有奇數(shù)項之和的3倍，前4項之積為64，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．1或 SKIPIF 1 < 0
例4．（2022·全國·高三階段練習(xí)（文））已知公差不為零的等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列，則數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前9項的和為（ ）
A．1B．2C．81D．80
例5．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例6．（2022·湖北·高三階段練習(xí)）在公差不為零的等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例7．（2022·江蘇無錫·高三期中）已知兩個等差數(shù)列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，將這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的各項之和為（ ）
A．1460B．1472
C．1666D．1678
核心考點二：證明等差等比數(shù)列
【規(guī)律方法】
判斷或證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列常見的方法如下．
（1）定義法：對于 SKIPIF 1 < 0 的任意正整數(shù)：
①若 SKIPIF 1 < 0 為一常數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 為等差數(shù)列；
②若 SKIPIF 1 < 0 為常數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列．
（2）通項公式法：
①若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為等差數(shù)列；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列．
（3）中項公式法：
①若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為等差數(shù)列；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列．
（4）前 SKIPIF 1 < 0 項和法：若 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和 SKIPIF 1 < 0 滿足：
① SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為等差數(shù)列．
② SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列．
【典型例題】
例8．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)證明：數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項和 SKIPIF 1 < 0 ．
例9．（2022·河南·高三期中（理））已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)證明：數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和 SKIPIF 1 < 0 .
例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)證明：數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等差數(shù)列，并求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式；
例11．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校模擬預(yù)測（理））現(xiàn)有甲、乙、丙三個人相互傳接球，第一次從甲開始傳球，甲隨機地把球傳給乙、丙中的一人，接球后視為完成第一次傳接球；接球者進行第二次傳球，隨機地傳給另外兩人中的一人，接球后視為完成第二次傳接球；依次類推，假設(shè)傳接球無失誤．
(1)設(shè)乙接到球的次數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，通過三次傳球，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列與期望；
(2)設(shè)第 SKIPIF 1 < 0 次傳球后，甲接到球的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
（i）試證明數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列；
（ii）解釋隨著傳球次數(shù)的增多，甲接到球的概率趨近于一個常數(shù)．
例12．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)一中高三期中）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，證明數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列，并求其通項公式；
(3)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 前10項中所有奇數(shù)項的和．
例13．（2022·河南·高三期中（理））已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的各項均不為0，其前 SKIPIF 1 < 0 項的乘積 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 為常數(shù)列，求這個常數(shù)；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式.
例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式;
例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）問題：已知 SKIPIF 1 < 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項和為 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，__________﹖若存在．求通項公式 SKIPIF 1 < 0 ﹔若不存在，說明理由．
在① SKIPIF 1 < 0 ﹔② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
核心考點三：等差等比數(shù)列的交匯問題
【規(guī)律方法】
在解決等差、等比數(shù)列綜合問題時，要充分利用基本公式、性質(zhì)以及它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，在求解過程中要樹立“目標意識”，“需要什么，就求什么”，并適時地采用“巧用性質(zhì)，整體考慮”的方法．可以達到減少運算量的目的．
【典型例題】
例16．（2022·河南·一模（理））已知等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式；
(2)在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之間插入 SKIPIF 1 < 0 個數(shù)，使這 SKIPIF 1 < 0 個數(shù)組成一個公差為 SKIPIF 1 < 0 的等差數(shù)列，在數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中是否存在 SKIPIF 1 < 0 項 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 是公差不為 SKIPIF 1 < 0 的等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這 SKIPIF 1 < 0 項；若不存在，請說明理由．
例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項和為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式；
(2)判斷數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中是否存在成等差數(shù)列的三項，并證明你的結(jié)論．
例18．（2022·福建省福州華僑中學(xué)高三階段練習(xí)）已知在正項等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 成等差數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0 __________．
例19．（2022·湖北·高三期中）已知 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 是數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 =______．
例20．（2022·河南省淮陽中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項利為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，1成等比數(shù)列，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為______．
例21．（2022·上海·華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 不為零，等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公比 SKIPIF 1 < 0 是小于1的正有理數(shù)．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是正整數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 的值可以是______．
例22．（2022·貴州·頂效開發(fā)區(qū)頂興學(xué)校高三期中（理））對于集合A， SKIPIF 1 < 0 ，定義集合 SKIPIF 1 < 0 . 己知等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 和正項等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中的所有項分別構(gòu)成集合A， SKIPIF 1 < 0 ，將集合 SKIPIF 1 < 0 的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個新數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，則數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前30項和 SKIPIF 1 < 0 _________.
例23．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則它們的公共項由小到大排列后組成新數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ．在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中插入 SKIPIF 1 < 0 個數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，1， SKIPIF 1 < 0 ，3，5， SKIPIF 1 < 0 ，7，9，11， SKIPIF 1 < 0 ，…，插入的所有數(shù)構(gòu)成首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前20項和 SKIPIF 1 < 0 ______．
核心考點四：數(shù)列的通項公式
【規(guī)律方法】
常見求解數(shù)列通項公式的方法有如下六種：
（1）觀察法：根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察法猜想其通項公式．
（2）累加法：形如 SKIPIF 1 < 0 的解析式．
（3）累乘法：形如 SKIPIF 1 < 0
（4）公式法
（5）取倒數(shù)法：形如 SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系式
（6）構(gòu)造輔助數(shù)列法：通過變換遞推關(guān)系，將非等差（比）數(shù)列構(gòu)造為等差（比）數(shù)列來求通項公式．
【典型例題】
例24．（2022·上海市南洋模范中學(xué)高三期中）在數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是其前n項和，當 SKIPIF 1 < 0 時，恒有 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0 ___________
例25．（2022·黑龍江·肇州縣第二中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 _____________．
例26．（2022·福建·高三階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______.
例27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式為 SKIPIF 1 < 0 ______．
例28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知在數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 __________．
例29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知在數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______．
例30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè) SKIPIF 1 < 0 是首項為1的正項數(shù)列且 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式_________
例31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），則 SKIPIF 1 < 0 ___________
例32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的通項公式為_____________.
例33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩人各拿兩顆骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：若擲出的點數(shù)之和為3的倍數(shù)，原擲骰子的人再繼續(xù)擲；若擲出的點數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對方接著擲．第一次由甲開始擲，則第n次由甲擲的概率 SKIPIF 1 < 0 ______（用含n的式子表示）．
核心考點五：數(shù)列求和
【規(guī)律方法】
求數(shù)列前 SKIPIF 1 < 0 項和 SKIPIF 1 < 0 的常見方法有以下四種．
（1）公式法：利用等差、等比數(shù)列的前 SKIPIF 1 < 0 項和公式求數(shù)列的前 SKIPIF 1 < 0 項和．
（2）裂項相消法：將數(shù)列恒等變形為連續(xù)兩項或相隔若干項之差的形式，進行消項．其方法核心有兩點：一是裂項，將一個式子分裂成兩個式子差的形式；二是要能相消．常見的裂項相消變換有以下形式．
①分式裂項： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
②根式裂項： SKIPIF 1 < 0 ；
③對數(shù)式裂項 SKIPIF 1 < 0 ；
④指數(shù)式裂項
（3）錯位相減法
（4）分組轉(zhuǎn)化法
【典型例題】
例34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項和為 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 均在函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象上，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 .
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)令 SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前2020項和 SKIPIF 1 < 0 .
例35．（2022·陜西渭南·一模（理））已知各項均為正數(shù)的數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通項公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和 SKIPIF 1 < 0 .
例36．（2022·陜西渭南·一模（文））已知等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和 SKIPIF 1 < 0 .
例37．（2022·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和 SKIPIF 1 < 0 ．
例38．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期中）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的各項均為正數(shù)的等比數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項和 SKIPIF 1 < 0 ．
例39．（2022·四川省蓬溪縣蓬南中學(xué)高三階段練習(xí)）給定數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，若滿足 SKIPIF 1 < 0 ，對于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，則稱 SKIPIF 1 < 0 為“指數(shù)型數(shù)列”.若數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足： SKIPIF 1 < 0 ；
(1)判斷 SKIPIF 1 < 0 是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說明理由；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和 SKIPIF 1 < 0 .
例40．（2022·廣西·南寧市第十九中學(xué)模擬預(yù)測（文））數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為正常數(shù)），且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式；
(2)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和 SKIPIF 1 < 0 .
例41．（2022·全國·高三專題練習(xí)） SKIPIF 1 < 0 為等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和，且 SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 表示不超過 SKIPIF 1 < 0 的最大整數(shù)，如 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前2022項和.
例42．（2022·云南·昆明一中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式；
(2)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和 SKIPIF 1 < 0 .
核心考點六：數(shù)列性質(zhì)的綜合問題
【典型例題】
例43．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．-15B．-14C．-11D．-6
例44．（2022·福建三明·高三期中）設(shè)等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公比為 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 項積為 SKIPIF 1 < 0 ，并滿足條件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 是數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中的最大值
C． SKIPIF 1 < 0 D．數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 無最大值
例45．（2022·廣西·南寧市第十九中學(xué)模擬預(yù)測（文））數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和 SKIPIF 1 < 0 ，則數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中的最大項為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例46．（2022·全國·安陽市第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項和為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例47．（2022·山西運城·高三期中）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ，且對于任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例48．（2022·山東聊城·高三期中）若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 使得數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為遞增數(shù)列，則稱函數(shù) SKIPIF 1 < 0 為“數(shù)列保增函數(shù)”．已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 為“數(shù)列保增函數(shù)”，則a的取值范圍為（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例49．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí)）已知等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前5項積為32， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例50．（2022·北京八中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是遞增數(shù)列，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例51．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，若對于任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
核心考點六：實際應(yīng)用中的數(shù)列問題
【規(guī)律方法】
解數(shù)列應(yīng)用題的一般步驟
（1）閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．
（2）根據(jù)題意數(shù)列問題模型．
（3）應(yīng)用數(shù)列知識求解．
（4）將數(shù)列問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等．
【典型例題】
例52．（2022·黑龍江·哈爾濱市劍橋第三高級中學(xué)有限公司高三階段練習(xí)）某單位用分期付款方式為職工購買40套住房，總房價1150萬元.約定：2021年7月1日先付款150萬元，以后每月1日都交付50萬元，并加付此前欠款利息，月利率 SKIPIF 1 < 0 ，當付清全部房款時，各次付款的總和為（ ）
A．1205萬元B．1255萬元C．1305萬元D．1360萬元
例53．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在“全面脫貧”行動中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開設(shè)的土特產(chǎn)品加工廠的原材料進貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價廉，上市后供不應(yīng)求，據(jù)測算每月獲得的利潤是該月月初投入資金的20%，每月月底需繳納房租600元和水電費400元.余款作為資金全部用于再進貨，如此繼續(xù).設(shè)第n月月底小王手中有現(xiàn)款為 SKIPIF 1 < 0 ，則下列結(jié)論正確的是（ ）（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
① SKIPIF 1 < 0
② SKIPIF 1 < 0
③2020年小王的年利潤約為40000元
④兩年后，小王手中現(xiàn)款約達41萬
A．②③④B．②④C．①②④D．②③
例54．（2022·全國·高三專題練習(xí)）為了更好地解決就業(yè)問題，國家在2020年提出了“地攤經(jīng)濟”為響應(yīng)國家號召，有不少地區(qū)出臺了相關(guān)政策去鼓勵“地攤經(jīng)濟”．老王2020年6月1日向銀行借了免息貸款10000元，用于進貨.因質(zhì)優(yōu)價廉，供不應(yīng)求，據(jù)測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費1000元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續(xù)，預(yù)計到2021年5月底該攤主的年所得收入為（ ）（取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
A．32500元B．40000元C．42500元D．50000元
例55．（2022·云南昭通·高三階段練習(xí)（文））某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計劃改建十個實驗室，每個實驗室的改建費用分為裝修費和設(shè)備費，每個實驗室的裝修費都一樣，設(shè)備費從第一到第十實驗室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實驗室比第二實驗室的改建費用高28萬元，第七實驗室比第四實驗室的改建費用高112萬元，并要求每個實驗室改建費用不能超過1100萬元.則該研究所改建這十個實驗室投入的總費用最多需要（ ）
A．2806萬元B．2906萬元C．3106萬元D．3206萬元
例56．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù) SKIPIF 1 < 0 是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)． SKIPIF 1 < 0 一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對于 SKIPIF 1 < 0 ，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，平均感染周期為7天（初始感染者傳染 SKIPIF 1 < 0 個人為第一輪傳染，經(jīng)過一個周期后這 SKIPIF 1 < 0 個人每人再傳染 SKIPIF 1 < 0 個人為第二輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）（ ）
A．35B．42C．49D．56
核心考點七：以數(shù)列為載體的情境題
【規(guī)律方法】
1、應(yīng)用數(shù)列知識解決此類問題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學(xué)模型——等差、等比數(shù)列模型．
2、需要讀懂題目所表達的具體含義，觀察給定數(shù)列的特征，進而判斷出該數(shù)列的通項與求和公式．
3、求解時要明確目標，認清是求和、求通項、還是解遞推關(guān)系問題，然后通過數(shù)學(xué)推理與計算得出結(jié)果，并回歸實際問題中，進行檢驗，最終得出結(jié)論．
【典型例題】
例57．（2022·上海市行知中學(xué)高三期中）定義：對于各項均為整數(shù)的數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 =1，2，3，…)為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 具有“ SKIPIF 1 < 0 性質(zhì)”；不論數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是否具有“ SKIPIF 1 < 0 性質(zhì)”，如果存在數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不是同一數(shù)列，且 SKIPIF 1 < 0 滿足下面兩個條件：
（1） SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一個排列；
（2）數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 具有“ SKIPIF 1 < 0 性質(zhì)”，則稱數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 具有“變換 SKIPIF 1 < 0 性質(zhì)”.給出下面三個數(shù)列：
①數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和 SKIPIF 1 < 0 ；
②數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ：1，2，3，4，5；
③數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ：1，2，3，4，5，6.
具有“ SKIPIF 1 < 0 性質(zhì)”的為________；具有“變換 SKIPIF 1 < 0 性質(zhì)”的為_________.
例58．（2022·江蘇·沭陽縣建陵高級中學(xué)高三階段練習(xí)）在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，組成一個新的數(shù)列，這樣的操作叫做這個數(shù)列的一次“拓展”.先將數(shù)列1，2進行拓展，第一次拓展得到 SKIPIF 1 < 0 ；第二次拓展得到數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ；第 SKIPIF 1 < 0 次拓展得到數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 .設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ___________， SKIPIF 1 < 0 ___________.
例59．（2022·河北唐山·三模）角谷猜想又稱冰雹猜想，是指任取一個正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，就將它乘以3再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以2．反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈 SKIPIF 1 < 0 ．如取正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)上述運算法則得出 SKIPIF 1 < 0 ，共需要經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”），已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足： SKIPIF 1 < 0 （m為正整數(shù)）， SKIPIF 1 < 0 ①若 SKIPIF 1 < 0 ，則使得 SKIPIF 1 < 0 至少需要_______步雹程；②若 SKIPIF 1 < 0 ；則m所有可能取值的和為_______．
例60．（2022·全國·華中師大一附中模擬預(yù)測）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是 SKIPIF 1 < 0 ，接下來的兩項是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再接下來的三項是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，依此規(guī)律類推．若其前n項和 SKIPIF 1 < 0 ，則稱k為 SKIPIF 1 < 0 的一個理想數(shù)．將 SKIPIF 1 < 0 的理想數(shù)從小到大依次排成一列，則第二個理想數(shù)是______；當 SKIPIF 1 < 0 的項數(shù) SKIPIF 1 < 0 時，其所有理想數(shù)的和為______．
例61．（2022·吉林吉林·模擬預(yù)測（文））如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差都大于2，則稱這個數(shù)列為“ SKIPIF 1 < 0 數(shù)列”.已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式 SKIPIF 1 < 0 ___________；若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 數(shù)列”，則t的取值范圍是___________.
例62．（2022·全國·模擬預(yù)測）將一條線段三等分后，以中間一段為邊作正三角形并去掉原線段生成1級Kch曲線“”，將1級Kch曲線上每一線段重復(fù)上述步驟得到2級Kch曲線，同理可得3級Kch曲線（如圖1），…，Kch曲線是幾何中最簡單的分形．若一個圖形由N個與它的上一級圖形相似，相似比為r的部分組成，稱 SKIPIF 1 < 0 為該圖形分形維數(shù)，則Kch曲線的分形維數(shù)是________．（精確到0.01， SKIPIF 1 < 0 ）在第24屆北京冬奧會開幕式上，一朵朵六角雪花（如圖2）飄拂在國家體育場上空，暢想著“一起向未來”的美好愿景．六角雪花曲線是由正三角形的三邊生成的三條1級Kch曲線組成，再將六角雪花曲線每一邊生成一條1級Kch曲線得到2級十八角雪花曲線（如圖3），…，依次得到n級Kn（ SKIPIF 1 < 0 ）角雪花曲線．若正三角形邊長為1，則n級Kn角雪花曲線的周長 SKIPIF 1 < 0 ________．
【新題速遞】
一、單選題
1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項和為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項和為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．50C．100D．2525
2．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期中）一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的實心塔群，共分十二階梯式平臺，自上而下一共12層，每層的塔數(shù)均不少于上一層的塔數(shù)，總計108座．已知其中10層的塔數(shù)成公差不為零的等差數(shù)列，剩下兩層的塔數(shù)之和為8，則第11層的塔數(shù)為（ ）
A．17B．18C．19D．20
3．（2022·江蘇·常熟市中學(xué)高三階段練習(xí)）等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 各項均為正數(shù)，首項與公差相等， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．9069B．9079C．9089D．9099
4．（2022·浙江·紹興市越州中學(xué)高三階段練習(xí)）記 SKIPIF 1 < 0 表示不超過實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最大整數(shù)，如 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·上海市洋涇中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，首項 SKIPIF 1 < 0 ，實系數(shù)一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的兩根為 SKIPIF 1 < 0 ．若存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，則公比 SKIPIF 1 < 0 的取值可能為（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·全國·高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前n項和分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2022·廣西·南寧市第十九中學(xué)模擬預(yù)測（文））數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 則滿足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．16B．15C．14D．13
8．（2022·福建省福州第十一中學(xué)高三期中）已知定義在 SKIPIF 1 < 0 上的函數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值為 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），且 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多選題
9．（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公比為q，其前n項和為 SKIPIF 1 < 0 ，前n項積為 SKIPIF 1 < 0 ，并滿足條件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列結(jié)論正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 是數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中的最大值
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，則n最大為4038．
10．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．（2022·山西臨汾·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列
C．若 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
12．（2022·山東·微山縣第二中學(xué)高三期中）設(shè)等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公比為q，其前n項和為 SKIPIF 1 < 0 ，前n項積為 SKIPIF 1 < 0 ，且滿足條件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則下列選項正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 為遞減數(shù)列B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 是數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中的最大項D． SKIPIF 1 < 0
三、填空題
13．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)b是實數(shù)a和實數(shù)c的等差中項，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0 ______．
14．（2022·全國·模擬預(yù)測）若定義在 SKIPIF 1 < 0 上的函數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 恰有 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）個根 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，2，…， SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 ，則數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和 SKIPIF 1 < 0 ___________.
15．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 的前n項和為 SKIPIF 1 < 0 ，前n項積為 SKIPIF 1 < 0 ，則使不等式 SKIPIF 1 < 0 成立的n的最大值為___________.
16．（2022·河北·高三期中）定義n個正數(shù) SKIPIF 1 < 0 的“均倒數(shù)”為 SKIPIF 1 < 0 ，若各項均為正數(shù)的數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項的“均倒數(shù)”為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為______
四、解答題
17．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的首項 SKIPIF 1 < 0 ，公比為q， SKIPIF 1 < 0 是公差為 SKIPIF 1 < 0 的等差數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的等比中項．
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 的前n項和為 SKIPIF 1 < 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項和 SKIPIF 1 < 0 ．
18．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的各項均不為零， SKIPIF 1 < 0 ，前n項和 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求證：數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列；
(2)記 SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項和 SKIPIF 1 < 0 .
19．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求證：數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列；
(2)若數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的前n項和.
20．（2022·全國·模擬預(yù)測）在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列這三個條件中選出兩個，補充在下面的橫線上，并解答這個問題.
問題：已知等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ，___________.
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
注：如果選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.
21．（2022·安徽·蒙城第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和 SKIPIF 1 < 0 ．
22．（2022·上海市洋涇中學(xué)高三階段練習(xí)）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式；
(2)若對任意正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 成立，求 SKIPIF 1 < 0 ．
23．（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，且 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )．
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項和．

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