?專題04 數(shù)列的通項(xiàng)、求和及綜合應(yīng)用
【命題規(guī)律】
數(shù)列是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，命題形式多種多樣，大小均有．其中，小題重點(diǎn)考查等差數(shù)列、等比數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)以及數(shù)列的遞推關(guān)系，和其它知識(shí)綜合考查的趨勢(shì)明顯（特別是與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的結(jié)合問(wèn)題），浙江卷小題難度加大趨勢(shì)明顯；解答題的難度中等或稍難，隨著文理同卷的實(shí)施，數(shù)列與不等式綜合熱門(mén)難題（壓軸題），有所降溫，難度趨減，將穩(wěn)定在中等偏難程度．往往在解決數(shù)列基本問(wèn)題后考查數(shù)列求和，在求和后往往與不等式、函數(shù)、最值等問(wèn)題綜合．在考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考查“裂項(xiàng)相消法”、“錯(cuò)位相減法”等，與不等式結(jié)合，“放縮”思想及方法尤為重要．?dāng)?shù)列與數(shù)學(xué)歸納法的結(jié)合問(wèn)題，也應(yīng)適度關(guān)注．
【核心考點(diǎn)目錄】
核心考點(diǎn)一：等差、等比數(shù)列的基本量問(wèn)題
核心考點(diǎn)二：證明等差等比數(shù)列
核心考點(diǎn)三：等差等比數(shù)列的交匯問(wèn)題
核心考點(diǎn)四：數(shù)列的通項(xiàng)公式
核心考點(diǎn)五：數(shù)列求和
核心考點(diǎn)六：數(shù)列性質(zhì)的綜合問(wèn)題
核心考點(diǎn)六：實(shí)際應(yīng)用中的數(shù)列問(wèn)題
核心考點(diǎn)七：以數(shù)列為載體的情境題
【真題回歸】
1．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（????）
A． B． C． D．
2．（2022·全國(guó)·高考真題（文））記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差_______．
3．（2022·全國(guó)·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．
(1)證明：；
(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．



4．（2022·全國(guó)·高考真題（理））記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．




5．（2022·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．
(1)求與的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；
(3)求．




6．（2022·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．
(1)若，求；
(2)若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．





【方法技巧與總結(jié)】
1、利用定義判斷數(shù)列的類型：注意定義要求的任意性，例如若數(shù)列滿足（常數(shù)）（，）不能判斷數(shù)列為等差數(shù)列，需要補(bǔ)充證明；
2、數(shù)列滿足，則是等差數(shù)列；
3、數(shù)列滿足，為非零常數(shù)，且，則為等比數(shù)列；
4、在處理含，的式子時(shí)，一般情況下利用公式，消去，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式；但是有些題目雖然要求的通項(xiàng)公式，但是并不便于運(yùn)用，這時(shí)可以考慮先消去，得到關(guān)于的遞推公式，求出后再求解．
5、遇到形如的遞推關(guān)系式，可利用累加法求的通項(xiàng)公式，遇到形如的遞推關(guān)系式，可利用累乘法求的通項(xiàng)公式，注意在使用上述方法求通項(xiàng)公式時(shí)，要對(duì)第一項(xiàng)是否滿足進(jìn)行檢驗(yàn)．
6、遇到下列遞推關(guān)系式，我們通過(guò)構(gòu)造新數(shù)列，將它們轉(zhuǎn)化為熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列，從而求解該數(shù)列的通項(xiàng)公式：
（1）形如（，），可變形為，則是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由此可以求出；
（2）形如（，），此類問(wèn)題可兩邊同時(shí)除以，得，設(shè)，從而變成，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第（1）個(gè)問(wèn)題；
（3）形如，可以考慮兩邊同時(shí)除以，轉(zhuǎn)化為的形式，設(shè)，則有，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第（1）個(gè)問(wèn)題．
7、公式法是數(shù)列求和的最基本的方法，也是數(shù)列求和的基礎(chǔ)．其他一些數(shù)列的求和可以轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和．利用等比數(shù)列求和公式，當(dāng)公比是用字母表示時(shí)，應(yīng)對(duì)其是否為進(jìn)行討論．
8、用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變換，如：，，裂項(xiàng)后產(chǎn)生可以連續(xù)相互抵消的項(xiàng)．抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，但是前后所剩項(xiàng)數(shù)一定相同．
常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
9、用錯(cuò)位相減法求和時(shí)的注意點(diǎn)：
（1）要善于通過(guò)通項(xiàng)公式特征識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；
（2）在寫(xiě)出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“”的表達(dá)式；
（3）在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．
10、分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類型：
（1）若，且，為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求的前項(xiàng)和；
（2）通項(xiàng)公式為，其中數(shù)列，是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和；
（3）要善于識(shí)別一些變形和推廣的分組求和問(wèn)題．
11、在等差數(shù)列中，若（，，，，），則．
在等比數(shù)列中，若（，，，，），則．
12、前項(xiàng)和與積的性質(zhì)
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為．
①，，，…也成等差數(shù)列，公差為．
②也是等差數(shù)列，且，公差為．
③若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則，．
若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則，．
（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為
①當(dāng)時(shí)，，，，…也成等比數(shù)列，公比為
②相鄰項(xiàng)積，，，…也成等比數(shù)列，公比為．
③若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，沒(méi)有較好性質(zhì)．
13、衍生數(shù)列
（1）設(shè)數(shù)列和均是等差數(shù)列，且等差數(shù)列的公差為，，為常數(shù)．
①的等距子數(shù)列也是等差數(shù)列，公差為．
②數(shù)列，也是等差數(shù)列，而是等比數(shù)列．
（2）設(shè)數(shù)列和均是等比數(shù)列，且等比數(shù)列的公比為，為常數(shù)．
①的等距子數(shù)列也是等比數(shù)列，公比為．
②數(shù)列，，，，，
也是等比數(shù)列，而是等差數(shù)列．
14、判斷數(shù)列單調(diào)性的方法
（1）比較法（作差或作商）；（2）函數(shù)化（要注意擴(kuò)展定義域）．
15、求數(shù)列最值的方法（以最大值項(xiàng)為例，最小值項(xiàng)同理）
方法：利用數(shù)列的單調(diào)性；
方法2：設(shè)最大值項(xiàng)為，解方程組，再與首項(xiàng)比較大?。?br /> 【核心考點(diǎn)】
核心考點(diǎn)一：等差、等比數(shù)列的基本量問(wèn)題
【規(guī)律方法】
利用等差數(shù)列中的基本量（首項(xiàng)，公差，項(xiàng)數(shù)），等比數(shù)列的基本量（首項(xiàng)，公比，項(xiàng)數(shù)）翻譯條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)換成含基本量的方程或不等式問(wèn)題求解．
【典型例題】
例1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（????）
A．4 B．3 C．2 D．1




例2．（2022·江西·臨川一中高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列滿足，，則=（????）
A．80 B．100 C．120 D．143




例3．（2022·新疆·高三期中（理））已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有奇數(shù)項(xiàng)之和的3倍，前4項(xiàng)之積為64，則（????）
A．1 B． C．2 D．1或




例4．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前9項(xiàng)的和為（????）
A．1 B．2 C．81 D．80




例5．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則（????）
A． B． C． D．




例6．（2022·湖北·高三階段練習(xí)）在公差不為零的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（????）
A． B． C． D．




例7．（2022·江蘇無(wú)錫·高三期中）已知兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為（????）
A．1460 B．1472
C．1666 D．1678




核心考點(diǎn)二：證明等差等比數(shù)列
【規(guī)律方法】
判斷或證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列常見(jiàn)的方法如下．
（1）定義法：對(duì)于的任意正整數(shù)：
①若為一常數(shù)，則為等差數(shù)列；
②若為常數(shù)，則為等比數(shù)列．
（2）通項(xiàng)公式法：
①若，則為等差數(shù)列；
（2）若，則為等比數(shù)列．
（3）中項(xiàng)公式法：
①若，則為等差數(shù)列；
②若，則為等比數(shù)列．
（4）前項(xiàng)和法：若的前項(xiàng)和滿足：
①，則為等差數(shù)列．
②，則為等比數(shù)列．
【典型例題】
例8．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：，．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．




例9．（2022·河南·高三期中（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.




例10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，.
(1)求，；
(2)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；




例11．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（理））現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)人相互傳接球，第一次從甲開(kāi)始傳球，甲隨機(jī)地把球傳給乙、丙中的一人，接球后視為完成第一次傳接球；接球者進(jìn)行第二次傳球，隨機(jī)地傳給另外兩人中的一人，接球后視為完成第二次傳接球；依次類推，假設(shè)傳接球無(wú)失誤．
(1)設(shè)乙接到球的次數(shù)為，通過(guò)三次傳球，求的分布列與期望；
(2)設(shè)第次傳球后，甲接到球的概率為，
（i）試證明數(shù)列為等比數(shù)列；
（ii）解釋隨著傳球次數(shù)的增多，甲接到球的概率趨近于一個(gè)常數(shù)．




例12．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)一中高三期中）已知數(shù)列滿足：，．
(1)求，；
(2)設(shè)，，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
(3)求數(shù)列前10項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)的和．




例13．（2022·河南·高三期中（理））已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為0，其前項(xiàng)的乘積.
(1)若為常數(shù)列，求這個(gè)常數(shù)；
(2)若，設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.




例14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式;




例15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）問(wèn)題：已知，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在數(shù)列，滿足，__________﹖若存在．求通項(xiàng)公式﹔若不存在，說(shuō)明理由．
在①﹔②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．




核心考點(diǎn)三：等差等比數(shù)列的交匯問(wèn)題
【規(guī)律方法】
在解決等差、等比數(shù)列綜合問(wèn)題時(shí)，要充分利用基本公式、性質(zhì)以及它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，在求解過(guò)程中要樹(shù)立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，并適時(shí)地采用“巧用性質(zhì)，整體考慮”的方法．可以達(dá)到減少運(yùn)算量的目的．
【典型例題】
例16．（2022·河南·一模（理））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在項(xiàng)（其中是公差不為的等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．




例17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)判斷數(shù)列中是否存在成等差數(shù)列的三項(xiàng)，并證明你的結(jié)論．




例18．（2022·福建省福州華僑中學(xué)高三階段練習(xí)）已知在正項(xiàng)等比數(shù)列中成等差數(shù)列，則__________．




例19．（2022·湖北·高三期中）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則=______．




例20．（2022·河南省淮陽(yáng)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)利為，若，，1成等比數(shù)列，且，則的公差的取值范圍為_(kāi)_____．




例21．（2022·上海·華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差不為零，等比數(shù)列的公比是小于1的正有理數(shù)．若，，且是正整數(shù)，則的值可以是______．




例22．（2022·貴州·頂效開(kāi)發(fā)區(qū)頂興學(xué)校高三期中（理））對(duì)于集合A，，定義集合. 己知等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，，．設(shè)數(shù)列和中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A，，將集合的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的前30項(xiàng)和_________.




例23．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)數(shù)列，滿足，，則它們的公共項(xiàng)由小到大排列后組成新數(shù)列．在和中插入個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列：，1，，3，5，，7，9，11，，…，插入的所有數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則數(shù)列的前20項(xiàng)和______．




核心考點(diǎn)四：數(shù)列的通項(xiàng)公式
【規(guī)律方法】
常見(jiàn)求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法有如下六種：
（1）觀察法：根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過(guò)觀察法猜想其通項(xiàng)公式．
（2）累加法：形如的解析式．
（3）累乘法：形如
（4）公式法
（5）取倒數(shù)法：形如的關(guān)系式
（6）構(gòu)造輔助數(shù)列法：通過(guò)變換遞推關(guān)系，將非等差（比）數(shù)列構(gòu)造為等差（比）數(shù)列來(lái)求通項(xiàng)公式．
【典型例題】
例24．（2022·上海市南洋模范中學(xué)高三期中）在數(shù)列中.，是其前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，恒有、、成等比數(shù)列，則___________




例25．（2022·黑龍江·肇州縣第二中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列_____________．




例26．（2022·福建·高三階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則______.




例27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____．




例28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在數(shù)列中，，，則__________．




例29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在數(shù)列中，，，則______．




例30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列且，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式_________




例31．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（），則___________




例32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足：，，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)____________.




例33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩人各拿兩顆骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)，原擲骰子的人再繼續(xù)擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對(duì)方接著擲．第一次由甲開(kāi)始擲，則第n次由甲擲的概率______（用含n的式子表示）．




核心考點(diǎn)五：數(shù)列求和
【規(guī)律方法】
求數(shù)列前項(xiàng)和的常見(jiàn)方法有以下四種．
（1）公式法：利用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求數(shù)列的前項(xiàng)和．
（2）裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列恒等變形為連續(xù)兩項(xiàng)或相隔若干項(xiàng)之差的形式，進(jìn)行消項(xiàng)．其方法核心有兩點(diǎn)：一是裂項(xiàng)，將一個(gè)式子分裂成兩個(gè)式子差的形式；二是要能相消．常見(jiàn)的裂項(xiàng)相消變換有以下形式．
①分式裂項(xiàng)：；
②根式裂項(xiàng)：；
③對(duì)數(shù)式裂項(xiàng)；
④指數(shù)式裂項(xiàng)
（3）錯(cuò)位相減法
（4）分組轉(zhuǎn)化法
【典型例題】
例34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求的值；
(3)令，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.




例35．（2022·陜西渭南·一模（理））已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.




例36．（2022·陜西渭南·一模（文））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式的解集為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.




例37．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．




例38．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期中）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．




例39．（2022·四川省蓬溪縣蓬南中學(xué)高三階段練習(xí)）給定數(shù)列，若滿足，對(duì)于任意的，都有，則稱為“指數(shù)型數(shù)列”.若數(shù)列滿足：；
(1)判斷是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說(shuō)明理由；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.




例40．（2022·廣西·南寧市第十九中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））數(shù)列滿足，（為正常數(shù)），且，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.




例41．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，記，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如.
(1)求；
(2)求數(shù)列的前2022項(xiàng)和.




例42．（2022·云南·昆明一中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.




核心考點(diǎn)六：數(shù)列性質(zhì)的綜合問(wèn)題
【典型例題】
例43．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，且，則的最小值是（????）
A．-15 B．-14 C．-11 D．-6




例44．（2022·福建三明·高三期中）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件，，則下列結(jié)論正確的是（????）
A． B．是數(shù)列中的最大值
C． D．?dāng)?shù)列無(wú)最大值




例45．（2022·廣西·南寧市第十九中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列中的最大項(xiàng)為（????）
A． B． C． D．




例46．（2022·全國(guó)·安陽(yáng)市第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（????）
A． B．1 C． D．




例47．（2022·山西運(yùn)城·高三期中）已知數(shù)列滿足，若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于任意的都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）
A． B． C． D．




例48．（2022·山東聊城·高三期中）若函數(shù)使得數(shù)列，為遞增數(shù)列，則稱函數(shù)為“數(shù)列保增函數(shù)”．已知函數(shù)為“數(shù)列保增函數(shù)”，則a的取值范圍為（????）．
A． B．
C． D．




例49．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前5項(xiàng)積為32，，則的取值范圍為（????）
A． B． C． D．




例50．（2022·北京八中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．




例51．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，，，當(dāng)時(shí)，，若對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（????）
A． B． C． D．




核心考點(diǎn)六：實(shí)際應(yīng)用中的數(shù)列問(wèn)題
【規(guī)律方法】
解數(shù)列應(yīng)用題的一般步驟
（1）閱讀理解題意，弄清問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．
（2）根據(jù)題意數(shù)列問(wèn)題模型．
（3）應(yīng)用數(shù)列知識(shí)求解．
（4）將數(shù)列問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等．
【典型例題】
例52．（2022·黑龍江·哈爾濱市劍橋第三高級(jí)中學(xué)有限公司高三階段練習(xí)）某單位用分期付款方式為職工購(gòu)買(mǎi)40套住房，總房?jī)r(jià)1150萬(wàn)元.約定：2021年7月1日先付款150萬(wàn)元，以后每月1日都交付50萬(wàn)元，并加付此前欠款利息，月利率，當(dāng)付清全部房款時(shí)，各次付款的總和為（????）
A．1205萬(wàn)元 B．1255萬(wàn)元 C．1305萬(wàn)元 D．1360萬(wàn)元




例53．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在“全面脫貧”行動(dòng)中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開(kāi)設(shè)的土特產(chǎn)品加工廠的原材料進(jìn)貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，上市后供不應(yīng)求，據(jù)測(cè)算每月獲得的利潤(rùn)是該月月初投入資金的20%，每月月底需繳納房租600元和水電費(fèi)400元.余款作為資金全部用于再進(jìn)貨，如此繼續(xù).設(shè)第n月月底小王手中有現(xiàn)款為，則下列結(jié)論正確的是（????）（參考數(shù)據(jù)：，）
①
②
③2020年小王的年利潤(rùn)約為40000元
④兩年后，小王手中現(xiàn)款約達(dá)41萬(wàn)
A．②③④ B．②④ C．①②④ D．②③




例54．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了更好地解決就業(yè)問(wèn)題，國(guó)家在2020年提出了“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，有不少地區(qū)出臺(tái)了相關(guān)政策去鼓勵(lì)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”．老王2020年6月1日向銀行借了免息貸款10000元，用于進(jìn)貨.因質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，供不應(yīng)求，據(jù)測(cè)算：每月獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費(fèi)1000元，余款作為資金全部用于下月再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計(jì)到2021年5月底該攤主的年所得收入為（????）（取，）
A．32500元 B．40000元 C．42500元 D．50000元




例55．（2022·云南昭通·高三階段練習(xí)（文））某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計(jì)劃改建十個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣，設(shè)備費(fèi)從第一到第十實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實(shí)驗(yàn)室比第二實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高28萬(wàn)元，第七實(shí)驗(yàn)室比第四實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高112萬(wàn)元，并要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室改建費(fèi)用不能超過(guò)1100萬(wàn)元.則該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多需要（????）
A．2806萬(wàn)元 B．2906萬(wàn)元 C．3106萬(wàn)元 D．3206萬(wàn)元




例56．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒(méi)有外力介入，同時(shí)所有人都沒(méi)有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過(guò)程中傳染的概率決定．對(duì)于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天（初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，經(jīng)過(guò)一個(gè)周期后這個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：，）（????）
A．35 B．42 C．49 D．56




核心考點(diǎn)七：以數(shù)列為載體的情境題
【規(guī)律方法】
1、應(yīng)用數(shù)列知識(shí)解決此類問(wèn)題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學(xué)模型——等差、等比數(shù)列模型．
2、需要讀懂題目所表達(dá)的具體含義，觀察給定數(shù)列的特征，進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式．
3、求解時(shí)要明確目標(biāo)，認(rèn)清是求和、求通項(xiàng)、還是解遞推關(guān)系問(wèn)題，然后通過(guò)數(shù)學(xué)推理與計(jì)算得出結(jié)果，并回歸實(shí)際問(wèn)題中，進(jìn)行檢驗(yàn)，最終得出結(jié)論．
【典型例題】
例57．（2022·上海市行知中學(xué)高三期中）定義：對(duì)于各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列，如果(=1，2，3，…)為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”；不論數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，如果存在數(shù)列與不是同一數(shù)列，且滿足下面兩個(gè)條件：
（1）是的一個(gè)排列；
（2）數(shù)列具有“性質(zhì)”，則稱數(shù)列具有“變換性質(zhì)”.給出下面三個(gè)數(shù)列：
①數(shù)列的前項(xiàng)和；
②數(shù)列：1，2，3，4，5；
③數(shù)列：1，2，3，4，5，6.
具有“性質(zhì)”的為_(kāi)_______；具有“變換性質(zhì)”的為_(kāi)________.




例58．（2022·江蘇·沭陽(yáng)縣建陵高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，組成一個(gè)新的數(shù)列，這樣的操作叫做這個(gè)數(shù)列的一次“拓展”.先將數(shù)列1，2進(jìn)行拓展，第一次拓展得到；第二次拓展得到數(shù)列；第次拓展得到數(shù)列.設(shè)，其中___________，___________.




例59．（2022·河北唐山·三模）角谷猜想又稱冰雹猜想，是指任取一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，就將它乘以3再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出，共需要經(jīng)過(guò)8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱為8步“雹程”），已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），①若，則使得至少需要_______步雹程；②若；則m所有可能取值的和為_(kāi)______．




例60．（2022·全國(guó)·華中師大一附中模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是，，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，，，依此規(guī)律類推．若其前n項(xiàng)和，則稱k為的一個(gè)理想數(shù)．將的理想數(shù)從小到大依次排成一列，則第二個(gè)理想數(shù)是______；當(dāng)?shù)捻?xiàng)數(shù)時(shí)，其所有理想數(shù)的和為_(kāi)_____．




例61．（2022·吉林吉林·模擬預(yù)測(cè)（文））如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都大于2，則稱這個(gè)數(shù)列為“數(shù)列”.已知數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式___________；若，，且數(shù)列是“數(shù)列”，則t的取值范圍是___________.




例62．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將一條線段三等分后，以中間一段為邊作正三角形并去掉原線段生成1級(jí)Koch曲線“”，將1級(jí)Koch曲線上每一線段重復(fù)上述步驟得到2級(jí)Koch曲線，同理可得3級(jí)Koch曲線（如圖1），…，Koch曲線是幾何中最簡(jiǎn)單的分形．若一個(gè)圖形由N個(gè)與它的上一級(jí)圖形相似，相似比為r的部分組成，稱為該圖形分形維數(shù)，則Koch曲線的分形維數(shù)是________．（精確到0.01，）在第24屆北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式上，一朵朵六角雪花（如圖2）飄拂在國(guó)家體育場(chǎng)上空，暢想著“一起向未來(lái)”的美好愿景．六角雪花曲線是由正三角形的三邊生成的三條1級(jí)Koch曲線組成，再將六角雪花曲線每一邊生成一條1級(jí)Koch曲線得到2級(jí)十八角雪花曲線（如圖3），…，依次得到n級(jí)Kn（）角雪花曲線．若正三角形邊長(zhǎng)為1，則n級(jí)Kn角雪花曲線的周長(zhǎng)________．






【新題速遞】
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（????）
A．0 B．50 C．100 D．2525
2．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期中）一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時(shí)期的實(shí)心塔群，共分十二階梯式平臺(tái)，自上而下一共12層，每層的塔數(shù)均不少于上一層的塔數(shù)，總計(jì)108座．已知其中10層的塔數(shù)成公差不為零的等差數(shù)列，剩下兩層的塔數(shù)之和為8，則第11層的塔數(shù)為（????）

A．17 B．18 C．19 D．20
3．（2022·江蘇·常熟市中學(xué)高三階段練習(xí)）等差數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，首項(xiàng)與公差相等，，則的值為（????）
A．9069 B．9079 C．9089 D．9099
4．（2022·浙江·紹興市越州中學(xué)高三階段練習(xí)）記表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，如，，，設(shè)，則（????）．
A． B． C． D．
5．（2022·上海市洋涇中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列，首項(xiàng)，實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根為．若存在唯一的，使得，則公比的取值可能為（　?。?br /> A． B． C． D．
6．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，且，則（????）
A． B． C． D．
7．（2022·廣西·南寧市第十九中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））數(shù)列滿足，則滿足的的最小值為（????）
A．16 B．15 C．14 D．13
8．（2022·福建省福州第十一中學(xué)高三期中）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，設(shè)在上的最大值為（），且的前項(xiàng)和為，則（????）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，并滿足條件，，，下列結(jié)論正確的是（????）
A．
B．
C．是數(shù)列中的最大值
D．若，則n最大為4038．
10．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，則（????）
A． B．
C． D．
11．（2022·山西臨汾·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（????）
A．若，則是等差數(shù)列
B．若，則是等比數(shù)列
C．若是等差數(shù)列，則
D．若是等比數(shù)列，且，，則
12．（2022·山東·微山縣第二中學(xué)高三期中）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且滿足條件，，，則下列選項(xiàng)正確的是（????）
A．為遞減數(shù)列 B．
C．是數(shù)列中的最大項(xiàng) D．
三、填空題
13．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)b是實(shí)數(shù)a和實(shí)數(shù)c的等差中項(xiàng)，且，若，，成等比數(shù)列，則______．
14．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若定義在上的函數(shù)滿足，且恰有（）個(gè)根（，2，…，），，則數(shù)列的前項(xiàng)和___________.
15．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，記的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，則使不等式成立的n的最大值為_(kāi)__________.
16．（2022·河北·高三期中）定義n個(gè)正數(shù)的“均倒數(shù)”為，若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，則的值為_(kāi)_____
四、解答題
17．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比為q，是公差為的等差數(shù)列，，，是與的等比中項(xiàng)．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．




18．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為零，，前n項(xiàng)和滿足.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.




19．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，且，.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)若數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.




20．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在①，②，③數(shù)列為等比數(shù)列這三個(gè)條件中選出兩個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答這個(gè)問(wèn)題.
問(wèn)題：已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，___________.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若的前項(xiàng)和為，且，求的值.
注：如果選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.




21．（2022·安徽·蒙城第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．




22．（2022·上海市洋涇中學(xué)高三階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，向量，向量，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若對(duì)任意正整數(shù)都有成立，求．



23．（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，()，且()．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若()，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．




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這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)精講精練專題04 數(shù)列的通項(xiàng)、求和及綜合應(yīng)用（含解析），共59頁(yè)。

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題講測(cè)練專題10 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合運(yùn)用（精講精練）（2份打包，解析版+原卷版，可預(yù)覽）：

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