一、單選題
1．（2024·云南·中考真題）按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：，，，，，，第個(gè)代數(shù)式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了數(shù)列的規(guī)律變化，根據(jù)數(shù)列找到變化規(guī)律即可求解，仔細(xì)觀察和總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：，，，，，，
∴第個(gè)代數(shù)式是，
故選：．
2．（2024·重慶·中考真題）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，下圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如圖②有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是（ ）
A．20B．22C．24D．26
【答案】B
【分析】本題考查數(shù)字的變化類，根據(jù)圖形，可歸納出規(guī)律表達(dá)式的特點(diǎn)，再解答即可．
【詳解】解：由圖可得，
第1種如圖①有4個(gè)氫原子，即
第2種如圖②有6個(gè)氫原子，即
第3種如圖③有8個(gè)氫原子，即
，
第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是：；
故選：B．
3．（2024·重慶·中考真題）用菱形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)菱形，第②個(gè)圖案中有5個(gè)菱形，第③個(gè)圖案中有8個(gè)菱形，第④個(gè)圖案中有11個(gè)菱形，…，按此規(guī)律，則第⑧個(gè)圖案中，菱形的個(gè)數(shù)是（ ）
A．20B．21C．23D．26
【答案】C
【分析】本題考查了圖形類的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．利用規(guī)律求解．通過觀察圖形找到相應(yīng)的規(guī)律，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：第①個(gè)圖案中有個(gè)菱形，
第②個(gè)圖案中有個(gè)菱形，
第③個(gè)圖案中有個(gè)菱形，
第④個(gè)圖案中有個(gè)菱形，
∴第個(gè)圖案中有個(gè)菱形，
∴第⑧個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)為，
故選：C．
4．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個(gè)圖有4個(gè)三角形．第2個(gè)圖有7個(gè)三角形，第3個(gè)圖有10個(gè)三角形……按照此規(guī)律排列下去，第674個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【答案】B
【分析】此題考查了圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的排列，歸納出圖形的變化規(guī)律．根據(jù)前幾個(gè)圖形的變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律，可用含n的代數(shù)式表示出第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)，從而可求第674個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)．
【詳解】解：第1個(gè)圖案有4個(gè)三角形，即，
第2個(gè)圖案有7個(gè)三角形，即，
第3個(gè)圖案有10個(gè)三角形，即，
…，
按此規(guī)律擺下去，第n個(gè)圖案有個(gè)三角形，
則第674個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為：（個(gè)）．
故選：B．
5．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，小好同學(xué)用計(jì)算機(jī)軟件繪制函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)它關(guān)于點(diǎn)中心對稱．若點(diǎn)，，，……，，都在函數(shù)圖象上，這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從開始依次增加，則的值是（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】D
【分析】本題是坐標(biāo)規(guī)律題，求函數(shù)值，中心對稱的性質(zhì)，根據(jù)題意得出，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求，根據(jù)題意可得，，即可求解．
【詳解】解：∵這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從開始依次增加，
∴，
∴，
∴，而即，
∵，
當(dāng)時(shí)，，即，
∵關(guān)于點(diǎn)中心對稱的點(diǎn)為，
即當(dāng)時(shí)，，
∴，
故選：D．
6．（2024·四川德陽·中考真題）將一組數(shù)，按以下方式進(jìn)行排列：
則第八行左起第1個(gè)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．求出第七行共有28個(gè)數(shù)，從而可得第八行左起第1個(gè)數(shù)是第29個(gè)數(shù)，據(jù)此求解即可得．
【詳解】解：由圖可知，第一行共有1個(gè)數(shù)，第二行共有2個(gè)數(shù)，第三行共有3個(gè)數(shù)，
歸納類推得：第七行共有個(gè)數(shù)，
則第八行左起第1個(gè)數(shù)是，
故選：C．
7．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書》中記載了一列數(shù)：1，1，2，3，5，……，這一列數(shù)滿足：從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都等于它的前兩個(gè)數(shù)之和．則在這一列數(shù)的前2024個(gè)數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．676B．674C．1348D．1350
【答案】D
【分析】將這一列數(shù)繼續(xù)寫下去，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律即可解答．
本題主要考查的是數(shù)字規(guī)律類問題，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】這一列數(shù)為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以發(fā)現(xiàn)每3個(gè)數(shù)為一組，每一組前2個(gè)數(shù)為奇數(shù)，第3個(gè)數(shù)為偶數(shù)．
由于，
即前2024個(gè)數(shù)共有674組，且余2個(gè)數(shù)，
∴奇數(shù)有個(gè)．
故選：D
8．（2024·河北·中考真題）平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，且橫、縱坐標(biāo)之和大于0的點(diǎn)稱為“和點(diǎn)”．將某“和點(diǎn)”平移，每次平移的方向取決于該點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)（當(dāng)余數(shù)為0時(shí)，向右平移；當(dāng)余數(shù)為1時(shí)，向上平移；當(dāng)余數(shù)為2時(shí)，向左平移），每次平移1個(gè)單位長度．
若“和點(diǎn)”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【分析】本題考查了坐標(biāo)內(nèi)點(diǎn)的平移運(yùn)動(dòng)，熟練掌握知識點(diǎn)，利用反向運(yùn)動(dòng)理解是解決本題的關(guān)鍵．
先找出規(guī)律若“和點(diǎn)”橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為0時(shí)，先向右平移1個(gè)單位，之后按照向上、向左，向上、向左不斷重復(fù)的規(guī)律平移，按照的反向運(yùn)動(dòng)理解去分類討論：①先向右1個(gè)單位，不符合題意；②先向下1個(gè)單位，再向右平移，當(dāng)平移到第15次時(shí)，共計(jì)向下平移了8次，向右平移了7次，此時(shí)坐標(biāo)為，那么最后一次若向右平移則為，若向左平移則為．
【詳解】解：由點(diǎn)可知橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1，繼而向上平移1個(gè)單位得到，此時(shí)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為2，繼而向左平移1個(gè)單位得到，此時(shí)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1，又要向上平移1個(gè)單位，因此發(fā)現(xiàn)規(guī)律為若“和點(diǎn)”橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為0時(shí)，先向右平移1個(gè)單位，之后按照向上、向左，向上、向左不斷重復(fù)的規(guī)律平移，
若“和點(diǎn)”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點(diǎn)，則按照“和點(diǎn)”反向運(yùn)動(dòng)16次求點(diǎn)Q坐標(biāo)理解，可以分為兩種情況：
①先向右1個(gè)單位得到，此時(shí)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為0，應(yīng)該是向右平移1個(gè)單位得到，故矛盾，不成立；
②先向下1個(gè)單位得到，此時(shí)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1，則應(yīng)該向上平移1個(gè)單位得到，故符合題意，那么點(diǎn)先向下平移，再向右平移，當(dāng)平移到第15次時(shí)，共計(jì)向下平移了8次，向右平移了7次，此時(shí)坐標(biāo)為，即，那么最后一次若向右平移則為，若向左平移則為，
故選：D．
9．（2024·重慶·中考真題）已知整式，其中為自然數(shù)，為正整數(shù)，且．下列說法：
①滿足條件的整式中有5個(gè)單項(xiàng)式；
②不存在任何一個(gè)，使得滿足條件的整式有且只有3個(gè)；
③滿足條件的整式共有16個(gè)．
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】本題考查的是整式的規(guī)律探究，分類討論思想的應(yīng)用，由條件可得，再分類討論得到答案即可．
【詳解】解：∵為自然數(shù)，為正整數(shù)，且，
∴，
當(dāng)時(shí)，則，
∴，，
滿足條件的整式有，
當(dāng)時(shí)，則，
∴，，，，
滿足條件的整式有：，，，，
當(dāng)時(shí)，則，
∴，，，，，，
滿足條件的整式有：，，，，，；
當(dāng)時(shí)，則，
∴，，，，
滿足條件的整式有：，，，；
當(dāng)時(shí)，，
滿足條件的整式有：；
∴滿足條件的單項(xiàng)式有：，，，，，故①符合題意；
不存在任何一個(gè)，使得滿足條件的整式有且只有3個(gè)；故②符合題意；
滿足條件的整式共有個(gè)．故③符合題意；
故選D
10．（2024·河北·中考真題）“鋪地錦”是我國古代一種乘法運(yùn)算方法，可將多位數(shù)乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一位數(shù)乘法和簡單的加法運(yùn)算．淇淇受其啟發(fā)，設(shè)計(jì)了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示，運(yùn)算結(jié)果為3036．圖2表示一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)兩位數(shù)相乘，表格中部分?jǐn)?shù)據(jù)被墨跡覆蓋，根據(jù)圖2中現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷，正確的是（ ）
A．“20”左邊的數(shù)是16B．“20”右邊的“□”表示5
C．運(yùn)算結(jié)果小于6000D．運(yùn)算結(jié)果可以表示為
【答案】D
【分析】本題考查了整式的加法運(yùn)算，整式的乘法運(yùn)算，理解題意，正確的邏輯推理時(shí)解決本題的關(guān)鍵．
設(shè)一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)兩位數(shù)分別為和，則，即，可確定時(shí)，則，由題意可判斷A、B選項(xiàng)，根據(jù)題意可得運(yùn)算結(jié)果可以表示為：，故可判斷C、D選項(xiàng)．
【詳解】解：設(shè)一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)兩位數(shù)分別為和
如圖：
則由題意得：
，
∴，即，
∴當(dāng)時(shí)，不是正整數(shù)，不符合題意，故舍；
當(dāng)時(shí)，則，如圖：
，
∴A、“20”左邊的數(shù)是，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、“20”右邊的“□”表示4，故本選項(xiàng)不符合題意；
∴上面的數(shù)應(yīng)為，如圖：
∴運(yùn)算結(jié)果可以表示為：，
∴D選項(xiàng)符合題意，
當(dāng)時(shí)，計(jì)算的結(jié)果大于6000，故C選項(xiàng)不符合題意，
故選：D．
11．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，軸，垂足為點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在直線上，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)也落在直線上，如此下去，……，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)．找出點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律以及旋轉(zhuǎn)過程中線段長度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
通過求出點(diǎn)的坐標(biāo)，、、的長度，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)逐步推導(dǎo)出后續(xù)點(diǎn)的位置和坐標(biāo)，然后結(jié)合圖形求解即可．
【詳解】軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，代入，
得：，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．
，，
，
由旋轉(zhuǎn)可知，，，，
，，
，
．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，
解得或（舍去），則，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故選C．
二、填空題
12．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖是由火柴棒擺成的圖案，按此規(guī)律擺放，第（7）個(gè)圖案中有 個(gè)火柴棒．

【答案】15
【分析】本題考查圖形類規(guī)律探究．根據(jù)題意得到第（1）、（2）、（3）個(gè)圖形中火柴棒的數(shù)量，由此可得第（n）個(gè)圖形有根火柴棒，即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：第（1）個(gè)圖形有根火柴棒，
第（2）個(gè)圖形有根火柴棒，
第（3）個(gè)圖形有根火柴棒，
……
第（n）個(gè)圖形有根火柴棒，
∴第（7）個(gè)圖案中有根火柴棒，
故答案為：15
13．（2024·江西·中考真題）觀察a，，，，…，根據(jù)這些式子的變化規(guī)律，可得第100個(gè)式子為 ．
【答案】
【分析】此題考查了單項(xiàng)式規(guī)律探究．分別找出系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律，據(jù)此判斷出第n個(gè)式子是多少即可．
【詳解】解：∵a，，，，…，
∴第n個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1；
∵第1個(gè)、第2個(gè)、第3個(gè)、第4個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)分別是1、2、3、4，…，
∴第n個(gè)式子是．
∴第100個(gè)式子是．
故答案為：．
14．（2024·山東·中考真題）任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次運(yùn)算后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1，這就是“冰雹猜想”．在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)中的，分別按照“冰雹猜想”同步進(jìn)行運(yùn)算得到新的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，其中，均為正整數(shù)．例如，點(diǎn)經(jīng)過第1次運(yùn)算得到點(diǎn)，經(jīng)過第2次運(yùn)算得到點(diǎn)，以此類推．則點(diǎn)經(jīng)過2024次運(yùn)算后得到點(diǎn) ．
【答案】
【分析】本題考查了新定義，點(diǎn)的規(guī)律，根據(jù)新定義依次計(jì)算出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后找出規(guī)律，最后應(yīng)用規(guī)律求解即可．
【詳解】解：點(diǎn)經(jīng)過1次運(yùn)算后得到點(diǎn)為，即為，
經(jīng)過2次運(yùn)算后得到點(diǎn)為，即為，
經(jīng)過3次運(yùn)算后得到點(diǎn)為，即為，
……，
發(fā)現(xiàn)規(guī)律：點(diǎn)經(jīng)過3次運(yùn)算后還是，
∵，
∴點(diǎn)經(jīng)過2024次運(yùn)算后得到點(diǎn)，
故答案為：．
15．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時(shí)，發(fā)現(xiàn)了如“花朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C在第一象限，．將沿x軸正方向作無滑動(dòng)滾動(dòng)，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，稱點(diǎn)為第一個(gè)“花朵”的花心，點(diǎn)為第二個(gè)“花朵”的花心；……；按此規(guī)律，滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng)，則最后一個(gè)“花朵”的花心的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】本題考查了解直角三角形，等腰直角的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索．連接，求得，，，分別得到，， ，，推導(dǎo)得到，滾動(dòng)一次得到，滾動(dòng)四次得到，滾動(dòng)七次得到，由此得到滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng)，則，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：連接，
由題意得，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
，
同理，
，
，
滾動(dòng)一次得到，滾動(dòng)四次得到，滾動(dòng)七次得到，
∴滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng)，則時(shí)，，
故答案為：．
16．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知，，，，，，，…，依此規(guī)律，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)出一般性規(guī)律．根據(jù)題意可知個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為一個(gè)循環(huán)，的坐標(biāo)為，據(jù)此可求得的坐標(biāo)．
【詳解】解：∵，，，，，，，…，，
∴可知個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為一個(gè)循環(huán)，的坐標(biāo)為，
∵，
∴的坐標(biāo)為．
∴的坐標(biāo)為
故答案為：．
17．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是，在正方形內(nèi)部緊靠正方形的邊（方向?yàn)椋┳鰺o滑動(dòng)滾動(dòng)，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；第二次滾動(dòng)后，的對應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；第三次滾動(dòng)后，的對應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；如此下去，……，則的坐標(biāo)是 ．
【答案】
【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，正方形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，根據(jù)三角形的運(yùn)動(dòng)方式，依次求出點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)，，，的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【詳解】解：正方形頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
,
是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是，
等邊三角形高為，
由題知，
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
繼續(xù)滾動(dòng)有，的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；不斷循環(huán)，循環(huán)規(guī)律為以，，，，12個(gè)為一組，
，
的坐標(biāo)與的坐標(biāo)一樣為，
故答案為：．
18．（2024·山東泰安·中考真題）如圖所示，是用圖形“○”和“●”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”．按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第 個(gè)“小屋子”中圖形“○”個(gè)數(shù)是圖形“●”個(gè)數(shù)的3倍．
【答案】12
【分析】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律、一元二次方程的應(yīng)用等知識點(diǎn)，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)“〇”和“●”的個(gè)數(shù)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)所給圖形，依次求出“〇”和“●”的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再利用規(guī)律列出一元二次方程求解即可．
【詳解】解：由所給圖形可知，
第1個(gè)“小屋子”中圖形“〇”的個(gè)數(shù)為：，“●”的個(gè)數(shù)為：；
第2個(gè)“小屋子”中圖形“〇”的個(gè)數(shù)為：，“●”的個(gè)數(shù)為：；
第3個(gè)“小屋子”中圖形“〇”的個(gè)數(shù)為：，“●”的個(gè)數(shù)為：；
第4個(gè)“小屋子”中圖形“〇”的個(gè)數(shù)為：，“●”的個(gè)數(shù)為：；
…，
所以第n個(gè)“小屋子”中圖形“〇”的個(gè)數(shù)為：，“●”的個(gè)數(shù)為：；
由題知，解得，
又n為正整數(shù)，則，即第12個(gè)“小屋子”中圖形“〇”個(gè)數(shù)是圖形“●”個(gè)數(shù)的3倍．
故答案為：12．
19．（2024·四川遂寧·中考真題）在等邊三邊上分別取點(diǎn)，使得，連結(jié)三點(diǎn)得到，易得，設(shè)，則
如圖①當(dāng)時(shí)，
如圖②當(dāng)時(shí)，
如圖③當(dāng)時(shí)，
……
直接寫出，當(dāng)時(shí)， ．
【答案】/0.73
【分析】本題主要考查數(shù)字規(guī)律性問題，首先根據(jù)已知求得比例為n時(shí)，，代入即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可得，當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，
故答案為：．
20．（2024·四川德陽·中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，甲組同學(xué)給乙組同學(xué)出示了一個(gè)探究問題：把數(shù)字1至8分別填入如圖的八個(gè)圓圈內(nèi)，使得任意兩個(gè)有線段相連的圓圈內(nèi)的數(shù)字之差的絕對值不等于1．經(jīng)過探究后，乙組的小高同學(xué)填出了圖中兩個(gè)中心圓圈的數(shù)字a、b，你認(rèn)為a可以是 （填上一個(gè)數(shù)字即可）．
【答案】1/8
【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律，理解題意是解題的關(guān)鍵．由于兩個(gè)中心圓圈有6根連線，數(shù)字1至8，共有8個(gè)數(shù)字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一個(gè)數(shù)字填在中心位置，那么與其相鄰的2個(gè)數(shù)字均不能出現(xiàn)在與中心圓圈相連的6個(gè)圓圈中，否則不滿足任意兩個(gè)有線段相連的圓圈內(nèi)的數(shù)字之差的絕對值不等于1，故只剩下5個(gè)數(shù)字可選，不滿足6個(gè)空的圓圈需要填入，故中心圓圈只能是1或者8．
【詳解】解： 兩個(gè)中心圓圈分別有6根連線，數(shù)字1至8，共有8個(gè)數(shù)字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一個(gè)數(shù)字填在中心位置，那么與其相鄰的2個(gè)數(shù)字均不能出現(xiàn)在與中心圓圈相連的6個(gè)圓圈中，故只剩下5個(gè)數(shù)字可選，不滿足6個(gè)空的圓圈需要填入．
位于兩個(gè)中心圓圈的數(shù)字a、b，只可能是1或者8．
故答案為：1（或8）．
21．（2024·四川成都·中考真題）在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)學(xué)興趣小組對這個(gè)自然數(shù)中，任取兩數(shù)之和大于的取法種數(shù)進(jìn)行了探究．發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，只有一種取法，即；當(dāng)時(shí)，有和兩種取法，即；當(dāng)時(shí)，可得；……．若，則的值為 ；若，則的值為 ．
【答案】 9 144
【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究，理解題意，能夠從特殊到一般，得到當(dāng)n為偶數(shù)或奇數(shù)時(shí)的不同取法是解答的關(guān)鍵．先根據(jù)前幾個(gè)n值所對應(yīng)k值，找到變化規(guī)律求解即可．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，只有一種取法，則；
當(dāng)時(shí)，有和兩種取法，則；
當(dāng)時(shí)，有，，，四種取法，則；
故當(dāng)時(shí)，有，，，，，六種取法，則；
當(dāng)時(shí)，有，，，，，，，，九種取法，則；
依次類推，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，，
故答案為：9，144．
22．（2024·四川廣安·中考真題）已知，直線與軸相交于點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)作軸的平行線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形，等邊三角形，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】直線直線可知，點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，由于是等邊三角形，可得點(diǎn)，把代入直線解析式即可求得的橫坐標(biāo)，可得，由于是等邊三角形，可得點(diǎn)；同理，，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可得解，準(zhǔn)確發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)與字母的序號之間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵直線l：與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
過，，作軸交x軸于點(diǎn)M，軸交于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)N，

∵為等邊三角形，
∴
∴，
∴
∴，
當(dāng)時(shí)，，解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，解得：，
∴；
而，
同理可得：的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)，特殊圖形點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，掌握探究的方法是解本題的關(guān)鍵.
三、解答題
23．（2024·四川涼山·中考真題）閱讀下面材料，并解決相關(guān)問題：
下圖是一個(gè)三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)……第行有個(gè)點(diǎn)……
容易發(fā)現(xiàn)，三角點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)之和為10．
(1)探索：三角點(diǎn)陣中前8行的點(diǎn)數(shù)之和為_____，前15行的點(diǎn)數(shù)之和為______，那么，前行的點(diǎn)數(shù)之和為______
(2)體驗(yàn)：三角點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)之和______（填“能”或“不能”）為500．
(3)運(yùn)用：某廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多少排？
【答案】(1)36；120；
(2)不能
(3)一共能擺放20排．
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)圖形，總結(jié)規(guī)律，列式計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)前n行的點(diǎn)數(shù)和是500，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可判斷；
（2）先得到前n行的點(diǎn)數(shù)和是，再根據(jù)題意得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．
【詳解】（1）解：三角點(diǎn)陣中前8行的點(diǎn)數(shù)之和為，
前15行的點(diǎn)數(shù)之和為，
那么，前行的點(diǎn)數(shù)之和為；
故答案為：36；120；；
（2）解：不能，
理由如下：
由題意得，
得，
，
∴此方程無正整數(shù)解，
所以三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和不能是500；
故答案為：不能；
（3）解：同理，前行的點(diǎn)數(shù)之和為，
由題意得，
得，即，
解得或（舍去），
∴一共能擺放20排．
24．（2024·江蘇鹽城·中考真題）發(fā)現(xiàn)問題
小明買菠蘿時(shí)發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．
提出問題
銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)道理呢？
分析問題
某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以看成點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)表示不同的籽．該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯(cuò)規(guī)律排列，每行有n個(gè)籽，每列有k個(gè)籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數(shù)，，），如圖1所示．
小明設(shè)計(jì)了如下三種鏟籽方案．
方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總長為________；
方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為________；
方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長．
解決問題
在三個(gè)方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進(jìn)行評價(jià)．
【答案】分析問題：方案1：；；；方案2：；方案3：；解決問題：方案3路徑最短，理由見解析
【分析】分析問題：方案1：根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求解；方案2：根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求解；方案3：根據(jù)圖得出斜著鏟每兩個(gè)點(diǎn)之間的距離為，根據(jù)題意得一共有列，行，斜著鏟相當(dāng)于有n條線段長，同時(shí)有個(gè)，即可得出總路徑長；
解決問題：利用作差法比較三種方案即可．
題目主要考查列代數(shù)式，整式的加減運(yùn)算，二次根式的應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：方案1：根據(jù)題意每行有n個(gè)籽，行上相鄰兩籽的間距為d，
∴每行鏟的路徑長為，
∵每列有k個(gè)籽，呈交錯(cuò)規(guī)律排列，
∴相當(dāng)于有行，
∴鏟除全部籽的路徑總長為，
故答案為：；；；
方案2：根據(jù)題意每列有k個(gè)籽，列上相鄰兩籽的間距為d，
∴每列鏟的路徑長為，
∵每行有n個(gè)籽，呈交錯(cuò)規(guī)律排列，，
∴相當(dāng)于有列，
∴鏟除全部籽的路徑總長為，
故答案為：；
方案3：由圖得斜著鏟每兩個(gè)點(diǎn)之間的距離為，
根據(jù)題意得一共有列，行，
斜著鏟相當(dāng)于有n條線段長，同時(shí)有個(gè)，
∴鏟除全部籽的路徑總長為：；
解決問題
由上得：，
∴方案1的路徑總長大于方案2的路徑總長；
，
∵，
當(dāng)時(shí)，
，
，
∴方案3鏟籽路徑總長最短，銷售員的操作方法是選擇最短的路徑，減少對菠蘿的損耗．
例：“和點(diǎn)”按上述規(guī)則連續(xù)平移3次后，到達(dá)點(diǎn)，其平移過程如下：

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