一、單選題
1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，矩形中，為其對(duì)角線，一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，沿著的路徑行進(jìn)，過點(diǎn)作，垂足為．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為，為，與的函數(shù)圖象如圖2，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出信息是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)函數(shù)的圖象與坐標(biāo)的關(guān)系確定的長(zhǎng)，再根據(jù)矩形性質(zhì)及勾股定理列方程求解．
【詳解】解：由圖象得：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)P在邊上，
設(shè)此時(shí)，則，，
在中，，
即：，
解得：，
，
故選：B．
2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在等腰中，，，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，分別沿射線和射線的方向勻速運(yùn)動(dòng)，且速度大小相同，當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，以為邊向下做正方形，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程為，正方形和等腰重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查動(dòng)態(tài)問題與函數(shù)圖象，能夠明確y與x分別表示的意義，并找到幾何圖形與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，以及對(duì)應(yīng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意并結(jié)合選項(xiàng)分析當(dāng)與重合時(shí)，及當(dāng)時(shí)圖象的走勢(shì)，和當(dāng)時(shí)圖象的走勢(shì)即可得到答案．
【詳解】解：當(dāng)與重合時(shí)，設(shè)，由題可得：
∴，，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴圖象為開口向上的拋物線的一部分，
當(dāng)在下方時(shí)，設(shè)，由題可得：
∴，，
∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴圖象為開口向下的拋物線的一部分，
綜上所述：A正確，
故選：A．
3．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，與交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，G是邊上的點(diǎn)，，則的最小值是（ ）

A．4B．5C．8D．10
【答案】B
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，先證明得到，進(jìn)而得到，則由直角三角形的性質(zhì)可得，如圖所示，在延長(zhǎng)線上截取，連接，易證明，則，可得當(dāng)H、D、F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值即為的長(zhǎng)的一半，求出，在中，由勾股定理得，責(zé)任的最小值為5．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，
∴；
如圖所示，在延長(zhǎng)線上截取，連接，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)H、D、F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值即為的長(zhǎng)的一半，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值為5，
故選：B．
4．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，動(dòng)點(diǎn)P從菱形的點(diǎn)A出發(fā)，沿邊勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，的長(zhǎng)為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【分析】結(jié)合圖象，得到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，，根據(jù)菱形的性質(zhì)，得，繼而得到，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為，解得即可．
本題考查了菱形的性質(zhì)，圖象信息題，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】結(jié)合圖象，得到當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，，
根據(jù)菱形的性質(zhì)，得，
故，
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為，
故選C．
5．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)A作于點(diǎn)P．設(shè)，，則y與x之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)求解x、y的關(guān)系式是解答的關(guān)鍵．過D作，交延長(zhǎng)線于H，則，根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到，，，進(jìn)而利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，證明得到，然后代值整理即可求解．
【詳解】解：如圖，過D作，交延長(zhǎng)線于H，則，
∵在菱形中，，，
∴，，，
∴，，
在中，，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故選：C．
二、填空題
6．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知兩條平行線、，點(diǎn)A是上的定點(diǎn)，于點(diǎn)B，點(diǎn)C、D分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，連接交線段于點(diǎn)E，于點(diǎn)H，則當(dāng)最大時(shí)，的值為 ．
【答案】
【分析】證明，得出，根據(jù)，得出，說明點(diǎn)H在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取線段的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，為半徑畫圓，則點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，說明當(dāng)與相切時(shí)最大，得出，根據(jù)，利用，即可求出結(jié)果．
【詳解】解：∵兩條平行線、，點(diǎn)A是上的定點(diǎn)，于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)B為定點(diǎn)，的長(zhǎng)度為定值，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴點(diǎn)H在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
如圖，取線段的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，為半徑畫圓，
則點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)與相切時(shí)最大，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡．
7．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】如圖，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，則，，，當(dāng)重合時(shí)，最小，最小值為，再進(jìn)一步結(jié)合勾股定理求解即可.
【詳解】解：如圖，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，則，，，
∴當(dāng)重合時(shí)，最小，最小值為，
∵，，在中，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，求最小值問題，正確理解各性質(zhì)及掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
8．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，的圓心為，半徑為，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為
【答案】
【分析】記直線與x，y軸分別交于點(diǎn)A，K，連接；由直線解析式可求得點(diǎn)A、K的坐標(biāo)，從而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，則當(dāng)最小時(shí)，最小，點(diǎn)P與點(diǎn)K重合，此時(shí)最小值為，由勾股定理求得的最小值，從而求得結(jié)果．
【詳解】解：記直線與x，y軸分別交于點(diǎn)A，K，連接，
當(dāng)，，當(dāng)，即，
解得：，
即；
而，
∴，
∴均是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵與相切，
∴，
∴，
∵，
∴當(dāng)最小時(shí)即最小，
∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，
即點(diǎn)P與點(diǎn)K重合，此時(shí)最小值為，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，垂線段最短，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
9．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知，點(diǎn)為內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)為射線、點(diǎn)為射線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，則 ．
【答案】/度
【分析】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；作點(diǎn)P關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)．連接．則當(dāng)，是與，的交點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)最短，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：作關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)．連接．則當(dāng)，是與，的交點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)最短，連接，
關(guān)于對(duì)稱，
∴，
同理，，，
，，
是等腰三角形．
，
故答案為：．
10．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，過點(diǎn)作軸的垂線，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值為 ．
【答案】5
【分析】本題考查軸對(duì)稱—最短問題以及勾股定理和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)．先取點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連交直線于點(diǎn)C，連，得到，，再由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為，再利用勾股定理求即可．
【詳解】解：取點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連交直線于點(diǎn)C，連，
則可知，，
∴，
即當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為，
∵直線垂直于y軸，
∴軸，
∵，，
∴，
∴在中，
，
故答案為：5
11．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在中，，，是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為 ．

【答案】
【分析】在取點(diǎn)F，使，連接，，過點(diǎn)F作于H，利用三角形內(nèi)心的定義可得出，利用證明，得出，則，當(dāng)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，利用含的直角三角形的性質(zhì)求出，利用勾股定理求出，即可．
【詳解】解：在取點(diǎn)F，使，連接，，過點(diǎn)F作于H，

∵I是的內(nèi)心，
∴平分，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)心，全等三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形和含的直角三角形是解題的關(guān)鍵．
12．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，在中，，，．E為邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折得，連接，，則面積的最小值為 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，，由折疊性質(zhì)得到，進(jìn)而得到點(diǎn)在以E為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，過E作交延長(zhǎng)線于M，交圓E于，此時(shí)到邊的距離最短，最小值為的長(zhǎng)，即此時(shí)面積的最小，過C作于N，根據(jù)平行線間的距離處處相等得到，故只需利用銳角三角函數(shù)求得即可求解．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，，則，
∵E為邊的中點(diǎn)，
∴，
∵沿翻折得，
∴，
∴點(diǎn)在以E為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，過E作交延長(zhǎng)線于M，交圓E于，此時(shí)到邊的距離最短，最小值為的長(zhǎng)，即面積的最小，
過C作于N，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴面積的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)的填空壓軸題，得到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線是解答的關(guān)鍵．
13．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，M、N是邊、上的動(dòng)點(diǎn)．若，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，再證明，從而得到，再設(shè)設(shè)，，得到，利用勾股定理得到，即，整理得到，從而利用完全平方公式得到，從而得解．
【詳解】解：∵正方形的邊長(zhǎng)為1，
∴，，
將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，
∴，，，，
∴點(diǎn)P、B、M、C共線，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，，則，，
∴，
∵，
∴，即，
整理得：，
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，也即時(shí)，取最小值，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的運(yùn)算，完全平方公式等知識(shí)，證明和得到是解題的關(guān)鍵．
14．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，在平行四邊形中，，E、F分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，則 ．

【答案】
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．延長(zhǎng)，截取，連接，，證明，得出，說明當(dāng)最小時(shí)，最小，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出當(dāng)A、E、G三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出結(jié)果即可．
【詳解】解：延長(zhǎng)，截取，連接，，如圖所示：

∵四邊形為平行四邊形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)最小時(shí)，最小，
∵兩點(diǎn)之間線段最短，
∴當(dāng)A、E、G三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，且最小值為的長(zhǎng)，

∵，
∴，
∴，即，
解得．
故答案為：．
三、解答題
15．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，中，，，，，反比例函數(shù)的圖象與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)E．

(1)求m，k的值；
(2)點(diǎn)P為反比例函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P在D，E之間運(yùn)動(dòng)，不與D，E重合），過點(diǎn)P作，交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)N，連接，求面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)，
(2)最大值是，此時(shí)
【分析】本題考查了二次函數(shù)，反比例函數(shù)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：
（1）先求出B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)表達(dá)式，把D的坐標(biāo)代入直線的函數(shù)表達(dá)式求出m，再把D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式求出k即可；
（2）延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)L．利用等腰三角形的判定與性質(zhì)可得出，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，則可求出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解： ，，
．
又，
．
，
點(diǎn)．
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，
將，代入，得，
解得，
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為．
將點(diǎn)代入，得．
．
將代入，得．
（2）解：延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)L．
，，
．
軸，
，．
，
，
，
．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，則，．
．
．
當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)．
16．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
(2)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的面積為21，求點(diǎn)P坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)Q在反比例函數(shù)位于第四象限的圖象上，的面積為21，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)，
(2)點(diǎn)P坐標(biāo)為或；
(3)Q點(diǎn)坐標(biāo)為或
【分析】（1）先求出，再代入，得出，再運(yùn)用待定系數(shù)法解一次函數(shù)的解析式，即可作答．
（2）先得出直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)求不規(guī)則面積運(yùn)用割補(bǔ)法列式化簡(jiǎn)得，解出，即可作答．
（3）要進(jìn)行分類討論，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右邊時(shí)和點(diǎn)在點(diǎn)的左邊時(shí)，根據(jù)求不規(guī)則面積運(yùn)用割補(bǔ)法列式，其中運(yùn)用公式法解方程，注意計(jì)算問題，即可作答．
【詳解】（1）解：依題意把代入，得出
解得
把代入中，得出
∴
則把和分別代入
得出
解得
∴；
（2）解：記直線與直線的交點(diǎn)為
∵
∴當(dāng)時(shí)，則
∴
∵P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)，
∵的面積為21，
∴
即
∴
解得或
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為或；
（3）解：由（1）得出
∵點(diǎn)Q在反比例函數(shù)位于第四象限的圖象上，
∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
如圖：點(diǎn)在點(diǎn)的右邊時(shí)
∵的面積為21，和
∴
整理得
解得（負(fù)值已舍去）
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為
如圖：點(diǎn)在點(diǎn)的左邊時(shí)
∵的面積為21，和
∴
整理得
解得，符合題意，，不符合題意，
則，故
綜上：Q點(diǎn)坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，幾何綜合，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，割補(bǔ)法求面積，公式法解方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
17．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線對(duì)稱．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是，求t的值；
(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線交直線于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在點(diǎn)以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，邊長(zhǎng)為或2
【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）分和，兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的增減性進(jìn)行求解即可．
（3）分為菱形的邊和菱形的對(duì)角線兩種情況進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線對(duì)稱，
∴，解得：，
∴；
（2）∵拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線，
∴拋物線上點(diǎn)到對(duì)稱軸上的距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，
∵時(shí)，，
①當(dāng)時(shí)，則：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即：，
解得：或，均不符合題意，舍去；
②當(dāng)時(shí)，則：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即：，
解得：；
故；
（3）存在；
當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，，
∴，，
設(shè)直線的解析式為，把代入，得：，
∴，
設(shè)，則：，
∴，，，
當(dāng)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，分兩種情況：
①當(dāng)為邊時(shí)，則：，即，
解得：（舍去）或，
此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為；
②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，則：，即：，
解得：或（舍去）
此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為：；
綜上：存在以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，邊長(zhǎng)為或2．
18．（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線，分別交拋物線于點(diǎn)，，設(shè)面積為，面積為，求的值；
(3)如圖，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（不與對(duì)稱軸重合）與拋物線交于點(diǎn)，，過拋物線頂點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)．求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；
（）設(shè)，直線為，求出，直線為，求出，聯(lián)立方程組得，，再根據(jù)，即可求解；
（）設(shè)直線為，由得，得，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物，得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則有，過點(diǎn)作于F，則，則，，根據(jù)勾股定理得，即可求出最小值．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，，
，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）設(shè)，直線為，據(jù)題意得，
，解得，
∴，
聯(lián)立得，
解得或，
∴，
設(shè)，直線為，據(jù)題意得，
，解得，
∴，
聯(lián)立得，
解得或，
∴，
，
，
∴；
（3）設(shè)直線為，由得，
∴，
∴，
設(shè)，，
聯(lián)立直線與拋物線，
得，
，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，
作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，

由題意得直線，則，
∴，
過點(diǎn)作于F，則．
則，，
在中，
，
即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
故的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解一元二次方程，根的判別式，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
19．（2024·吉林·中考真題）如圖，在中，，，，是的角平分線．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以的速度沿折線向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)Q，以為邊作等邊三角形，且點(diǎn)C，E在同側(cè)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，與重合部分圖形的面積為．

(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷的形狀（不必證明），并直接寫出的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．
(2)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求t的值．
(3)求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍．
【答案】(1)等腰三角形，
(2)
(3)
【分析】（1）過點(diǎn)Q作于點(diǎn)H，根據(jù)“平行線+角平分線”即可得到，由，得到，解得到；
（2）由為等邊三角形得到，而，則，故，解得；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)E在上，重合部分為，過點(diǎn)P作于點(diǎn)G，，則，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上時(shí)，記與交于點(diǎn)F，此時(shí)重合部分為四邊形，此時(shí)，因此，故可得，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P在上，重合部分為， 此時(shí)，，解直角三角形得，故，此時(shí)，再綜上即可求解．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)Q作于點(diǎn)H，由題意得：

∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴為等腰三角形，
∵，
∴，
∴在中，；
（2）解：如圖，

∵為等邊三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
即，
∴；
（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)E在上，重合部分為，過點(diǎn)P作于點(diǎn)G，

∵，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
由（2）知當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，，
∴；
當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上時(shí)，記與交于點(diǎn)F，此時(shí)重合部分為四邊形，如圖，

∵是等邊三角形，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，在中，，
∴，
∴；
當(dāng)點(diǎn)P在上，重合部分為，如圖，

∵，
由上知，
∴，
∴此時(shí)，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，，
解得：，
∴，
綜上所述：．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．
20．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)時(shí)，求的函數(shù)值的取值范圍；
(3)將拋物線的頂點(diǎn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)的最小值為：
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式即可；
（2）求解的對(duì)稱軸為直線，而，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
（3）求解，，可得，求解直線為，及，證明在直線上，如圖，過作于，連接，過作于，可得，，證明，可得，可得，再進(jìn)一步求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：∵的對(duì)稱軸為直線，而，
∴函數(shù)最小值為：，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴函數(shù)值的范圍為：；
（3）解：∵，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
當(dāng)時(shí)，
解得：，，
∴，
∴，
設(shè)直線為，
∴，
∴，
∴直線為，
∵拋物線的頂點(diǎn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，而頂點(diǎn)為，
∴，
∴在直線上，
如圖，過作于，連接，過作于，
∵，，
∴，，
∵對(duì)稱軸與軸平行，
∴，
∴，
∴，
由拋物線的對(duì)稱性可得：，，
∴，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
∴，
∴，
∴，
即的最小值為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解線段和的最小值，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，做出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
21．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形的邊在x軸上，點(diǎn)A在第一象限，的長(zhǎng)度是一元二次方程的根，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（），的面積為S．
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
(3)在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為
(2)
(3)存在，，，，
【分析】（1）運(yùn)用因式分解法解方程求出的長(zhǎng)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，過點(diǎn)A作軸，垂足為C，求出的長(zhǎng)即可；
（2）分，和三種情況，運(yùn)用三角形面積公式求解即可；
（3）當(dāng)時(shí)求出，得，分為邊和對(duì)角線兩種情況可得點(diǎn)N的坐標(biāo)；當(dāng)和時(shí)不存在以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形
【詳解】（1）解：，解得，
的長(zhǎng)度是的根，
∵是等邊三角形，
∴，
過點(diǎn)A作軸，垂足為C，
在中，
∴
，
∴
點(diǎn)A的坐標(biāo)為
（2）解：當(dāng)時(shí)．過P作軸，垂足為點(diǎn)D，
∴，，
∴
∴，
；
當(dāng)時(shí)，過Q作，垂足為點(diǎn)E
∵
∴
又
∴，
又，
當(dāng)時(shí)，過O作，垂足為F
∴，
同理可得，，
∴；
綜上所述
（3）解：當(dāng)時(shí)，解得，
∴，
過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)G，則
∴
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
當(dāng)為邊時(shí)，將沿軸向下平移4個(gè)單位得，此時(shí)，四邊形是菱形；
將沿軸向上平移4個(gè)單位得，此時(shí)，四邊形是菱形；如圖，
作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形；
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為T，過點(diǎn)T作，交y軸于點(diǎn)M，延長(zhǎng)到,使連接,過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則
∴
∴,即，
解得，,
∴，
∴；
當(dāng)，解得，，不符合題意，此情況不存在；
當(dāng)時(shí)，解得，，不符合題意，此情況不存在；
綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，，，
【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用因式分解法解一元二次方程，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，三角形的面積，菱形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線和分類討論是解答本題的關(guān)鍵
22．（2024·江西·中考真題）綜合與實(shí)踐
如圖，在中，點(diǎn)D是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合），連接，以為直角邊在的右側(cè)構(gòu)造，，連接，．
特例感知
（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，與之間的位置關(guān)系是______，數(shù)量關(guān)系是______；
類比遷移
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想與之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想．
拓展應(yīng)用
（3）在（1）的條件下，點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱，連接，，，如圖3．已知，設(shè)，四邊形的面積為y．
①求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出y的最小值；
②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度．
【答案】（1），（2）與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；（3）①y與x的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)時(shí)，的最小值為；②當(dāng)時(shí)，為或.
【分析】（1）先證明，，，可得；再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）先證明，，結(jié)合，可得；再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）①先證明四邊形為正方形，如圖，過作于，可得，，再分情況結(jié)合勾股定理可得函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得最小值；②如圖，連接，，，證明，可得在上，且為直徑，則，過作于，過作于，求解正方形面積為,結(jié)合，再解方程可得答案.
【詳解】解：（1）∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴；
∴，，
∴，
∴，
∴與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；
（2）與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴；
∴，，
∴，
∴，
∴與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；
（3）由（1）得：，，，
∴，都為等腰直角三角形；
∵點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱，
∴為等腰直角三角形；，
∴四邊形為正方形，
如圖，過作于，
∵，，
∴，，
當(dāng)時(shí)，
∴，
∴，
如圖，當(dāng)時(shí)，
此時(shí)，
同理可得：，
∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為，
當(dāng)時(shí)，的最小值為；
②如圖，∵，正方形，記正方形的中心為，
∴，
連接，，，
∴，

∴在上，且為直徑，
∴，
過作于，過作于，
∴，，
∴，
∴，
∴正方形面積為,
∴，
解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意，
如圖，
綜上：當(dāng)時(shí)，為或.
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，圓的確定及圓周角定理的應(yīng)用，本題難度大，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.
23．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，過A，C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線位于第四象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點(diǎn)E，點(diǎn)F．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)D是x軸上的任意一點(diǎn)，若是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(4)在（3）的條件下，若點(diǎn)N是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為M，連接，則的最小值為______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題主要考查了求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)題意確定點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；
（2）分三種情況分別畫出圖形，然后根據(jù)等腰三角形的定義以及坐標(biāo)與圖形即可解答；
（3）先證明可得，設(shè)，則,可得，即，求得可得m的值，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）如圖：將線段向右平移單位得到,即四邊形是平行四邊形，可得,即，作關(guān)于對(duì)稱軸的點(diǎn),則，由兩點(diǎn)間的距離公式可得，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得即可解答．
【詳解】（1）解：∵直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，
∴當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；
∵，
∴設(shè)拋物線的解析式為，
把代入可得：，解得：，
∴，
∴拋物線的解析式為：．
（2）解：∵，，
∴,
∴，
如圖：當(dāng)，
∴,即；
如圖：當(dāng)，
∴,即；
如圖：當(dāng)，
∴,即；
綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
（3）解：如圖：∵軸，
∴，
∵軸，
∴，
∵，
∴,
∴,
∵設(shè)，則,
∴，
∴，解得：（負(fù)值舍去），
當(dāng)時(shí)，，
∴．
（4）解： ∵拋物線的解析式為：，
∴拋物線的對(duì)稱軸為：直線，
如圖：將線段向右平移單位得到,
∴四邊形是平行四邊形，
∴,即,
作關(guān)于對(duì)稱軸的點(diǎn),則
∴,
∵，
∴的最小值為．
故答案為．
24．（2024·四川廣元·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F：經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在直線上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C，連接交于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(3)作拋物線F關(guān)于直線上一點(diǎn)的對(duì)稱圖象，拋物線F與只有一個(gè)公共點(diǎn)E（點(diǎn)E在y軸右側(cè)），G為直線上一點(diǎn)，H為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若以B，E，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求G點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)最大值為，C的坐標(biāo)為；
(3)點(diǎn)G的坐標(biāo)為，，．
【分析】（1）本題考查了待定系數(shù)法解拋物線分析式，根據(jù)題意將點(diǎn)坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，解方程即可；
（2）根據(jù)題意證明，再設(shè)的解析式為，求出的解析式，再設(shè)，則，再表示出利用最值即可得到本題答案；
（3）根據(jù)題意求出，再分情況討論當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為邊時(shí)繼而得到本題答案．
【詳解】（1）解：，代入，
得：，解得：，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
（2）解：如圖1，過點(diǎn)C作x軸的垂線交于點(diǎn)M．
∴軸，
∴，
∴，
設(shè)的解析式為，
把，代入解析式得，
解得：，
∴．
設(shè)，則，
∴，
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值為．
∴的最大值為，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為．
（3）解：由中心對(duì)稱可知，拋物線F與的公共點(diǎn)E為直線與拋物線F的右交點(diǎn)，
∴，
∴（舍），，
∴．
∵拋物線F：的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線．
如圖2，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由題知，
∴，
∴．
如圖3，當(dāng)為邊時(shí)，由題知，
∴，
∴．
如圖4，由題知，
∴，
∴，
綜上：點(diǎn)G的坐標(biāo)為，，．
25．（2024·天津·中考真題）將一個(gè)平行四邊形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，且．
(1)填空：如圖①，點(diǎn)的坐標(biāo)為______，點(diǎn)的坐標(biāo)為______；
(2)若為軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，沿直線折疊該紙片，折疊后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在軸的正半軸上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．設(shè)．
①如圖②，若直線與邊相交于點(diǎn)，當(dāng)折疊后四邊形與重疊部分為五邊形時(shí)，與相交于點(diǎn)．試用含有的式子表示線段的長(zhǎng)，并直接寫出的取值范圍；
②設(shè)折疊后重疊部分的面積為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出結(jié)合勾股定理，即可作答．
（2）①由折疊得，，再證明是等邊三角形，運(yùn)用線段的和差關(guān)系列式化簡(jiǎn)，，考慮當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，和當(dāng)與點(diǎn)B重合時(shí)，分別作圖，得出的取值范圍，即可作答．
②根據(jù)①的結(jié)論，根據(jù)解直角三角形的性質(zhì)得出，再分別以時(shí)，時(shí)，，分別作圖，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思路列式計(jì)算，即可作答．
【詳解】（1）解：如圖：過點(diǎn)C作
∵四邊形是平行四邊形，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案為：，
（2）解：①∵過點(diǎn)作直線軸，沿直線折疊該紙片，折疊后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在軸的正半軸上，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
∴是等邊三角形
∴
∵
∴
∴；
當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，
此時(shí)與的交點(diǎn)為E與A重合，
如圖：當(dāng)與點(diǎn)B重合時(shí)，
此時(shí)與的交點(diǎn)為E與B重合，
∴的取值范圍為；
②如圖：過點(diǎn)C作
由（1）得出，
∴，
∴
當(dāng)時(shí)，
∴，開口向上，對(duì)稱軸直線
∴在時(shí)，隨著的增大而增大
∴；
當(dāng)時(shí)，如圖：
∴，隨著的增大而增大
∴在時(shí)；在時(shí)；
∴當(dāng)時(shí)，
∵當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)E作，如圖：
∵由①得出是等邊三角形，
∴，
∴，
∴
∵
∴開口向下，在時(shí)，有最大值
∴
∴在時(shí)，
∴
則在時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，如圖，
∴，隨著的增大而減小
∴在時(shí)，則把分別代入
得出，
∴在時(shí)，
綜上：
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
26．（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，是此二次函數(shù)的圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P在直線的上方，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，連接．若，求證的值為定值；
(3)如圖2，點(diǎn)P在第二象限，，若點(diǎn)M在直線上，且橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，求線段長(zhǎng)度的最大值．
【答案】(1)
(2)為定值3，證明見解析
(3)
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出直線的解析式，，則，，表示出，，代入即可求解；
（3）設(shè)，則，求出直線的解析式，把代入即可求出線段長(zhǎng)度的最大值．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
（2）當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
∴，．
∴，
∴的值為定值；
（3）設(shè)，則，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，
，
∴當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最大值．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與幾何綜合，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．
27．（2024·廣東·中考真題）【問題背景】
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B，D是直線上第一象限內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以線段為對(duì)角線作矩形，軸．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A．
【構(gòu)建聯(lián)系】
（1）求證：函數(shù)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)C．
（2）如圖2，把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E落在y軸上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為時(shí)，求k的值．
【深入探究】
（3）如圖3，把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E，A重合時(shí)，連接交于點(diǎn)P．以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑作．若，當(dāng)與的邊有交點(diǎn)時(shí)，求k的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）
【分析】（1）設(shè)，則，用含的代數(shù)式表示出，再代入驗(yàn)證即可得解；
（2）先由點(diǎn)B的坐標(biāo)和k表示出，再由折疊性質(zhì)得出，如圖，過點(diǎn)D作軸，過點(diǎn)B作軸，證出，由比值關(guān)系可求出，最后由即可得解；
（3）當(dāng)過點(diǎn)B時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)D作軸交y軸于點(diǎn)H，求出k的值，當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)，根 據(jù)A，C關(guān)于直線對(duì)軸知，必過點(diǎn)C，如圖所示，連，，過點(diǎn)D作軸交y軸于點(diǎn)H，求出k的值，進(jìn)而即可求出k的取值范圍．
【詳解】（1）設(shè)，則，
∵軸，
∴D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
∴將代入中得：得，
∴，
∴，
∴，
∴將代入中得出，
∴函數(shù)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)C；
（2）∵點(diǎn)在直線上，
∴，
∴，
∴A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，
∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，C，
∴，，
∴，
∴，
∵把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，
∴，，
∴，
如圖，過點(diǎn)D作軸，過點(diǎn)B作軸，
∵軸，
∴H，A，D三點(diǎn)共線，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴，，
∴，
由圖知，，
∴，
∴；
（3）∵把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，當(dāng)點(diǎn)E，A重合，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴四邊形為正方形，，
∴，，，
∵軸，
∴直線為一，三象限的夾角平分線，
∴，
當(dāng)過點(diǎn)B時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)D作軸交y軸于點(diǎn)H，
∵軸，
∴H，A，D三點(diǎn)共線，
∵以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑作，，
∴，
∴，
∴，，，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)，根 據(jù)A，C關(guān)于直線對(duì)軸知，必過點(diǎn)C，如圖所示，連，，過點(diǎn)D作軸交y軸于點(diǎn)H，
∵,
∴為等邊三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵軸，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴,
∴當(dāng)與的邊有交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，圓的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握其性質(zhì)，合理作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．
28．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)上方的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)或；
(3)或或或
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；
（2）先求得的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，進(jìn)而根據(jù)得出，連接，設(shè)交軸于點(diǎn)，則得出是等腰直角三角形，進(jìn)而得出，則點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)符合題意，，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，得出直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，即可求解；
（3）勾股定理求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論解方程，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，
∴
解得：
∴拋物線的解析式為；
（2）由，當(dāng)時(shí)，，則
∵，則，對(duì)稱軸為直線
設(shè)直線的解析式為，代入，
∴
解得：
∴直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，則
∴
∴
∴是等腰三角形，
∴
連接，設(shè)交軸于點(diǎn)，則
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又
∴
∴
∴點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)符合題意，
如圖所示，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，將代入得，
解得：
∴直線的解析式為
聯(lián)立
解得：，
∴
綜上所述，或；
（3）解：∵，，
∴
∵點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)上方的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其中
∴，
①當(dāng)時(shí)，，解得：或
②當(dāng)時(shí)，，解得：
③當(dāng)時(shí)，，解得：或（舍去）
綜上所述，或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
29．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)．經(jīng)過點(diǎn)的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
①為何值時(shí)線段的長(zhǎng)度最大，并求出最大值；
②是否存在點(diǎn)，使得與相似．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，
(2)①當(dāng)時(shí)，有最大值為；②當(dāng)P的坐標(biāo)為或時(shí)，與相似
【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)P、D的坐標(biāo)求出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
②先利用等邊對(duì)等角，平行線的判定與性質(zhì)等求出，然后分，兩種情況討論過，利用相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等求解即可．
【詳解】（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為，
設(shè)直線解析式為，
則，
解得，
∴直線解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴；
（2）解：①設(shè)，則，
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值為；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又軸，
∴軸，
∴，
當(dāng)時(shí)，如圖，
∴，
∴軸，
∴P的縱坐標(biāo)為3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，如圖，過B作于F，
則，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐標(biāo)為
綜上，當(dāng)P的坐標(biāo)為或時(shí)，與相似．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，明確題意，添加合適輔助線，合理分類討論是解題的關(guān)鍵．
30．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．
(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄渴欠裼凶畲笾?？若有最大值，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有最大值，請(qǐng)說明理由．
(3)點(diǎn)為該拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)的最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】（1）直接利用拋物線的交點(diǎn)式可得拋物線的解析式；
（2）先求解，及直線為，設(shè)，可得，再建立二次函數(shù)求解即可；
（3）如圖，以為對(duì)角線作正方形，可得，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)即為，如圖，過作軸的平行線交軸于，過作于，則，設(shè)，則，求解，進(jìn)一步求解直線為：，直線為，再求解函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．
∴；
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
∴，
設(shè)直線為，
∴，解得：，
∴直線為，
設(shè)，
∴，
∴
；
當(dāng)時(shí)，有最大值；
此時(shí)；
（3）解：如圖，以為對(duì)角線作正方形，
∴，
∴與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)即為，
如圖，過作軸的平行線交軸于，過作于，則，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
設(shè)，則，
∴,
∴，
由可得：
∴，
解得：，
∴，
設(shè)為：，
∴，解得：，
∴直線為：，
∴，
解得：或，
∴，
∵，，，正方形，
∴，
同理可得：直線為，
∴，
解得：或，
∴，
綜上：點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，拋物線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.
31．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，，對(duì)稱軸為直線，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到新拋物線，拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸為直線．
(1)分別求拋物線和的表達(dá)式；
(2)如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作軸與直線交于點(diǎn)，連接，．求的最小值；
(3)如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，試探究是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）先求出點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式，求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，由旋轉(zhuǎn)可知拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為原來的相反數(shù)，頂點(diǎn)坐標(biāo)與拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可求解；
（2）將點(diǎn)F向右平移2個(gè)單位至，則，，過點(diǎn)D作直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，則四邊形為平行四邊形，則，，因此，即可求解；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線右側(cè)拋物線上時(shí)，可得，作H關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上，可求直線的表達(dá)式為，聯(lián)立， 解得：或（舍），故；當(dāng)點(diǎn)P在直線左側(cè)拋物線上時(shí)，延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N，作的垂直平分線交于點(diǎn)Q，交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)K，則，可得，可證明出，由，得，設(shè)，則，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直線表達(dá)式為：，聯(lián)立，解得：或（舍），故．
【詳解】（1）解：設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)G，
由題意得，
∵對(duì)稱軸為直線，
∴，
∴，
∴，
將A、B、C分別代入，
得：，
解得：，
∴，
∴，頂點(diǎn)為
∵拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到新拋物線，
∴拋物線的，頂點(diǎn)為，
∴的表達(dá)式為：，即
（2）解：將點(diǎn)F向右平移2個(gè)單位至，則，，過點(diǎn)D作直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，
∴，
∵，
∴直線為直線，
∵軸，
∴，
對(duì)于拋物線，令，則，
∴，
∵點(diǎn)D與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
∴點(diǎn)，
∵軸，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，
而，
∴的最小值為；
（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在直線右側(cè)拋物線上時(shí)，如圖：
∵拋物線，
∴
∵軸，
∴，
∵，
∴，
∴，
作H關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上，
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線：，
∴，
設(shè)直線的表達(dá)式為：，
代入，,
得：，
解得：，
∴直線的表達(dá)式為，
聯(lián)立，得：，
解得：或（舍），
∴；
②當(dāng)點(diǎn)P在直線左側(cè)拋物線上時(shí)，延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N，作的垂直平分線交于點(diǎn)Q，交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)K，則，如圖：
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
由點(diǎn)
得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，
∴，，
在和中，由勾股定理得，
∴，
解得：或（舍）
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線表達(dá)式為：，
代入點(diǎn)N，E，
得：，
解得：
∴直線表達(dá)式為：，
聯(lián)立，
得：，
整理得：
解得：或（舍），
∴，
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】本題是一道二次函數(shù)與角度有關(guān)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形三邊關(guān)系求最值，平行四邊形的判定與性質(zhì)，中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．
32．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，拋物線交x軸于O，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為．點(diǎn)C為的中點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)過點(diǎn)C作，垂足為H，交拋物線于點(diǎn)E．求線段的長(zhǎng)．
(3)點(diǎn)D為線段上一動(dòng)點(diǎn)（O點(diǎn)除外），在右側(cè)作平行四邊形．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②如圖3，連接，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)①②
【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)為．設(shè)拋物線，把代入解析式，計(jì)算求解即可；
（2）根據(jù)頂點(diǎn)為．點(diǎn)C為的中點(diǎn)，得到，當(dāng)時(shí)，，得到．結(jié)合，垂足為H，得到的長(zhǎng)．
（3）①根據(jù)題意，得，結(jié)合四邊形是平行四邊形，設(shè)，結(jié)合點(diǎn)F落在拋物線上，得到，解得即可；
②過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)N，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)G，過點(diǎn)G作軸于點(diǎn)H，連接，，，利用平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形判定和性質(zhì)，計(jì)算解答即可．
【詳解】（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
設(shè)拋物線，
把代入解析式，得，
解得，
∴．
（2）∵頂點(diǎn)為．點(diǎn)C為的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴軸，
∴E的橫坐標(biāo)為1，
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，
∴．
∴．
（3）①根據(jù)題意，得，
∵四邊形是平行四邊形，
∴點(diǎn)C，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)相同，
設(shè)，
∵點(diǎn)F落在拋物線上，
∴，
解得，(舍去)；
故．
②過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)N，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)G，過點(diǎn)G作軸于點(diǎn)H，連接，，，
則四邊形是矩形，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
故當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，
∵，
∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是，
延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故的最小值是．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求線段和的最小值，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
33．（2024·重慶·中考真題）在中，，，過點(diǎn)作．
(1)如圖1，若點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：；
(2)如圖2，若點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．過點(diǎn)作交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，求證：；
(3)若點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且．點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)取得最小值時(shí)，在平面內(nèi)將沿直線翻折得到，連接．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，直接寫出的最大值．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）證明得到，再由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得到，即可證明；
（2）如圖所示，過點(diǎn)G作于H，連接，先證明，得到，，再證明是等腰直角三角形，得到；由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得，則，進(jìn)而可證明，則；設(shè)，則，可得由角平分線的定義可得，則可證明，進(jìn)而證明，得到，即可證明；
（3）如圖所示，過點(diǎn)D作交延長(zhǎng)線與H，連接，則四邊形是矩形，可得，證明是等邊三角形，得到，進(jìn)而得到，；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，證明，得到，則點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線交于K，則，可得，由垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，則，設(shè)，則，則，；再求出，則，，由勾股定理得；由全等三角形的性質(zhì)可得，則；由折疊的性質(zhì)可得，由，得到當(dāng)點(diǎn)Q在線段上時(shí)，此時(shí)有最大值，最大值為，據(jù)此代值計(jì)算即可．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∴；
（2）證明：如圖所示，過點(diǎn)G作于H，連接，
∵，
∴，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
設(shè)，則，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如圖所示，過點(diǎn)D作交延長(zhǎng)線與H，連接，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng)，
設(shè)直線交于K，則，
∴，
由垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴，
∴；
在中，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得；
∵，
∴，
∴；
由折疊的性質(zhì)可得，
∵，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)Q在線段上時(shí)，此時(shí)有最大值，最大值為，
∴的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，垂線段最短，矩形的性質(zhì)與判定等等，解（2）的關(guān)鍵在于作出輔助線證明，得到；解（3）的關(guān)鍵在于通過手拉手模型證明點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，從而根據(jù)垂線段最短確定點(diǎn)Q的位置．

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