一、解答題
1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，過A，C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線位于第四象限圖象上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點(diǎn)E，點(diǎn)F．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)D是x軸上的任意一點(diǎn)，若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(4)在（3）的條件下，若點(diǎn)N是y軸上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，連接，則的最小值為______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題主要考查了求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)題意確定點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；
（2）分三種情況分別畫出圖形，然后根據(jù)等腰三角形的定義以及坐標(biāo)與圖形即可解答；
（3）先證明可得，設(shè)，則,可得，即，求得可得m的值，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）如圖：將線段向右平移單位得到,即四邊形是平行四邊形，可得,即，作關(guān)于對稱軸的點(diǎn),則，由兩點(diǎn)間的距離公式可得，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得即可解答．
【詳解】（1）解：∵直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，
∴當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；
∵，
∴設(shè)拋物線的解析式為，
把代入可得：，解得：，
∴，
∴拋物線的解析式為：．
（2）解：∵，，
∴,
∴，
如圖：當(dāng)，
∴,即；
如圖：當(dāng)，
∴,即；
如圖：當(dāng)，
∴,即；
綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
（3）解：如圖：∵軸，
∴，
∵軸，
∴，
∵，
∴,
∴,
∵設(shè)，則,
∴，
∴，解得：（負(fù)值舍去），
當(dāng)時(shí)，，
∴．
（4）解： ∵拋物線的解析式為：，
∴拋物線的對稱軸為：直線，
如圖：將線段向右平移單位得到,
∴四邊形是平行四邊形，
∴,即,
作關(guān)于對稱軸的點(diǎn),則
∴,
∵，
∴的最小值為．
故答案為．
2．（2024·黑龍江綏化·中考真題）綜合與實(shí)踐
問題情境
在一次綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以兩個(gè)全等的等腰直角三角形紙片為操作對象．
紙片和滿足，．
下面是創(chuàng)新小組的探究過程．
操作發(fā)現(xiàn)
（1）如圖1，取的中點(diǎn)，將兩張紙片放置在同一平面內(nèi)，使點(diǎn)與點(diǎn)重合．當(dāng)旋轉(zhuǎn)紙片交邊于點(diǎn)、交邊于點(diǎn)時(shí)，設(shè)，，請你探究出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出解答過程．
問題解決
（2）如圖2，在（1）的條件下連接，發(fā)現(xiàn)的周長是一個(gè)定值．請你寫出這個(gè)定值，并說明理由．
拓展延伸
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動（不包括端點(diǎn)、），且始終保持．請你直接寫出紙片的斜邊與紙片的直角邊所夾銳角的正切值______（結(jié)果保留根號）．

【答案】（1），見解析；（2）2，見解析；（3）或
【分析】（1）根據(jù)題意證明，得出關(guān)系式，進(jìn)而求得，代入比例式，即可求解；
（2）方法一：勾股定理求得，將將（1）中代入得，進(jìn)而根據(jù)三角形的周長公式，即可求解；
方法二：證明，，過作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)．證明，，得出，得出，進(jìn)而根據(jù)三角形的周長公式可得的周長．
方法三：過作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，在上截取一點(diǎn)，使，連接．得出，，則，同方法二求得，進(jìn)而即可求解；
（3）分兩種情況討論，于的夾角；①過點(diǎn)作于點(diǎn)，作的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，在中，設(shè)，由勾股定理得，，進(jìn)而根據(jù)正確的定義，即可求解；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，作的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，在中，設(shè)，同①即可求解．．
【詳解】操作發(fā)現(xiàn)
解：（1）∵，且．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∵是的中點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，
∴，
∴，
∴．

問題解決
（2）方法一：
解：的周長定值為2．
理由如下：∵，，，
∴，，
在中，∴
．
將（1）中代入得：
∴．
∵，又∵，
∴，
∴．
∵的周長，
∴的周長．
方法二：
解：的周長定值為2．
理由如下：∵和是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∵O為AB的中點(diǎn)，
∴，
∴，
又∵，
∴，
，，
∴過作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)．
∴．
又∵，，
∴，，
∴，，
∴．
∵的周長．
又∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，同理點(diǎn)是的中點(diǎn)．
∴，
∴的周長．

方法三：
解：的周長定值為2．
理由如下：過作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，在上截取一點(diǎn)，使，連接．
∵是等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，
∴平分，
∴，
∴，
∴，．
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的周長．
又∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，同理點(diǎn)是的中點(diǎn)．
∴，
∴的周長．

拓展延伸
（3）或
①解：∵，，
∴，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，作的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，設(shè)，
∴，由勾股定理得，
，
∴，
∴在中，．

②解：∵，，
∴，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，作的垂直平分線交于點(diǎn)，連接．
∵，
∴，
∴，
在中，設(shè)，
∴，由勾股定理得，，
∴，
∴在中，．
∴或．

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，函數(shù)解析式，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
3．（2024·廣東深圳·中考真題）為了測量拋物線的開口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為x，y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，該數(shù)學(xué)小組選擇不同位置測量數(shù)據(jù)如下表所示，設(shè)的讀數(shù)為x，讀數(shù)為y，拋物線的頂點(diǎn)為C．
(1)（Ⅰ）列表：
（Ⅱ）描點(diǎn)：請將表格中的描在圖2中；
（Ⅲ）連線：請用平滑的曲線在圖2將上述點(diǎn)連接，并求出y與x的關(guān)系式；
(2)如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為C，該數(shù)學(xué)興趣小組用水平和豎直直尺測量其水平跨度為，豎直跨度為，且，，為了求出該拋物線的開口大小，該數(shù)學(xué)興趣小組有如下兩種方案，請選擇其中一種方案，并完善過程：
方案一：將二次函數(shù)平移，使得頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，此時(shí)拋物線解析式為．
①此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為________；
②將點(diǎn)坐標(biāo)代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）
方案二：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為
①此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為________；
②將點(diǎn)B坐標(biāo)代入中解得________；（用含m，n的式子表示）
(3)【應(yīng)用】如圖4，已知平面直角坐標(biāo)系中有A，B兩點(diǎn)，，且軸，二次函數(shù)和都經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且和的頂點(diǎn)P，Q距線段的距離之和為10，求a的值．
【答案】(1)圖見解析，；
(2)方案一：①；②；方案二：①；②；
(3)a的值為或．
【分析】（1）描點(diǎn)，連線，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)圖形寫出點(diǎn)或點(diǎn)B的坐標(biāo)，再代入求解即可；
（3）先求得，，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再求得頂點(diǎn)距線段的距離為，得到的頂點(diǎn)距線段的距離為，得到的頂點(diǎn)坐標(biāo)為或，再分類求解即可．
【詳解】（1）解：描點(diǎn)，連線，函數(shù)圖象如圖所示，
觀察圖象知，函數(shù)為二次函數(shù)，
設(shè)拋物線的解析式為，
由題意得，
解得，
∴y與x的關(guān)系式為；
（2）解：方案一：①∵，，
∴，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
故答案為：；
②由題意得，
解得，
故答案為：；
方案二：①∵C點(diǎn)坐標(biāo)為，，，
∴，
此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為；
故答案為：；
②由題意得，
解得，
故答案為：；
（3）解：根據(jù)題意和的對稱軸為，
則，，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴頂點(diǎn)距線段的距離為，
∴的頂點(diǎn)距線段的距離為，
∴的頂點(diǎn)坐標(biāo)為或，
當(dāng)?shù)捻旤c(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，，
將代入得，解得；
當(dāng)?shù)捻旤c(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，，
將代入得，解得；
綜上，a的值為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，拋物線的平移等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
4．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），頂點(diǎn)為，連接．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖1，若是軸正半軸上一點(diǎn)，連接．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求證：；
(3)如圖2，連接，將沿軸折疊，折疊后點(diǎn)落在第四象限的點(diǎn)處，過點(diǎn)的直線與線段相交于點(diǎn)，與軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，與是否相等？請說明理由．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)相等，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)為，利用求出，再將代入解析式即可求出，即可得出函數(shù)表達(dá)式；
（2）延長交x軸于點(diǎn)D，由（1）知拋物線的解析式表達(dá)式為，求出，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，進(jìn)而求出，則，利用兩點(diǎn)間距離公式求出，易證，得到，由，即可證明；
（3）過點(diǎn)作軸，交x軸于點(diǎn)G，利用拋物線解析式求出，求出，根據(jù)，易證，得到，由，即，求出，得到，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由折疊的性質(zhì)得到，求出直線的解析式為，進(jìn)而求出，得到，利用三角形面積公式求出，則，即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）解：該拋物線的頂點(diǎn)為，即該拋物線的對稱軸為，
，
，
將代入解析式，則，
，
拋物線的解析式表達(dá)式為；
（2）證明：如圖1，延長交x軸于點(diǎn)D，
由（1）知拋物線的解析式表達(dá)式為，則，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得：
直線的解析式為，則，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：過點(diǎn)作軸，交x軸于點(diǎn)G，
令，即，
解得：，
根據(jù)題意得：，
，
軸，軸，
，
，
，
，即，
，
，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
由折疊的性質(zhì)得到，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得：，
直線的解析式為，
，
，
，
，
，
，，
．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合問題，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的解析式，折疊的性質(zhì)，二次函數(shù)與三角形相似的綜合問題，二次函數(shù)與面積綜合問題，正確作出輔助線構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵．
5．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)是拋物線對稱軸上位于點(diǎn)上方的一動點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)或；
(3)或或或
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；
（2）先求得的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，進(jìn)而根據(jù)得出，連接，設(shè)交軸于點(diǎn)，則得出是等腰直角三角形，進(jìn)而得出，則點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)符合題意，，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，得出直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，即可求解；
（3）勾股定理求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論解方程，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，
∴
解得：
∴拋物線的解析式為；
（2）由，當(dāng)時(shí)，，則
∵，則，對稱軸為直線
設(shè)直線的解析式為，代入，
∴
解得：
∴直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，則
∴
∴
∴是等腰三角形，
∴
連接，設(shè)交軸于點(diǎn)，則
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又
∴
∴
∴點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)符合題意，
如圖所示，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，將代入得，
解得：
∴直線的解析式為
聯(lián)立
解得：，
∴
綜上所述，或；
（3）解：∵，，
∴
∵點(diǎn)是拋物線對稱軸上位于點(diǎn)上方的一動點(diǎn)，設(shè)其中
∴，
①當(dāng)時(shí)，，解得：或
②當(dāng)時(shí)，，解得：
③當(dāng)時(shí)，，解得：或（舍去）
綜上所述，或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線對稱．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是，求t的值；
(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線交直線于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在點(diǎn)以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，邊長為或2
【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）分和，兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的增減性進(jìn)行求解即可．
（3）分為菱形的邊和菱形的對角線兩種情況進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線對稱，
∴，解得：，
∴；
（2）∵拋物線的開口向下，對稱軸為直線，
∴拋物線上點(diǎn)到對稱軸上的距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，
∵時(shí)，，
①當(dāng)時(shí)，則：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即：，
解得：或，均不符合題意，舍去；
②當(dāng)時(shí)，則：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即：，
解得：；
故；
（3）存在；
當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，，
∴，，
設(shè)直線的解析式為，把代入，得：，
∴，
設(shè)，則：，
∴，，，
當(dāng)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，分兩種情況：
①當(dāng)為邊時(shí)，則：，即，
解得：（舍去）或，
此時(shí)菱形的邊長為；
②當(dāng)為對角線時(shí)，則：，即：，
解得：或（舍去）
此時(shí)菱形的邊長為：；
綜上：存在以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，邊長為或2．
7．（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線，分別交拋物線于點(diǎn)，，設(shè)面積為，面積為，求的值；
(3)如圖，點(diǎn)是拋物線對稱軸與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（不與對稱軸重合）與拋物線交于點(diǎn)，，過拋物線頂點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)是直線上一動點(diǎn)．求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；
（）設(shè)，直線為，求出，直線為，求出，聯(lián)立方程組得，，再根據(jù)，即可求解；
（）設(shè)直線為，由得，得，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物，得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，則有，過點(diǎn)作于F，則，則，，根據(jù)勾股定理得，即可求出最小值．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，，
，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）設(shè)，直線為，據(jù)題意得，
，解得，
∴，
聯(lián)立得，
解得或，
∴，
設(shè)，直線為，據(jù)題意得，
，解得，
∴，
聯(lián)立得，
解得或，
∴，
，
，
∴；
（3）設(shè)直線為，由得，
∴，
∴，
設(shè)，，
聯(lián)立直線與拋物線，
得，
，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，
作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，

由題意得直線，則，
∴，
過點(diǎn)作于F，則．
則，，
在中，
，
即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
故的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解一元二次方程，根的判別式，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
8．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），其頂點(diǎn)為，是拋物線第四象限上一點(diǎn)．
(1)求線段的長；
(2)當(dāng)時(shí)，若的面積與的面積相等，求的值；
(3)延長交軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，將沿方向平移得到．將拋物線平移得到拋物線，使得點(diǎn)，都落在拋物線上．試判斷拋物線與是否交于某個(gè)定點(diǎn)．若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)拋物線與交于定點(diǎn)
【分析】（1）根據(jù)題意可得，整理得，即可知則有；
（2）由題意得拋物線：，則設(shè)，可求得，結(jié)合題意可得直線解析式為，設(shè)直線與拋物線對稱軸交于點(diǎn)E，則，即可求得，進(jìn)一步解得點(diǎn)，過D作于點(diǎn)H，則，即可求得；
（3）設(shè)可求得直線解析式為，過點(diǎn)D作，可得，結(jié)合題意得設(shè)拋物線解析式為，由于過點(diǎn)，可求得拋物線解析式為，根據(jù)解得，即可判斷拋物線與交于定點(diǎn)．
【詳解】（1）解：∵拋物線：與軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴，整理得，解得
∴
則；
（2）當(dāng)時(shí)，拋物線：，
則
設(shè)，則，
設(shè)直線解析式為，
∵點(diǎn)D在直線上，
∴，解得，
則直線解析式為，
設(shè)直線與拋物線對稱軸交于點(diǎn)E，則，
∴，
∵的面積與的面積相等，
∴，解得，
∴點(diǎn)，
過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，則，
則；
（3）設(shè)直線解析式為，
則，解得，
那么直線解析式為，
過點(diǎn)D作，如圖，
則，
∵，
∴，
∵將沿方向平移得到，
∴
由題意知拋物線平移得到拋物線，設(shè)拋物線解析式為，
∵點(diǎn)，都落在拋物線上
∴，
解得，
則拋物線解析式為
∵
整理得，解得，
∴拋物線與交于定點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離、一次函數(shù)的性質(zhì)、求正切值、二次函數(shù)的平移、等腰三角形的性質(zhì)和拋物線過定點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)和平移過程中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
9．（2024·山東·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，記該二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線．
(1)求的值；
(2)若點(diǎn)在的圖像上，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長度，得到新的二次函數(shù)的圖像．當(dāng)時(shí)，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；
(3)設(shè)的圖像與軸交點(diǎn)為，．若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為；
(3)
【分析】（1）把點(diǎn)代入可得，再利用拋物線的對稱軸公式可得答案；
（2）把點(diǎn)代入，可得：，可得拋物線為，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長度，得到新的二次函數(shù)為：，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
（3）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，結(jié)合，，再建立不等式組求解即可.
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，
∴，
解得：，
∴拋物線為：，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∴；
（2）解：∵點(diǎn)在的圖像上，
∴，
解得：，
∴拋物線為，
將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長度，得到新的二次函數(shù)為：
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為
∴新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為；
（3）∵的圖像與軸交點(diǎn)為，．
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴即，
解得：.
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練的利用各知識點(diǎn)建立方程或不等式組解題是關(guān)鍵.
10．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)是否存在點(diǎn)，使得和相似？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
(3)是第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，連接，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或
(3)
【分析】（1）先求出A、B的坐標(biāo)，然后代入，求出b、c的值即可；
（2）由對頂角的性質(zhì)性質(zhì)知，若存在和相似，則有和兩種情況，然后分情況討論，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；
（3）設(shè)點(diǎn)，，，，則，，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，可求出，過點(diǎn)作于，可得，利用等角的余弦值相等得出，求出，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，解方程求出m的值即可．
【詳解】（1）解：令，則，則；令，則
∴，
把，代入，得：
解得：
∴這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：；
（2）解：存在點(diǎn)，使得和相似．
設(shè)點(diǎn)，則，，
∴，，，，
∵和相似，
∴或
①如圖1，當(dāng)時(shí)，
∴
∴點(diǎn)縱坐標(biāo)為6
∴，解得：或
∴
②如圖2，當(dāng)時(shí)，
過B作于H
∴
∴
∴
∴，解得：（舍去）或
∴
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
（3）如圖3，∵四邊形為菱形
∴，，
設(shè)點(diǎn)，，，
∴，
∴，即
∵
∴，即或
∵，
∴，
∴
過點(diǎn)作于
∴
∴
∴，即
∴
∵
∴
∴
解得：（不合題意，舍去）或
故
答：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
【點(diǎn)睛】本題是常見的中考數(shù)學(xué)壓軸題型，綜合性比較強(qiáng)，涉及到知識點(diǎn)較多；主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)；解題時(shí)要能夠靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，要會分類討論．
11．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過和．
(1)求平移后新拋物線的表達(dá)式；
(2)直線（）與新拋物線交于點(diǎn)P，與原拋物線交于點(diǎn)Q．
①如果小于3，求m的取值范圍；
②記點(diǎn)P在原拋物線上的對應(yīng)點(diǎn)為，如果四邊形有一組對邊平行，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)或；
(2)①；②．
【分析】（1）設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得答案；
（2）①如圖，設(shè)，則，，結(jié)合小于3，可得，結(jié)合，從而可得答案；②先確定平移方式為，向右平移2個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，由題意可得：在的右邊，當(dāng)時(shí)，可得，結(jié)合平移的性質(zhì)可得答案如圖，當(dāng)時(shí)，則，過作于，證明，可得，設(shè)，則，，，再建立方程求解即可.
【詳解】（1）解：設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，
把和代入可得：
，
解得：，
∴新拋物線為；
（2）解：①如圖，設(shè)，則，
∴，
∵小于3，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴平移方式為，向右平移2個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，
由題意可得：在的右邊，當(dāng)時(shí)，
∴軸，
∴，
∴，
由平移的性質(zhì)可得：，即；
如圖，當(dāng)時(shí)，則，
過作于，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，，，
∴，
解得：（不符合題意舍去）；
綜上：；
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，拋物線的平移，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) ，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.
12．（2024·四川遂寧·中考真題）二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為拋物線上的兩點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸對稱，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)設(shè)的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，試探究：的面積是否存在最小值，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，最小值為
【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)表示兩點(diǎn)距離，二次函數(shù)最值，熟練掌握知識點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）可求，設(shè)，由，得，則
，解得，（舍去），故；
（3）分當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)Q在點(diǎn)P上方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P、Q都在x軸上方或者一個(gè)在x軸上方，一個(gè)在x軸下方，得到這個(gè)面積是關(guān)于m的二次函數(shù)，進(jìn)而求最值即可．
【詳解】（1）解：把，代入得，
，解得，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）解：如圖：
由得拋物線對稱軸為直線，
∵兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對軸對稱，
∴，
設(shè)，
∵，
∴，
∴
，
整理得，，
解得，（舍去），
∴，
∴；
（3）存在，理由：
當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)Q在點(diǎn)P上方時(shí)，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，
設(shè)直線表達(dá)式為：，
代入，
得：，
解得：，
∴直線的表達(dá)式為：，
令，得
則，
則，
則
，
即存在最小值為；
當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方時(shí)，
同上可求直線表達(dá)式為：，
令，得
則，
則，
則
即存在最小值為；
當(dāng)點(diǎn)P、Q都在x軸上方或者一個(gè)在x軸上方，一個(gè)在x軸下方同理可求，
即存在最小值為，
綜上所述，的面積是否存在最小值，且為．
13．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，與軸相交于另一點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)（不與重合），過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)使的面積等于面積的一半？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線的解析式為
(2)的坐標(biāo)為
(3)的坐標(biāo)為或或或
【分析】（1）把代入求出，再用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為；
（2）設(shè)，則，，由，可得，解出的值可得的坐標(biāo)為；
（3）過作軸交直線于，求出，知，故，設(shè)，則，可得，，根據(jù)的面積等于面積的一半，有，可得，即或，解出的值可得答案．
【詳解】（1）解：把代入得：，
，
把，代入得：
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：設(shè)，則，，
，
，
解得或（此時(shí)不在直線上方，舍去）；
的坐標(biāo)為；
（3）解：拋物線上存在點(diǎn)，使的面積等于面積的一半，理由如下：
過作軸交直線于，過點(diǎn)B作，延長交x軸于點(diǎn)F，如圖：
在中，令得，
解得或，
，，
，
，
，
設(shè)，則，
，
∵
，
的面積等于面積的一半，
，
，
或，
解得或，
的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，解一元二次方程，三角形面積等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度．
14．（2024·江蘇連云港·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線（a、b為常數(shù)，）．

(1)若拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)、分別作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M、N，連接．求證：平分；
(3)當(dāng)，時(shí)，過直線上一點(diǎn)作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)．若的最大值為4，求的值．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）連接，根據(jù)題意，求得，，進(jìn)而求出，，利用勾股定理求出，求出，從而得到，結(jié)合平行線的性質(zhì)即可證明結(jié)論；
（3）設(shè)，則，，求出當(dāng)時(shí)，，得到點(diǎn)在的上方，設(shè)，故，其對稱軸為，分為和兩種情況討論即可．
【詳解】（1）解：分別將，代入，
得，
解得．
函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：連接，
，
．
當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)．
，，
，，，
在中，．
，
，
．
，
．
．
平分．
（3）解：設(shè)，則，．
當(dāng)時(shí)，．
令，
解得，．
，
，
點(diǎn)在的上方（如圖1）．

設(shè)，
故，
其對稱軸為，且．
①當(dāng)時(shí)，即．
由圖2可知：

當(dāng)時(shí)，取得最大值．
解得或（舍去）．
②當(dāng)時(shí)，得，
由圖3可知：

當(dāng)時(shí)，取得最大值．
解得（舍去）．
綜上所述，的值為．
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與角度的綜合問題，拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的解析式及最值等問題，關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．
15．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點(diǎn)依次在直線上，點(diǎn)固定不動，且，分別以為邊在直線同側(cè)作正方形、正方形，，直角邊恒過點(diǎn)，直角邊恒過點(diǎn)．
(1)如圖，若，，求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離；
(2)如圖，若，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí)，求的最大值；
(3)如圖，若，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)隨之運(yùn)動，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為_______．
【答案】(1)或；
(2)；
(3)．
【分析】（）設(shè)，則，證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，則，轉(zhuǎn)化為，解方程即可；
（）設(shè)，則，證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，則，轉(zhuǎn)化為然后由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（）連接，由四邊形是正方形，得，即點(diǎn)對角線所在直線上運(yùn)動，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，利用勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)，則，
∵四邊形、是正方形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴,
∴，
∴，即，則，
解得：或，
∴或；
（2）設(shè)，則，
∵四邊形、是正方形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
當(dāng)時(shí)，有最大，最大值為；
（3）連接，
∵四邊形是正方形，
∴，
即點(diǎn)在對角線所在直線上運(yùn)動，
如圖，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，過作于點(diǎn)，
∴，四邊形為矩形，
則點(diǎn)三點(diǎn)共線，，
∴，
∴，
∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，
∴在中，由勾股定理得：，
∴的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解一元二次方程，二次函數(shù)的最值，兩點(diǎn)之間線段最短等知識，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
16．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，在菱形中，，，為對角線上一動點(diǎn)，以為一邊作，交射線于點(diǎn)，連接．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以每秒的速度運(yùn)動至點(diǎn)處停止．設(shè)的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為秒．
(1)求證：；
(2)求與的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍；
(3)求為何值時(shí)，線段的長度最短．
【答案】(1)證明見解析；
(2)；
(3)．
【分析】（）設(shè)與相交于點(diǎn)，證明，可得，，利用三角形外角性質(zhì)可得，即得，即可求證；
（）過點(diǎn)作于，解直角三角形得到，，可得，由等腰三角形三線合一可得，即可由三角形面積公式得到與的函數(shù)表達(dá)式，最后由，可得自變量的取值范圍；
（）證明為等邊三角形，可得，可知線段的長度最短，即的長度最短，當(dāng)時(shí)，取最短，又由菱形的性質(zhì)可得為等邊三角形，利用三線合一求出即可求解；
本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，解直角三角形，求二次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，掌握菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）證明：設(shè)與相交于點(diǎn)，
∵四邊形為菱形，
∴，，，
∵
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：過點(diǎn)作于，則，
∵，
∴，
∵四邊形為菱形，，
∴，，
即，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴線段的長度最短，即的長度最短，當(dāng)時(shí)，取最短，如圖，
∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，線段的長度最短．
17．（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，是此二次函數(shù)的圖像上的兩個(gè)動點(diǎn)．
(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P在直線的上方，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，連接．若，求證的值為定值；
(3)如圖2，點(diǎn)P在第二象限，，若點(diǎn)M在直線上，且橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，求線段長度的最大值．
【答案】(1)
(2)為定值3，證明見解析
(3)
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出直線的解析式，，則，，表示出，，代入即可求解；
（3）設(shè)，則，求出直線的解析式，把代入即可求出線段長度的最大值．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
（2）當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
∴，．
∴，
∴的值為定值；
（3）設(shè)，則，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，
，
∴當(dāng)時(shí)，線段長度的最大值．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與幾何綜合，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．
18．（2024·四川樂山·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)為“完美點(diǎn)”．拋物線（a為常數(shù)且）與y軸交于點(diǎn)A．
(1)若，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)若線段（含端點(diǎn)）上的“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，求a的取值范圍；
(3)若拋物線與直線交于M、N兩點(diǎn)，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個(gè)“完美點(diǎn)”，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征．?dāng)?shù)形結(jié)合解題是解題的關(guān)鍵．
（1）把代入后再將拋物線化成頂點(diǎn)式為，即可求頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)整點(diǎn)個(gè)數(shù)的范圍確定點(diǎn)A縱坐標(biāo)的范圍；
（3）結(jié)合圖象確定有4個(gè)“完美點(diǎn)”時(shí)a的最大和最小值，進(jìn)而確定a的范圍．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，拋物線．
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）令，則，
∴，
∵線段上的“完美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，
∴“完美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4個(gè)或5個(gè)．
∵，
∴當(dāng)“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為4個(gè)時(shí)，分別為，，，；
當(dāng)“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為5個(gè)時(shí)，分別為，，，，．
∴．
∴a的取值范圍是．
（3）根據(jù)，
得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)，，．
∵拋物線與直線交于M、N兩點(diǎn)，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個(gè)“完美點(diǎn)”，
顯然，“完美點(diǎn)”，，符合題意．
下面討論拋物線經(jīng)過，的兩種情況：
①當(dāng)拋物線經(jīng)過時(shí)，解得此時(shí)，，，．
如圖所示，滿足題意的“完美點(diǎn)”有，，，，共4個(gè)．
②當(dāng)拋物線經(jīng)過時(shí)，解得此時(shí)，，，．
如圖所示，滿足題意的“完美點(diǎn)”有，，，，，，共6個(gè)．
∴a的取值范圍是．
19．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)當(dāng)點(diǎn)在第二象限內(nèi)，且的面積為3時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在直線上是否存在點(diǎn)，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線的解析式為
(2)的坐標(biāo)為或
(3)的坐標(biāo)為或或或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；
（2）過作軸交于，求出直線解析式，根據(jù)列式求解；
（3）先求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再求出直線解析式，過作軸于，過作軸于，分以下情況分別討論即可：①與重合，與重合時(shí)；②當(dāng)在第一象限，在第四象限時(shí)；③當(dāng)在第四象限，在第三象限時(shí)；④當(dāng)在第四象限，在第一象限時(shí)．
【詳解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：過作軸交于，如圖：

由，得直線解析式為，
設(shè)，則，
，
的面積為3，
，即，
解得或，
的坐標(biāo)為或；
（3）解：在直線上存在點(diǎn)，使是以為斜邊的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直線解析式為，
設(shè)，，
過作軸于，過作軸于，
①，
當(dāng)與重合，與重合時(shí)，是等腰直角三角形，如圖：

此時(shí)；
②當(dāng)在第一象限，在第四象限時(shí)，
是以為斜邊的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐標(biāo)為；
③當(dāng)在第四象限，在第三象限時(shí)，如圖：
是以為斜邊的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐標(biāo)為；
④當(dāng)在第四象限，在第一象限，如圖：
是以為斜邊的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐標(biāo)為；
綜上所述，的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)中三角形面積計(jì)算、特殊三角形存在性問題、等腰直角三角形的性質(zhì)等，難度較大，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．
20．（2024·河北·中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)，頂點(diǎn)為Q．拋物線（其中t為常數(shù)，且），頂點(diǎn)為P．
(1)直接寫出a的值和點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
(2)嘉嘉說：無論t為何值，將的頂點(diǎn)Q向左平移2個(gè)單位長度后一定落在上．
淇淇說：無論t為何值，總經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．
請選擇其中一人的說法進(jìn)行說理．
(3)當(dāng)時(shí)，
①求直線PQ的解析式；
②作直線，當(dāng)l與的交點(diǎn)到x軸的距離恰為6時(shí)，求l與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
(4)設(shè)與的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為，且．點(diǎn)M在上，橫坐標(biāo)為．點(diǎn)N在上，橫坐標(biāo)為．若點(diǎn)M是到直線PQ的距離最大的點(diǎn)，最大距離為d，點(diǎn)N到直線PQ的距離恰好也為d，直接用含t和m的式子表示n．
【答案】(1)，
(2)兩人說法都正確，理由見解析
(3)①；②或
(4)
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，再化為頂點(diǎn)式即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）把向左平移2個(gè)單位長度得到對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，再檢驗(yàn)即可，再根據(jù)函數(shù)化為，可得函數(shù)過定點(diǎn)；
（3）①先求解的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可；②如圖，當(dāng)（等于6兩直線重合不符合題意），可得，可得交點(diǎn)，交點(diǎn)，再進(jìn)一步求解即可；
（4）如圖，由題意可得是由通過旋轉(zhuǎn)，再平移得到的，兩個(gè)函數(shù)圖象的形狀相同，如圖，連接交于，連接，，，，可得四邊形是平行四邊形，當(dāng)點(diǎn)M是到直線PQ的距離最大的點(diǎn)，最大距離為d，點(diǎn)N到直線PQ的距離恰好也為d，此時(shí)與重合，與重合，再進(jìn)一步利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解答即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線過點(diǎn)，頂點(diǎn)為Q．
∴，
解得：，
∴拋物線為：，
∴；
（2）解：把向左平移2個(gè)單位長度得到對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，
當(dāng)時(shí)，
∴，
∴在上，
∴嘉嘉說法正確；
∵
，
當(dāng)時(shí)，，
∴過定點(diǎn)；
∴淇淇說法正確；
（3）解：①當(dāng)時(shí)，
，
∴頂點(diǎn)，而，
設(shè)為，
∴，
解得：，
∴為；
②如圖，當(dāng)（等于6兩直線重合不符合題意），
∴，
∴交點(diǎn)，交點(diǎn)，
由直線，設(shè)直線為，
∴，
解得：，
∴直線為：，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
同理當(dāng)直線過點(diǎn)，
直線為：，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
（4）解：如圖，∵，，
∴是由通過旋轉(zhuǎn)，再平移得到的，兩個(gè)函數(shù)圖象的形狀相同，
如圖，連接交于，連接，，，，
∴四邊形是平行四邊形，
當(dāng)點(diǎn)M是到直線PQ的距離最大的點(diǎn)，最大距離為d，點(diǎn)N到直線PQ的距離恰好也為d，
此時(shí)與重合，與重合，
∵，，
∴的橫坐標(biāo)為，
∵，，
∴的橫坐標(biāo)為，
∴，
解得：；
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的平移與旋轉(zhuǎn)，以及特殊四邊形的性質(zhì)，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．
21．（2024·廣東廣州·中考真題）已知拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)，直線過點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，記的周長為，的周長為，且．
(1)求拋物線的對稱軸；
(2)求的值；
(3)直線繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)秒后得到直線，當(dāng)時(shí)，直線交拋物線于，兩點(diǎn)．
①求的值；
②設(shè)的面積為，若對于任意的，均有成立，求的最大值及此時(shí)拋物線的解析式．
【答案】(1)對稱軸為直線：；
(2)
(3)①，②的最大值為，拋物線為；
【分析】（1）直接利用對稱軸公式可得答案；
（2）如圖，由，可得在的左邊，，證明，可得，設(shè)，建立，可得：，，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）①如圖，當(dāng)時(shí)，與拋物線交于，由直線，可得，可得，從而可得答案；②計(jì)算，當(dāng)時(shí)， 可得，則，，可得，可得當(dāng)時(shí)，的最小值為，再進(jìn)一步求解可得答案．
【詳解】（1）解：∵拋物線，
∴拋物線對稱軸為直線：；
（2）解：∵直線過點(diǎn)，
∴，
如圖，
∵直線過點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，記的周長為，的周長為，且，
∴在的左邊，，
∵在拋物線的對稱軸上，
∴，
∴，
設(shè)，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：①如圖，當(dāng)時(shí)，與拋物線交于，
∵直線，
∴，
∴，
解得：，
②∵，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，，
∴
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，的最小值為，
∴此時(shí)，
∵對于任意的，均有成立，
∴的最大值為，
∴拋物線為；
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形面積，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．
22．（2024·湖北·中考真題）如圖1，二次函數(shù)交軸于和，交軸于．
(1)求的值．
(2)為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
(3)如圖2，將二次函數(shù)沿水平方向平移，新的圖象記為與軸交于點(diǎn)，記，記頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為．
①求與的函數(shù)解析式．
②記與軸圍成的圖象為與重合部分（不計(jì)邊界）記為，若隨增加而增加，且內(nèi)恰有2個(gè)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)①；②的取值范圍為或．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求得，，作軸于點(diǎn)，設(shè)，分當(dāng)點(diǎn)在軸上方和點(diǎn)在軸下方時(shí)，兩種情況討論，利用相似三角形的判定和性質(zhì)，列式求解即可；
（3）①利用平移的性質(zhì)得圖象的解析式為，得到圖象與軸交于點(diǎn)的坐標(biāo)，據(jù)此列式計(jì)算即可求解；
②先求得或，中含，，三個(gè)整數(shù)點(diǎn)（不含邊界），再分三種情況討論，分別列不等式組，求解即可．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)交軸于，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
令，則，
解得或，
令，則，
∴，，，
作軸于點(diǎn)，
設(shè)，
當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，如圖，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去）；
當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，如圖，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去）；
∴或；
（3）解：①∵將二次函數(shù)沿水平方向平移，
∴縱坐標(biāo)不變是4，
∴圖象的解析式為，
∴，
∴，
由題意知：C、D不重合，則，
∴；
②由①得，
則函數(shù)圖象如圖，
∵隨增加而增加，
∴或，中含，，三個(gè)整數(shù)點(diǎn)（不含邊界），
當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，或，
∴；
∵或，
∴；
當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴或，，
∴；
∵或，
∴；
當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，時(shí)，
此情況不存在，舍去，
綜上，的取值范圍為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式及二次函數(shù)與線段的交點(diǎn)問題，也考查了二次函數(shù)與不等式，相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合法是解題的關(guān)鍵．
23．（2024·湖南長沙·中考真題）已知四個(gè)不同的點(diǎn)，，，都在關(guān)于x的函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的圖象上．
(1)當(dāng)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，時(shí)，求代數(shù)式的值；
(2)當(dāng)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足時(shí)，請你判斷此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；
(3)當(dāng)時(shí)，該函數(shù)圖象與x軸交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)滿足：，．請問是否存在實(shí)數(shù)，使得，，這三條線段組成一個(gè)三角形，且該三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為？若存在，求出m的值和此時(shí)函數(shù)的最小值；若不存在，請說明理由（注：表示一條長度等于的m倍的線段）．
【答案】(1)
(2)此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為兩個(gè)，理由見解析
(3)存在兩個(gè)m的值符合題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)該函數(shù)的最小值為；當(dāng)時(shí)，此時(shí)該函數(shù)的最小值為
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)問題、直角三角形存在性問題等，熟練掌握相關(guān)知識和分類討論是解題關(guān)鍵.
（1）將代入得到關(guān)于、的關(guān)系式，再整體代入求解即可;
（2）解方程求解，再根據(jù)的正負(fù)分類討論即可；
（3）由內(nèi)角之比可得出這是一個(gè)的直角三角形，再將線段表示出來，利用特殊角的邊角關(guān)系建立方程即可.
【詳解】（1）將，代入得
，
②-①得，即．
所以．
（2）此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為兩個(gè)．
方法1：由，得．
可得或．
當(dāng)時(shí)，，此拋物線開口向上，而A，B兩點(diǎn)之中至少有一個(gè)點(diǎn)在x軸的下方，此時(shí)該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，此拋物線開口下，而A，B兩點(diǎn)之中至少有一個(gè)點(diǎn)在x軸的上方，此時(shí)該函數(shù)圖象與x軸也有兩個(gè)公共點(diǎn)．
綜上所述，此函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn)．
方法2：由，得．
可得或．
所以拋物線上存在縱坐標(biāo)為的點(diǎn)，即一元二次方程有解．
所以該方程根的判別式，即．
因?yàn)椋裕?br>所以原函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn)．
方法3：由，可得或．
當(dāng)時(shí)，有，即，
所以．
此時(shí)該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，同理可得，此時(shí)該函數(shù)圖象與x軸也有兩個(gè)公共點(diǎn)．
綜上所述，該函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn)．
（3）因?yàn)椋栽摵瘮?shù)圖象開口向上．
由，得，可得．
由，得，可得．
所以直線均與x軸平行．
由（2）可知該函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)，．
由圖象可知，即．
所以的兩根為，，可得．
同理的兩根為，，可得．
同理的兩根為，，可得．
由于，結(jié)合圖象與計(jì)算可得，．
若存在實(shí)數(shù)，使得，這三條線段組成一個(gè)三角形，
且該三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為1：2：3，則此三角形必定為兩銳角分別為30°，60°的直角三角形，所以線段不可能是該直角三角形的斜邊．
①當(dāng)以線段為斜邊，且兩銳角分別為30°，60°時(shí)，因?yàn)椋?br>所以必須同時(shí)滿足：，．
將上述各式代入化簡可得，且，
聯(lián)立解之得，，解得符合要求．
所以，此時(shí)該函數(shù)的最小值為．
②當(dāng)以線段為斜邊時(shí)，必有，同理代入化簡可得
，解得．
因?yàn)橐跃€段為斜邊，且有一個(gè)內(nèi)角為60°，而，
所以，即，
化簡得符合要求．
所以，此時(shí)該函數(shù)的最小值為．
綜上所述，存在兩個(gè)m的值符合題意；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)該函數(shù)的最小值為；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)該函數(shù)的最小值為．
24．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為P．
(1)求拋物線的解析式及P點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)拋物線交y軸于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)A，B，C的圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，求線段的長；
(3)過點(diǎn)P的直線分別與拋物線、直線交于x軸下方的點(diǎn)M，N，直線交拋物線對稱軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P關(guān)于E的對稱點(diǎn)為Q，軸于點(diǎn)H．請判斷點(diǎn)H與直線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)，
(2)4
(3)點(diǎn)H在直線上，見詳解
【分析】（1）待定系數(shù)法即可求解二次函數(shù)解析式，再進(jìn)行配方即可求點(diǎn)P坐標(biāo)；
（2）先由與的正切值相等得到，繼而可證明，再由垂徑定理得到；
（3）將點(diǎn)代入得直線表達(dá)式為， 則，而點(diǎn)E為中點(diǎn)，則，可求，聯(lián)立拋物線與直線表達(dá)式，得：，可求，可證明，得到，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，
∴代入得：，
解得：，
∴拋物線解析式為，
而，
∴；
（2）解：如圖：
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的的直徑，
∵，經(jīng)過圓心，
∴；
（3）解：如圖：
將點(diǎn)代入，得，
∴，
把點(diǎn)N橫坐標(biāo)，代入得，
∵軸，軸，
∴，點(diǎn)G為中點(diǎn)，
∴，
∴點(diǎn)E為中點(diǎn)，
∴，
∵點(diǎn)P關(guān)于E的對稱點(diǎn)為Q，
∴，
∴，
聯(lián)立拋物線與直線表達(dá)式，
得：，
整理得：，
∴，
解得：，
即，
∵，，
∴，
∴點(diǎn)N、Q、H三點(diǎn)共線，
∴點(diǎn)H在直線上．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，圓周角定理，垂徑定理，平行線分線段成比例定理，三角函數(shù)，拋物線與直線的交點(diǎn)問題，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
25．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的對稱軸是直線．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)是直線下方對稱軸右側(cè)拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)將拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，在取得最大值的條件下，點(diǎn)為點(diǎn)平移后的對應(yīng)點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為平移后的拋物線上一點(diǎn)，若，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)最大值為；；
(3)或
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式即可；
（2）如圖，延長交軸于，過作軸于，求解，可得，證明，設(shè)，，，再建立二次函數(shù)求解即可；
（3）由拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，即把拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，可得新的拋物線為：，，如圖，當(dāng)在軸的左側(cè)時(shí)，過作軸于，證明，可得，證明，如圖，當(dāng)在軸的右側(cè)時(shí)，過作軸的垂線，過作過的垂線于，同理可得：，再進(jìn)一步結(jié)合三角函數(shù)建立方程求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的對稱軸是直線，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如圖，延長交軸于，過作軸于，
∵當(dāng)時(shí)，
解得：，，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∵，，
設(shè)為，
∴，解得：，
∴直線為：，
設(shè)，
∴，
∴，
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴，
∴
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為；
此時(shí)；
（3）解：∵拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，即把拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，
∴新的拋物線為：，，
如圖，當(dāng)在軸的左側(cè)時(shí)，過作軸于，
∵，
同理可得：直線為，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，
∴，
解得：或（舍去）
∴；
如圖，當(dāng)在軸的右側(cè)時(shí)，過作軸的垂線，過作過的垂線于，
同理可得：，
設(shè)，則，
同理可得：，
∴或（舍去），
∴．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，難度很大，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是做出合適的輔助線進(jìn)行轉(zhuǎn)化，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．
26．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．
(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，請?zhí)骄渴欠裼凶畲笾?？若有最大值，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有最大值，請說明理由．
(3)點(diǎn)為該拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)的最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】（1）直接利用拋物線的交點(diǎn)式可得拋物線的解析式；
（2）先求解，及直線為，設(shè)，可得，再建立二次函數(shù)求解即可；
（3）如圖，以為對角線作正方形，可得，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)即為，如圖，過作軸的平行線交軸于，過作于，則，設(shè)，則，求解，進(jìn)一步求解直線為：，直線為，再求解函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．
∴；
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
∴，
設(shè)直線為，
∴，解得：，
∴直線為，
設(shè)，
∴，
∴
；
當(dāng)時(shí)，有最大值；
此時(shí)；
（3）解：如圖，以為對角線作正方形，
∴，
∴與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)即為，
如圖，過作軸的平行線交軸于，過作于，則，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
設(shè)，則，
∴,
∴，
由可得：
∴，
解得：，
∴，
設(shè)為：，
∴，解得：，
∴直線為：，
∴，
解得：或，
∴，
∵，，，正方形，
∴，
同理可得：直線為，
∴，
解得：或，
∴，
綜上：點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，拋物線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.
27．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，拋物線交x軸于O，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為．點(diǎn)C為的中點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)過點(diǎn)C作，垂足為H，交拋物線于點(diǎn)E．求線段的長．
(3)點(diǎn)D為線段上一動點(diǎn)（O點(diǎn)除外），在右側(cè)作平行四邊形．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②如圖3，連接，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)①②
【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)為．設(shè)拋物線，把代入解析式，計(jì)算求解即可；
（2）根據(jù)頂點(diǎn)為．點(diǎn)C為的中點(diǎn)，得到，當(dāng)時(shí)，，得到．結(jié)合，垂足為H，得到的長．
（3）①根據(jù)題意，得，結(jié)合四邊形是平行四邊形，設(shè)，結(jié)合點(diǎn)F落在拋物線上，得到，解得即可；
②過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)N，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對稱點(diǎn)G，過點(diǎn)G作軸于點(diǎn)H，連接，，，利用平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形判定和性質(zhì)，計(jì)算解答即可．
【詳解】（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
設(shè)拋物線，
把代入解析式，得，
解得，
∴．
（2）∵頂點(diǎn)為．點(diǎn)C為的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴軸，
∴E的橫坐標(biāo)為1，
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，
∴．
∴．
（3）①根據(jù)題意，得，
∵四邊形是平行四邊形，
∴點(diǎn)C，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)相同，
設(shè)，
∵點(diǎn)F落在拋物線上，
∴，
解得，(舍去)；
故．
②過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)N，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對稱點(diǎn)G，過點(diǎn)G作軸于點(diǎn)H，連接，，，
則四邊形是矩形，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
故當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，
∵，
∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是，
延長交y軸于點(diǎn)M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故的最小值是．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，利用軸對稱的性質(zhì)求線段和的最小值，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
①
②
③
④
⑤
⑥
x
0
2
3
4
5
6
y
0
1
2.25
4
6.25
9

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