專題33 閱讀理解與新定義題（31題）（教師卷+學(xué)生卷）- 2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國(guó)通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題
1．（2024·四川眉山·中考真題）定義運(yùn)算：，例如，則函數(shù)的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查二次函數(shù)求最值，根據(jù)新定義，得到二次函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求最值即可．
【詳解】解：由題意得，，
即，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為．
故選：B．
2．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）定義新運(yùn)算：
①在平面直角坐標(biāo)系中，表示動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿著軸正方向（）或負(fù)方向（）．平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿著軸正方向（）或負(fù)方向（）平移個(gè)單位長(zhǎng)度．例如，動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿著軸負(fù)方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿著軸正方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，記作．
②加法運(yùn)算法則：，其中，，，為實(shí)數(shù)．
若，則下列結(jié)論正確的是（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)新定義得出，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴
解得：，
故選：B．
3．（2024·廣東深圳·中考真題）二十四節(jié)氣，它基本概括了一年中四季交替的準(zhǔn)確時(shí)間以及大自然中一些物候等自然現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律，二十四個(gè)節(jié)氣分別為：春季（立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若從二十四個(gè)節(jié)氣中選一個(gè)節(jié)氣，則抽到的節(jié)氣在夏季的概率為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了概率公式．根據(jù)概率公式直接得出答案．
【詳解】解：二十四個(gè)節(jié)氣中選一個(gè)節(jié)氣，抽到的節(jié)氣在夏季的有六個(gè)，
則抽到的節(jié)氣在夏季的概率為，
故選：D．
4．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，“燕幾”即宴幾，是世界上最早的一套組合桌，由北宋進(jìn)士黃伯思設(shè)計(jì)．全套“燕幾”一共有七張桌子，包括兩張長(zhǎng)桌、兩張中桌和三張小桌，每張桌面的寬都相等．七張桌面分開可組合成不同的圖形．如圖2給出了《燕幾圖》中名稱為“回文”的桌面拼合方式，若設(shè)每張桌面的寬為x尺，長(zhǎng)桌的長(zhǎng)為y尺，則y與x的關(guān)系可以表示為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系式，觀察可知，小桌的長(zhǎng)是小桌寬的兩倍，則小桌的長(zhǎng)是，再根據(jù)長(zhǎng)桌的長(zhǎng)等于小桌的長(zhǎng)加上2倍的小桌的寬列出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式即可．
【詳解】解：由題意可得，小桌的長(zhǎng)是小桌寬的兩倍，則小桌的長(zhǎng)是，
∴，
故選：B．
5．（2024·甘肅·中考真題）敦煌文書是華夏民族引以為傲的藝術(shù)瑰寶，其中敦煌《算經(jīng)》中出現(xiàn)的《田積表》部分如圖1所示，它以表格形式將矩形土地的面積直觀展示，可迅速準(zhǔn)確地查出邊長(zhǎng)10步到60步的矩形田地面積，極大地提高了農(nóng)田面積的測(cè)量效率．如圖2是復(fù)原的部分《田積表》，表中對(duì)田地的長(zhǎng)和寬都用步來(lái)表示，A區(qū)域表示的是長(zhǎng)15步，寬16步的田地面積為一畝，用有序數(shù)對(duì)記為，那么有序數(shù)對(duì)記為對(duì)應(yīng)的田地面積為（）
A．一畝八十步B．一畝二十步C．半畝七十八步D．半畝八十四步
【答案】D
【分析】根據(jù)可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，解答即可．
本題考查了坐標(biāo)與位置的應(yīng)用，熟練掌握坐標(biāo)與位置的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】根據(jù)可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，
故對(duì)應(yīng)的是半畝八十四步，
故選D．
二、填空題
6．（2024·甘肅·中考真題）定義一種新運(yùn)算*，規(guī)定運(yùn)算法則為：（m，n均為整數(shù)，且）．例：，則．
【答案】8
【分析】根據(jù)定義，得，解得即可．
本題考查了新定義計(jì)算，正確理解定義的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】根據(jù)定義，得，
故答案為：8．
7．（2024·四川廣元·中考真題）2023年10月諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予三位“追光”科學(xué)家，以表彰他們“為研究物質(zhì)中的電子動(dòng)力學(xué)而產(chǎn)生阿秒光脈沖的實(shí)驗(yàn)方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十億分之一秒的十億分之一．目前世界上最短的單個(gè)阿秒光學(xué)脈沖是43阿秒．將43阿秒用科學(xué)記數(shù)法表示為秒．
【答案】
【分析】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，解題的關(guān)鍵是熟知．根據(jù)題意可知，43阿秒秒，再根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法表示出來(lái)即可．
【詳解】解：根據(jù)題意1阿秒是秒可知，
43阿秒秒，
故答案為：．
8．（2024·甘肅·中考真題）甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術(shù)，是第一批國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設(shè)計(jì)圖如圖2，其中扇形和扇形有相同的圓心O，且圓心角，若，，則陰影部分的面積是．（結(jié)果用π表示）
【答案】
【分析】根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵圓心角，，，
∴陰影部分的面積是
故答案為：．
9．（2024·四川瀘州·中考真題）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)圖形先向上平移個(gè)單位，再繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的變換．如：點(diǎn)按照變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)按照變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【答案】
【分析】本題考查了解直角三角形，坐標(biāo)與圖形．根據(jù)題意，點(diǎn)向上平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)，再根據(jù)題意將點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到，，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)向上平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)，

∴，，
∴，，
∴，
根據(jù)題意，將點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，
∴，
作軸于點(diǎn)，
∴，，
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故答案為：．
10．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）對(duì)于實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“※”為，例如，則關(guān)于的不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解時(shí)，的取值范圍是．
【答案】
【分析】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，解一元一次不等式組，根據(jù)新定義和正整數(shù)解列出關(guān)于的不等式組是解題的關(guān)鍵．根據(jù)新定義列出不等式，解關(guān)于的不等式，再由不等式的解集有且只有一個(gè)正整數(shù)解得出關(guān)于的不等式組求解可得．
【詳解】解：根據(jù)題意可知，
解得：
有且只有一個(gè)正整數(shù)解
解不等式①，得：
解不等式②，得：
故答案為：．
11．（2024·湖北武漢·中考真題）黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點(diǎn)，享有“天下江山第一樓”的美譽(yù)．在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量黃鶴樓的高度，具體過(guò)程如下：如圖，將無(wú)人機(jī)垂直上升至距水平地面的C處，測(cè)得黃鶴樓頂端A的俯角為，底端B的俯角為，則測(cè)得黃鶴樓的高度是 m．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】51
【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵．延長(zhǎng)交距水平地面的水平線于點(diǎn)D，根據(jù)，求出，即可求解．
【詳解】解：延長(zhǎng)交距水平地面的水平線于點(diǎn)D，如圖，
由題可知，，
設(shè)，
∵
∴
∴
∴
∴
故答案為：51．
12．（2024·山東泰安·中考真題）某學(xué)校在4月23日世界讀書日舉行“書香校園，全員閱讀”活動(dòng)．小明和小穎去學(xué)校圖書室借閱書籍，小明準(zhǔn)備從《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》中隨機(jī)選擇一本，小潁準(zhǔn)備從《西游記》、《駱駝祥子》、《朝花夕拾》中隨機(jī)選擇一本，小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率是．
【答案】
【分析】本題主要考查列表法與樹狀圖法、概率公式等知識(shí)，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
先列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小明和小穎恰好選中書名相同的書的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計(jì)算即可．
【詳解】解：將《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》、《朝花夕拾》分別記為A，B，C，D，
列表如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小穎恰好選中書名相同的書的結(jié)果有2種，
∴小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率為．
故答案為：．
13．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）為慶祝中國(guó)改革開放46周年，某中學(xué)舉辦了一場(chǎng)精彩紛呈的慶祝活動(dòng)，現(xiàn)場(chǎng)參與者均為在校中學(xué)生，其中有一個(gè)活動(dòng)項(xiàng)目是“選數(shù)字猜出生年份”，該活動(dòng)項(xiàng)目主持人要求參與者從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字，先乘以10，再加上4.6，將此時(shí)的運(yùn)算結(jié)果再乘以10，然后加上1978，最后減去參與者的出生年份（注：出生年份是一個(gè)四位數(shù)，比如2010年對(duì)應(yīng)的四位數(shù)是2010），得到最終的運(yùn)算結(jié)果．只要參與者報(bào)出最終的運(yùn)算結(jié)果，主持人立馬就知道參與者的出生年份．若某位參與者報(bào)出的最終的運(yùn)算結(jié)果是915，則這位參與者的出生年份是．
【答案】2009
【分析】本題考查二元一次方程的解，理解題意是解答的關(guān)鍵．設(shè)這位參與者的出生年份是x，從九個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字為a，根據(jù)題意列二元一次方程，整理得，根據(jù)a的取值得到x的9種可能，結(jié)合實(shí)際即可求解．
【詳解】解：設(shè)這位參與者的出生年份是x，從九個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字為a，
根據(jù)題意，得，
整理，得
∴，
∵a是從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字，
∴x的值可能為1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009，
∵是為慶祝中國(guó)改革開放46周年，且參與者均為在校中學(xué)生，
∴x只能是2009，
故答案為：2009．
14．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）對(duì)于一個(gè)二次函數(shù)（）中存在一點(diǎn)，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為．
【答案】4
【分析】本題考查新定義運(yùn)算與二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)性質(zhì)、分式化簡(jiǎn)求值等知識(shí)，讀懂題意，理解新定義拋物線的“開口大小”，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)將一般式化為頂點(diǎn)式得到，按照定義求解即可得到答案，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、理解新定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)拋物線的“開口大小”的定義可知中存在一點(diǎn)，使得，則，
，
中存在一點(diǎn)，有，解得，則，
拋物線“開口大小”為，
故答案為：．
15．（2024·重慶·中考真題）一個(gè)各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)，若滿足，則稱這個(gè)四位數(shù)為“友誼數(shù)”．例如：四位數(shù)1278，∵，∴1278是“友誼數(shù)”．若是一個(gè)“友誼數(shù)”，且，則這個(gè)數(shù)為；若是一個(gè)“友誼數(shù)”，設(shè)，且是整數(shù)，則滿足條件的的最大值是．
【答案】 3456
【分析】本題主要考查了新定義，根據(jù)新定義得到，再由可求出a、b、c、d的值，進(jìn)而可得答案；先求出，進(jìn)而得到，根據(jù)是整數(shù)，得到是整數(shù)，即是整數(shù)，則是13的倍數(shù)，求出，再按照a從大到小的范圍討論求解即可．
【詳解】解：∵是一個(gè)“友誼數(shù)”，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴這個(gè)數(shù)為；
∵是一個(gè)“友誼數(shù)”，
∴
，
∴，
∴
，
∵是整數(shù)，
∴是整數(shù)，即是整數(shù)，
∴是13的倍數(shù)，
∵都是不為0的正整數(shù)，且，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿足是13的倍數(shù)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿足是13的倍數(shù)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)可以滿足是13的倍數(shù)，即此時(shí)，則此時(shí)，
∵要使M最大，則一定要滿足a最大，
∴滿足題意的M的最大值即為；
故答案為：3456；．
16．（2024·重慶·中考真題）我們規(guī)定：若一個(gè)正整數(shù)能寫成，其中與都是兩位數(shù)，且與的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為，則稱為“方減數(shù)”，并把分解成的過(guò)程，稱為“方減分解”．例如：因?yàn)?，與的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字與的和為，所以是“方減數(shù)”，分解成的過(guò)程就是“方減分解”．按照這個(gè)規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是．把一個(gè)“方減數(shù)”進(jìn)行“方減分解”，即，將放在的左邊組成一個(gè)新的四位數(shù)，若除以余數(shù)為，且（為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)為．
【答案】
【分析】本題考查了新定義，設(shè)，則（，）根據(jù)最小的“方減數(shù)”可得，代入，即可求解；根據(jù)除以余數(shù)為，且（為整數(shù)），得出為整數(shù)，是完全平方數(shù)，在，，逐個(gè)檢驗(yàn)計(jì)算，即可求解．
【詳解】設(shè)，則（，）
由題意得：，
∵，“方減數(shù)”最小，
∴，
則，，
∴，
則當(dāng)時(shí)，最小，為，
故答案為：；
設(shè)，則（，）
∴
∵除以余數(shù)為，
∴能被整除
∴為整數(shù)，
又（為整數(shù)）
∴是完全平方數(shù)，
∵，
∴最小為，最大為
即
設(shè)，為正整數(shù)，
則
當(dāng)時(shí)，，則，則是完全平方數(shù)，又，，無(wú)整數(shù)解，
當(dāng)時(shí)，，則,則是完全平方數(shù)，又，，無(wú)整數(shù)解，
當(dāng)時(shí)，，則，則是完全平方數(shù)，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，，，
∴，
∴
故答案為：，．
17．（2024·四川樂(lè)山·中考真題）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都小于或等于1的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“近軸點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)圖象的“近軸點(diǎn)”．
（1）下列三個(gè)函數(shù)的圖象上存在“近軸點(diǎn)”的是（填序號(hào)）；
①；②；③．
（2）若一次函數(shù)圖象上存在“近軸點(diǎn)”，則m的取值范圍為．
【答案】 ③ 或
【分析】本題主要考查了新定義——“近軸點(diǎn)”．正確理解新定義，熟練掌握一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
（1）①中，取，不存在“近軸點(diǎn)”；
②，由對(duì)稱性，取，不存在“近軸點(diǎn)”；
③，取時(shí)，，得到是的“近軸點(diǎn)”；
（2）圖象恒過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，，得到；當(dāng)直線過(guò)時(shí)，，得到．
【詳解】（1）①中，
時(shí)，，
不存在“近軸點(diǎn)”；
②，
由對(duì)稱性，當(dāng)時(shí)，，
不存在“近軸點(diǎn)”；
③，
時(shí)，，
∴是的“近軸點(diǎn)”；
∴上面三個(gè)函數(shù)的圖象上存在“近軸點(diǎn)”的是③
故答案為：③；
（2）中，
時(shí)，，
∴圖象恒過(guò)點(diǎn)，
當(dāng)直線過(guò)時(shí)，，
∴，
∴；
當(dāng)直線過(guò)時(shí)，，
∴，
∴；
∴m的取值范圍為或．
故答案為：或．

三、解答題
18．（2024·吉林·中考真題）吉林省以“綠水青山就是金山銀山，冰天雪地也是金山銀山”為指引，不斷加大冰雪旅游的宣傳力度，推出各種優(yōu)惠活動(dòng)，“小土豆”“小砂糖橘”等成為一道靚麗的風(fēng)景線，某滑雪場(chǎng)為吸引游客，每天抽取一定數(shù)量的幸運(yùn)游客，每名幸運(yùn)游客可以從“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三個(gè)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取一個(gè)免費(fèi)游玩．若三個(gè)項(xiàng)目被抽中的可能性相等，用畫樹狀圖或列表的方法，求幸運(yùn)游客小明與小亮恰好抽中同一個(gè)項(xiàng)目的概率．
【答案】
【分析】本題考查了用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．畫出樹狀圖，可知共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，小明與小亮恰好抽中同一個(gè)項(xiàng)目的結(jié)果數(shù)有3種，再由概率公式求解即可．
【詳解】解：將“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三個(gè)項(xiàng)目分別記為事件A、B、C，可畫樹狀圖為：
由樹狀圖可知共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，小明與小亮恰好抽中同一個(gè)項(xiàng)目的結(jié)果數(shù)有3種，
∴幸運(yùn)游客小明與小亮恰好抽中同一個(gè)項(xiàng)目的概率．
19．（2024·四川廣元·中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時(shí)，入射角的正弦值與折射角的正弦值的比值叫做介質(zhì)的“絕對(duì)折射率”，簡(jiǎn)稱“折射率”．它表示光在介質(zhì)中傳播時(shí)，介質(zhì)對(duì)光作用的一種特征．
(1)若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為，折射角為，且，，求該介質(zhì)的折射率；
(2)現(xiàn)有一塊與（1）中折射率相同的長(zhǎng)方體介質(zhì)，如圖①所示，點(diǎn)A，B，C，D分別是長(zhǎng)方體棱的中點(diǎn)，若光線經(jīng)真空從矩形對(duì)角線交點(diǎn)O處射入，其折射光線恰好從點(diǎn)C處射出．如圖②，已知，，求截面的面積．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理等知識(shí)，
（1）根據(jù)，設(shè)，則，利用勾股定理求出，進(jìn)而可得，問(wèn)題即可得解；
（2）根據(jù)折射率與（1）的材料相同，可得折射率為，根據(jù)，可得，則有，在中，設(shè)，，問(wèn)題隨之得解．
【詳解】（1）∵，
∴如圖，
設(shè)，則，由勾股定理得，，
∴，
又∵，
∴，
∴折射率為：．
（2）根據(jù)折射率與（1）的材料相同，可得折射率為，
∵，
∴，
∴．
∵四邊形是矩形，點(diǎn)O是中點(diǎn)，
∴，，
又∵，
∴，
在中，設(shè)，，
由勾股定理得，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴截面的面積為：．
20．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）綜合與實(shí)踐
順次連接任意一個(gè)四邊形的中點(diǎn)得到一個(gè)新四邊形，我們稱這個(gè)新四邊形為原四邊形的中點(diǎn)四邊形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組通過(guò)作圖、測(cè)量，猜想：原四邊形的對(duì)角線對(duì)中點(diǎn)四邊形的形狀有著決定性作用．
以下從對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個(gè)方面展開探究．
【探究一】
如圖1，在四邊形中，E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)．
求證：中點(diǎn)四邊形是平行四邊形．
證明：∵E、F、G、H分別是、、、的中點(diǎn)，
∴、分別是和的中位線，
∴，（____①____）
∴．
同理可得：．
∴中點(diǎn)四邊形是平行四邊形．
結(jié)論：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形．
（1）請(qǐng)你補(bǔ)全上述過(guò)程中的證明依據(jù)①________
【探究二】
從作圖、測(cè)量結(jié)果得出猜想Ⅰ：原四邊形的對(duì)角線相等時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形．
（2）下面我們結(jié)合圖2來(lái)證明猜想Ⅰ，請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過(guò)程．
【探究三】
（3）從作圖、測(cè)量結(jié)果得出猜想Ⅱ：原四邊形對(duì)角線垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是②________．
（4）下面我們結(jié)合圖3來(lái)證明猜想Ⅱ，請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過(guò)程．
【歸納總結(jié)】
（5）請(qǐng)你根據(jù)上述探究過(guò)程，補(bǔ)全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對(duì)應(yīng)的圖形．
結(jié)論：原四邊形對(duì)角線③________時(shí)，中點(diǎn)四邊形是④________．
【答案】（1）①中位線定理
（2）證明見(jiàn)解析
（3）②矩形
（4）證明見(jiàn)解析
（5）補(bǔ)圖見(jiàn)解析；③且；④正方形
【分析】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)
（1）利用三角形中位線定理即可解決問(wèn)題；
（2）根據(jù)三角形中位線定理，菱形判定定理即可解決問(wèn)題；
（3）根據(jù)三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問(wèn)題；
（4）根據(jù)三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問(wèn)題；
（5）根據(jù)三角形中位線定理，正方形判定定理即可解決問(wèn)題.
【詳解】（1）①證明依據(jù)是：中位線定理；
（2）證明：∵分別是的中點(diǎn)，
∴分別是和的中位線，
∴，
∴．
同理可得：．
∵
∴
∴中點(diǎn)四邊形是菱形．
（3）②矩形；
故答案為：矩形
（4）證明∵分別是的中點(diǎn)，
∴分別是和的中位線，
∴，，
∴．
同理可得：．
∵
∴，
∴
∴中點(diǎn)四邊形是矩形．
（5）證明：如圖4，∵分別是的中點(diǎn)，
∴分別是和的中位線，
∴，
∴．
同理可得：．
∵
∴
∴中點(diǎn)四邊形是菱形．
∵
由（4）可知
∴菱形是正方形．
故答案為：③且；④正方形

21．（2024·湖北武漢·中考真題）16世紀(jì)中葉，我國(guó)發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級(jí)火箭的始祖．火箭第一級(jí)運(yùn)行路徑形如拋物線，當(dāng)火箭運(yùn)行一定水平距離時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭第二級(jí)，火箭第二級(jí)沿直線運(yùn)行．某科技小組運(yùn)用信息技術(shù)模擬火箭運(yùn)行過(guò)程．如圖，以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別得到拋物線和直線．其中，當(dāng)火箭運(yùn)行的水平距離為時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭的第二級(jí)．
(1)若火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為．
①直接寫出a，b的值；
②火箭在運(yùn)行過(guò)程中，有兩個(gè)位置的高度比火箭運(yùn)行的最高點(diǎn)低，求這兩個(gè)位置之間的距離．
(2)直接寫出a滿足什么條件時(shí)，火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離超過(guò)．
【答案】(1)①，；②
(2)
【分析】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）①將代入即可求解；②將變?yōu)?，即可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出，進(jìn)而求得當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值，然后進(jìn)行比較再計(jì)算即可；
（2）若火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離為，求得，即可求解．
【詳解】（1）解：①∵火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為
∴拋物線和直線均經(jīng)過(guò)點(diǎn)
∴，
解得，．
②由①知，，
∴
∴最大值
當(dāng)時(shí)，
則
解得，
又∵時(shí)，
∴當(dāng)時(shí)，
則
解得
∴這兩個(gè)位置之間的距離．
（2）解：當(dāng)水平距離超過(guò)時(shí)，
火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)為，
將，代入，得
，
解得，
∴．
22．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）【實(shí)際情境】
手工課堂上，老師給每個(gè)制作小組發(fā)放一把花折傘和制作花折傘的材料及工具．同學(xué)們認(rèn)真觀察后，組裝了花折傘的骨架，粘貼了彩色傘面，制作出精美的花折傘．
【模型建立】
（1）如圖1，從花折傘中抽象出“傘形圖”．，．求證：．
【模型應(yīng)用】
（2）如圖2，中，的平分線交于點(diǎn)．請(qǐng)你從以下兩個(gè)條件：
①；②中選擇一個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，并寫出結(jié)論成立的證明過(guò)程．（注：只需選擇一種情況作答）
【拓展提升】
（3）如圖3，為的直徑，，的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．求證：．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）選擇②為條件，①為結(jié)論或選擇①為條件，②為結(jié)論；證明見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等：
（1）利用證明，即可；
（2）選擇②為條件，①為結(jié)論：在取點(diǎn)N，使，連接，證明，可得，，再由，可得，從而得到，即可；選擇①為條件，②為結(jié)論：在取點(diǎn)N，使，連接，證明，可得，，再由，可得，從而得到，即可；
（3）連接，取的中點(diǎn)F，連接，根據(jù)圓周角定理可得，從而得到，再由為的直徑，可得，從而得到，然后根據(jù)，可得，可證明，從而得到，即可．
【詳解】解：（1）在和中，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：選擇②為條件，①為結(jié)論
如圖，在取點(diǎn)N，使，連接，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
選擇①為條件，②為結(jié)論
如圖，在取點(diǎn)N，使，連接，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如圖，連接，取的中點(diǎn)F，連接，
∵的平分線，
∴，
∴，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．（2024·江蘇鹽城·中考真題）請(qǐng)根據(jù)以下素材，完成探究任務(wù)．
【答案】任務(wù)1：；任務(wù)2：；任務(wù)3：安排19名工人加工“雅”服裝，17名工人加工“風(fēng)”服裝，34名工人加工“正”服裝，即可獲得最大利潤(rùn)
【分析】題目主要考查一次函數(shù)及二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵．
任務(wù)1：根據(jù)題意安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，得出加工“正”服裝的有人，然后利用“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等，得出關(guān)系式即可得出結(jié)果；
任務(wù)2：根據(jù)題意得：“雅”服裝每天獲利為：，然后將2種服裝的獲利求和即可得出結(jié)果；
任務(wù)3：根據(jù)任務(wù)2結(jié)果化為頂點(diǎn)式，然后結(jié)合題意，求解即可．
【詳解】解：任務(wù)1：根據(jù)題意安排70名工人加工一批夏季服裝，
∵安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，
∴加工“正”服裝的有人，
∵“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等，
∴，
整理得：；
任務(wù)2：根據(jù)題意得：“雅”服裝每天獲利為：，
∴，
整理得：
∴
任務(wù)3：由任務(wù)2得，
∴當(dāng)時(shí)，獲得最大利潤(rùn)，
，
∴，
∵開口向下，
∴取或，
當(dāng)時(shí)，，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
∴，
綜上：安排19名工人加工“雅”服裝，17名工人加工“風(fēng)”服裝，34名工人加工“正”服裝，即可獲得最大利潤(rùn)．
24．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）定義
我們把數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值．?dāng)?shù)軸上表示數(shù)a，b的點(diǎn)A，B之間的距離．特別的，當(dāng)時(shí)，表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于．當(dāng)時(shí)，表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于．
應(yīng)用
如圖，在數(shù)軸上，動(dòng)點(diǎn)A從表示的點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)B從表示12的點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)．
(1)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)A，B之間的距離等于3個(gè)單位長(zhǎng)度？
(2)求點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和的最小值．
【答案】(1)過(guò)4秒或6秒
(2)3
【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，絕對(duì)值的意義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：
（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，則A表示的數(shù)為，B表示的數(shù)為，根據(jù)“點(diǎn)A，B之間的距離等于3個(gè)單位長(zhǎng)度”列方程求解即可；
（2）先求出點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和為，然后分，，三種情況討論，利用絕對(duì)值的意義，不等式的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，則A表示的數(shù)為，B表示的數(shù)為，
根據(jù)題意，得，
解得或6，
答，經(jīng)過(guò)4秒或6秒，點(diǎn)A，B之間的距離等于3個(gè)單位長(zhǎng)度；
（2）解：由（1）知：點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和為，
當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴，即，
當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴，即，
當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴，即，
綜上，，
∴點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和的最小值為3．
25．（2024·甘肅·中考真題）習(xí)近平總書記于2021年指出，中國(guó)將力爭(zhēng)2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰、2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．甘肅省風(fēng)能資源豐富，風(fēng)力發(fā)電發(fā)展迅速．某學(xué)習(xí)小組成員查閱資料得知，在風(fēng)力發(fā)電機(jī)組中，“風(fēng)電塔筒”非常重要，它的高度是一個(gè)重要的設(shè)計(jì)參數(shù)．于是小組成員開展了“測(cè)量風(fēng)電塔筒高度”的實(shí)踐活動(dòng)．如圖，已知一風(fēng)電塔筒垂直于地面，測(cè)角儀，在兩側(cè)，，點(diǎn)C與點(diǎn)E相距（點(diǎn)C，H，E在同一條直線上），在D處測(cè)得簡(jiǎn)尖頂點(diǎn)A的仰角為，在F處測(cè)得筒尖頂點(diǎn)A的仰角為．求風(fēng)電塔筒的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，．）
【答案】
【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，過(guò)點(diǎn)作于G，連接，則四邊形是矩形，可得，，再證明四邊形是矩形，則，，進(jìn)一步證明三點(diǎn)共線，得到；設(shè)，解得到；解得到；則，解得，即，則．
【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于G，連接，則四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
由題意可得，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴三點(diǎn)共線，
∴；
設(shè)，
在中，，
∴
∴；
在中，，
∴
∴；
∴，
解得，
∴，
∴，
∴風(fēng)電塔筒的高度約為．
26．（2024·甘肅·中考真題）馬家窯文化以發(fā)達(dá)的彩陶著稱于世，其陶質(zhì)堅(jiān)固，器表細(xì)膩，紅、黑、白彩共用，彩繪線條流暢細(xì)致，圖案繁縟多變，形成了絢麗典雅的藝術(shù)風(fēng)格，創(chuàng)造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術(shù)精品，體現(xiàn)了古代勞動(dòng)人民的智慧．如圖1的彩陶紋樣呈現(xiàn)的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點(diǎn)定位的方法確定圓周的三等分點(diǎn)，這種方法和下面三等分圓周的方法相通．如圖2，已知和圓上一點(diǎn)M．作法如下：
①以點(diǎn)M為圓心，長(zhǎng)為半徑，作弧交于A，B兩點(diǎn)；
②延長(zhǎng)交于點(diǎn)C；
即點(diǎn)A，B，C將的圓周三等分．
(1)請(qǐng)你依據(jù)以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中將的圓周三等分（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)根據(jù)（1）畫出的圖形，連接，，，若的半徑為，則的周長(zhǎng)為______．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖的基本步驟解答即可；
（2）連接，設(shè)的交點(diǎn)為D，得到，根據(jù)的半徑為，是直徑，是等邊三角形，計(jì)算即可．
本題考查了尺規(guī)作圖，圓的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法和圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）根據(jù)基本作圖的步驟，作圖如下：
則點(diǎn)A，B，C是求作的的圓周三等分點(diǎn)．
（2）連接，設(shè)的交點(diǎn)為D，
根據(jù)垂徑定理得到，
∵的半徑為，是直徑，是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴的周長(zhǎng)為，
故答案為：．
27．（2024·河南·中考真題）綜合與實(shí)踐
在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過(guò)程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，對(duì)“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”進(jìn)行研究
定義：至少有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形．

(1)操作判斷
用分別含有和角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個(gè)四邊形，其中是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的有________（填序號(hào)）．
(2)性質(zhì)探究
根據(jù)定義可得出鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的邊、角的性質(zhì)．下面研究與對(duì)角線相關(guān)的性質(zhì)．
如圖2，四邊形是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，，是它的一條對(duì)角線．
①寫出圖中相等的角，并說(shuō)明理由；
②若，，，求的長(zhǎng)（用含m，n，的式子表示）．
(3)拓展應(yīng)用
如圖3，在中，，，，分別在邊，上取點(diǎn)M，N，使四邊形是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形．當(dāng)該鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形僅有一組鄰邊相等時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．
【答案】(1)②④
(2)①．理由見(jiàn)解析；②
(3)或
【分析】（1）根據(jù)鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的定義判斷即可；
（2）①延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接，根據(jù)鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形定義、補(bǔ)角的性質(zhì)可得出，證明，得出，，根據(jù)等邊對(duì)等角得出，即可得出結(jié)論；
②過(guò)A作于F，根據(jù)三線合一性質(zhì)可求出，由①可得，在中，根據(jù)余弦的定義求解即可；
（3）分，，，四種情況討論即可．
【詳解】（1）解：觀察圖知，圖①和圖③中不存在對(duì)角互補(bǔ)，圖2和圖4中存在對(duì)角互補(bǔ)且鄰邊相等，
故圖②和圖④中四邊形是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，
故答案為：②④；
（2）解：①，理由：
延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接，
∵四邊形是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②過(guò)A作于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：∵，，，
∴，
∵四邊形是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，如圖，連接，過(guò)N作于H，
∴，
在中，
在中，
∴，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，如圖，連接，
∵，
∴，
∴，故不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，連接，過(guò)N作于H，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，如圖，連接，
∵，
∴，
∴，故不符合題意，舍去；
綜上，的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，明確題意，理解新定義，添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形、相似三角形是解題的關(guān)鍵．
28．（2024·四川甘孜·中考真題）【定義與性質(zhì)】
如圖，記二次函數(shù)和的圖象分別為拋物線C和．
定義：若拋物線的頂點(diǎn)在拋物線C上，則稱是C的伴隨拋物線．
性質(zhì)：①一條拋物線有無(wú)數(shù)條伴隨拋物線；
②若是C的伴隨拋物線，則C也是的伴隨拋物線，即C的頂點(diǎn)在上．
【理解與運(yùn)用】
（1）若二次函數(shù)和的圖象都是拋物線的伴隨拋物線，則______，______．
【思考與探究】
（2）設(shè)函數(shù)的圖象為拋物線．
①若函數(shù)的圖象為拋物線，且始終是的伴隨拋物線，求d，e的值；
②若拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．

【答案】（1）2；；（2）①；②或
【分析】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用及新定義理解，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象求解是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意確定點(diǎn)在的伴隨拋物線上，代入求解即可；
（2）①根據(jù)題意確定頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，然后代入解析式得出，即可求解；
②根據(jù)題意得出頂點(diǎn)坐標(biāo)在圖像上滑動(dòng)，然后分情況分析即可得出結(jié)果．
【詳解】解：（1）二次函數(shù)和的圖象都是拋物線的伴隨拋物線，
∴點(diǎn)在的伴隨拋物線上，
代入得：，，
解得：，，
故答案為：2；；
（2）①，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，
∵函數(shù)的圖象為拋物線，且始終是的伴隨拋物線，
∴，
整理得：，
∴；
②∵與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，
由①得：函數(shù)的圖象為拋物線，且始終是的伴隨拋物線，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)在圖像上滑動(dòng)，
頂點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，
解得：或，
拋物線與x軸交兩個(gè)點(diǎn)，
當(dāng)頂點(diǎn)在下方時(shí)，拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，，
∵若是C的伴隨拋物線，則C也是的伴隨拋物線，即C的頂點(diǎn)在上．
∴在上，
當(dāng)頂點(diǎn)在下方時(shí)，；
綜上可得：或．
29．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，給出如下定義：當(dāng)點(diǎn)，滿足時(shí)，稱點(diǎn)是點(diǎn)的等和點(diǎn)．
(1)已知點(diǎn)，在，，中，是點(diǎn)等和點(diǎn)的有_____；
(2)若點(diǎn)的等和點(diǎn)在直線上，求的值；
(3)已知，雙曲線和直線，滿足的取值范圍是或．若點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)的等和點(diǎn)在直線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)和；
(2)；
(3)或．
【分析】（）根據(jù)等和點(diǎn)的定義判斷即可求解；
（）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)等和點(diǎn)的定義得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求解；
（）由題意可得，，雙曲線分布在一、三象限內(nèi)，設(shè)直線與雙曲線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，如圖，由時(shí)的取值范圍是或，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即得，得到反比例函數(shù)解析式為，設(shè)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)等和點(diǎn)的定義得，代入得，解方程得，，據(jù)此即可求解；
本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)新定義運(yùn)算，一次函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，理解等和點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：由，得，，
∴點(diǎn)是點(diǎn)的等和點(diǎn)；
由，得，，，
∵，
∴不是點(diǎn)的等和點(diǎn)；
由，得，，
∴是點(diǎn)的等和點(diǎn)；
故答案為：和；
（2）解：設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)是點(diǎn)的等和點(diǎn)，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)在直線上，
∴，
∴；
（3）解：由題意可得，，雙曲線分布在一、三象限內(nèi)，設(shè)直線與雙曲線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，如圖，由時(shí)的取值范圍是或，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
把代入得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函數(shù)解析式為，
設(shè)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)是點(diǎn)的等和點(diǎn)，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
∴，
∵點(diǎn)在直線上，
∴，
整理得，，
去分母得，，
解得，，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
30．（2024·廣東深圳·中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作關(guān)于不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點(diǎn)是這條邊的中點(diǎn)，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．
(1)如圖1所示，四邊形為“垂中平行四邊形”，，，則________；________；
(2)如圖2，若四邊形為“垂中平行四邊形”，且，猜想與的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)①如圖3所示，在中，，，交于點(diǎn)，請(qǐng)畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點(diǎn)在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；
②若關(guān)于直線對(duì)稱得到，連接，作射線交①中所畫平行四邊形的邊于點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫出的值．
【答案】(1)，
(2)，理由見(jiàn)解析
(3)①見(jiàn)解析；②或．
【分析】（1）根據(jù)題意可推出，得到，從而推出，再根據(jù)勾股定理可求得，再求得；
（2）根據(jù)題意可推出，得到，設(shè)，則，，再利用勾股定理得到，從而推出、，即可求得答案；
（3）①分情況討論，第一種情況，作的平行線，使，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)；第二種情況，作的平分線，取交的平分線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在射線上取，連接；第三種情況，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，作的垂直平分線；
在延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使，連接；
②根據(jù)①中的三種情況討論：
第一種情況，根據(jù)題意可證得是等腰三角形，作，則，可推出，從而推出，計(jì)算可得，最后利用勾股定理即可求得；
第二種情況，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，同理可得是等腰三角形，連接，可由，結(jié)合三線合一推出，從而推出，同第一種情況即可求得；
第三種情況無(wú)交點(diǎn)，不符合題意．
【詳解】（1）解：，為的中點(diǎn)，，，，
，，
，即，解得，
，
；
故答案為：1；；
（2）解：，理由如下：
根據(jù)題意，在垂中四邊形中，，且為的中點(diǎn)，
，；
又，
，
；
設(shè)，則，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：①第一種情況：
作的平行線，使，連接，
則四邊形為平行四邊形；
延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
，
，
，
，，
，即，
為的中點(diǎn)；
故如圖1所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：

第二種情況：
作的平分線，取交的平分線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在射線上取，連接，
故為的中點(diǎn)；
同理可證明：，
則，
則四邊形是平行四邊形；
故如圖2所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：
第三種情況：
作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，作的垂直平分線；
在延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使，連接，
則為的中點(diǎn)，
同理可證明，從而，
故四邊形是平行四邊形；
故如圖3所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：
②若按照?qǐng)D1作圖，
由題意可知，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
是等腰三角形；
過(guò)P作于H，則，
，，
，，
，
；
,，
，
，即
∴
若按照?qǐng)D2作圖，
延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，
同理可得：是等腰三角形，
連接，
，
，
，
，
；
同理，，
，，，
，即，
，
若按照?qǐng)D3作圖，則：沒(méi)有交點(diǎn)，不存在PE（不符合題意）
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂中平行四邊形的定義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意并作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．
31．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對(duì)于的弦和不在直線上的點(diǎn)，給出如下定義：若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上或其內(nèi)部，且，則稱點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”．
(1)如圖，點(diǎn)，．
①在點(diǎn)，，中，點(diǎn)___________是弦的“可及點(diǎn)”，其中____________；
②若點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為__________；
(2)已知是直線上一點(diǎn)，且存在的弦，使得點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”．記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)①，45；②
(2)或
【分析】（1）由相對(duì)運(yùn)動(dòng)理解，作出關(guān)于的對(duì)稱圓，若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上或其內(nèi)部，且，則稱點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”，則點(diǎn)C應(yīng)在的圓內(nèi)或圓上，先求得，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法分別判斷即可得出在上，故符合題意，根據(jù)圓周角定理即可求解；
②取中點(diǎn)為H，連接，可確定點(diǎn)D在以H為圓心，為半徑的上方半圓上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)A、B），當(dāng)軸時(shí)，點(diǎn)D橫坐標(biāo)最大，可求，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為；
（2）反過(guò)來(lái)思考，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)理解，作出關(guān)于的對(duì)稱圓，故點(diǎn)P需要在的圓內(nèi)或圓上，作出的外接圓，連接，則點(diǎn)P在以為圓心，為半徑的上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)M、N），可求，隨著的增大，會(huì)越來(lái)越靠近，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)P在上，即為臨界狀態(tài)，此時(shí)最大，，由，故當(dāng)最大，時(shí)，此時(shí)為等邊三角形，此時(shí)，故當(dāng)，的最大值為2，設(shè)，則，解得：，可求直線與交于點(diǎn)，，故t的取值范圍是或．
【詳解】（1）解：①：反過(guò)來(lái)思考，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)理解，作出關(guān)于的對(duì)稱圓，
∵若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上或其內(nèi)部，且，則稱點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”，
∴點(diǎn)C應(yīng)在的圓內(nèi)或圓上，
∵點(diǎn)，，
∴，
而，
∴,
由對(duì)稱得：，
∴為等腰直角三角形，
∴,
設(shè)半徑為，
則,故在外，不符合題意；
，故在上，符合題意；
，故在外，不符合題意，
∴點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”，
可知三點(diǎn)共線，
∵，
∴，
故答案為：，45；
②取中點(diǎn)為H，連接，

∵，
∴，
∴點(diǎn)D在以H為圓心，為半徑的上方半圓上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)A、B），
∴當(dāng)點(diǎn)軸時(shí)，點(diǎn)D橫坐標(biāo)最大，
∵，，
∴，
∴，
∵點(diǎn)，，
∴，
∴此時(shí)，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為，
故答案為：；
（2）解：反過(guò)來(lái)思考，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)理解，作出關(guān)于的對(duì)稱圓，
∵若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上或其內(nèi)部，且，則稱點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”，
∴點(diǎn)C應(yīng)在的圓內(nèi)或圓上，
故點(diǎn)P需要在的圓內(nèi)或圓上，
作出的外接圓，連接，
∴點(diǎn)P在以為圓心，為半徑的上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)M、N），
∴，
∴，
由對(duì)稱得點(diǎn)在的垂直平分線上，
∵的外接圓為，
∴點(diǎn)也在的垂直平分線上，記與交于點(diǎn)Q，
∴，
∴，
隨著的增大，會(huì)越來(lái)越靠近，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)P在上，即為臨界狀態(tài)，此時(shí)最大，，
連接，
∵，
∴當(dāng)最大,時(shí)，此時(shí)為等邊三角形，
由上述過(guò)程知
∴，
∴當(dāng)，的最大值為2，
設(shè)，則，
解得：，
而記直線與交于，與y軸交于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)S作軸，
當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，
解得，
∴與x軸交于點(diǎn)，
∴，而
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴t的取值范圍是或．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，軸對(duì)稱變換，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，圓周角定理，解直角三角形，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，已知兩點(diǎn)求距離等知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線，找到臨界狀態(tài)情況是解題的關(guān)鍵．
A
B
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
原四邊形對(duì)角線關(guān)系
中點(diǎn)四邊形形狀
不相等、不垂直
平行四邊形
原四邊形對(duì)角線關(guān)系
中點(diǎn)四邊形形狀
不相等、不垂直
平行四邊形
菱形
原四邊形對(duì)角線關(guān)系
中點(diǎn)四邊形形狀
不相等、不垂直
平行四邊形
②________
原四邊形對(duì)角線關(guān)系
中點(diǎn)四邊形形狀
③________
④________
制定加工方案
生產(chǎn)背景
背景1
◆某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝，有“風(fēng)”“雅”“正”三種樣式．
◆因工藝需要，每位工人每天可加工且只能加工“風(fēng)”服裝2件，或“雅”服裝1件，或“正”服裝1件．
◆要求全廠每天加工“雅”服裝至少10件，“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等.
背景2
每天加工的服裝都能銷售出去，扣除各種成本，服裝廠的獲利情況為：
①“風(fēng)”服裝：24元/件；
②“正”服裝：48元/件；
③“雅”服裝：當(dāng)每天加工10件時(shí)，每件獲利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件獲利將減少2元．
信息整理
現(xiàn)安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，列表如下：
服裝種類
加工人數(shù)（人）
每人每天加工量（件）
平均每件獲利（元）
風(fēng)
y
2
24
雅
x
1
正
1
48
探究任務(wù)
任務(wù)1
探尋變量關(guān)系
求x、y之間的數(shù)量關(guān)系．
任務(wù)2
建立數(shù)學(xué)模型
設(shè)該工廠每天的總利潤(rùn)為w元，求w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
任務(wù)3
擬定加工方案
制定使每天總利潤(rùn)最大的加工方案．

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