1. （2024屆廣東省江門市部分學(xué)校高三上學(xué)期9月聯(lián)考）在直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離是它到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的距離的2倍，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)直線 SKIPIF 1 < 0 與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值．
【解析】（1）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)辄c(diǎn)P到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離是它到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的距離的2倍，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，故曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立方程組 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為3．
故 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值為3．

2．（2023屆四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在 SKIPIF 1 < 0 軸上，離心率 SKIPIF 1 < 0 ，且過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，且直線 SKIPIF 1 < 0 的傾斜角互補(bǔ)，判斷直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）設(shè)橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意知 SKIPIF 1 < 0 ，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又橢圓過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由題意可知直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
需滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直線 SKIPIF 1 < 0 的傾斜角互補(bǔ)， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
將 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為定值，其定值為2.
3.（2024屆安徽省皖東智校協(xié)作聯(lián)盟高三上學(xué)期10月聯(lián)考）平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為動(dòng)點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 垂直，垂足 SKIPIF 1 < 0 位于第一象限， SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 垂直，垂足 SKIPIF 1 < 0 位于第四象限， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，記動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱， SKIPIF 1 < 0 的角平分線為直線 SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂線，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于另一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【解析】（1）由題意設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，由點(diǎn)到直線距離公式得
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又∵垂足 SKIPIF 1 < 0 位于第一象限，
垂足 SKIPIF 1 < 0 位于第四象限， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：由對(duì)稱性，不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 在第一象限，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的角平分線，
則有 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同理得： SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 中，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，化簡(jiǎn)得： SKIPIF 1 < 0 .
將 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 代入，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由點(diǎn)到直線距離公式得： SKIPIF 1 < 0 .
由直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
將 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)代入，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，將其與 SKIPIF 1 < 0 聯(lián)立得：
SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由均值不等式， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立.
∴ SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
二、長(zhǎng)度與周長(zhǎng)問(wèn)題
4. （2024屆云南省三校高三聯(lián)考）已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的距離和它到直線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的距離的比是常數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相切，切點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在第四象限，直線 SKIPIF 1 < 0 與曲線 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，求證： SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng)為定值．
【解析】（1）
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，由條件可知： SKIPIF 1 < 0 ，等號(hào)的兩邊平方，整理后得： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
由（1）的結(jié)論知：曲線C是方程為 SKIPIF 1 < 0 的橢圓，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，依題意有： SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，所以直線l的方程為： SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立方程： SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由條件可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 ，即定值為10；
綜上，曲線C的方向?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 .
5．（2023屆福建省廈門第一中學(xué)高三四模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是橢圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓的方程；
(2)直線 SKIPIF 1 < 0 ，與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 軸分別交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，與橢圓相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（i）求 SKIPIF 1 < 0 的面積與 SKIPIF 1 < 0 的面積之比；
（ⅱ）證明： SKIPIF 1 < 0 為定值.
【解析】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是橢圓 SKIPIF 1 < 0 ，的兩個(gè)頂點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，
直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴橢圓的方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立方程 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（i） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的面積與 SKIPIF 1 < 0 的面積之比為1；
（ii）證明： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
綜上， SKIPIF 1 < 0 .
三、面積問(wèn)題
6.（2023屆四川省南充高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期第三次模擬） 已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，離心率為 SKIPIF 1 < 0 .點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是橢圓 SKIPIF 1 < 0 上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線 SKIPIF 1 < 0 分別與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng)為8.
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面積分別為 SKIPIF 1 < 0 .求證： SKIPIF 1 < 0 為定值.
【解析】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由橢圓的離心率 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）證明：設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
可設(shè)直線PA的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立方程 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得， SKIPIF 1 < 0 ．
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 是定值．
7．（2023屆河北省唐山市遷西縣第一中學(xué)高三二模）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 ，連接E的四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為4， SKIPIF 1 < 0 是E上一點(diǎn)．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)斜率為 SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，D為線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若E上存在點(diǎn)C，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求三角形 SKIPIF 1 < 0 的面積．
【解析】（1）由題意知連接E的四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，
又點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在E上，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故橢圓E的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 為三角形 SKIPIF 1 < 0 的重心，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故由 SKIPIF 1 < 0 在橢圓E上，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．

8．（2023屆新疆伊犁州伊寧縣第三中學(xué)高三上學(xué)期診斷）已知橢圓C： SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，直線l與直線OM的斜率乘積為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若四邊形OAPB為平行四邊形，求四邊形OAPB的面積.
【解析】（1）由題意可設(shè)：直線l SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
可得：直線l的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，直線OM的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在橢圓C上，則 SKIPIF 1 < 0 ，
兩式相減得整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)辄c(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在橢圓C上，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因?yàn)樗倪呅蜲APB為平行四邊形，則M為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，可得直線l的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直線l的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線l的距離 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知：橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四邊形OAPB的面積 SKIPIF 1 < 0 .

四、斜率問(wèn)題
9. （2024屆陜西省商洛市部分學(xué)校高三上學(xué)期10月測(cè)試）已知橢圓C： SKIPIF 1 < 0 過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，且C的右焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求C的離心率；
(2)過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，P直線 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，記直線PM，PN，PF的斜率分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 得C的半焦距為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又C過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故C的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）

由（1）可知C的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由題意可得直線MN的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ，消去y可得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ．
10．（2024屆山東省金科大聯(lián)考高三上學(xué)期9月質(zhì)量檢測(cè)）如圖，已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在雙曲線 SKIPIF 1 < 0 上，雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的左頂點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且不與 SKIPIF 1 < 0 軸重合的直線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 分別交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn).

(1)求雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)證明：直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn).
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在雙曲線上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由題可知，直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率不等于零，故可設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，與漸近線 SKIPIF 1 < 0 平行，
此時(shí)直線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（3）（i）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 軸時(shí)， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由于對(duì)稱性， SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí)直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ；
（ii）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 不垂直于 SKIPIF 1 < 0 軸時(shí)，以下證明直線 SKIPIF 1 < 0 仍過(guò)定點(diǎn)設(shè)為 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
同理，將上述過(guò)程中 SKIPIF 1 < 0 替換為 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線，即此時(shí)直線 SKIPIF 1 < 0 恒過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
綜上直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
11．（2024屆河南省周口市項(xiàng)城市高三5校青桐鳴大聯(lián)考）已知 SKIPIF 1 < 0 是橢圓 SKIPIF 1 < 0 上的兩點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 關(guān)于原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱， SKIPIF 1 < 0 是橢圓 SKIPIF 1 < 0 上異于 SKIPIF 1 < 0 的一點(diǎn)，直線 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的斜率滿足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若斜率存在且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線 SKIPIF 1 < 0 交橢圓 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 異于橢圓 SKIPIF 1 < 0 的上、下頂點(diǎn)），當(dāng) SKIPIF 1 < 0 的面積最大時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
化簡(jiǎn)得 SKIPIF 1 < 0 ，
故橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
設(shè) SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
將 SKIPIF 1 < 0 代入橢圓方程整理得，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
又原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面積最大.
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
五、定點(diǎn)問(wèn)題
12. （2024屆四川省達(dá)州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三9月月考）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 是橢圓 SKIPIF 1 < 0 上異于 SKIPIF 1 < 0 的兩動(dòng)點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率均存在.并分別記為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)證明直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn).
【解析】（1）∵橢圓過(guò) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為： SKIPIF 1 < 0 ，
（2）如圖所示：
由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱．
在 SKIPIF 1 < 0 上任取一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱的點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
從而 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
從而 SKIPIF 1 < 0 ．
同理 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由（1）有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
為方便，記 SKIPIF 1 < 0 ，則
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
由此可知，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 變化時(shí)，直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
13．（2024屆廣西玉林市高三聯(lián)考）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，且點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)橢圓 SKIPIF 1 < 0 的上、下頂點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，若直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，證明：直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).
【解析】（1）因?yàn)闄E圓 SKIPIF 1 < 0 的左焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由定義知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由橢圓的方程 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
且直線 SKIPIF 1 < 0 斜率存在，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為： SKIPIF 1 < 0 ，
與橢圓方程 SKIPIF 1 < 0 聯(lián)立得：
SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0
直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
由直線 SKIPIF 1 < 0 和直線 SKIPIF 1 < 0 交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4得， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
又因點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上，故 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
化簡(jiǎn)可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，與題意不符.
故 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 恒過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0

14．（2024屆貴州省高三適應(yīng)性聯(lián)考）已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的一條漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，焦點(diǎn)到漸近線的距離為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)過(guò)雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的右焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作互相垂直的兩條弦（斜率均存在） SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .兩條弦的中點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，那么直線 SKIPIF 1 < 0 是否過(guò)定點(diǎn)?若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明原因；若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo).
【解析】（1）設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，
依題意漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可知右焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由聯(lián)立直線與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 ，
化簡(jiǎn)得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
化簡(jiǎn)得 SKIPIF 1 < 0 ，
故直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
六、定值問(wèn)題
15.（2023屆陜西省丹鳳中學(xué)高三模擬演練）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左、右頂點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上運(yùn)動(dòng)，且 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值為8．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，直線 SKIPIF 1 < 0 分別交直線 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，試問(wèn) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積之比是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．
【解析】（1）由題意得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①．
當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的面積取得最大值，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ②．
聯(lián)立①②，得 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積之比為定值．
由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 ．
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積之比為
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積之比為定值 SKIPIF 1 < 0 ．
16．（2024屆湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左右焦點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 是橢圓的中心，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為其上的一點(diǎn)滿足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)設(shè)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 交橢圓 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，若在 SKIPIF 1 < 0 上存在一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率與直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和為定值，求 SKIPIF 1 < 0 的范圍．
【解析】（1）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為： SKIPIF 1 < 0
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 為常數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，而此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
綜上所述， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，存在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率與直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和為定值 SKIPIF 1 < 0
17．（2024屆廣西百色市貴百聯(lián)考高三上學(xué)期9月月考）已知雙曲線C： SKIPIF 1 < 0 一個(gè)焦點(diǎn)F到漸近線的距離為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得 SKIPIF 1 < 0 為定值？如果存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)及該定值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）由雙曲線得漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴雙曲線C方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）依題意，直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率不為0，設(shè)其方程為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
若要上式為定值，則必須有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故存在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0

七、最值與范圍問(wèn)題
18. （2023屆重慶市南開(kāi)中學(xué)校高三下學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左右焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 為橢圓 SKIPIF 1 < 0 上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 SKIPIF 1 < 0 分別與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于另外三點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，有 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【解析】（1）由題知 SKIPIF 1 < 0 ，代入橢圓 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
代入橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由題知 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 為短軸端點(diǎn)時(shí)取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
19．（2024屆四川省南充高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為橢圓 SKIPIF 1 < 0 的兩個(gè)焦點(diǎn)．且 SKIPIF 1 < 0 ，P為橢圓上一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)右焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 交橢圓于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，若 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 SKIPIF 1 < 0 交直線 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【解析】（1）依題意 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）依題意可知直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸不重合，設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .

20．（2024屆湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 過(guò) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；
(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在定直線 SKIPIF 1 < 0 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別交橢圓于兩點(diǎn)P和Q.
（i）證明：點(diǎn)B在以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓內(nèi)；
（ii）求四邊形 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值.
【解析】（1）依題意將 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)代入橢圓 SKIPIF 1 < 0 可得
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以橢圓方程為 SKIPIF 1 < 0
（2）（i）易知 SKIPIF 1 < 0 ，由橢圓對(duì)稱性可知，不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
根據(jù)題意可知直線 SKIPIF 1 < 0 斜率均存在，且 SKIPIF 1 < 0 ；
所以直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
聯(lián)立直線 SKIPIF 1 < 0 和橢圓方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ；
由韋達(dá)定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；
聯(lián)立直線 SKIPIF 1 < 0 和橢圓方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ；
由韋達(dá)定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
即可知 SKIPIF 1 < 0 為鈍角，
所以點(diǎn)B在以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓內(nèi)；
（ii）易知四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立；
由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由對(duì)稱性可知，即當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積最大，最大值為6.
八、與向量交匯問(wèn)題
21. （2023屆廣東省揭陽(yáng)市惠來(lái)縣第一中學(xué)高三最后一模）如圖，矩形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，以某動(dòng)直線 SKIPIF 1 < 0 為折痕將矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 都落在 SKIPIF 1 < 0 上，記為 SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，與直線 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡是曲線 SKIPIF 1 < 0 .

(1)建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線交曲線 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【解析】（1）以 SKIPIF 1 < 0 為原點(diǎn)，以 SKIPIF 1 < 0 所在直線為 SKIPIF 1 < 0 軸，以線段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線為 SKIPIF 1 < 0 軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，
直線 SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線為 SKIPIF 1 < 0 ，
將 SKIPIF 1 < 0 代入上式，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)是 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，可得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 是方程組 SKIPIF 1 < 0 的解，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)榉匠?SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有兩個(gè)不同的實(shí)根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 .

22．（2023屆四川省南充高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期第三次模擬 ）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，離心率為 SKIPIF 1 < 0 ．點(diǎn)P是橢圓C上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別與橢圓C交于點(diǎn)A、B， SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng)為8．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 為定值．
【解析】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由離心率為 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
可設(shè)直線PA的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ，化簡(jiǎn)得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得， SKIPIF 1 < 0 ．
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是定值 SKIPIF 1 < 0 .

相關(guān)試卷

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題培優(yōu)練習(xí)專題20 立體幾何解答題分類練（2份打包，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題培優(yōu)練習(xí)專題20 立體幾何解答題分類練（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題培優(yōu)練習(xí)專題20立體幾何解答題分類練原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題培優(yōu)練習(xí)專題20立體幾何解答題分類練解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共47頁(yè)， 歡迎下載使用。

兩年(22-23)高考數(shù)學(xué)真題專題分類匯編專題十 平面解析幾何（2份打包，原卷版+教師版）：

這是一份兩年(22-23)高考數(shù)學(xué)真題專題分類匯編專題十 平面解析幾何（2份打包，原卷版+教師版），文件包含兩年22-23高考數(shù)學(xué)真題專題分類匯編專題十平面解析幾何原卷版doc、兩年22-23高考數(shù)學(xué)真題專題分類匯編專題十平面解析幾何教師版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共58頁(yè)， 歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)模擬卷分類匯編（三期)專題13《平面解析幾何》解答題(2份打包，解析版+原卷版)：

這是一份新高考數(shù)學(xué)模擬卷分類匯編（三期)專題13《平面解析幾何》解答題(2份打包，解析版+原卷版)，文件包含新高考數(shù)學(xué)模擬卷分類匯編三期專題13《平面解析幾何》解答題解析版doc、新高考數(shù)學(xué)模擬卷分類匯編三期專題13《平面解析幾何》解答題原卷版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共27頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

新高考數(shù)學(xué)模擬卷分類匯編（一期)專題13《 解析幾何 》解答題（2份打包，解析版+原卷版）

新高考數(shù)學(xué)模擬卷分類匯編（一期)專題13《 解析幾何 》解答題（2份打包，解析版+原卷版）
新高考數(shù)學(xué)模擬卷分類匯編（四期)專題13《平面解析幾何》解答題(2份打包，解析版+原卷版)

新高考數(shù)學(xué)模擬卷分類匯編（四期)專題13《平面解析幾何》解答題(2份打包，解析版+原卷版)
新高考數(shù)學(xué)模擬卷分類匯編（四期)專題05《平面解析幾何》(2份打包，解析版+原卷版)

新高考數(shù)學(xué)模擬卷分類匯編（四期)專題05《平面解析幾何》(2份打包，解析版+原卷版)
新高考數(shù)學(xué)模擬卷分類匯編（二期)專題05《平面解析幾何》(2份打包，解析版+原卷版)

新高考數(shù)學(xué)模擬卷分類匯編（二期)專題05《平面解析幾何》(2份打包，解析版+原卷版)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部