(1)已知，求最小值；
(2)討論函數(shù)單調性.
2．（2023秋·山東青島·高三山東省青島第五十八中學校考階段練習）已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)討論的單調性.
3．（2023·陜西寶雞·?？寄M預測）設函數(shù)
(1)若時函數(shù)有三個互不相同的零點，求m的范圍；
(2)若函數(shù)在內(nèi)沒有極值點，求a的范圍；
4．（2023·浙江杭州·校考模擬預測）設函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)若函數(shù)有兩個零點，，求滿足條件的最小正整數(shù)的值.
5．（2023·江西南昌·?？寄M預測）已知函數(shù)和有相同的最小值．
(1)求；
(2)是否存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列？說明理由．
6．（2023·海南?？凇まr(nóng)墾中學校考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)的單調性；
(2)設，證明：當時，函數(shù)有三個零點．
7．（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學?？寄M預測）已知函數(shù)，．
(1)討論的單調性；
(2)當時，證明：函數(shù)有兩個不同的零點．
8．（2023·河北保定·河北省唐縣第一中學?？级＃┮阎瘮?shù)，其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)若，求的最小值；
(2)若函數(shù)恰有一個零點，求a的值．
9．（2023·河南開封·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)的圖象與直線相切，求實數(shù)的值；
(2)若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍．
10．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，.
(1)若函數(shù)在處的切線的斜率為，求實數(shù)a的值（e是自然對數(shù)的底數(shù)）；
(2)若函數(shù)有且僅有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.
11．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，．
(1)若函數(shù)在處的切線的斜率為，求實數(shù)a的值（e是自然對數(shù)的底數(shù)）；
(2)若函數(shù)有且僅有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．
12．（2023·四川·校聯(lián)考一模）已知函數(shù).
(1)求的單調區(qū)間；
(2)令（a為常數(shù)），若有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.
13．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預測）已知.
(1)當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)當時，證明：函數(shù)有且僅有一個零點.
14．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學?？寄M預測）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)當時，證明：函數(shù)在上有兩個零點．
15．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)設函數(shù)，求的單調區(qū)間；
(3)求的極值點個數(shù)．
16．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的極值；
(2)請在下列①②中選擇一個作答（注意：若選兩個分別作答則按選①給分）.
①若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
②若關于的方程有兩個實根，求實數(shù)的取值范圍.
17．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)討論的單調性；
(2)證明：當時，．
18．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)當時，求的最大值；
(2)若存在極大值點，且極大值不大于，求a的取值范圍．
19．（2023·遼寧撫順·?？寄M預測）已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)在上的最大值．
(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不相等的零點，，證明：．
20．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，．
(1)若滿足，證明：曲線在點處的切線也是曲線的切線；
(2)若，且，證明：．
21．（2023·河南信陽·信陽高中校考模擬預測）已知函數(shù)，.
(1)求實數(shù)的值；
(2)證明：時，.
22．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)有兩個零點.
(1)證明：；
(2)求證：①；②.
23．（2023·江蘇南京·南京市第一中學校考模擬預測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列，滿足，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記，試比較與9的大小，并加以證明．
24．（2023·云南·云南師大附中校考模擬預測）已知函數(shù)，且，．
(1)討論的單調性；
(2)若，函數(shù)有三個零點，，，且，試比較與2的大小，并說明理由．
25．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學?？寄M預測）已知函數(shù)（）有兩個零點.
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)設函數(shù)的兩個零點分別為，，證明：.
26．（2023·四川綿陽·綿陽南山中學實驗學校校考模擬預測）已知函數(shù) .
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)證明：當時，
27．（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？既＃┮阎瘮?shù).
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)若函數(shù)有兩個零點，，且，求證:(其中是自然對數(shù)的底數(shù)).
28．（2023·山東·山東省實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)有三個零點.
(1)求的取值范圍；
(2)設函數(shù)的三個零點由小到大依次是.證明：.
29．（2023·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預測）已知函數(shù).
(1)求不等式的解集；
(2)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，，證明：.
30．（2023·天津濱海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學?？既＃┮阎瘮?shù).
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；
(2)若，求證:；
(3)已知點，是否存在過點P的兩條直線與曲線，相切？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.
31．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，，.
(1)若，求證：；
(2)若函數(shù)與函數(shù)存在兩條公切線，求的取值范圍.
32．（2024·四川成都·石室中學?？寄M預測）已知函數(shù).
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)已知且，求證：.
33．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已知函數(shù).
(1)求的極值；
(2)求證：.
34．（2023·上海普陀·曹楊二中校考三模）已知函數(shù)，.
(1)若存在極值，求的取值范圍；
(2)若，求的值；
(3)對于任意正整數(shù)，是否存在整數(shù)，使得不等式成立？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.
35．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù).
(1)若有兩個不同的零點，求a的取值范圍；
(2)若函數(shù)有兩個不同的極值點，證明：.
36．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，記的導函數(shù)為．
(1)當時，討論的極值點的個數(shù)；
(2)若有三個零點，，，且，證明：．
37．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）設，，
(1)證明：；
(2)若存在直線，其與曲線和共有3個不同交點，，，求證：，，成等比數(shù)列.
38．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)討論的極值；
(2)若（e是自然對數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：．
39．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學?？寄M預測）已知函數(shù)為其極小值點．
(1)求實數(shù)的值；
(2)若存在，使得，求證：．
40．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù).
(1)若，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若有2個不同的零點（），求證：.
專題06 導數(shù)（解答題10種考法）
1．（2023秋·河南信陽·高三?？茧A段練習）已知函數(shù).
(1)已知，求最小值；
(2)討論函數(shù)單調性.
【答案】(1)0
(2)答案見解析
【解析】（1）當時，，
所以.
時，，
時，，時，，
在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，
故最小值為.
（2），
時，當時，，當時，，
在上單調遞減，在上單調遞增.
當時，當或時，在和上單調遞增；
當時， 在上為減函數(shù).
當時，上，在上為增函數(shù).
當時，當或時，在和為增函數(shù)；
當時，在上為減函數(shù).
綜上，時，在上單調遞減，在上單調遞增；
時，在和上單調遞增，在上為減函數(shù)；
時，在上為增函數(shù)；
時，在和為增函數(shù)，在上為減函數(shù).
2．（2023秋·山東青島·高三山東省青島第五十八中學校考階段練習）已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)討論的單調性.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【解析】（1）當時，，
所以
由于，，
所以切線為，即.
（2）因為，
所以.
當時，.
所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.
故的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.
當時，由，得，
所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，.
故的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為.
當時，，故的單調遞增區(qū)間為.
當時，由，得，.
所以在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，.
故的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為.
綜上所述：當時，的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是；
當時，的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是；
當時，的單調遞增區(qū)間是；
當時，單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是.
3．（2023·陜西寶雞·校考模擬預測）設函數(shù)
(1)若時函數(shù)有三個互不相同的零點，求m的范圍；
(2)若函數(shù)在內(nèi)沒有極值點，求a的范圍；
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）當時，，
因為有三個互不相同的零點，所以，
即有三個互不相同的實數(shù)根．
令，則．
令，令，
所以在和均為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
即的極小值為，極大值為，

故m的取值范圍．
（2）由題意可知，在上沒有變號零點，
又因為，所以，解之得．
故a的范圍為.
4．（2023·浙江杭州·?？寄M預測）設函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)若函數(shù)有兩個零點，，求滿足條件的最小正整數(shù)的值.
【答案】(1)答案詳見解析
(2)
【解析】（1）的定義域是，
，
當時，，所以在上單調遞增，
當時，，
所以在區(qū)間上單調遞減；
在區(qū)間上單調遞增.
（2），
，
依題意，，所以在區(qū)間上單調遞減；
在區(qū)間上，單調遞增.
所以在時取得極小值也即是最小值.
要使函數(shù)有兩個零點，，
則首先要滿足，
時，，不符合.
時，，不符合.
時，，
，所以，
此時在上單調遞減，在上單調遞增，
，，
，滿足函數(shù)有兩個零點，
所以最小正整數(shù)的值為.
5．（2023·江西南昌·校考模擬預測）已知函數(shù)和有相同的最小值．
(1)求；
(2)是否存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列？說明理由．
【答案】(1)
(2)存在；理由見解析
【解析】（1）由題意可得，．
①若，在上恒成立，在上單調遞增，
即無最小值；
②若，當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增．
所以在處取得最小值，
當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，
所以在處取得最小值，
又與有相同的最小值，
所以，，
設，，則，
令，則，，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增．
所以在處取得最小值，則當時，恒成立，單調遞增．
又，所以．
（2）由（1）得，，
且在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，，
所以和的圖象在上有唯一交點，且交點的縱坐標大于1，
由函數(shù)的單調性及圖象可得存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，
當直線與曲線和共有三個不同交點時，設三個交點的橫坐標分別為，且，
則，
因為，，
所以，
由圖象可知無解，
所以，，所以，，
則，，
上述兩式相減得，即從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.
6．（2023·海南?？凇まr(nóng)墾中學校考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)的單調性；
(2)設，證明：當時，函數(shù)有三個零點．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【解析】（1）根據(jù)題意得，，，
當時，，在上單調遞增；
當時，，得；
令，得，
故在上單調遞減，在上單調遞增．
（2）當時，，
則，
所以當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，故的最小值為，
又，；，，
故．
，
設，，
則，，
則，
由，得．
因此，當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增．
由于，故，又，
由零點存在定理，存在，使得，
所以有兩個零點和，即方程有兩個根和．
的圖象如下，

當時，因為，
故方程有一個根；
當時，其中，
因為，
故由圖角可知，有兩個不同的根，，且．
綜上，當時，函數(shù)有三個零點．
7．（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學校考模擬預測）已知函數(shù)，．
(1)討論的單調性；
(2)當時，證明：函數(shù)有兩個不同的零點．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【解析】（1）由，得．
當時，，函數(shù)單調遞增．
當時，，
所以當時，，函數(shù)單調遞增；
當時，，函數(shù)單調遞減．
綜上，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；
當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．
（2）證明：由得，
所以，
因為，所以，
所以當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以當時，，
因為，所以，下面證明在區(qū)間上與上分別存在一個零點，
因為，
所以在區(qū)間上存在唯一零點，且．
因為，
當時，，
所以，
所以，
所以在區(qū)間上存在唯一零點，且，
所以當時，函數(shù)有兩個不同的零點．
8．（2023·河北保定·河北省唐縣第一中學校考二模）已知函數(shù)，其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)若，求的最小值；
(2)若函數(shù)恰有一個零點，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）當時，，則，，
記，則，
①當時，，，可得，可知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減；
②當時，，，可知函數(shù)單調遞增，又由，可知當時，；
當時，，可知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，
由①②知函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，故有；
（2）因為函數(shù)恰有一個零點，
且，0是函數(shù)的一個零點，又，
不妨設，函數(shù)定義域為，則，
當時，，又，，
所以在恒成立，
則函數(shù)在上單調遞增，即函數(shù)在上單調遞增，
又，
當時，可得，且時，，
則存在，使得，此時在上，有，
在上，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
故當時，，而時，，
故在上存在一個零點，
則此時函數(shù)至少存在兩個零點，又因為0是函數(shù)的唯一零點，故不符合題意；
當時，可得，又，
所以在區(qū)間上存在一點，使得，
故當在上，有，在上，有，
故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
故當時，，而當時，，
故此時函數(shù)在上至少存在一個零點，
又因為0是函數(shù)的唯一零點，故不符合題意；
當時，即時，由（1）知，當時，函數(shù)取得最小值，
最小值，
當時，因為，符合題意.
綜上，滿足條件的值為.
9．（2023·河南開封·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)的圖象與直線相切，求實數(shù)的值；
(2)若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1);
(2).
【解析】（1）設直線與函數(shù)的圖象相切于點，
因為,
所以，由②③可得④，易知.
由①得，代入④可得，
即，即，解得.
故.
（2）令，可得，
由題意可得只有一個根.
易知不是方程的根，所以，
所以由，可得.
設，則與的圖象只有一個交點.
，
當時，，函數(shù)單調遞增；
當時，，函數(shù)單調遞減；
當時，，函數(shù)單調遞增.
設，則，
當時，，函數(shù)單調遞減；
當時，，函數(shù)單調遞增.
所以.
所以.
又，時，，時，，
畫出函數(shù)的圖象如圖所示：

由圖可知，若與的圖象只有一個交點，
則.
所以實數(shù)的取值范圍是.
10．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，.
(1)若函數(shù)在處的切線的斜率為，求實數(shù)a的值（e是自然對數(shù)的底數(shù)）；
(2)若函數(shù)有且僅有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因為，所以，
又，所以，所以，
即，令，則，
又因為在上單調遞增，且，所以，
所以，即.
（2）因為函數(shù)有且僅有兩個零點，
所以有且僅有兩個大于0的實數(shù)根，
又，則，即，
令，則，
由得，由得，由得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，，所以，則，
即，令，則，
由得，由得，由得，
所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，，
當無限趨近于0且為正數(shù)時，無限趨向于負無窮大，
當無限趨向于正無窮大時，無限趨向于0，
所以，所以，故實數(shù)a的取值范圍為.
11．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，．
(1)若函數(shù)在處的切線的斜率為，求實數(shù)a的值（e是自然對數(shù)的底數(shù)）；
(2)若函數(shù)有且僅有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)．
【解析】（1）因為，定義域為，故，
則，即，
即，
令，則，
又因為在上單調遞增，且當時，，
所以，即，．
（2）因為函數(shù)有且僅有兩個零點，
所以有且僅有兩個大于1的實數(shù)根，
又，則，
即，
令，則，
由，得，當時，，當時，，

所以在上單調遞減且，
在上單調遞增且時，
又，，則，則，
即得，
所以，即，
令，則，
當時，，當時，，
所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，，

當時，，且無限趨近于0，
所以，故實數(shù)a的取值范圍為．
12．（2023·四川·校聯(lián)考一模）已知函數(shù).
(1)求的單調區(qū)間；
(2)令（a為常數(shù)），若有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是
(2)
【解析】（1）由題意可知：的定義域為， ，
令，解得；令，解得；
所以的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是.
（2）由題意可知：，其定義域為，
則有兩個零點，即有兩解，即有兩解，
令，則.
令，解得；令，解得；
則的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，
可知，
又因為，且當趨近于，趨近于0，
要使得有兩解，只需，所以，

故實數(shù)a的取值范圍為.
13．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預測）已知.
(1)當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)當時，證明：函數(shù)有且僅有一個零點.
【答案】(1)函數(shù)的單調遞增區(qū)間為,，單調遞減區(qū)間為,
(2)證明見解析
【解析】（1）當時，，
，
由得或，解得或
由得或，解得或，
故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為,，單調遞減區(qū)間為,.
（2）當時，，定義域為，
，
設，
，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，
，
存在唯一，使，即，
當時，，即；
當時，，即；
當時，，即，
在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，
當時，取極大值為
，
設，，
所以在區(qū)間上是減函數(shù).
在內(nèi)無零點，
，
在內(nèi)有且只有一個零點，
綜上所述，有且只有一個零點.
14．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學?？寄M預測）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)當時，證明：函數(shù)在上有兩個零點．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【解析】（1）的定義域為，
令，得或，
當時，在上恒成立，單調遞增，
當時，在上，單調遞增，
在上，單調遞減， 在上，單調遞增，
當時，在上，單調遞增，
在上，單調遞減，在上，單調遞增，
綜上所述， 當時，在上單調遞增，
當時，在，上單調遞增，在上單調遞減，
當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.
（2），
當時，，
則，
令，則，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
又時，，，
所以存在，使得，即
所以在上，單調遞減，在上單調遞增，
所以
，
當且僅當，即時，取等號，
因為，所以，
由，，
所以在上存在的兩個零點，得證.
15．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)設函數(shù)，求的單調區(qū)間；
(3)求的極值點個數(shù)．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)3個
【解析】（1）因為，所以，
因為在處的切線方程為，
所以，，
則，解得，
所以.
（2）由（1）得，
則，
令，解得，不妨設，，則，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上單調遞減，在，上單調遞增，
即的單調遞減區(qū)間為和，單調遞增區(qū)間為和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上單調遞減，在，上單調遞增，
當時，，，即
所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，
此時，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；
所以在上有一個極小值點；
當時，在上單調遞減，
則，故，
所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，
此時，當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減；
所以在上有一個極大值點；
當時，在上單調遞增，
則，故，
所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，
此時，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；
所以在上有一個極小值點；
當時，，
所以，則單調遞增，
所以在上無極值點；
綜上：在和上各有一個極小值點，在上有一個極大值點，共有個極值點.
16．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的極值；
(2)請在下列①②中選擇一個作答（注意：若選兩個分別作答則按選①給分）.
①若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
②若關于的方程有兩個實根，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)極大值為，無極小值
(2)選①，；選②，的取值范圍為
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，
，解得，
當時，，單調遞增；
當時，單調遞減；
所以，無極小值.
（2）若選①：由恒成立，即恒成立，
整理得：，即，
設函數(shù)，則上式為，
因為恒成立，所以單調遞增，所以，
即，
令，，則，
當時，；
當時，；
所以在處取得極大值，的最大值為，故，即.
故當時，恒成立.
若選擇②：由關于的方程有兩個實根，
得有兩個實根，
整理得，
即，
設函數(shù)，則上式為，
因為恒成立，所以單調遞增，
所以，即，
令，，
則，
當時，；
當時，；
所以在處取得極大值，
的最大值為，又因為
所以要想有兩個根，只需要，
即，所以的取值范圍為.
17．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)討論的單調性；
(2)證明：當時，．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【解析】（1）因為，定義域為，所以，
當時，由于，則，故恒成立，
所以在上單調遞減；
當時，令，解得，
當時，，則在上單調遞減；
當時，，則在上單調遞增；
綜上：當時，在上單調遞減；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要證，即證，即證恒成立，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，則恒成立，
所以當時，恒成立，證畢.
方法二：
令，則，
由于在上單調遞增，所以在上單調遞增，
又，
所以當時，；當時，；
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
故，則，當且僅當時，等號成立，
因為，
當且僅當，即時，等號成立，
所以要證，即證，即證，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，則恒成立，
所以當時，恒成立，證畢.
18．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)當時，求的最大值；
(2)若存在極大值點，且極大值不大于，求a的取值范圍．
【答案】(1)最大值為
(2)
【解析】（1）當時，，定義域為，，
當時，；當時，，
∴在上單調遞增；在上單調遞減，
故的最大值為．
（2），，
①當時，，
當時，；當時，，
∴在上單調遞增；在上單調遞減，
所以的極大值為，符合題意．
②當時，
當時，；當時，，∴在上單調遞增，
此時，無極值點．
③當時，令，
解得，且，
當時，；當時，，當時，
∴在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以的極大值，
令，則，設，
則，所以在上單調遞增，
由題意知，即，
所以，即，故
④當時，，
解得或，且滿足，
當時，；當時，，當時，，
∴在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以的極大值為，符合題意．
綜上．
19．（2023·遼寧撫順·校考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)在上的最大值．
(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不相等的零點，，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】（1）∵當時，，
∴．
當時；，函數(shù)在上單調遞減；
當時，，函數(shù)在上單調遞增．
∵，，∴，
∴函數(shù)在上的最大值為．
（2）要證，只需證．
∵，，
∴由①－②得，
整理得．
只需證，
即證，即證．
不妨設，令，則只需證，即證．
設，則只需證當時，即可．
∵，令，則，
∴在上單調遞減，當時，，
∴在上單調遞增，當時，，
∴原不等式得證．
20．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，．
(1)若滿足，證明：曲線在點處的切線也是曲線的切線；
(2)若，且，證明：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】（1）由已知有，,
曲線在點處的切線方程為：,
即：，將代入即有：,
由得令得：，此時,
可得：曲線在點處的切線方程為：
，將代入化簡，
可得：
故曲線在點處的切線也是曲線的切線．
（2）∵，
∴，令，得：，
∴，為方程的兩根，
∴即：，
∴ ∴，
∴
，
令，則，
令，則，
∴在單調遞減 ∴
即
21．（2023·河南信陽·信陽高中校考模擬預測）已知函數(shù)，.
(1)求實數(shù)的值；
(2)證明：時，.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】（1）因為，則，
則，
令，其中，則，
由可得，由可得，
所以，函數(shù)的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為.
故有最小值，故.
（2）由（1）可知，，
當時，要證，即證，即證，
令，則上式等價于，
構造函數(shù)則
故當時，為增函數(shù)；
當時，為減函數(shù)；
由得，故，
故.
當時，
，
故
又是的增區(qū)間，而
故故
即，
當時，，即
在上，為減函數(shù)，故
即，
故原命題得證.
22．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)有兩個零點.
(1)證明：；
(2)求證：①；②.
【答案】(1)證明見解析
(2)①證明見解析；②證明見解析
【解析】（1）由，當時，時，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，則，
所以，
當時，，所以，
若，即時，則時，此時在上不存在零點，
要使有兩個零點，故.
（2）①要證，不妨設，則證，
因為在上單調遞增，即證，
令，，則，
所以在單調遞增，所以，即，得證；
②引理1：當時：
證明：當時，得證.
利用引理1：，所以①，
引理2：：
證明：令，
則，當時，時，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，
利用引理2，因為，所以，
所以，所以②，
由①，②知：.
23．（2023·江蘇南京·南京市第一中學?？寄M預測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列，滿足，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記，試比較與9的大小，并加以證明．
【答案】(1)
(2)，證明見解析
【解析】（1）因為，
所以，
因為的各項均為正，所以，故，即，
所以是以2為公比的等比數(shù)列，
因為，又公比為2，
所以，所以.
（2），證明如下：
令，則，
當時，，即在上單調遞減，
所以，則，即，
設，所以，
所以，
記，則，
所以，
即，則，所以，所以.
24．（2023·云南·云南師大附中?？寄M預測）已知函數(shù)，且，．
(1)討論的單調性；
(2)若，函數(shù)有三個零點，，，且，試比較與2的大小，并說明理由．
【答案】(1)答案見解析
(2)，理由見解析
【解析】（1）由，得，又，所以，
則，所以，．
當時，令，得或；令，得；
所以在和上單調遞增，在上單調遞減；
當時，令，得；令，得或；
所以在與上單調遞減，在上單調遞增．
（2），理由如下：
因為，
由，得，解得或．
因為，所以，，是的正根，則，
又，所以，，
兩式相減得．
令，，則，得，則．
令，則，
所以，，可得，
．
設，則，
再設，則，
所以在上為增函數(shù)，則，
即，則在上為增函數(shù)，
從而，
所以，即，
所以，即．
25．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學校考模擬預測）已知函數(shù)（）有兩個零點.
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)設函數(shù)的兩個零點分別為，，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】（1）當時，恒成立，所以在上沒有零點.
所以若，則.
設（），則.
當時，，所以函數(shù)在上單調遞減；
當時，，所以函數(shù)在上單調遞增.
所以，時，在處取得唯一極小值，也是最小值.
設，則在上單調遞減，在上單調遞增.
當時，，
所以最多有一個零點，即最多有一個零點，不滿足題意；
當時，
因為，所以，，
所以.
又，，
根據(jù)函數(shù)的單調性以及零點存在定理可知，
，有；，有.
且當時，恒成立；
當時，恒成立.
所以，有兩個零點，即存在兩個零點.
綜上，.
（2）由（1）知，，且，
得，即.
設，
得，即，則.
設，則，
設，.
當時，有，所以在上單調遞減；
當時，有，所以在上單調遞增.
所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，
所以，即在上恒成立，
所以函數(shù)在上單調遞增.
又，所以時，有，
即，
即，即，
即.
26．（2023·四川綿陽·綿陽南山中學實驗學校?？寄M預測）已知函數(shù) .
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)證明：當時，
【答案】(1)當時，函數(shù)在上單調遞增；當時，函數(shù) 在上單調遞減，在上單調遞增.
(2)證明見解析
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，因為，
當時，，所以函數(shù)在上單調遞增；
當時，由得，由得，
所以函數(shù) 在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）①因為，不等式等價于，
令，則，由，得，
所以不等式（）等價于：，即：（），
由（1）得：函數(shù)在上單調遞增，
所以，即： ．
②因為，不等式等價于，
令，則，所以，
所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，即．
由①②得：時，.
27．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考三模）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)若函數(shù)有兩個零點，，且，求證:(其中是自然對數(shù)的底數(shù)).
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【解析】（1）函數(shù)定義域為，
，
當時恒成立，所以當時，當時，
所以在上單調遞增，在上單調遞減；
當時令，解得或，
當，即時恒成立，所以在上單調遞增；
當即時，令，解得或，則在，上單調遞增，
令，解得，則在上單調遞減；
當即時，令，解得或，則在，上單調遞增，
令，解得，則在上單調遞減；
綜上可得，當時在上單調遞增，在上單調遞減；
當時在上單調遞增；
當時在，上單調遞增，在上單調遞減；
當時在，上單調遞增，在上單調遞減；
（2）因為，
由題意，是方程的兩個根，
①，②，
①②兩式相加，得③，
①②兩式相減，得④，
聯(lián)立③④，得，
，
設，，，
，，
因為，所以，則，
若，則一定有，
只需證明當時，不等式成立即可，即不等式成立，
設函數(shù)，，
在上單調遞增，故時，，
即證得當時，，即證得，
，即證得，則．
28．（2023·山東·山東省實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)有三個零點.
(1)求的取值范圍；
(2)設函數(shù)的三個零點由小到大依次是.證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】（1）因為定義域為，又，
（?。┊攩握{遞減；
（ⅱ）當，記，則，
當；當，
所以在單調遞增，在上單調遞減，，
又，所以，
①當，則單調遞減，至多一個零點，與題設矛盾；
②當，由（ⅱ）知，有兩個零點，
記兩零點為，且，
則在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，
因為，令，則，
所以，
所以，且趨近0，趨近于正無窮大，趨近正無窮大，趨近負無窮大，
所以函數(shù)有三零點，
綜上所述，；
（2）等價于，即，
令，則，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
由（1）可得，則，
所以，所以，
則滿足，，
要證，等價于證，
易知，令，則，
令得，令得，
所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，
下面證明，由，即證，
即證，
即證，
即證，
令，，
令，則，所以，
所以，則，所以，
所以，所以，
所以，所以原命題得證.
29．（2023·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預測）已知函數(shù).
(1)求不等式的解集；
(2)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】（1）由，得.
所以，所以.
因為，所以.又因為，
所以可設，，則.
當時，，可得函數(shù)在上單調遞增，
所以，即.
故不等式的解集為.
（2）等價于，
令，其中，則，顯然.所以.
令，則，
所以在，上單調遞減，在上單調遞增.
所以的極小值為.
因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，，
所以關于t的方程有兩個不相等的實數(shù)根，，且，.
要證，即證，
即證，只需證.
因為，所以，
整理可得.
不妨設，則只需證，
即證.
令，，，則只需證即可.
因為，所以在上單調遞增.
所以.
故.
30．（2023·天津濱海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學校考三模）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；
(2)若，求證:；
(3)已知點，是否存在過點P的兩條直線與曲線，相切？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)當時，函數(shù)在上單調遞增，無極值；
當時，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，當時，函數(shù)取極小值，無極大值.
(2)證明過程見詳解
(3)存在，
【解析】（1）因為函數(shù)，
則，
當時，，函數(shù)在上單調遞增，無極值；
當時，令，解得，所以函數(shù)在上單調遞增，
若時，，所以函數(shù)在上單調遞減，當時，函數(shù)取極小值，無極大值，
綜上：當時，函數(shù)在上單調遞增，無極值；
當時，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，當時，函數(shù)取極小值，無極大值.
（2）由題意可得；
當時，，函數(shù)在上單調遞增，所以函數(shù)最多一個零點,與題意矛盾；
當時，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，
因為，不妨設，
則有，兩式相減得，
兩式相加得，
欲證，即證，
即證，也即證，
即證，令，，
則，所以函數(shù)在上單調遞增，
因為，所以，
所以得證，即.
（3）存在，理由如下：
設切點為，因為，所以切線的斜率為，
則切線方程為，因為切線過點，
所以，即，
若過點可以作兩條直線與曲線，相切，
則上述關于的方程至少有兩個不同的解，顯然不是該方程的解，
所以關于的方程在上至少有兩個不同的解，
令，
則，
令，則，
當時，，所以函數(shù)在上單調遞減；
當時，，所以函數(shù)在上單調遞增；
所以，則當時，，函數(shù)在上單調遞減；在上單調遞增，
因為， ，則
函數(shù)的大致圖象如下圖所示：

結合圖象可知：當時，
關于的方程在上有兩個不同的解，
此時過點可以作兩條直線與曲線，相切，
所以實數(shù)的取值范圍為.
31．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，，.
(1)若，求證：；
(2)若函數(shù)與函數(shù)存在兩條公切線，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】（1）當時，，
構建，，則，
構建，
因為，所以在上單調遞增，且，
所以當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
則當時，取得最小值，可得
所以當時，.
（2）設函數(shù)與函數(shù)的公切線分別相切于點和點
因為，，
所以的方程可表示為或，
整理得或，
則有①，②
由①可得，代入②可得：,
即，
構建，，則,
構建，則，
且，令，解得；令，解得；
則在上單調遞增，在上單調遞減，
當時，則，可得；
當時，在上單調遞增，，
可得當時，，當時，；
綜上所述：當時，，當時，.
即當時，，即，所以在單調遞增；
當時，，即，所以在單調遞減；
所以，且當x趨近于時，趨近于，當x趨近于時，趨近于，
由上可知，要使函數(shù)與函數(shù)存在兩條公切線，只需直線與函數(shù)圖象有兩個交點，
由圖可知a的取值范圍為.

32．（2024·四川成都·石室中學校考模擬預測）已知函數(shù).
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)已知且，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】（1）由，得.
令，則.
注意到，所以是函數(shù)的極小值點，則，
所以，得.
當時，，則函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，滿足條件，故.
（2）由（1）可得，.
令，則，
所以，即.
令，則，且不恒為零，
所以函數(shù)在上單調遞增，
故，則，
所以，
令分別取，累加得：
.
即證.
33．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已知函數(shù).
(1)求的極值；
(2)求證：.
【答案】(1)的極大值為，沒有極小值
(2)證明見解析
【解析】（1）因為函數(shù)，所以，
設，，
所以在上單調遞增.
又，所以當時，；當時，.
又因為對恒成立，
所以當時，；當時，.
即在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，
故，沒有極小值.
（2）由（1）可知，
所以當且僅當，取“＝”.
由（1）得，
累加得；
由②得，
累加得.
綜上所述，.
34．（2023·上海普陀·曹楊二中校考三模）已知函數(shù)，.
(1)若存在極值，求的取值范圍；
(2)若，求的值；
(3)對于任意正整數(shù)，是否存在整數(shù)，使得不等式成立？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)3
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，
，
當時，恒成立，此時在上單調遞增，無極值；
當時，令得，
時，，時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
此時有極小值為，無極大值.
綜上所述，若存在極值，則的取值范圍是.
（2），
由（1）可知，當時，恒成立，此時在上單調遞增，
與恒成立矛盾；
當時，由（1）可知，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，則需，
若，則，符合題意；
若，則，不合題意舍去；
若，則，不合題意舍去.
綜上所述，.
（3）由（2）可知當時，即，
所以恒成立，當且僅當時取等號，
所以，，
一方面，，
即，
另一方面，，
從而當時，，
因為為正整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，恒成立，
故的最小值為3.
35．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù).
(1)若有兩個不同的零點，求a的取值范圍；
(2)若函數(shù)有兩個不同的極值點，證明：.
【答案】(1)
(2)見解析
【解析】（1）的定義域為，且，
當時，，所以在上單調遞增，不可能有兩個零點，舍去.
當時，令，解得：，令，解得：，
在上單調遞減，在上單調遞增，
因為有兩個不同的零點，則，解得，
當時，，，所以在上存在唯一的一個零點；
當時，取正整數(shù)，則，，
而，
當時，令，
令，，所以在上單調遞增，
，所以，
所以在上單調遞增，，故
又，所以，于是，要使，
只需，即，
這樣，當時，只需取正整數(shù)，則，又，
所以在上存在唯一的一個零點；
綜上，.
（2）（），則.
因為有兩個不同的極值點，（），則，，
要證，只要證，
因為，所以只要證，
又∵，，作差得，所以，
所以原不等式等價于要證明，即.
令，，則以上不等式等價于要證，.
令，，則，，
所以在上單調遞增，，即，，
所以.
36．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，記的導函數(shù)為．
(1)當時，討論的極值點的個數(shù)；
(2)若有三個零點，，，且，證明：．
【答案】(1)當時，函數(shù)的極值點的個數(shù)為；
(2)證明見解析.
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，
導函數(shù)，
即，
所以，
因為，，所以，
所以，
所以在上單調遞減，又，
所以當時，，函數(shù)在上單調遞增，
當時，，函數(shù)在上單調遞減，
所以為函數(shù)的極大值點，函數(shù)沒有極小值點；
所以函數(shù)只有一個極值點；
（2）因為，
由（1）可得當時，函數(shù)有且只有一個零點，不滿足要求，
當時，，
令，可得，
當時，，
所以，故，
函數(shù)在上單調遞增，且，
函數(shù)在上只有一個零點，不滿足要求，
當時，方程有兩個不相等的實數(shù)解，
設其解為，不妨設，
則，
所以，
當時，，函數(shù)在上單調遞增，
當時，，函數(shù)在上單調遞減，
當時，，函數(shù)在上單調遞增，
因為函數(shù)在上單調遞減，，，
所以，，
又當時，，當時，
由，，
所以函數(shù)在，上各存在在一個零點，
所以，
又若為的零點，則，
則，
所以為函數(shù)的一個零點，
所以若為的零點，則必為函數(shù)的一個零點，
所以，
要證明，
只需證明，
只需證明，
又，故，
所以只需證明
只需證明，
設，
則，
函數(shù)在上單調遞減，
所以當時，，
所以當時，，即，
又，所以，
所以.
37．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）設，，
(1)證明：；
(2)若存在直線，其與曲線和共有3個不同交點，，，求證：，，成等比數(shù)列.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】（1）因為，，所以等價于，
即，
令，則只需證，
設，則，
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；
故，即成立，
所以成立，即得證；
（2）記，則，
當時，；當時，．
故在內(nèi)單調遞增，在內(nèi)單調遞減，故；
記，則，
當時，，當時，，
故在內(nèi)單調遞增，在內(nèi)單調遞減，故.
所以函數(shù)與函數(shù)有相同的最大值，畫出與的圖象如下圖：

可知，且，又當時，，故，
當時，直線與兩條曲線和各有兩個不同的交點，
則直線與曲線的兩個交點分別位于區(qū)間和，
而直線與曲線的兩個交點分別位于區(qū)間和，
構造，當時，；當時，，
當時，1-x

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