1. （2023屆安徽省安慶市高三第三次模擬）如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 為直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ．記 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上（異于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)）．

(1)若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)，證明： SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，求線段 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)．
【解析】（1）證明：取線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，所以， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：連接 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，所以， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直線分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，若直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
2.（2024屆江蘇省南通市如東高三上學(xué)期學(xué)情檢測(cè)）勞動(dòng)教育是中國(guó)特色社會(huì)主義教育制度的重要內(nèi)容，對(duì)于培養(yǎng)社會(huì)主義建設(shè)者和接班人具有重要戰(zhàn)略意義.為了使學(xué)生熟練掌握一定勞動(dòng)技能，理解勞動(dòng)創(chuàng)造價(jià)值，某普通高中組織學(xué)生到工廠進(jìn)行實(shí)踐勞動(dòng).在設(shè)計(jì)勞動(dòng)中，某學(xué)生欲將一個(gè)底面半徑為20cm，高為40cm的實(shí)心圓錐體工件切割成一個(gè)圓柱體，并使圓柱體的一個(gè)底面落在圓錐體的底面內(nèi).
(1)求該圓柱的側(cè)面積的最大值；
(2)求該圓柱的體積的最大值.
【解析】（1）設(shè)該圓柱的底面半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，高 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 .由平面幾何知識(shí)知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，所以該圓柱的側(cè)面積的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .

（2）設(shè)圓柱的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增， SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .
3.（2024屆云南省昆明市第一中學(xué)高三第二次雙基檢測(cè)）如圖，在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 分別為棱 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn).

(1)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，求三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積.
【解析】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
故以 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 SKIPIF 1 < 0 所在直線為 SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
則由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
依題意， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積 SKIPIF 1 < 0 .
二、平行關(guān)系的證明
4. （2024屆安徽省江淮十校高三第一次聯(lián)考）如圖，在五面體 SKIPIF 1 < 0 中，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形， SKIPIF 1 < 0 為正三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .

(1)若平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
【解析】（1）因?yàn)樗倪呅?SKIPIF 1 < 0 為正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）記 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在的直線為x，z軸，過(guò)P與 SKIPIF 1 < 0 平行的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由圖可知，二面角 SKIPIF 1 < 0 為鈍角，
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
5.（2024屆山西省忻州市名校高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)聯(lián)考）如圖，在多面體ABCDE中， SKIPIF 1 < 0 平面BCD，平面 SKIPIF 1 < 0 平面BCD，其中 SKIPIF 1 < 0 是邊長(zhǎng)為2的正三角形， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為直角的等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 .

(1)證明： SKIPIF 1 < 0 平面BCD.
(2)求平面ACE與平面BDE的夾角的余弦值.
【解析】（1）取CD的中點(diǎn)F，連接EF，BF.
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)槠矫?SKIPIF 1 < 0 平面BCD，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面ECD，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面BCD.
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面BCD，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以四邊形ABFE為平行四邊形，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面BCD， SKIPIF 1 < 0 平面BCD，所以 SKIPIF 1 < 0 平面BCD.
（2）過(guò)點(diǎn)B作 SKIPIF 1 < 0 ，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)平面ACE的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)平面BDE的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)平面ACE與平面BDE的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 .
6.（2023屆四川省綿陽(yáng)市涪城區(qū)南山中學(xué)高三仿真）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 均為直角梯形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)已知點(diǎn)G為AF上一點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，求證：BG與平面DCE不平行；
(2)已知直線BF與平面DCE所成角的正弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，求AF的長(zhǎng)及四棱錐D－ABEF的體積．
【解析】（1）證明：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面ABEF，AB， SKIPIF 1 < 0 平面ABEF，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，

所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面DCE的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，且不存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 垂直，
所以BG與平面DCE不平行；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ），則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∵直線BF與平面DCE所成角的正弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
化簡(jiǎn)得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）；故 SKIPIF 1 < 0 ．
此時(shí)梯形ABEF的面積 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
三、垂直關(guān)系的證明
7.（2023屆四川省南充高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期第三次模擬） 如圖，在四棱臺(tái) SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .

(1)證明：BD SKIPIF 1 < 0 CC1；
(2)棱 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 若存在，求線段 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）證明:如圖所示，連接 SKIPIF 1 < 0 ,
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為棱臺(tái)，所以 SKIPIF 1 < 0 四點(diǎn)共面，
又因?yàn)樗倪呅?SKIPIF 1 < 0 為菱形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：取 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)榈酌?SKIPIF 1 < 0 是菱形，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是正三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 為原點(diǎn)，分別以 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 軸、 SKIPIF 1 < 0 軸和 SKIPIF 1 < 0 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則 SKIPIF 1 < 0
假設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 存在，設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又由平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
由于二面角 SKIPIF 1 < 0 為銳角，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 上存在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 .

8.（2024屆云南省昆明市第一中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)．

(1)證明： SKIPIF 1 < 0 平面ABCD；
(2)線段AC上是否存在一點(diǎn)M，使 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面ABF？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，說(shuō)明理由．
【解析】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面ADEF，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD．
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，所以AG、AD、AB兩兩垂直，
以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 ，如圖，

所以 SKIPIF 1 < 0 ，
假設(shè)線段AC上存在一點(diǎn)M，使 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面ABF，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè)平面ABF的法向量為 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面ABF，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
即當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面ABF．
9.（2024屆廣東仲元中學(xué)高三上學(xué)期9月月考）如圖，在以 SKIPIF 1 < 0 為頂點(diǎn)的五面體中，面 SKIPIF 1 < 0 為正方形， SKIPIF 1 < 0 ，且二面角 SKIPIF 1 < 0 與二面角 SKIPIF 1 < 0 都是 SKIPIF 1 < 0 .
(1)證明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值.
【解析】（1）由正方形 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）過(guò) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)槠矫?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 的方向?yàn)?SKIPIF 1 < 0 軸正方向， SKIPIF 1 < 0 的方向?yàn)?SKIPIF 1 < 0 軸正方向，
SKIPIF 1 < 0 的方向?yàn)?SKIPIF 1 < 0 軸的正方向， SKIPIF 1 < 0 為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 ，如圖：
因?yàn)槠矫?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 為二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 為二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，從而得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
10.（2024屆廣西百色市貴百聯(lián)考高三上學(xué)期9月月考）四邊形 SKIPIF 1 < 0 為菱形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)設(shè) SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 的夾角的大?。?br>【解析】（1）四邊形 SKIPIF 1 < 0 為菱形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ．以 SKIPIF 1 < 0 為原點(diǎn)，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 的夾角的大小為 SKIPIF 1 < 0 ．
四、線面角的計(jì)算
11. （2023屆河南省部分名校高三仿真模擬）如圖所示，正六棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面邊長(zhǎng)為1，高為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【解析】（1）連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
在正六棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，
因?yàn)榈酌鏋檎呅?，所?SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，

又 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）取 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)為Q，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為1，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)法向量.
連接 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直線分別為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
設(shè) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023屆河南省部分學(xué)校高三押題信息卷）如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，平面 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與棱 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．

(1)試用所學(xué)知識(shí)確定 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上的位置；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
【解析】（1）過(guò) SKIPIF 1 < 0 作直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 平行，延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
連接 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的交點(diǎn)即為點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
因?yàn)榈酌?SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 的靠近 SKIPIF 1 < 0 的三等分點(diǎn)處．

（2）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
取 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 兩兩相互垂直，
如圖，分別以 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．

設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè) SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值為 SKIPIF 1 < 0 ．
13．（2024屆湖南省三湘創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)合體高三上學(xué)期9月月考）如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，底面ABCD是正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E為BC的中點(diǎn)．

(1)證明： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)若二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角為 SKIPIF 1 < 0 ，G是線段PC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求直線DG與平面PAB所成角的最大值．
【解析】（1）如圖，取AD的中點(diǎn)F，連接PF，EF．
∵底面ABCD是正方形， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面PEF，∴ SKIPIF 1 < 0 平面PEF．
又∵ SKIPIF 1 < 0 平面PEF，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）可知，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角為 SKIPIF 1 < 0 ，且為 SKIPIF 1 < 0 ，
過(guò)點(diǎn)P作PO垂直于直線EF，垂足為O，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面PEF， SKIPIF 1 < 0 平面PEF，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
以O(shè)為原點(diǎn)，OE，OP所在的直線分別為y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面PAB的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 取 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)直線DG與平面PAB所成的角為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，且最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ．
所以直線DG與平面PAB所成角的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ．
五、二面角的計(jì)算
14. （2024屆新疆巴音郭楞蒙古自治州高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試）在長(zhǎng)方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn).

(1)求證： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 的夾角的余弦值.
【解析】（1）證明：在長(zhǎng)方體 SKIPIF 1 < 0 中，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
（2）以 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 ，

則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，則
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以，平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 的夾角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
15．（2024屆江西省吉安市第三中學(xué)高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)證明: SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)是否存在實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成銳二面角的余弦值是 SKIPIF 1 < 0 ?若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）
因?yàn)樗倪呅?SKIPIF 1 < 0 是菱形，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
取棱 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，易證 SKIPIF 1 < 0 兩兩垂直，
故以 SKIPIF 1 < 0 為原點(diǎn)，分別以 SKIPIF 1 < 0 的方向?yàn)?SKIPIF 1 < 0 軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
平面 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)法向量為 SKIPIF 1 < 0 ,設(shè)面 SKIPIF 1 < 0 與面 SKIPIF 1 < 0 所成的銳二面角為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 (舍去)．
故存在實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使得面 SKIPIF 1 < 0 與面 SKIPIF 1 < 0 所成銳二面角的余弦值是 SKIPIF 1 < 0 ．
16．（2024屆江蘇省南京市第九中學(xué)2高三上學(xué)期學(xué)情檢測(cè)）如圖，在四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .

(1)求證： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角為 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值.
【解析】（1）證明：連接 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 .

因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .

所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以以 SKIPIF 1 < 0 為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 即為 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角.即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
平面 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)法向量為 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0
不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)二面角 SKIPIF 1 < 0 大小為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
17．（2024屆湖北省宜荊荊恩高三9月起點(diǎn)聯(lián)考）如圖，在三棱臺(tái) SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .設(shè)P，Q，R分別為棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn).

(1)證明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的余弦值.
【解析】（1）證明：連接DP，則四邊形DPCF是矩形．
又 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 為三角形 SKIPIF 1 < 0 的中位線，得 SKIPIF 1 < 0
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，AC， SKIPIF 1 < 0 平面ADFC，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0

（2）解：以P為原點(diǎn)，PA、PR、PD為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
設(shè) SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，則 SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
設(shè) SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，則 SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 相交所成角的平面角為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
故平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
六、距離問(wèn)題
18. （2023屆海南省高三全真模擬）如圖，在平面四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 向上折起，使得平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的銳二面角的平面角最大．

(1)求該幾何體中任意兩點(diǎn)間的距離的最大值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，證明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）如圖，以 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 軸，平面 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 平面，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，顯然，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 共面，此時(shí)的銳二面角一定不是最大
的，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，

設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
又平面 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立，由 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 面上．
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以該幾何體中任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
19.（2023屆陜西省寶雞市高三下學(xué)期?？迹┤鐖D，在長(zhǎng)方體中，，和交于點(diǎn)為AB的中點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)已知與平面所成角為，求
（?。┢矫媾c平面的夾角的余弦值；
（ⅱ）點(diǎn)到平面的距離.
【解析】（1）連接，，.
因?yàn)殚L(zhǎng)方體中，且，
所以四邊形為平行四邊形.
所以E為的中點(diǎn)，
在中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為和AB的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)槠矫?，平面，所以平?
（2）與平面所成角為.連接.
因?yàn)殚L(zhǎng)方體中，平面，平面，
所以.所以為直線與平面所成角，即.
所以為等腰直角三角形.
因?yàn)殚L(zhǎng)方體中，所以.所以.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)殚L(zhǎng)方體中，，

則，，，，
，，.
所以，，.
設(shè)平面的法向量為，則，即.
令，則，，可得.
設(shè)平面BCE的法向量為，則，即.
令，則，，所以.
設(shè)平面與平面的夾角為，則.
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
（ⅱ）因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)A到平面的距離為.
七、立體幾何探索性問(wèn)題與開(kāi)放問(wèn)題
20. （2024屆北京市清華大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，平面，點(diǎn)，分別在梭和棱上，且為棱中點(diǎn)．

(1)求證：平面；
(2)從下面兩個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條作，求二面角的余弦值．
①；②．
【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)?，?br>所以且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，
所以平面，
因?yàn)闉槔庵悬c(diǎn)，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面；
（2）選①，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
因?yàn)槠矫妫?br>所以即為平面的一條法向量，
，
設(shè)平面為法向量為，
則有，令，則，
所以，
則，
由圖可知，二面角為鈍二面角，
所以二面角的余弦值為．
選②，，
由題意，，
因?yàn)闉槔庵悬c(diǎn)，所以，
所以，
則，
所以，故，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
又平面，
所以平面，
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
以下步驟同選①.

21.（2023屆福建省寧德第一中學(xué)高三一模）如圖①在平行四邊形中，，，，，將沿折起，使平面平面，得到圖②所示幾何體．
(1)若為的中點(diǎn)，求四棱錐的體積；
(2)在線段上，是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為，如果存在，求出的值，如果不存在，說(shuō)明理由．
【解析】（1）由圖①知，，所以，在中，因?yàn)?，?br>可得，，所以．
由圖②知，平面平面，平面，
平面平面，因?yàn)?，所以平面?
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以．
（2）由（1）知，，三者兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，
，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．
則，，，，，，，
設(shè)，，
，
即，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
所以，則，
令，得，
設(shè)平面的法向量為，
所以， 解得或（舍去），
所以此時(shí)的值為.
22.（2024屆北京市第一六六中學(xué)高三上學(xué)期階段性診斷）如圖，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)判斷直線與平面是否相交，并說(shuō)明理由，若相交，求出點(diǎn)與交點(diǎn)之間的距離．
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br>又平面⊥平面，平面平面，平面，
所以平面．
（2）又，所以、、兩兩互相垂直．
如圖以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．

由，，
可知，，，，，
則，，，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則，解得，
令，則，所以，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則，
令，則，，所以，
則，
由圖形可知二面角為銳二面角，
所以二面角的余弦值為．
（3）由，得，
因?yàn)椋?br>所以與平面不平行，所以直線與平面相交，
在四邊形中延長(zhǎng)交，延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
點(diǎn)就是直線與平面的交點(diǎn)，
因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，可知，則，
易知，所以．

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