一、單選題
1．魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
2．英國數(shù)學(xué)家約翰?康威在數(shù)學(xué)上的成就是全面性的，其中“康威圓定理”是他引以為傲的研究成果之一．定理的內(nèi)容是：三角形ABC的三條邊長分別為a，b，c，分別延長三邊兩端，使其距離等于對邊的長度，如圖所示，所得六點(diǎn)仍在一個(gè)圓上，這個(gè)圓被稱為康威圓．現(xiàn)有一邊長為2的正三角形，則該三角形生成的康威圓的面積是（ ）
A．B．C．D．
3．在3世紀(jì)中期，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)可以視為將一個(gè)圓內(nèi)接正邊形等分成個(gè)等腰三角形(如圖所示)，當(dāng)變得很大時(shí)，等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想，可得到sin3°的近似值為（ ）(取近似值3.14)
A．0.012B．0.052
C．0.125D．0.235
4．“湖畔波瀾飛，耕耘戰(zhàn)鼓催”，合肥一六八中學(xué)的一草一木都見證了同學(xué)們的成長．某同學(xué)為了測量瀾飛湖兩側(cè)C，D兩點(diǎn)間的距離，除了觀測點(diǎn)C，D外，他又選了兩個(gè)觀測點(diǎn)，且，已經(jīng)測得兩個(gè)角，由于條件不足，需要再觀測新的角，則利用已知觀測數(shù)據(jù)和下面三組新觀測的角的其中一組，就可以求出C，D間距離的有（ ）組
①和；②和；③和.
A．0B．1C．2D．3
5．一條河流從某城市中穿過，其中一河段的兩岸基本上是平行的，根據(jù)城建工程計(jì)劃，需要測量出該河段的寬度，現(xiàn)在一側(cè)岸邊選取兩點(diǎn)，，并測得，選取對岸一目標(biāo)點(diǎn)并測得，，，則該段河流的寬度為（ ）
A．B．C．D．
6．2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
7．某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度：在處（點(diǎn)在水平地面的下方，為與水平地面的交點(diǎn)）進(jìn)行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個(gè)觀察點(diǎn)，兩地相距100米，，其中到的距離比到的距離遠(yuǎn)40米．地測得該儀器在處的俯角為，地測得最高點(diǎn)的仰角為，則該儀器的垂直彈射高度為（ ）
A．210米B．米C．米D．420米
8．如圖所示，為測量山高選擇A和另一座山的山頂為測量觀測點(diǎn)，從A點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角點(diǎn)的仰角以及從點(diǎn)測得，若山高米，則山高等于（ ）
A．米B．米
C．米D．米
9．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西勻速行駛，在公路北側(cè)遠(yuǎn)處一座高900米的山頂D的測得點(diǎn)A的在東偏南方向上過一分鐘后測得點(diǎn)B處在山頂?shù)氐臇|偏南方向上，俯角為，則該車的行駛速度為（ ）
A．15米/秒B．15米/秒
C．20米/秒D．20米/秒
10．圭表，是度量日影長度的一種天文儀器，由“圭”和“表”兩個(gè)部件組成.圭表和日晷一樣，也是利用日影進(jìn)行測量的古代天文儀器.所謂高表測影法，通俗的說，就是垂直于地面立一根桿，通過觀察記錄它正午時(shí)影子的長短變化來確定季節(jié)的變化.垂直于地面的直桿叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以測量影長的標(biāo)尺叫“圭”，如圖1，利用正午時(shí)太陽照在表上，表在圭上的影長來確定節(jié)令．已知某地夏至和冬至正午時(shí)，太陽光線與地面所成角分別約為，，如圖2，若影長之差尺，則表高AB為（ ）尺．
A．B．
C．D．
11．古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學(xué)著作，現(xiàn)據(jù)《重差》測量一個(gè)球體建筑物的高度，如圖，已知點(diǎn)A是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)），地面上B，C兩點(diǎn)與點(diǎn)A在同一條直線上，且在點(diǎn)A的同側(cè)．若在B，C處分別測得球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且，則該球體建筑物的高度約為（）（ ）

A．58.60mB．56.74mC．50.76mD．49.25m
12．某觀察站與兩燈塔，的距離分別為3km和5km，測得燈塔在觀察站北偏西50°，燈塔在觀察站北偏東70°，則兩燈塔，間的距離為（ ）
A．7B．8C．D．
13．在中，若，則的形狀一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
14．若銳角中，，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
15．某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼叫信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁輪在方位角為45°距離為10海里的C處，并測得漁輪正沿方位角為105°的方向，以9海里/小時(shí)的速度向小島靠攏，我海軍艦艇立即以21海里/小時(shí)的速度前去營救，則艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間為（ ）小時(shí)．
A．B．C．D．1
16．如圖所示，在四邊形ABCD中，AC=AD=CD=7，∠ABC=120°，sin∠BAC=且BD為∠ABC的平分線，則BD=（ ）
A．6B．9C．7D．8
17．如圖，某偵察飛機(jī)沿水平直線勻速飛行，在A處觀測地面目標(biāo)P，測得俯角，飛行3分鐘后到達(dá)B處，此時(shí)觀測地面目標(biāo)P，測得俯角，又飛行一段時(shí)間后到達(dá)C處，此時(shí)觀測地面目標(biāo)P，測得俯角的余弦值為，則該偵察飛機(jī)由B至C的飛行時(shí)間為（ ）
A．2分鐘B．2.25分鐘C．2.5分鐘D．2.75分鐘
二、多選題
18．某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東75°，距離為；在處看燈塔在貨輪的北偏西30°，距離．貨輪由處向正北航行到處時(shí)，再看燈塔在南偏東60°，則下列說法正確的是（ ）
A．處與處之間的距離是；B．燈塔與處之間的距離是；
C．燈塔在處的西偏南60°；D．在燈塔的北偏西30°．
19．如圖，設(shè)的內(nèi)角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，若，且．點(diǎn)D是外一點(diǎn)，，下列說法中，正確的命題是（ ）
A．的內(nèi)角
B．的內(nèi)角
C．四邊形的面積最大值為
D．四邊形的面積無最大值．
三、填空題
20．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則 .
21．海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑，兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)，，測得，，，，則，兩點(diǎn)間的距離為 .
22．為了測量河對岸兩點(diǎn)C，D間的距離，現(xiàn)在沿岸相距的兩點(diǎn)A，B處分別測得，，則間的距離為 .
23．魏晉南北朝(公元)時(shí)期，中國數(shù)學(xué)在測量學(xué)取得了長足進(jìn)展.劉徽提出重差術(shù)，應(yīng)用中國傳統(tǒng)的出入相補(bǔ)原理，通過多次觀測，測量山高水深等數(shù)值，進(jìn)而使中國的測量學(xué)達(dá)到登峰造極的地步，超越西方約一千年，關(guān)于重差術(shù)的注文在唐代成書，因其第一題為測量海島的高度和距離(圖1)，故題為《海島算經(jīng)》受此題啟發(fā)，小清同學(xué)依照此法測量奧林匹克公園奧林匹克塔的高度和距離(示意圖如圖2所示)，錄得以下是數(shù)據(jù)(單位：米)：前表卻行，表高，后表卻行，表間.則塔高 米，前表去塔遠(yuǎn)近 米.
24．游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處至景點(diǎn)C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點(diǎn)B處，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時(shí)出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時(shí)到達(dá)C處．經(jīng)測量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，則sin∠BAC等于 ．
25．臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，則B城市處于危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間為 小時(shí)．
26．李子壩站的“單軌穿樓”是重慶軌道交通的一大特色，吸引眾多游客來此打卡拍照.如圖所示，李明為了測量李子壩站站臺(tái)距離地面的高度，采用了如下方法：在觀景臺(tái)的點(diǎn)處測得站臺(tái)點(diǎn)處的仰角為；沿直線后退米后，在點(diǎn)處測得站臺(tái)點(diǎn)處的仰角為.已知李明的眼睛距離地面高度為米，則李子壩站站臺(tái)的高度約為 （精確到小數(shù)點(diǎn)后1位）（近似數(shù)據(jù)：，）.
四、解答題
27．如圖，在某海濱城市附近的海面上正形成臺(tái)風(fēng).據(jù)氣象部門檢測，目前臺(tái)風(fēng)中心位于城市的南偏東方向的海面處，并以的速度向北偏西方向移動(dòng).如果臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓心區(qū)域，目前圓形區(qū)域的半徑為，并以的速度不斷增大.幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)侵襲（精確到）？
28．已知島南偏西方向，距島3海里的處有一艘緝私艇．島處的一艘走私船正以10海里/小時(shí)的速度向島北偏西方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時(shí)能截住該走私船？
(參考數(shù)據(jù)：，)

29．如圖，攝影愛好者在某公園處，發(fā)現(xiàn)正前方處有一立柱，測得立柱頂端的仰角和立柱底部的俯角均為，設(shè)的眼睛距地面的距離米．

（1）求攝影者到立柱的水平距離和立柱的高度；
（2）立柱的頂端有一長2米的彩桿繞其中點(diǎn)在與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，攝影者有一視角范圍為的鏡頭，在彩桿轉(zhuǎn)動(dòng)的任意時(shí)刻，攝影者是否都可以將彩桿全部攝入畫面？說明理由．
30．目前，中國已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是廣表平原，處處都能見到5G基站的身影.如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測對面山項(xiàng)上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，該同學(xué)眼高1.5m（眼睛到地面的距離），該同學(xué)在初始位置C處（眼睛所在位置）測得基站底部B的仰為37°，測得基站頂端A的仰角為45°.
(1)求出山高BE（結(jié)果保留整數(shù)）；
(2)如圖（第二幅），當(dāng)該同學(xué)面向基站AB前行時(shí)（保持在同一鉛垂面內(nèi)），記該同學(xué)所在位置C處（眼睛所在位置）到基站AB所在直線的距離CD=xm，且記在C處觀測基站底部B的仰角為，觀測基站頂端A的仰角為β.試問當(dāng)x多大時(shí)，觀測基站的視角∠ACB最大？
參考數(shù)據(jù):.
31．如圖，為方便市民游覽市民中心附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準(zhǔn)備在河岸一側(cè)建造一個(gè)觀景臺(tái)，已知射線，為兩邊夾角為的公路（長度均超過3千米），在兩條公路，上分別設(shè)立游客上下點(diǎn)，，從觀景臺(tái)到，建造兩條觀光線路，，測得千米， 千米．
(1)求線段的長度；
(2)若，求兩條觀光線路與之和的最大值．
32．第十屆中國花卉博覽會(huì)于2021年5月21日至7月2日在上海崇明區(qū)舉辦，以“蝶戀花”為設(shè)計(jì)理念的世紀(jì)館，擁有全國跨度最大的自由曲面混凝土殼體，屋頂跨度280米，屋面板厚度只有250毫米．圖①為建成后的世紀(jì)館；圖②是建設(shè)中的世紀(jì)館；圖③是場館的簡化圖．

如圖③是由兩個(gè)相同的半圓及中間的陰影區(qū)域構(gòu)成的一個(gè)軸對稱圖形，，其中米，圓心距米，半圓的半徑米，橢圓中心P與圓心O的距離米，C，C′為直線與半圓的交點(diǎn)，．
(1)設(shè)，計(jì)算的值；
(2)計(jì)算的大小（精確到1°）．
附：，．
33．如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下上至處有兩種路徑．一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為．在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再從勻速步行到，假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路長為1260，經(jīng)測量，．
（1）求索道的長；
（2）問：乙出發(fā)多少后，乙在纜車上與甲的距離最短？
（3）為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
參考答案：
1．A
【分析】利用平面相似的有關(guān)知識(shí)以及合分比性質(zhì)即可解出．
【詳解】如圖所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解出．
2．C
【分析】由“康威圓定理”可知的康威圓圓心即為三角形內(nèi)切圓的圓心，正三角形內(nèi)切圓的圓心即為中心，據(jù)此可得圓的半徑，進(jìn)一步可求其面積.
【詳解】康威圓的圓心即為三角形內(nèi)切圓的圓心，正三角形內(nèi)切圓的圓心即為中心，
所以其康威圓半徑為，故面積為．
故選:C.
3．B
【分析】根據(jù)題意圓內(nèi)接正120邊形其等分成120個(gè)等腰三角形，每個(gè)等腰三角形的頂角為,根據(jù)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積.即可列出等式解出sin3°的近似值.
【詳解】當(dāng)時(shí),每個(gè)等腰三角形的頂角為,則其面積為,
又因?yàn)榈妊切蔚拿娣e之和近似等于圓的面積,
所以,
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查三角形與圓的面積公式,屬于基礎(chǔ)題.解本類題型需認(rèn)真審題，讀懂題意找到等式是關(guān)鍵.
4．D
【分析】由已知條件結(jié)合正余弦定理，可判斷所選的條件是否可以求出.
【詳解】由，，
∴可求出、，
①和：△中，即可求；
②和：可求、，則在△中求；
③和：可求，則在△中，即可求；
∴①②③都可以求.
故選：D
5．A
【分析】已知兩角一邊利用正弦定理求出的長，過向做垂線，所做垂線即為河流寬度，利用正弦值求解即可.
【詳解】在中，由正弦定理得，
所以，
如圖所示過點(diǎn)向做垂線交與：
所以該段河流的寬度.
故選：A.
6．B
【分析】通過做輔助線，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，借助正弦定理，求得，進(jìn)而得到答案．
【詳解】
過作，過作，
故，
由題，易知為等腰直角三角形，所以．
所以．
因?yàn)?，所?br>在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于如何正確將的長度通過作輔助線的方式轉(zhuǎn)化為．
7．C
【分析】在中利用余弦定理求出，進(jìn)而在中可求出，再在中求出，即可得解．
【詳解】設(shè)，所以，在中，，，所以，
，即，．
在中，，所以，又在中，，所以，因此．
故答案為：C．
8．A
【分析】在中，可求得AC，根據(jù)正弦定理，在中，可求得AM，在中，即可求得答案.
【詳解】因?yàn)樵谥?，，?br>所以，
在中，，
由正弦定理得：，即，
所以，
在中，，
所以（米）
故選：A
9．A
【分析】根據(jù)題意可得，再除以時(shí)間即可得解.
【詳解】根據(jù)題意，由B處在山頂俯角為，
所以，
由A東偏南，B東偏南，
所以，
所以為等腰三角形，所以，
由，所以速度為米/秒，
故選：A
10．C
【分析】根據(jù)題設(shè)定義及，將公式轉(zhuǎn)化變形即可得結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)，則.
故選：C
11．C
【分析】設(shè)球的半徑為，再根據(jù)球相切的性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系求解即可.
【詳解】如圖，設(shè)球的半徑為，球心為，為與球的切線，則.
，
.

故選：C
12．A
【分析】畫出圖形，可知，利用余弦定理即可求出的長.
【詳解】根據(jù)題意，畫草圖，結(jié)合題干條件易知，，，利用余弦定理可得：，∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想與余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)學(xué)建模能力和基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
13．D
【分析】利用余弦定理可得邊的關(guān)系，故可得正確的選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)?，故?br>整理得到，
故，故或，
即或，故的形狀為等腰或直角三角形，
故選：D.
14．C
【分析】由已知可得，再由銳角可得的范圍，由正弦定理可得，．從而可求．
【詳解】解：因?yàn)殇J角中，若，，所以
由正弦定理可得，
，
，
，即．
故選：．
15．B
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)所需的時(shí)間為t小時(shí)，則AB′＝21t，CB′＝9t，在△AB′C中，根據(jù)余弦定理列方程求解即可
【詳解】解：如圖，設(shè)艦艇在B′處靠近漁輪，所需的時(shí)間為t小時(shí)，則AB′＝21t，CB′＝9t．

在△AB′C中，根據(jù)余弦定理，則有
AB′2＝AC2＋B′C2－2AC·B′Ccs120°，
可得212t2＝102＋81t2＋2·10·9t·．
整理得360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－ (舍去)．
故艦艇需小時(shí)靠近漁輪．
故選：B
16．D
【分析】在中，利用正弦定理即可求出，確定四點(diǎn)共圓，可得，在中，利用余弦定理即可求解.
【詳解】由正弦定理得，
由，可得，，
所以四點(diǎn)共圓，，
由余弦定理．
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是正弦定理、余弦定理的運(yùn)用.
17．B
【分析】利用解三角形的指數(shù)，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式的恒等變換，即可求解.
【詳解】設(shè)飛機(jī)的飛行速度為，根據(jù)分級(jí)的飛行圖形，
測得俯角為，飛行3分鐘后到達(dá)B處觀測地面目標(biāo)P，測得俯角，
所以為直角三角形，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，可得，
設(shè)，由，可得，
則，又由，解得.
故選：B.
18．AC
【分析】根據(jù)題意作出圖形，然后在中，結(jié)合正弦定理得求出，在中，由余弦定理得，然后求出相關(guān)角度，進(jìn)而逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】
由題意可知，所以，,
在中，由正弦定理得，所以，故A正確；
在中，由余弦定理得，
即，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，所以燈塔在處的西偏南，故C正確；
由，在燈塔的北偏西處，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
19．ABC
【分析】由正弦定理化邊為角后求得，從而得三角形的內(nèi)角，判斷AB，用角表示出四邊形的面積（先由余弦定理求得），然后由三角函數(shù)知識(shí)得最值判斷CD．
【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得?br>為三角形內(nèi)角，，所以，，
所以，或，
又，所以不合題意，所以，從而，AB正確；
中，，
所以，
，，所以，即時(shí)，為最大值，無最小值．C正確，D錯(cuò)．
故選：ABC．
20．25
【分析】分別求得大正方形的面積和小正方形的面積，然后計(jì)算其比值即可.
【詳解】由題意可得，大正方形的邊長為：，
則其面積為：，
小正方形的面積：，
從而.
故答案為：25.
21．
【分析】根據(jù)題意，求得各個(gè)角度，即可得AD長，根據(jù)正弦定理，可得BD長，根據(jù)余弦定理，即可得答案.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
由正弦定理得：，即，解得，
在中，由余弦定理得，
所以，
解得.
故答案為：
22．2
【分析】在和中應(yīng)用正弦定理求得，然后在中應(yīng)用余弦定理可求得結(jié)果
【詳解】解：在中，由正弦定理得，即，得，
在中，由，所以為等邊三角形，,
在中，，由余弦定理得
，
所以，
故答案為：2
23． 246 122
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算可得；
【詳解】解：依題意可得，，所以，
又，，所以，解得，所以
故答案為：；；
24．
【分析】設(shè)乙的速度為x m/s，根據(jù)正弦定理列式＝，可得AC＝1 260 m，再由余弦定理求解即可.
【詳解】依題意，設(shè)乙的速度為x m/s，
則甲的速度為x m/s，
因?yàn)锳B＝1 040 m，BC＝500 m，
所以＝，解得AC＝1 260 m．
在△ABC中，由余弦定理得，
cs∠BAC＝＝＝，
所以sin∠BAC＝＝＝．
故答案為：.
25．1
【分析】設(shè)地東北方向上存在點(diǎn)到的距離為30千米，，結(jié)合余弦定理得到，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理即可求出，從而求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)地東北方向上存在點(diǎn)到的距離為30千米，，
在中，，
故，
化簡得，設(shè)方程的兩根為，則，，
所以，即圖中千米，所以B城市處于危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間為小時(shí)，
故答案為：1.
26．米
【分析】設(shè)高度為米，利用正弦定理結(jié)合條件可得高度，進(jìn)而求出高度.
【詳解】設(shè)高度為米，由題可知，
所以米，
在中，由正弦定理得： ，
所以，
所以，
解得，
所以（米）.
故答案為：米
27．
【分析】設(shè)小時(shí)后臺(tái)風(fēng)中心到達(dá)點(diǎn)，該城市開始受到臺(tái)風(fēng)侵襲；利用表示出的邊長，利用余弦定理構(gòu)造方程可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)小時(shí)后臺(tái)風(fēng)中心到達(dá)點(diǎn)，該城市開始受到臺(tái)風(fēng)侵襲
如圖中，，，，
由余弦定理得：
即：，解得：
大約后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)侵襲
【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用問題，涉及到余弦定理的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠利用變量表示出三角形的各邊長，通過余弦定理構(gòu)造方程.
28．緝私艇以每小時(shí)14海里的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時(shí)截住該走私船
【分析】如圖，設(shè)緝私艇在處截住走私船，為島A正南方向上一點(diǎn)，緝私艇的速度為每小時(shí)海里，然后在中利用余弦定理求出，從而可求出，再利用正弦定理可求出，從而可得∥，進(jìn)而可得結(jié)論.
【詳解】如圖，設(shè)緝私艇在處截住走私船，為島A正南方向上一點(diǎn)，緝私艇的速度為每小時(shí)海里，則，
依題意，，
在由余弦定理可得，
，
解得，所以，得，
在又由正弦定理得，
所以，
又，所以∥，
故緝私艇以每小時(shí)14海里的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時(shí)截住該走私船.
29．（1），；（2）攝影者可以將彩桿全部攝入畫面.
【詳解】（1）作垂直于，則，.
又，故在中，可求得，即攝影者到立柱的水平距離為米.
由，，在中，可求得.
因?yàn)椋?，即立柱高為?
（2）如圖，為原點(diǎn)，以水平方向向右為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系．
設(shè)，，則，由（1）知．
故，，
∴
由知所以，
∴恒成立
故在彩桿轉(zhuǎn)動(dòng)的任意時(shí)刻，攝影者都可以將彩桿全部攝入畫面

30．(1)
(2)，∠ACB最大
【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可；
（2）易得，分別在在和在中，求出，再根據(jù)兩角和的正切公式結(jié)合基本不等式求出取得最大值時(shí)，的值，再根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【詳解】（1）由題意可知，，
在中，，
所以，
在中，，
所以出山高；
（2）由題意知，且，
則，
在中，，
在中，，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，
所以取得最大值時(shí)，，
又因?yàn)?，所以此時(shí)最大，
所以當(dāng)時(shí)，最大.
31．(1)3千米
(2)6千米．
【分析】（1）在中，根據(jù)余弦定理解三角形即可；
（2）設(shè)，由正弦定理得，，可得，根據(jù)可得其最大值.
【詳解】（1）在中，由余弦定理得，
，得，
所以線段的長度為3千米．
（2）設(shè)，因?yàn)椋?br>所以，在中，由正弦定理得，
，
所以，，
因此
因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)，即時(shí)，取到最大值6．
所以兩條觀光線路與之和的最大值為6千米．
32．(1)．
(2)24°．
【分析】（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，結(jié)合銳角函數(shù)的定義、同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合正弦定理、三角形內(nèi)角和定理、題中所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）易知為等腰梯形的中位線，
所以，
因?yàn)闉殇J角，所以
（2）因?yàn)?，所以?br>則，
所以在中，
，
又因?yàn)闉殁g角，所以，
由（1）知，，為銳角，所以，
所以，
所以，
所以.
33．（1）m （2）（3）（單位：m/min）
【詳解】（1）在中，因?yàn)椋?br>所以，，
從而．
由正弦定理，得（）．
（2）假設(shè)乙出發(fā)后，甲、乙兩游客距離為，此時(shí)，甲行走了，乙距離處，
所以由余弦定理得，
由于，即，
故當(dāng)時(shí)，甲、乙兩游客距離最短．
（3）由正弦定理，
得（）．
乙從出發(fā)時(shí)，甲已走了（），還需走710才能到達(dá)．
設(shè)乙步行的速度為，由題意得，解得，
所以為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過，乙步行的速度應(yīng)控制在（單位：）范圍內(nèi)．
考點(diǎn)：正弦、余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用.
【方法點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦、余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查了考生分析問題和利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，屬于中檔題.解答應(yīng)用問題，首先要讀懂題意，設(shè)出變量建立題目中的各個(gè)量與變量的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系和不等關(guān)系求解.本題解得時(shí)，利用正余弦定理建立各邊長的關(guān)系，通過二次函數(shù)和解不等式求解，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用.

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