(藝考)新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)選填題型精講精練專題17 數(shù)列綜合應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考向：數(shù)列部分高考題一般是中等難度，分?jǐn)?shù)在10-17分，一般以等差、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)或以通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式為基礎(chǔ)考點(diǎn)，結(jié)合數(shù)列的遞推公式進(jìn)行命題，側(cè)重于數(shù)列的基本量運(yùn)算、數(shù)列的概念及表示法的理解。
考點(diǎn)：數(shù)列的遞推公式、等差、等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、數(shù)列求和、構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)、求和、數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化問題。
導(dǎo)師建議：新文化題主要是讀題抓住題眼，同時(shí)找到q的式子也是解決問題的關(guān)鍵！
二、知識點(diǎn)匯總
1.數(shù)列的第n項(xiàng)與前n項(xiàng)的和的關(guān)系
( 數(shù)列的前n項(xiàng)的和為).
2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
；
3.等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，且。
4.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式為.
5.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；
6.等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，且。
7.等比數(shù)列前n項(xiàng)的和公式為或.
【常用結(jié)論】
1.
2.;
3.構(gòu)成等差數(shù)列.
4.是關(guān)于的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，數(shù)列也是等差數(shù)列.
5.在等差數(shù)列，中，它們的前項(xiàng)和分別記為則.
6.().
7.若,則()
8.公比時(shí),,,,成等比數(shù)列().
三、題型專項(xiàng)訓(xùn)練
目錄一覽
①等差等比數(shù)列的綜合
一、單選題
1．在遞增等比數(shù)列中，，且是和的等差中項(xiàng)，則（）
A．256B．512C．1024D．2048
2．已知等比數(shù)列中，若，且成等差數(shù)列，則（）
A．2B．2或32C．2或-32D．-1
3．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列為等比數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，若，且與的等差中項(xiàng)為5，則（）
A．29B．31C．33D．35
4．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為若，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比為
A．B．C．2D．3
5．已知是各項(xiàng)不相等的等差數(shù)列，若，且成等比數(shù)列，則數(shù)列的前6項(xiàng)和（）
A．84B．144C．288D．110
6．已知遞增等差數(shù)列中，且是，的等比中項(xiàng)，則它的第4項(xiàng)到第11項(xiàng)的和為（）
A．180B．198C．189D．168
7．正項(xiàng)等比數(shù)列中，是與的等差中項(xiàng)，若，則（）
A．4B．8C．32D．64
8．各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列中，，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則
A．4B．8C．16D．64
②數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)
9．下列通項(xiàng)公式中，對應(yīng)數(shù)列是遞增數(shù)列的是（）
A．B．
C．D．
10．設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，，則（）
A．為遞減數(shù)列B．
C．有最大值D．
11．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則下列選項(xiàng)正確的是（）
A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列B．
C．的最大值為D．
12．等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，已知，，則等差數(shù)列的前項(xiàng)的和中，最小值為（）.
A．B．C．D．
13．在數(shù)列中，“”是“數(shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列”的（）．
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分又非必要條件
14．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
③求數(shù)列的通項(xiàng)公式
15．已知數(shù)列中，，且是等差數(shù)列，則（）
A．36B．37C．38D．39
16．在數(shù)列中，，，則等于（）
A．B．C．D．
17．?dāng)?shù)列中，，（為正整數(shù)），則的值為（）
A．B．C．D．
18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）
A．B．C．D．
19．在數(shù)列中，，，若，則的最小值是（）
A．9B．10C．11D．12
20．已知數(shù)列中，，則等于（）
A．B．
C．D．
21．已知數(shù)列中，且，則為（）
A．B．C．D．
22．在數(shù)列中，，，則的值為( )
A．B．C．D．無法確定
④數(shù)列求和
23．若一個(gè)數(shù)列的后項(xiàng)與其相鄰的前項(xiàng)的差值構(gòu)成的數(shù)列為等差數(shù)列，則稱此數(shù)列為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列：2，3，5，8，12，17，23，…，設(shè)此數(shù)列為，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和（）
A．B．
C．D．
24．已知數(shù)列滿足，，令，則數(shù)列的前2022項(xiàng)和（）
A．B．C．D．
25．記表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，記，則（ )
A．18154B．18164C．18174D．前三個(gè)選項(xiàng)都不對
26．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，，則數(shù)列的前100項(xiàng)之和為（）
A．B．C．D．
27．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，，則等于（）
A．1008B．1009C．1010D．1011
⑤數(shù)列的新文化題
28．“中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將1至2019中被3除余1且被5除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（）
A．134B．135C．136D．137
29．我們都聽說過一個(gè)著名的關(guān)于指數(shù)增長的故事：古希臘著名的數(shù)學(xué)家、思想家阿基米德與國王下棋.國王輸了，問阿基米德要什么獎(jiǎng)賞？阿基米德說：“我只要在棋盤上的第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八?！创朔椒ǚ诺竭@棋盤的第64個(gè)格子就行了.”通過計(jì)算，國王要給阿基米德粒米，這是一個(gè)天文數(shù)字.年后，又一個(gè)數(shù)學(xué)家小明與當(dāng)時(shí)的國王下棋，也提出了與阿基米德一樣的要求，由于當(dāng)時(shí)的國王已經(jīng)聽說過阿基米德的故事，所以沒有同意小明的請求.這時(shí)候，小明做出了部分妥協(xié)，他提出每一個(gè)格子放的米的個(gè)數(shù)按照如下方法計(jì)算，首先按照阿基米德的方法，先把米的個(gè)數(shù)變?yōu)榍耙粋€(gè)格子的兩倍，但從第三個(gè)格子起，每次都?xì)w還給國王一粒米，并由此計(jì)算出每個(gè)格子實(shí)際放置的米的個(gè)數(shù).這樣一來，第一個(gè)格子有一粒米，第二個(gè)格子有兩粒米.第三個(gè)格子如果按照阿基米德的方案，有四粒米；但如果按照小明的方案，由于歸還給國王一粒米，就剩下三粒米；第四個(gè)格子按照阿基米德的方案有八粒米，但如果按照小明的方案，就只剩下五粒米.“聰明”的國王一看，每個(gè)格子上放的米的個(gè)數(shù)都比阿基米德的方案顯著減少了，就同意了小明的要求.如果按照小明的方案，請你計(jì)算個(gè)格子一共能得到（）粒米.
A．B．C．D．
30．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，從第三行起，每一行的第三個(gè)數(shù)1，，，，構(gòu)成數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則（）
A．B．C．D．
31．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載問題：“今有垣厚十六尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，問幾何日相逢?”，意思是：今有土墻厚尺，兩鼠從墻兩側(cè)同時(shí)打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞長度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞長度是前一天的一半，問兩鼠相逢需要的最少天數(shù)為（）
A．B．C．D．
32．大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.其前10項(xiàng)依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，現(xiàn)將大衍數(shù)列各數(shù)按照如圖排列形成一個(gè)數(shù)表，則該數(shù)表中第8行第3個(gè)數(shù)是（）
A．152B．480C．512D．840
33．大衍數(shù)列，來源于中國古代著作《乾坤普》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.其前項(xiàng)為：、、、、、、、、、，通項(xiàng)公式為，若把這個(gè)數(shù)列排成下側(cè)形狀，并記表示第行中從左向右第個(gè)數(shù)，則的值為（）
A．B．
C．D．
34．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為“高斯函數(shù)”，例如：，．已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（）
A．B．C．D．
35．大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．已知該數(shù)列的前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，記，，則數(shù)列的前20項(xiàng)和是（）
A．110B．100C．90D．80
四、高考真題及模擬題精選
一、單選題
1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
2．（2018·廣東江門·校聯(lián)考一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則的最大值為（）
A．60B．57C．54D．51
3．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（）．
A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)
C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)
4．（2020·云南昆明·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和滿足.若對任意正整數(shù)都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．B．C．D．
5．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足，則（）
A．B．C．D．
6．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）
A．B．C．D．
7．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
8．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，對應(yīng)的寬為(單位: cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則
A．64B．96C．128D．160
9．（2022·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖所示的三角形叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成，第行有個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為，每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰的兩數(shù)的和，如，則第8行第4個(gè)數(shù)（從左往右數(shù)）為（）
A．B．C．D．
10．（2022·河南駐馬店·河南省駐馬店高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教士偉烈亞利將《孫子算法》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，“中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將1至2022這2022個(gè)數(shù)中，能被5除余1且被7除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（）
A．58B．57C．56D．55
11．（2022·河南洛陽·新安縣第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的，明萬歷十二年(公元1584年)，他寫成《律學(xué)新說》提出了十二平均律的理論十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個(gè)數(shù)使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個(gè)數(shù)之和為M，插入11個(gè)數(shù)后這13個(gè)數(shù)之和為N，則依此規(guī)則，下列說法錯(cuò)誤的是（）
A．插入的第8個(gè)數(shù)為B．插入的第5個(gè)數(shù)是插入的第1個(gè)數(shù)的倍
C． D．
12．（2022·江蘇連云港·江蘇省贛榆高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）1883年，德國數(shù)學(xué)家康托提出了三分康托集，亦稱康托爾集.下圖是其構(gòu)造過程的圖示，其詳細(xì)構(gòu)造過程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間平均分成三段，去掉中間的一段，剩下兩個(gè)閉區(qū)間和；第二步，將剩下的兩個(gè)閉區(qū)間分別平均分為三段，各自去掉中間的一段，剩下四段閉區(qū)間：，，，；如此不斷的構(gòu)造下去，最后剩下的各個(gè)區(qū)間段就構(gòu)成了三分康托集.若經(jīng)歷步構(gòu)造后，不屬于剩下的閉區(qū)間，則的最小值是（）．
A．7B．8C．9D．10
五、題型精練，鞏固基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（）
A．B．C．D．2
2．（2023·全國·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
3．（2023·甘肅蘭州·?？家荒＃?數(shù)列滿足，且對任意的都有，則的前100項(xiàng)和為
A．B．C．D．
4．（2022·廣東·統(tǒng)考三模）在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)?公式和定理，如：歐拉函數(shù)（）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，（互素是指兩個(gè)整數(shù)的公約數(shù)只有1），例如：；（與3互素有1?2）；（與9互素有1?2?4?5?7?8）.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則=（）
A．B．C．D．
5．（2023·山東濰坊·?？家荒＃┮阎菙?shù)列的前項(xiàng)和，且，（），則下列結(jié)論正確的是（）
A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
C．D．
6．（2022·河南·安陽一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列中，且，則它的前項(xiàng)和（）
A．B．C．D．
7．（2022·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）《孫子算經(jīng)》一書中有如下問題：“今有五等諸侯，共分橘子60顆，人別加3顆．問：五人各得幾何？”其大意為“有5人分60個(gè)橘子，他們分得的橘子數(shù)構(gòu)成公差為3的等差數(shù)列，問5人各得多少個(gè)橘子？”根據(jù)上述問題的已知條件，則分得橘子最多的人所得的橘子數(shù)為（）
A．15B．16C．17D．18
8．（2022·河北邯鄲·統(tǒng)考二模）在我國古代著作《九章算術(shù)》中，有這樣一個(gè)問題：“今有五人分五錢，令上二人與下三人等，問各得幾何？”意思是有五個(gè)人分五錢，這五人分得的錢數(shù)從多到少成等差數(shù)列，且得錢最多的兩個(gè)人的錢數(shù)之和與另外三個(gè)人的錢數(shù)之和相等，問每個(gè)人分別分得多少錢．則這個(gè)等差數(shù)列的公差d＝（）
A．－B．－C．－D．－
9．（2023春·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)校考開學(xué)考試）將數(shù)列中的所有項(xiàng)排成如下數(shù)陣：
……
已知從第二行開始每一行比上一行多兩項(xiàng)，第一列數(shù)……，成等差數(shù)列，且．從第二行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的為（）
A．B．
C．位于第85列D．
10．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）傳說國際象棋發(fā)明于古印度，為了獎(jiǎng)賞發(fā)明者，古印度國王讓發(fā)明者自己提出要求，發(fā)明者希望國王讓人在他發(fā)明的國際象棋棋盤上放些麥粒，規(guī)則為：第一個(gè)格子放一粒，第二個(gè)格子放兩粒，第三個(gè)格子放四粒，第四個(gè)格子放八?！来艘?guī)律，放滿棋盤的64個(gè)格子所需小麥的總重量大約為（）噸.（1kg麥子大約20000粒，lg2=0.3）
A．105B．107C．1012D．1015
11．（2023春·廣西南寧·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，正方形的邊長為5，取正方形各邊的中點(diǎn)，，，，作第2個(gè)正方形，然后再取正方形各邊的中點(diǎn)，，，，作第3個(gè)正方形，依此方法一直繼續(xù)下去.則從正方形開始，連續(xù)10個(gè)正方形的面積之和等于（）
A．B．
C．D．
12．（2022·北京·北京八十中校考模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)源于生活，數(shù)學(xué)在生活中無處不在!學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看現(xiàn)實(shí)世界!1906年瑞典數(shù)學(xué)家科赫構(gòu)造了能夠描述雪花形狀的圖案，他的做法如下：從一個(gè)邊長為2的正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊，分別向外作正三角形，再去掉底邊（如圖①?②?③等）.反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到雪花曲線.
不妨記第個(gè)圖中的圖形的周長為，則（）
A．B．C．D．
①等差等比數(shù)列的綜合
②數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)
③求數(shù)列的通項(xiàng)公式
④數(shù)列求和
⑤數(shù)列的新文化題
高考題及模擬題精選
題型精練，鞏固基礎(chǔ)

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