(藝考)新高考數(shù)學二輪復習高頻考點選填題型精講精練專題23 導數(shù)與切線（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

考向：導數(shù)中的一個重要考點即是切線，經(jīng)常以小題或者大題第一問出現(xiàn)，屬于導數(shù)中為數(shù)不多較為簡單的考點，必定要掌握！
考點：導數(shù)與切線
導師建議：抓住切線的本質是一條直線，利用點斜式考慮問題，主要解決切點和斜率！
二、知識點匯總
1．導數(shù)的概念
(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)：（函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率）
eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)，記作f′(x0)或y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(, x＝x0))，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).
(2)導數(shù)的幾何意義：
函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點P(x0，y0)處的切線的斜率．相應地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
2．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
3．導數(shù)的運算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；特別的 [cf(x)]′＝cf′(x)；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f?x?,g?x?)))′＝eq \f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,[g?x?]2)(g(x)≠0)．
4．復合函數(shù)的導數(shù)
復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積．
【常用結論】
1.“在”點處的切線（已知切點）
①斜率＝
②切線
2.“過”點的切線（不知道切點）
①設切點；
②寫切線方程
③代點可得：上；
④解得，回代②得切線.
三、題型專項訓練
目錄一覽
①求曲線的斜率
一、單選題
1．曲線在點（1，－2）處的切線的傾斜角為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解．
【詳解】因為，所以，故所求切線的傾斜角為．
故選：B．
2．函數(shù)在處的切線的斜率為（）
A．0B．1C．2D．e
【答案】A
【分析】將函數(shù)求導，由導數(shù)的幾何意義即可得到結果.
【詳解】函數(shù)的導數(shù)，
由導數(shù)的幾何意義，可知:
在處的切線的斜率為.
故選:A.
3．函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)）圖象在點處的切線的傾斜角是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出，從而可得在點處的切線的傾斜角.
【詳解】，
所以.
所以在點處的切線的傾斜角是.
故選:C.
4．函數(shù)在處切線的斜率為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求出導函數(shù)在該點處的值即可求解.
【詳解】因為函數(shù)，
則，
所以，也即函數(shù)在處切線的斜率，
故選：.
②求在曲線上某一點的切線方程
5．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求出函數(shù)在處的切線斜率，再利用點斜式寫出方程即可.
【詳解】，則，而，故函數(shù)在處的切線方程為，則.
故選：C
6．曲線在點處的切線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)切點和斜率求得切線方程.
【詳解】，故切點為，
，即切線的斜率為，
所以切線方程為，即.
故選：A
7．函數(shù)的圖象在點處的切線方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再根據(jù)點斜式可求出結果.
【詳解】，則切線的斜率是，，
則切線方程是，即．
故選：D
8．已知，則曲線在點處的切線方程為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出在點處的導數(shù)即為切線的斜率，直接寫出切線方程即可.
【詳解】因為，所以，，
所以切線的斜率，
所以曲線在點處的切線方程為，
故選：D.
9．若，則曲線在處的切線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，取，解得，則，求得，可得切點坐標和切線斜率，利用直線方程的點斜式得答案.
【詳解】，，
令，解得.
所以，則.
所以曲線在處的切線方程為，即.
故選：.
10．若點，，則、兩點間距離的最小值為（）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)切線方程的求解，轉化成兩條直線間的距離即可求解.
【詳解】點在直線，點在上，，設的切線的切點為，令，所以在點處的切線為,此時切線與直線平行，
直線與之間的距離為的最小值，
故選：B
③求過一點的切線方程
11．已知函數(shù)的圖像在點的處的切線過點，則（）.
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，利用切線的方程經(jīng)過的點求解即可.
【詳解】解：函數(shù)的導函數(shù)為，
，而，
切線方程為.
因為經(jīng)過點，所以，
解得.
故選：D.
【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，切線方程的求法，屬于基礎題.
12．若曲線的一條切線經(jīng)過點，則此切線與曲線的切點坐標為（）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】先求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求出切線方程，由切線經(jīng)過點，代入曲線方程中，即可求切點坐標.
【詳解】設切點為，∵，∴，∴，
∴，
∴或16，∴切點坐標為或.
故選：D
【點睛】此題考查導數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)的導數(shù)即可求出切線斜率，注意區(qū)分直線過點的切線和在某點處的切線的區(qū)別，屬于基礎題.
13．過點(0，-1)作曲線的切線，則切線方程為
A．x+y+1=0B．x-y-1=0
C．x+2y+2=0D．2x-y-1=0
【答案】B
【解析】設切點為，再求出切點坐標，即得切線的斜率，再寫出切線的方程即得解.
【詳解】=ln x+1，
設切點為，∴,
∴=ln x0+1，
∴x0ln x0+1=x0ln x0+x0，∴x0=1，∴y0=0，
所以==1，
∴切線方程為y=x-1，即x-y-1=0，
故選：B.
【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，考查曲線的切線方程的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.
14．若過原點的直線與曲線相切，則切點的橫坐標為
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設切點坐標，求導，求出切線的斜率，用點斜式寫出切線方程，把原點坐標代入切線方程，即可求出切點坐標.
【詳解】設切點坐標為，由，
切線方程為，
原點坐標代入切線方程，
得，解得.
故選:B
【點睛】本題考查導數(shù)的運算、導數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力以及化歸與轉化思想.
15．過坐標原點作曲線的切線，則切線有（）條
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設切點為，利用導數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將代入方程，即可求得答案.
【詳解】由可得，
過坐標原點作曲線的切線，設切點為，則切線斜率為，
切線方程為，又，
所以，即，
所以，即切線有1條.
故選：B.
16．曲線在處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關系式，結合導數(shù)的運算法則、導數(shù)的幾何意義進行求解即可.
【詳解】，
因此該曲線在處的切線的斜率為，
所以切線方程為：，
令，得，
令，得，
因此三角形的面積為，
故選：A
④已知切線（斜率）求參數(shù)
17．已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，則實數(shù)的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義及兩直線垂直的斜率關系即可求出的值．
【詳解】由，得，
因為函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，
所以，則．
故選：A．
18．若曲線在點處的切線與直線平行，則實數(shù)（）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，可得函數(shù)在處的導數(shù)值，再由兩條直線平行與斜率的關系列式求解.
【詳解】由，得，，
曲線在點處的切線與直線平行，
，即.
故選：D.
19．若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，則（）
A．1B．0C．－1D．e
【答案】B
【分析】求導得到，再利用，求出的值.
【詳解】因為，所以，故
又，所以．
故選：B
20．已知曲線在點處的切線方程為, 則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義,求出導函數(shù),令結合切線的斜率求出,再將點坐標代入切線方程求出即可得到結果.
【詳解】根據(jù)導數(shù)的運算公式
,
當時,,
,即.
滿足方程,
即,
.
故選:A.
21．若曲線在點處的切線方程為，則，的值分別為（）
A．1，1B．，1C．1，D．，
【答案】A
【分析】利用切點處的導數(shù)等于切線斜率，結合切點在切線上可得.
【詳解】解：因為，所以
曲線在點處的切線的斜率為1，
，又切點在切線上，
．故選：A．
22．已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（）
A．16B．12C．8D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義結合已知方程求出的關系，再根據(jù)不等式中“1”的整體代換即可得出答案.
【詳解】對求導得，
由得，則，即，
所以，
當且僅當時取等號．故選：D．
⑤兩條切線平行、垂直、公切線問題
23．曲線與曲線的公切線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】畫出圖象，從而確定正確選項.
【詳解】畫出以及四個選項中直線的圖象如下圖所示，由圖可知A選項符合.
故選：A
24．函數(shù)的圖象在點處的切線也是拋物線的切線，則（）
A．1B．3C．6D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)導數(shù)得出函數(shù)與拋物線在點處的切線的斜率，根據(jù)已知兩切線相同即可得出答案.
【詳解】，則，則在點處的切線的斜率為，
，則，則在點處的切線的斜率為，
函數(shù)的圖象在點處的切線也是拋物線的切線，
則，即，
故選：C.
25．已知函數(shù)，．若經(jīng)過點存在一條直線l與曲線和都相切，則（）
A．-1B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】先求得在處的切線方程，然后與聯(lián)立，由求解
【詳解】解析：∵，∴，∴，∴，∴曲線在處的切線方程為，由得，由，解得．
故選：B
26．若函數(shù)與的圖像存在公共切線，則實數(shù)的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分別設公切線與和的切點，，根據(jù)導數(shù)的幾何意義列式，再化簡可得，再求導分析的最大值即可
【詳解】，，
設公切線與的圖像切于點，
與曲線切于點，
所以，
故，所以，
所以，
因為，故，
設，
則，令
當時，，當時，，
所以在上遞增，在上遞減，
所以，
所以實數(shù)a的最大值為e，
故選：A.
⑥多選題與填空題
二、多選題
27．在曲線上切線的傾斜角為的點的坐標為（）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，由導數(shù)的幾何意義，即可得到所求切點
【詳解】切線的斜率，
設切點為，則，
又，
所以，
所以或，
所以切點坐標為或．
故選：AB．
28．過點的直線與函數(shù)的圖象相切于點，則的值可以是（）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)過函數(shù)圖象上一點處的切線與導數(shù)之間的關系求解.
【詳解】因為，所以，
由題意得直線的斜率，
即，解得或
故選:AD.
29．已知曲線，則曲線過點的切線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】設出切點坐標，對函數(shù)求導求出切線斜率，利用點斜式方程寫出切線，將代入，解方程計算出切點坐標，進而得出切線方程．
【詳解】設切點坐標為，
，切線斜率為
切線方程為
曲線過點，代入得
可化簡為，即，解得或
則曲線過點的切線方程為或
故選：BD
30．函數(shù)的圖象在點處的切線平行于直線，則點的坐標可以為（）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】求函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)等于4解方程，求得點的橫坐標，進而求得點的坐標.
【詳解】依題意，令，解得
，
故點的坐標為和，
故選：AC
31．已知函數(shù)，則（）
A．在處的切線為軸B．是上的減函數(shù)
C．為的極值點D．最小值為0
【答案】ACD
【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可判斷A；結合函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系，判斷B;根據(jù)導數(shù)的正負與函數(shù)極值的關系，判斷C,繼而判斷D.
【詳解】由題意知，故，
故在處的切線的斜率為，而，
故在處的切線方程為，即，
所以在處的切線為軸，A正確；
當時，，當時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，B錯誤；
由此可得為的極小值點，C正確；
由于在上只有一個極小值點，故函數(shù)的極小值也為函數(shù)的最小值，
最小值為，D正確，
故選：
32．已知函數(shù)，則（）
A．在單調(diào)遞增
B．有兩個零點
C．曲線在點處切線的斜率為
D．是奇函數(shù)
【答案】AC
【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結合單調(diào)性即可判斷零點個數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，以及奇偶性的定義，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.
【詳解】對A：，定義域為，則，
由都在單調(diào)遞增，故也在單調(diào)遞增，
又，故當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；故A正確；
對B：由A知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，
故只有一個零點，B錯誤；
對C：，根據(jù)導數(shù)幾何意義可知，C正確；
對D：定義域為，不關于原點對稱，故是非奇非偶函數(shù)，D錯誤.
故選：AC.
33．函數(shù)，下列說法正確的是（）
A．存在實數(shù)，使得直線與相切也與相切
B．存在實數(shù)，使得直線與相切也與相切
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)
D．函數(shù)在區(qū)間上有極大值，無極小值
【答案】ABC
【分析】設切點分別為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義列出方程，化簡得，解得或，得到公切線的斜率為或，得出切線方程可判定A、B正確；令，求得，令，利用導數(shù)求得所以單調(diào)遞增，得到單調(diào)遞增，結合，得出在區(qū)間上單調(diào)遞增，可判定C、D錯誤.
【詳解】設直線分別與與分別相切于點，
則且，
所以且，
化簡得，解得或，
當時，可得，即切線的斜率為，且，即切點坐標為，
此時切線的方程為；
當時，可得，即切線的斜率為，且，
即切點坐標為，此時切線的方程為，即，
故公切線方程為或，所以選項A、B正確；
令，可得，
令，可得，
所以單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，
又由，因為，所以，
即時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以C正確；
由C知，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)無極值，所以D錯誤.
故選：ABC.
34．若存在過點的直線l與曲線和都相切，則a的值可以是（）
A．1B．C．D．
【答案】AB
【分析】根據(jù)題意，分點是切點與點不是切點，兩種情況討論，然后結合切線方程的求解方法，得到相應的切線方程，從而得到的值.
【詳解】由題意可得，，
因為在直線l上，當為的切點時，
則，所以直線l的方程為，
又直線l與相切，
所以滿足，得；
當不是的切點時，
設切點為，
則，
所以，得，
所以，所以直線的方程為.
由，得，
由題意得，所以.
綜上得或.
故選:AB
三、填空題
35．曲線在點處的切線斜率為______.
【答案】0
【分析】求出點的導數(shù),即該點處切線斜率.
【詳解】解:由題知,
所以,所以,
故在點處的切線斜率為0.
故答案為:0
36．曲線在點處的切線方程為__________．
【答案】
【分析】利用導數(shù)的幾何意義求解即可.
【詳解】因為，所以，
所以曲線在點處的切線的斜率，
所以曲線在點處的切線方程為，
整理得，
故答案為：
37．由線在處的切線方程是__________.
【答案】
【分析】首先求導得，求出切點為，切線斜率為，則得到切線方程.
【詳解】時,,則切點為,,
故切線斜率，
所以切線方程:，化簡得.
故答案為：.
38．函數(shù)在處的切線與直線平行，則a＝______．
【答案】1
【分析】求導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，結合直線平行建立方程求解即可.
【詳解】因為，所以，
所以函數(shù)在處的切線斜率為，
因為該切線與直線平行，故，解得
故答案為：1
39．若函數(shù)的圖象在點處的切線恰好經(jīng)過點（2，3），則a＝______．
【答案】-1
【分析】先求導，然后分別求出，表示出切線方程，最后將點（2，3）代入切線方程即可求出答案.
【詳解】由題可知，則．
又，所以的圖象在點處的切線方程為，即．因為點（2，3）在切線上，所以，解得．
故答案為：-1.
40．過點作曲線的切線，則切線方程是_________.
【答案】
【分析】確定點不在曲線上，設切點為，利用導數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將代入，求得切點坐標，即可求得答案.
【詳解】由題意可知，當時，，故點不在曲線上，
由可得，
過點作曲線的切線，設切點為，
則切線斜率為，則切線方程為，
將坐標代入得：，
即，即，則
故切線方程是，即，
故答案為：
41．已知函數(shù)與函數(shù)存在一條過原點的公共切線，則__________.
【答案】
【分析】由導數(shù)的幾何意義分別表示公切線方程，再由公切線過過原點得出.
【詳解】設該公切線過函數(shù)、函數(shù)的切點分別為，.
因為，所以該公切線的方程為
同理可得，該公切線的方程也可以表示為
因為該公切線過原點，所以，解得.
故答案為：
42．曲線與的公共切線的條數(shù)為________．
【答案】2
【分析】設公切線關于兩函數(shù)圖像的切點為，則公切線方程為：
，則
，則公切線條數(shù)為零點個數(shù).
【詳解】設公切線關于兩函數(shù)圖像的切點為，則公切線方程為：
，則，
注意到，，則由，可得
.
則公切線條數(shù)為方程的根的個數(shù)，
即函數(shù)的零點個數(shù).
，令，則，
得在上單調(diào)遞增.因，
則，使得.則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
又注意到，
，則，
使得，得有2個零點，即公共切線的條數(shù)為2.
故答案為：2
【點睛】關鍵點點睛：本題涉及研究兩函數(shù)公切線條數(shù)，難度較大.
本題關鍵為將求公切線條數(shù)轉化為求相關函數(shù)零點個數(shù)，又由題有范圍，故選擇消掉，構造與有關的方程與函數(shù).
四、高考真題精選
一、單選題
1．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖像在點處的切線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求得函數(shù)的導數(shù)，計算出和的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可.
【詳解】，，，，
因此，所求切線的方程為，即.
故選：B.
【點睛】本題考查利用導數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎題
2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
【答案】D
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義設出直線的方程，再由直線與圓相切的性質，即可得出答案.
【詳解】設直線在曲線上的切點為，則，
函數(shù)的導數(shù)為，則直線的斜率，
設直線的方程為，即，
由于直線與圓相切，則，
兩邊平方并整理得，解得，（舍），
則直線的方程為，即.
故選：D.
【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義的應用以及直線與圓的位置的應用，屬于中檔題.
3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】解法一：根據(jù)導數(shù)幾何意義求得切線方程，再構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)圖象，結合圖形確定結果；
解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.
【詳解】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導得，
所以，曲線在點處的切線方程為，即，
由題意可知，點在直線上，可得，
令，則.
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，，
由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，
當時，，當時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：
由圖可知，當時，直線與曲線的圖象有兩個交點.
故選：D.
解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.
故選：D.
【點睛】解法一是嚴格的證明求解方法，其中的極限處理在中學知識范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進行估計，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認識的基礎上，直觀解決問題的有效方法.
二、多選題
4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則（）
A．有兩個極值點B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線
【答案】AC
【分析】利用極值點的定義可判斷A，結合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導數(shù)的幾何意義判斷D.
【詳解】由題，，令得或，
令得，
所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點，故A正確；
因，，，
所以，函數(shù)在上有一個零點，
當時，，即函數(shù)在上無零點，
綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；
令，該函數(shù)的定義域為，，
則是奇函數(shù)，是的對稱中心，
將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，
所以點是曲線的對稱中心，故C正確；
令，可得，又，
當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.
故選：AC.
5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的圖像關于點中心對稱，則（）
A．在區(qū)間單調(diào)遞減
B．在區(qū)間有兩個極值點
C．直線是曲線的對稱軸
D．直線是曲線的切線
【答案】AD
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質逐個判斷各選項，即可解出．
【詳解】由題意得：，所以，，
即，
又，所以時，，故．
對A，當時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；
對B，當時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點；
對C，當時，，，直線不是對稱軸；
對D，由得：，
解得或,
從而得：或,
所以函數(shù)在點處的切線斜率為，
切線方程為：即．
故選：AD．
三、填空題
6．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為______________.
【答案】
【分析】設切線的切點坐標為，對函數(shù)求導，利用，求出，代入曲線方程求出，得到切線的點斜式方程，化簡即可.
【詳解】設切線的切點坐標為，
，所以切點坐標為，
所求的切線方程為，即.
故答案為：.
【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.
7．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線在點處的切線方程為__________．
【答案】
【分析】先驗證點在曲線上，再求導，代入切線方程公式即可．
【詳解】由題，當時，，故點在曲線上．
求導得：，所以．
故切線方程為．
故答案為：．
8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________．
【答案】
【分析】設出切點橫坐標，利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關于的方程，根據(jù)此方程應有兩個不同的實數(shù)根，求得的取值范圍.
【詳解】∵，∴，
設切點為,則,切線斜率,
切線方程為：,
∵切線過原點，∴,
整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,
∴的取值范圍是,
故答案為：
9．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．
【答案】
【分析】法一：依題可知，方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，構造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導數(shù)的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.
【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉化法，零點的問題轉為函數(shù)圖象的交點
因為，所以方程的兩個根為，
即方程的兩個根為，
即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，
因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，
所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，
所以當時，，即圖象在上方
當時，，即圖象在下方
，圖象顯然不符合題意，所以．
令，則，
設過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，
則切線的斜率為，故切線方程為，
則有，解得，則切線的斜率為，
因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，
所以，解得，又，所以，
綜上所述，的取值范圍為．
[方法二]：【通性通法】構造新函數(shù)，二次求導
=0的兩個根為
因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，
所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，
設函數(shù)，則，
若，則在上單調(diào)遞增，此時若，則在
上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時若有和分別是函數(shù)
且的極小值點和極大值點，則，不符合題意；
若，則在上單調(diào)遞減，此時若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，且，則需滿足，，即故，所以.
【整體點評】法一：利用函數(shù)的零點與兩函數(shù)圖象交點的關系，由數(shù)形結合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；
法二：通過構造新函數(shù)，多次求導判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點的大小關系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．
五、題型精練，鞏固基礎
一、單選題
1．（2022·河北·統(tǒng)考模擬預測）曲線在處的切線斜率為（）
A．0B．1C．2D．
【答案】B
【分析】即求曲線在(0,f(0))處的導數(shù).
【詳解】，.
故選：B.
2．（2022·江西九江·統(tǒng)考二模）曲線在處的切線傾斜角是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】計算出的值，即可求得切線的傾斜角.
【詳解】設曲線在處的切線傾斜角為，
因為，則，因為，因此，.
故選：B.
3．（2022·河南·馬店第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）若曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)切點處的切線方程的求解方法求出切線方程，并求出橫縱截距即可求解.
【詳解】∵，
∴，∴．
∵，
∴切線方程為，
可化為．
令，得；令，得．
∴，
解得．
故選:B．
4．（2023·全國·模擬預測）已知直線為曲線在處的切線，則點到直線的距離為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得切線的方程，再利用點到直線的距離公式，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得，則，即切線的斜率為，
又由時，求得，即切點坐標為，
所以切線方程為，即，
由點到直線的距離公式，可得點到直線的距離.
故選：D．
5．（2022·陜西安康·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則該函數(shù)的圖象在處的切線方程為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出函數(shù)的導數(shù)，再賦值法求出，然后得到的函數(shù)解析式可得切點，后將數(shù)據(jù)代入點斜式方程可得答案.
【詳解】因為，所以，解得，
所以，
即切點
所以切線方程為：，即.
故選：A.
6．（2018·河南·統(tǒng)考一模）與曲線相切于處的切線方程是（其中是自然對數(shù)的底）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出導函數(shù)，把代入導函數(shù)，可求出切線的斜率，根據(jù)的坐標和直線的點斜式方程可得切線方程．
【詳解】由可得，
切線斜率，
故切線方程是，即．故選B．
【點睛】本題主要考查利用導數(shù)求曲線切線方程，屬于簡單題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數(shù)，即在點出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在處導數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.
7．（2022·河南洛陽·統(tǒng)考三模）若過點作曲線的切線，則這樣的切線共有（）
A．0條B．1條C．2條D．3條
【答案】C
【分析】設切點為，求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線方程，再根據(jù)點在切線上，即可代入切線方程，解得，即可得解；
【詳解】解：設切點為，由，所以，所以，
所以切線方程為，即，因為切線過點，
所以，
解得或，
所以過點作曲線的切線可以作2條，
故選：C
8．（2021·四川成都·校考二模）已知函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，則該切線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先根據(jù)題意得到，從而得到切點為，再利用點斜式求切線方程即可.
【詳解】由題可知，，所以，
故，所以切點，
所以切線方程為，
即.
故選：D
【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，屬于簡單題.
9．（2020·河南·校聯(lián)考模擬預測）過原點引的切線，若切線斜率為，則（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求導數(shù)，由，故原點不可能是切點，再設出切點坐標，根據(jù)曲線在切點處的導數(shù)值等于切線斜率，求出.
【詳解】，又，故原點不可能是切點，設切點坐標為，
則，，
又.
故選：D.
【點睛】本題考查了過某點處的切線問題，利用導數(shù)的幾何意義：曲線在切點處的導數(shù)值等于切線斜率解決問題，屬于基礎題.
10．（2022·河南·校聯(lián)考一模）已知曲線在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)的值為（）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)導數(shù)幾何意義和垂直關系可得，解方程即可.
【詳解】令，則，
在點處的切線與垂直，，解得：.
故選：A.
11．（2021·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）若曲線在點處的切線與直線平行，則（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】利用導數(shù)求解切線斜率，根據(jù)切線與直線平行，可求得的值.
【詳解】解：，
又切線與直線平行
，得．
故選：D.
12．（2021·安徽六安·安徽省舒城中學?？既＃┤艉瘮?shù)與的圖象有一條公共切線，且該公共切線與直線平行，則實數(shù)（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設函數(shù)圖象上切點為，求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)求出切點坐標與切線方程，設函數(shù)的圖象上的切點為，根據(jù)，得到，再由，即可求出，從而得解；
【詳解】解：設函數(shù)圖象上切點為，因為，所以，得，所以，所以切線方程為，即，設函數(shù)的圖象上的切點為，因為，所以，即，又，即，所以，即，解得或（舍），所以．
故選：A
13．（2021·云南·曲靖一中?？寄M預測）設曲線和曲線在它們的公共點處有相同的切線，則的值為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用導數(shù)的幾何意義可知，可求得；根據(jù)為兩曲線公共點可構造方程求得，代入可得結果.
【詳解】，，，，，
又為與公共點，，，解得：，
.
故選：D.
二、多選題
14．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）（多選）曲線在點處的切線與其平行直線的距離為，則直線的方程可能為（）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】由題設求得y′＝e2x(2cs 3x－3sin 3x)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線斜率并寫出切線方程，由直線間的距離公式求參數(shù)，即可知直線的方程.
【詳解】由題設，y′＝e2x(2cs 3x－3sin 3x)，
∴y′|x=0＝2，則所求的切線方程為y＝2x＋1，
設直線l的方程為y＝2x＋b，則，解得b＝6或－4.
∴直線l的方程為y＝2x＋6或y＝2x－4.
故選：AB
15．（2021·山東濟南·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的圖象在處切線的斜率為，則下列說法正確的是（）
A．B．在處取得極大值
C．當時，D．的圖象關于點中心對稱
【答案】ABD
【分析】A由導數(shù)的幾何意義即可求參數(shù)a；B利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而確定是否存在極大值；C根據(jù)B判斷區(qū)間內(nèi)的端點值、極值，進而確定區(qū)間值域；D令，則，即可確定對稱中心.
【詳解】A：，由題意，得，正確；
B：，由得：或，易知在，上，為增函數(shù)，在上，為減函數(shù)，所以在處取得極大值，正確；
C：由B知：，，，故在上的值域為，錯誤；
D：令且為奇函數(shù)，則，而圖象關于中心對稱，所以關于中心對稱，正確；
故選：ABD.
16．（2023·山東·日照一中校考模擬預測）已知是的導函數(shù)，且，則（）
A．B．
C．的圖象在處的切線的斜率為0D．在上的最小值為1
【答案】BC
【分析】由題意，利用方程思想，求導賦值，建立方程，求得的值，可得函數(shù)與導函數(shù)解析式，
對于A、B，直接代值，可得答案；對于C，利用導數(shù)的幾何意義，可得答案；對于D，根據(jù)導數(shù)與單調(diào)性關系，可得答案.
【詳解】∵，∴，令，則，故B正確；則，，
，故A錯誤；
的圖象在處的切線的斜率為，故C正確；
，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，∴在上的最小值為，故D錯誤．
故選：BC．
17．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若經(jīng)過點且與曲線相切的直線有兩條，則實數(shù)的值為（）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】設出切點并根據(jù)導函數(shù)性質設出過切點的切線方程，參變分離構建新函數(shù)，求導畫出草圖即可根據(jù)條件得出答案.
【詳解】設切點為，
由，
得，
則過切點的切線方程為：，
把代入，得，
即，
令，
則，
則當時，，
當時，，
的增區(qū)間為與，減區(qū)間為，
做出草圖如下：
因為過點且與曲線相切的直線有兩條，則或，
則或，
故選：AC.
三、填空題
18．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）函數(shù)的圖象在點處的切線方程為______．
【答案】
【分析】先求導，再由導數(shù)的幾何意義和點斜式即可求解
【詳解】因為，所以．因為，，所以所求切線方程為，即.
故答案為：
19．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預測）寫出曲線過點的一條切線方程__________．
【答案】或（寫出其中的一個答案即可）
【分析】首先判斷點在曲線上，求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程，再說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極大值，從而得到曲線的另一條切線方程.
【詳解】解：因為點在曲線上，所以曲線在點處的切線方程符合題意．
因為，所以，
所以曲線在點處的切線方程為，即．
因為當或時，；當時，，
所以函數(shù)在處取得極大值，又極大值恰好等于點的縱坐標，所以直線也符合題意．
故答案為：或（寫出其中的一個答案即可）
20．（2023·河南·長葛市第一高級中學統(tǒng)考模擬預測）已知曲線在處的切線的斜率為，則______.
【答案】
【分析】利用導數(shù)的幾何意義求解.
【詳解】因為，
所以，當時，，
因為曲線在點處的切線的斜率為，
所以，解得，
故答案為：
21．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知與的圖象有一條公切線，則c=______.
【答案】
【分析】求導，得到公切線的斜率，從而得到切點求解.
【詳解】因為,，
所以，，
所以公切線的斜率為2，與的圖象相切于點，與的圖象相切于點，
故，即.
故選：
原函數(shù)
導函數(shù)
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝n·xn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝eq \a\vs4\al(ex)
f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \a\vs4\al(\f(1,x))
①求曲線的斜率
②求在曲線上某一點的切線方程
③求過一點的切線方程
④已知切線（斜率）求參數(shù)
⑤兩條切線平行、垂直、公切線問題
高考題精選
題型精練，鞏固基礎

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