一、解答題
1．已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
2．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
3．設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．
4．已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．
（I）求和的通項(xiàng)公式；
（II）記，
（i）證明是等比數(shù)列；
（ii）證明
5．記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求使成立的n的最小值．
6．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
7．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．
(1)證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．
8．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，且成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．
9．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．
10．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，記.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
11．已知數(shù)列滿足，數(shù)列的首項(xiàng)為2，且滿足
(1)求和的通項(xiàng)公式
(2)記集合，若集合的元素個(gè)數(shù)為2，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
(3)設(shè)，證明：．
12．已知數(shù)列滿足，，且．
(1)令，求；
(2)記的前n和為，求證：．
13．已知正項(xiàng)數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，且__________.請(qǐng)?jiān)冖佗谥腥芜x一個(gè)條件填在題目橫線上，再作答：①，②.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
14．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足：，．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列和的公共項(xiàng)組成的數(shù)列記為，求的通項(xiàng)公式；
(3)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：
15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求；
(2)若，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．
16．已知數(shù)列的首項(xiàng)，是與的等差中項(xiàng)．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)證明：．
17．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足（，且）.
(1)若；
（i）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的數(shù)列的前四項(xiàng)；
（ii）求證：存在，使得成立；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
18．“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦……”，“大衍數(shù)列”來(lái)源于《乾坤譜》，用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.“大衍數(shù)列”的前幾項(xiàng)分別是：0，2，4，8，12，18，24，…，且滿足其中.
(1)求（用表示）；
(2)設(shè)數(shù)列滿足：其中，是的前項(xiàng)的積，求證：，.
19．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，滿足（）.
(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)之和為，證明：.
20．已知為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，記，分別是數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
21．已知數(shù)列滿足，且，
（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，求；
（3）是否存在實(shí)數(shù)k，使得對(duì)任意都成立？若存在，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
22．已知數(shù)列的滿足，且,記.
(1)求證：為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求的值；
(3)是否存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意都成立？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
23．設(shè)數(shù)列滿足，，令.
(1)試證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)是否存在常數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)令，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)一切都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
24．已知函數(shù)的最小值為0，其中．
(1)求的值；
(2)若對(duì)任意的，有成立，求實(shí)數(shù)的最小值；
(3)證明：．
25．已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，，.數(shù)列滿足：（）.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)證明：是等比數(shù)列；
(3)證明：.
26．已知數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
27．已知函數(shù)．
（1）求的最大值；
（2）設(shè)，是曲線的一條切線，證明：曲線上的任意一點(diǎn)都不可能在直線的上方；
（3）求證：（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．
28．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
(3)求證：（，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
29．已知函數(shù).
(1)若在上單調(diào)遞增，求的值；
(2)證明：（且）.
參考答案：
1．(1)；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，并與作差比較作答.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，因此，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此，
所以當(dāng)時(shí)，.
方法2：由（1）知，，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則
，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此，
所以當(dāng)時(shí)，.
2．(1)
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對(duì)于也成立，得到的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.
【詳解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數(shù)列，
∴,∴,
∴當(dāng)時(shí)，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對(duì)于也成立，
∴的通項(xiàng)公式；
（2）
∴
3．（1），；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出，再作差比較即可.
【詳解】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用錯(cuò)位相減法求和
，
，
．
設(shè)， ⑧
則． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯(cuò)位相減求和法
證明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：構(gòu)造裂項(xiàng)法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通過(guò)等式左右兩邊系數(shù)比對(duì)易得，所以．
則，下同方法二．
[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法
設(shè)，
由于，
則．
又，
所以
，下同方法二．
【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時(shí)采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類(lèi)型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡(jiǎn)的更為簡(jiǎn)潔.
（2）的方法一直接作差后利用錯(cuò)位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；
方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯(cuò)位相減法求得,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；
方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項(xiàng)求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造，使，求得的表達(dá)式，這是錯(cuò)位相減法的一種替代方法，
方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯(cuò)位相減求和法的一種方法.
4．（I），；（II）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析.
【分析】（I）由等差數(shù)列的求和公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)公式；
（II）（i）運(yùn)算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；
（ii）放縮得，進(jìn)而可得，結(jié)合錯(cuò)位相減法即可得證.
【詳解】（I）因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．
所以，所以，
所以；
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
所以，解得（負(fù)值舍去），
所以；
（II）（i）由題意，，
所以，
所以，且，
所以數(shù)列是等比數(shù)列；
（ii）由題意知，，
所以，
所以，
設(shè)，
則，
兩式相減得，
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
最后一問(wèn)考查數(shù)列不等式的證明，因?yàn)闊o(wú)法直接求解，應(yīng)先放縮去除根號(hào)，再由錯(cuò)位相減法即可得證.
5．(1)；(2)7.
【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.
【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，
，
從而：，由于公差不為零，故：，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.
(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，
則不等式即：，整理可得：，
解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.
【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.
6．（1）；（2）.
【分析】（1）由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；
（2）由結(jié)合的結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法求出，對(duì)任意恒成立，分類(lèi)討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，由①，
得②，①②得
，
又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
；
（2）由，得，
所以，
，
兩式相減得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
時(shí)不等式恒成立；
時(shí)，，得；
時(shí)，，得；
所以.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數(shù)時(shí)，要注意變量的正負(fù)零討論，如（2）中恒成立，要對(duì)討論，還要注意時(shí)，分離參數(shù)不等式要變號(hào).
7．(1)證明見(jiàn)解析，
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）令可求得的值，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式作差，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立，據(jù)此可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2），利用裂項(xiàng)相消法可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）證明：因?yàn)?，，為?shù)列的前項(xiàng)和，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由①，可得②，
①②可得，即，所以，，
又因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，其公比為，
即當(dāng)時(shí)，，則，
不滿足，所以，.
（2）證明：，
則
.
綜上，對(duì)任意的，.
8．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】
（1）根據(jù)已知等比中項(xiàng)列等式，結(jié)合與的關(guān)系可得的遞推公式，然后利用構(gòu)造法求，再根據(jù)與的關(guān)系求通項(xiàng)；
（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法求，然后可證明.
【詳解】（1）由成等比數(shù)列，
得，
所以．
整理，得，則．
又，
所以是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，
所以，即．
當(dāng)時(shí)，，
所以．
當(dāng)時(shí)，不符合上式．
故.
（2）由（1）可知，，
所以
，
所以，
故．
9．(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】
（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可得當(dāng)時(shí)，有，結(jié)合可推出，結(jié)合等比數(shù)列定義即可證明結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）可求出的表達(dá)式，可得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法即可求得，結(jié)合不等式性質(zhì)即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）由得，則當(dāng)時(shí)，有，
兩式相減得，
整理得，即，
因此數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）及可得，
因此．
于是，
所以
，
由于，所以，
故．
10．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）借助構(gòu)造等比數(shù)列算出，即可求出；
（2）將裂項(xiàng)后求和，再分奇偶討論即可得證.
【詳解】（1）由，得，，
則，，，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
，
，
.
（2），
，
，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，由，可知是遞增數(shù)列，
，
綜上，.
11．(1)，
(2)
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系即可作差得，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求解.
（2）根據(jù)的單調(diào)性，即可求解.
（3）利用放縮法得，即可結(jié)合裂項(xiàng)求和求解.
【詳解】（1）由可得：
時(shí)，，
相減可得，故，
當(dāng)時(shí)，也符合上式，故，
由可得，所以數(shù)列為公差為0的等差數(shù)列，且首項(xiàng)為2，
所以，則.
（2）由和可得，
記，則，
所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
而,
由于集合M的元素個(gè)數(shù)為2，所以，故.
（3）由得，，
由于，
因此
.
12．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可得，即得，利用累加法即可求得答案；
（2）根據(jù)數(shù)列遞推式可得，即可求得，進(jìn)而求出的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和求得，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以時(shí)，
，
也適合，
所以．
（2）因?yàn)?，故?br>又因?yàn)?，則，可知，
所以，
而，所以，
所以，
所以，
所以．
13．(1)條件選擇見(jiàn)解析，
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）若選①，通過(guò)因式分解化簡(jiǎn)遞推公式，得是公差為2的等差數(shù)列，結(jié)合，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
若選②，時(shí)，求出，利用公式，化簡(jiǎn)后證得數(shù)列為等差數(shù)列，公差，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）利用放縮和裂項(xiàng)相消法求和證明不等式.
【詳解】（1）若選①: 由，得，
即，
因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列，所以，是公差為2的等差數(shù)列，
由，得；
若選②：，當(dāng)時(shí)，，
兩式作差得：，則，
兩式作差得，
即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，
時(shí)，，可得，
公差，則；
（2）由（1）知，，
又，
14．(1)
(2)
(3)證明見(jiàn)解析；
【分析】（1）由等比數(shù)列和等差數(shù)列定義并利用已知條件可求得公差，公比，即可得出數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)通項(xiàng)公式可知是4的整數(shù)倍，即可得；
（3）由（2）可得對(duì)于都成立，可得，利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可得出證明.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由可得，易知，所以，解得；
又可得，可得；
由可得，即；
因此可得，；
所以數(shù)列和的通項(xiàng)公式為.
（2）數(shù)列和的公共項(xiàng)需滿足，
可得，即是4的整數(shù)倍，
可知，由二項(xiàng)式定理可知若是4的倍數(shù)，則為正數(shù)，即；
所以可得，
即的通項(xiàng)公式為
（3）易知，顯然對(duì)于都成立，
所以對(duì)于都成立，
即
，
即可得.
15．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)公式，消去，轉(zhuǎn)化為關(guān)于數(shù)列的遞推關(guān)系式，構(gòu)造等比數(shù)列，即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，可知，再根據(jù)放縮法求得的范圍，即可證明不等式.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，，則，
因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，即；
（2）由（1）知，
依題意，
因?yàn)?，，則，即；
因?yàn)椋?br>所以，
而，
故，即．
綜上所述，．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)考查數(shù)列，不等式，放縮法的綜合應(yīng)用問(wèn)題，第二問(wèn)的難點(diǎn)是證明，關(guān)鍵是證明，后面的問(wèn)題迎刃而解.
16．(1)證明見(jiàn)解析；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）由題設(shè)，構(gòu)造法得到，即可證結(jié)論.
（2）由（1）及放縮法得，再應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和，即可證結(jié)論.
【詳解】（1）由題設(shè)，又，
所以是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列.
（2）由（1）知：，則，顯然時(shí)成立，
當(dāng)有，此時(shí)，
綜上，，得證.
17．(1)（i）（答案不唯一）
（ii）見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)證明不等式；
（2）根據(jù)累加法與不等式的性質(zhì)證明結(jié)論．
【詳解】（1）（i）∵即，
又，則，
∴滿足條件的數(shù)列的前四項(xiàng)可以為：.
（ii）∵（，且），
∴，
，
，
，
累加得，則，
則，
∵，
∴，
不妨令，
故存在，使得成立；
（2）由（1）知：，
同理∵即，
∴，
，
，
∴，則
則，
，
，
，
，
累加得：，
故：.
18．(1)；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）由遞推關(guān)系可得，應(yīng)用累加法、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求；
（2）由（1）及遞推關(guān)系得，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式，即得，則，利用導(dǎo)數(shù)證，放縮法即可證結(jié)論.
【詳解】（1），
∴.
（2）由（1）知，，，
而也滿足上式，故，
∴ 且，故且，即，
∴，則，
令且，則，即在上遞減，
所以，即在上恒成立，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
所以，，即，，證畢.
19．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）時(shí)，有，變形為，可得數(shù)列為等比數(shù)列，可利用首項(xiàng)和公比求通項(xiàng)公式；
（2）利用數(shù)列求和的放縮法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求最值，證明不等式.
【詳解】（1）∵數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，滿足（），
時(shí)，，解得.
∴時(shí)，，化為， 變形為，
又，∴，，
數(shù)列是首項(xiàng)為4公比為2的等比數(shù)列，∴.
（2）先證明左邊：即證明，
由（1）可得：，解得，
又由，解得，
又，
所以，
再證明右邊：.
∴，
下面證明，
即證明，
設(shè)，，
則，即證明，.
設(shè)，，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，
即，，
∴.
∴.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是通過(guò)放縮法結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式證明左邊，對(duì)右邊等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.
20．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由題意有，結(jié)合，列方程組求出和公比q，可得的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)時(shí)，分為奇數(shù)和分為偶數(shù)，通過(guò)證明結(jié)論.
【詳解】（1）由題意設(shè)的公比為q（），
則，
∴，
由，解得，∴；
（2）由（1）得，
①當(dāng)（）時(shí)，
；
②當(dāng)（）時(shí)，
；
綜上，當(dāng)時(shí)，．
21．（1）證明見(jiàn)解析，；（2）；（3）存在且．
【分析】（1）用等差數(shù)列的定義證明是等差數(shù)列，由可得；
（2）用裂項(xiàng)相消法求；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得對(duì)任意都成立，不等式變形為，只要求得的最小值即可，可先證是遞增的，然后可得最小值．
【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，所以，所以是等差?shù)列，公差為2， ，
，所以．
（2）由（1），
所以．
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得對(duì)任意都成立，
因?yàn)椋?br>所以，
不等式化為，
，
設(shè)，
設(shè)，則，，
，所以，所以是遞增數(shù)列，
，
所以．
所以存在實(shí)數(shù)k，使得對(duì)任意都成立，且．
【點(diǎn)睛】本題考查用定義證明等差數(shù)列，考查裂項(xiàng)相消法求和，考查與不等式恒成立有關(guān)的數(shù)列問(wèn)題．
數(shù)列不等式恒成立與函數(shù)不等式恒成立處理方法是一致的，都可用分離變量法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)（數(shù)列）的最值．
22．（1）證明見(jiàn)解析，；（2）；（3）.
【分析】(1)化簡(jiǎn)，從而可得的通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合（1）可得 ,利用裂項(xiàng)相消法可得結(jié)果；（3）利用“累乘法”化簡(jiǎn)左邊式子為,從而可得對(duì)任意恒成立,構(gòu)造函數(shù) ,利用單調(diào)性求得，從而可得結(jié)果.
【詳解】(1) ,
所以是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列,
.
（2） ,
,
.
(3) 左邊
,
由題意可知,對(duì)任意恒成立,
令 ,則由對(duì)鉤函數(shù)的性質(zhì)可知
在上單調(diào)遞增，故，
綜上可以，即正實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)相消法求和、不等式恒成立問(wèn)題，屬于難題. 裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.
23．(1)證明見(jiàn)解析，；
(2)存在，理由見(jiàn)解析；
(3)存在，.
【分析】（1）由題設(shè)可得，結(jié)合及得，即可證結(jié)論，根據(jù)等差數(shù)列定義寫(xiě)出通項(xiàng)公式；
（2）假設(shè)存在，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)列方程求參數(shù)，即可判斷存在性；
（3）令求得與1的大小關(guān)系，判斷的單調(diào)性，結(jié)合恒成立、對(duì)數(shù)不等式的解法求參數(shù)a的范圍，判斷存在性.
【詳解】（1）由，得，
即,故，而，
∴，即，
∴數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，故．
（2）由（1），設(shè)，
若存在常數(shù)c，使是等比數(shù)列，則，
即，解得.
經(jīng)檢驗(yàn)，c=0復(fù)合題意，
所以，存在唯一的常數(shù)，使是等比數(shù)列.
（3）設(shè)，
則.
∵
∴，即數(shù)列是遞減數(shù)列，故．
要使不等式對(duì)一切都成立，
只要，即，， 解得.
因此， 存在大于實(shí)數(shù)，使不等式對(duì)一切都成立．
24．(1)；
(2)；
(3)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，已知最小值為0，可得極小值也為0，得，從而求出的值；
（2）由題意任意的，有成立，可以令先通過(guò)，大致確定取值范圍，再利用分類(lèi)討論法求出的最值；
（3）由（2）知:令得:令得: ，累加即可的證.
【詳解】（1）由函數(shù)，則其定義域?yàn)椋?
由，得:，又由，得:，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
；
（2）設(shè)，
則在恒成立等價(jià)于，
注意到，又，
①當(dāng)時(shí)，由得.
在單減，單增，這與式矛盾；
②當(dāng)時(shí)，在恒成立，符合，
的最小值為；
（3）由（2）知：令得：，
令得：
當(dāng)時(shí)，(1)；
當(dāng)時(shí)，，
，
，
將(1)(2)(3),,(n)式相加得：
不等式左邊：
；
不等式右邊：
；
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于含參函數(shù)的恒成立問(wèn)題的處理，常采用兩種方法：①參變分離求最值；②將左右兩邊移到一邊重新構(gòu)造一個(gè)含參函數(shù)，討論含參函數(shù)的單調(diào)性，確定哪一個(gè)點(diǎn)處取得最值.
25．(1)
(2)見(jiàn)解析
(3)見(jiàn)解析
【分析】（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；
（3）放縮得，進(jìn)而可得，結(jié)合錯(cuò)位相減法即可得證.
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
則，所以，
又.
（2）所以，
所以，且，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為8，公比為的等比數(shù)列；
（3）由題意知，，
所以，
所以，
設(shè)，
則，
兩式相減得，
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
最后一問(wèn)考查數(shù)列不等式的證明，因?yàn)闊o(wú)法直接求解，應(yīng)先放縮去除根號(hào)，再由錯(cuò)位相減法即可得證.
26．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由可得出，兩式作差推導(dǎo)出，然后利用累乘法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）證法一：利用放縮法推導(dǎo)出，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式可證得結(jié)論成立；
證法二：利用放縮法推導(dǎo)出，再結(jié)合裂項(xiàng)法可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）解：對(duì)任意的，
當(dāng)時(shí)，，兩式相減．
整理得，
當(dāng)時(shí)，，
也滿足，從而．
（2）證明：證法一：因?yàn)椋?br>所以，
．
從而；
證法二：因?yàn)椋?br>所以，
，證畢.
27．（1）0；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）確定函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求的最大值；
（2）設(shè)是曲線上的任意一點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出在點(diǎn)處的切線方程，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求出在處取得最大值，由此即可證明結(jié)果；
（3）先證明當(dāng)且時(shí)，有，注意到，然后利用進(jìn)行放縮即可證明結(jié)果.
【詳解】（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?，令，得?br>當(dāng)時(shí)，，∴在上是增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，∴在上是減函數(shù)，
故在處取得最大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，
則在點(diǎn)處的切線方程為，
即，
令
則，
∵，在上是減函數(shù)，
∴在處取得最大值，即恒成立，
故曲線上的任意一點(diǎn)不可能在直線的上方．
（3）由（1）知在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故當(dāng)且時(shí)，有，
又因?yàn)?，所?br>所以
28．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)直接可得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）構(gòu)造函數(shù)，分情況討論函數(shù)的單調(diào)性與最值，進(jìn)而可得參數(shù)范圍；
（3）由（2）的結(jié)論及裂項(xiàng)法進(jìn)行放縮，進(jìn)而可得證.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
，
由解得，由解得，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）因當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，
設(shè)，只需即可，
由，
（i）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故成立；
（ii）當(dāng)時(shí)，由，因，所以，，
①若，即時(shí)，在區(qū)間上，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上無(wú)最大值，不滿足條件；
②若，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣在上無(wú)最大值，不滿足條件；
（iii）當(dāng)時(shí)，由，，，
，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（3）據(jù)（2）知當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
令，
則，
當(dāng)時(shí)，
，.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
29．(1)1；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)給定條件可得恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論求解作答.
（2）利用（1）的結(jié)論得當(dāng)時(shí)，，取，利用不等式的性質(zhì)結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和作答.
【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，
由于函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則恒成立，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，
又，即，不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，令，得，
則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
于是當(dāng)時(shí)，取得最小值，
于是，即，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，
則，由于恒成立，因此，則有，
所以單調(diào)遞增時(shí)，的值為1.
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，即有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，，
因此當(dāng)且時(shí)，
，
而當(dāng)時(shí)，，
所以，
則，所以，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題，結(jié)合已知，利用換元法構(gòu)造新函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)，借助數(shù)形結(jié)合的思想推理求解.

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