初升高數(shù)學(xué)銜接講義第12講.函數(shù)的奇偶性（教師版+學(xué)生版）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?如果，都有，且，那么函數(shù)叫做奇函數(shù).
偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?如果，都有，且，那么函數(shù)叫做偶函數(shù).
奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)
奇函數(shù)性質(zhì)：①定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；②圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱；③若定義域內(nèi)包含0，則；
④.
偶函數(shù)性質(zhì)：①定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；②圖像關(guān)于軸對稱；③.
用定義證明函數(shù)奇偶性的步驟：
①求定義域.若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則進(jìn)行下一步;
②化簡的解析式.
③求，判斷與的關(guān)系.若，則為奇函數(shù)；若，則為偶函數(shù)；若都不滿足，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若兩個(gè)等式都滿足，則既是奇函數(shù)也是偶函數(shù).
判斷函數(shù)奇偶的方法
定義法；
圖像法；
性質(zhì)法: ①偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)仍為偶函數(shù)；
②奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)；
③兩個(gè)奇函數(shù)的積、商(分母不為0)為偶函數(shù)；
③一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積、商(分母不為0)為奇函數(shù).
（性質(zhì)法里面需要注意定義域）
函數(shù)的奇偶性是( )
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
【答案】C
【解析】定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，為非奇非偶函數(shù)，選C.
下列說法正確的是( )
A．若一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則這個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)
B．若一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則它的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱
C．若一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)
D．若函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則是奇函數(shù)
【答案】B
設(shè)奇函數(shù)的定義域是且圖象的一部分如圖所示，則不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】是奇函數(shù)，可作出如下在的圖象，
由圖象可知的解集為.
判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）；（2）；
（3）；（4）
【答案】（1）非奇非偶函數(shù)；（2）既奇又偶函數(shù)；（3）偶函數(shù)；（4）奇函數(shù).
【解析】（1）的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，
為非奇非偶函數(shù)；
（2）中有，解得，
且，為既奇又偶函數(shù)；
（3）定義域?yàn)椋?br>且，為偶函數(shù)；
（4）函數(shù)定義域?yàn)?，且?br>當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，
綜上可知，為奇函數(shù).
設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋沂瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）
A. 是偶函數(shù) B. 是奇函數(shù)
C. 是偶函數(shù) D. 是偶函數(shù)
【答案】D
已知函數(shù)是奇函數(shù)，則________．
【答案】2
【解析】當(dāng)時(shí)，，
是奇函數(shù)，，解得.
函數(shù)，若對任意實(shí)數(shù)都有，求證：為奇函數(shù)．
【證明】令得，則，
令，依題意得，即，
又定義域?yàn)?，為奇函?shù)．
已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，__________．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，
是定義在上的偶函數(shù)，.
已知分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，試求和的表達(dá)式．
【答案】
【解析】分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，
又，則，即，
聯(lián)立解得.
若函數(shù)是偶函數(shù)，且定義域?yàn)椋瑒t__________，__________．
【答案】
【解析】依題意得且恒成立，
解得且恒成立，則.
已知為奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，又，則的解集為__________．
【答案】
【解析】奇函數(shù)在上是增函數(shù)，
在上是增函數(shù)，
又，，
由得或，
解得或，
的解集為.
定義在上且滿足，且時(shí)，，則不等式的解集為__________．
【答案】
【解析】依題意，
令得，，
任取且，則，
，
在上單調(diào)遞增，
不等式轉(zhuǎn)化為且，
，解得，故解集為.
設(shè)定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，若成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】
【解析】是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，
可化為，
又時(shí)，單調(diào)遞減，
，解得，
故的取值范圍為.
函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且．
確定函數(shù)的解析式；
用定義證明：在區(qū)間上是增函數(shù)；
解不等式：．
【答案】（1）；（2）見解析；（3）.
【解析】（1）依題意得，解得，
；
（2）任取且，
則，
且，，
，即，
在區(qū)間上是增函數(shù)
（3）可化為，
則，解得.
跟蹤訓(xùn)練
已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則等于( )
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】依題意，選D.
下面五個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）
①偶函數(shù)的圖像一定與軸相交；②奇函數(shù)圖像一定過原點(diǎn)；③偶函數(shù)圖像一定關(guān)于軸對稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是；⑤偶函數(shù)與軸若有交點(diǎn)，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為0.
A.2B.3 C.4D.5
【答案】A
【解析】①錯(cuò)誤，③正確：偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，但不一定與軸相交；②錯(cuò)誤：奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，但不一定經(jīng)過原點(diǎn)，只有在原點(diǎn)處有定義才通過原點(diǎn)；④錯(cuò)誤：若既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，則且，則，但不一定，只要定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱即可；⑤正確.故正確命題個(gè)數(shù)是2，選A.
對于定義在上的任意奇函數(shù)，都有（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】對于定義在上的任意奇函數(shù)，都有，
則，故選D.
若函數(shù)為偶函數(shù)，則（）
B． C． D．
【答案】C
【解析】依題意得，
即，，解得，選C.
函數(shù)的圖像關(guān)于（）
A.軸對稱 B．直線對稱 C．坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 D．直線對稱
【答案】C
【解析】定義域?yàn)椋遥?br>是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，選C.
已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則在上的表達(dá)式為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，
則時(shí)，，此時(shí)，
，故選B.
已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是( )
A.是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是 B.是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是
C.是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是 D.是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是
【答案】C
【解析】定義域?yàn)椋遥?br>是奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，在上遞減，在遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上遞減，在遞增，
綜上，遞減區(qū)間是，選C.
如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且最大值為，那么在區(qū)間上是（）
A.增函數(shù)且最小值是 B.增函數(shù)且最大值是
C.減函數(shù)且最大值是 D.減函數(shù)且最小值是
【答案】A
【解析】奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且最大值為，
則在上也是增函數(shù)，，
在區(qū)間上由最小值，選A.
若函數(shù)是偶函數(shù)，則的遞減區(qū)間是 .
【答案】
【解析】依題意，解得，
，的遞減區(qū)間是.
若函數(shù)在上是奇函數(shù),則的解析式為________.
【答案】
【解析】在上是奇函數(shù)，
，解得，.
設(shè)偶函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，則由大到小的關(guān)系是__________．
【答案】
【解析】偶函數(shù)在上是增函數(shù)，
，即.
若函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為______．
【答案】1
【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，時(shí)，，
則，.
設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)?，若?dāng)時(shí)，的圖象如右圖,則不等式的解集是．
【答案】
【解析】奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，作出在的圖象如下：
由得，由圖可知，
的解集為.
已知，則．
【答案】
【解析】由已知得，
則.
已知函數(shù)的定義域是，且滿足，,如果對于，都有.
求；
解不等式.
【答案】（1）0；（2）.
【解析】（1）令，得，；
（2）依題意，，，
由對于，都有，可知在單調(diào)遞減，
由得，
，解得，故解集為.
判斷下列函數(shù)的奇偶性．
（1）；（2）；
（3）；（4） .
【答案】（1）奇函數(shù)；（2）非奇非偶函數(shù)；（3）奇函數(shù)；（4）非奇非偶函數(shù).
【解析】（1）定義域?yàn)?，且?br>是奇函數(shù)；
（2）中有，解得，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，
是非奇非偶函數(shù)；
（3）中有，解得，
，，
是奇函數(shù)；
（4）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)且，
是非奇非偶函數(shù).
已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，求不等式的解集.
【答案】
【解析】奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，
由得，
，解得，故解集為.
已知函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)是增函數(shù)，若，求不等式的解集．
【答案】
【解析】奇函數(shù)在上是增函數(shù)，且，
在上是增函數(shù)，且，
由得或，
解得或，
故解集為.
若是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)的解析式．
【答案】
【解析】是定義在上的奇函數(shù)，，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，
綜上，.

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