本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》第一章《空間向量與立體幾何》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)運(yùn)用空間向量解決線線、線面、面面的位置關(guān)系，主要是平行。
在向量坐標(biāo)化的基礎(chǔ)上，將空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為向量語言，進(jìn)而運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，從而實(shí)現(xiàn)運(yùn)用空間向量解決立體幾何問題，為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何提供了新的方法和新的觀點(diǎn)，為培養(yǎng)學(xué)生思維提供了更廣闊的空間。
1.教學(xué)重點(diǎn)：用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系
2.教學(xué)難點(diǎn)： 用向量方法證明空間中直線、平面的平行關(guān)系
多媒體
教學(xué)中主要突出了幾個(gè)方面：一是創(chuàng)設(shè)問題情景，通過現(xiàn)實(shí)情境提出問題，讓學(xué)生初步體會(huì)運(yùn)用向量解決立體幾何問題的基本方法，并以此來激發(fā)學(xué)生的探究心理。二是典例解析，通過對(duì)典型問題的分析解決，幫助學(xué)生建立運(yùn)用空間向量解決立體幾何問題的基本思路。教學(xué)設(shè)計(jì)盡量做到注意學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，觸發(fā)學(xué)生的思維，使教學(xué)過程真正成為學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，以思維教學(xué)代替單純的記憶教學(xué)。注意在探究問題時(shí)留給學(xué)生充分的時(shí)間， 使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。課程目標(biāo)
學(xué)科素養(yǎng)
A. 能用向量語言描述直線和平面,理解直線的方向向量與平面的法向量.
B.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系.
C.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面平行關(guān)系的判定定理.
D.能用向量方法證明空間中直線、平面的平行關(guān)系.
1.數(shù)學(xué)抽象：直線的方向向量與平面的法向量
2.邏輯推理：直線、平面平行關(guān)系的判定；
3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決直線、平面的平行關(guān)系.
教學(xué)過程
教學(xué)設(shè)計(jì)意圖
核心素養(yǎng)目標(biāo)
一、情境導(dǎo)學(xué)
牌樓與牌坊類似,是中國傳統(tǒng)建筑之一,最早見于周朝。在園林、寺觀、宮苑、陵墓和街道常有建造.舊時(shí)牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種,多設(shè)于要道口。牌樓中有一種有柱門形構(gòu)筑物,一般較高大。如圖,牌樓的柱子與地面是垂直的,如果牌樓上部的下邊線與柱子垂直,我們就能知道下邊線與地面平行。這是為什么呢?
二、探究新知
一、空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示
1.點(diǎn)的位置向量
在空間中,我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn),那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量OP來表示.我們把向量OP稱為點(diǎn)P的位置向量.如圖.
2.空間直線的向量表示式
如圖①,a是直線l的方向向量,在直線l上取AB=a,設(shè)P是直線l上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使得AP=ta,即AP=tAB.如圖②,取定空間中的任意一點(diǎn)O,可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使OP=OA+ta, ①
或OP=OA+tAB. ②
①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定.
1.下列說法中正確的是( )
A.直線的方向向量是唯一的
B.與一個(gè)平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量
C.直線的方向向量有兩個(gè)
D.平面的法向量是唯一的
答案:B 解析:由平面法向量的定義可知,B項(xiàng)正確.
3.空間平面的向量表示式
如圖,取定空間任意一點(diǎn)O,空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x,y,使OP=OA+xAB+yAC.我們把這個(gè)式子稱為空間平面ABC的向量表示式.由此可知,空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定.
4.平面的法向量
如圖,直線l⊥α,取直線l的方向向量a,我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a,那么過點(diǎn)A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可以表示為集合{P|a·AP=0}.
點(diǎn)睛：空間中,一個(gè)向量成為直線l的方向向量,必須具備以下兩個(gè)條件:①是非零向量;②向量所在的直線與l平行或重合.
2.若直線l過點(diǎn)A(-1,3,4),B(1,2,1),則直線l的一個(gè)方向向量可以是( )
A.-1,12,-32 B.-1,-12,32 C.1,12,32 D.-23,13,1
答案:D 解析: AB=(2,-1,-3)=-3-23,13,1,故選D.
3.若兩個(gè)向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),則平面ABC的一個(gè)法向量為( )
A.(-1,2,-1)B.(1,2,1) C.(1,2,-1) D.(-1,2,1)
答案:A
解析:設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則n·AB=0,n·AC=0,即x+2y+3z=0,3x+2y+z=0.令x=-1,則y=2,z=-1.即平面ABC的一個(gè)法向量為n=(-1,2,-1).
二、空間中直線、平面平行的向量表示
位置關(guān)系
向量表示
線線
平行
設(shè)μ1,μ2分別是直線l1,l2的方向向量,則
l1∥l2?μ1∥μ2??λ∈R,使得μ1=λμ2.
線面
平行
設(shè)μ是直線l的方向向量,n是平面α的法向量,
l?α,則l∥α?μ⊥n?μ·n=0.
面面
平行
設(shè)n1,n2分別是平面α,β的法向量,則
α∥β?n1∥n2??λ∈R,使得n1=λn2.
點(diǎn)睛：1.空間平行關(guān)系的本質(zhì)是線線平行,根據(jù)共線向量定理,只需證明直線的方向向量μ1∥μ2.此外,證明線面平行也可用共面向量定理,即只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可.
2.利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時(shí),要注意向量所在的直線與所證直線或平面無公共點(diǎn),證明平面與平面平行時(shí)也要注意兩平面沒有公共點(diǎn).
4.若兩條直線的方向向量分別是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且兩條直線平行,則x= ,y= .
答案:-12；15
解析:因?yàn)閮蓷l直線平行,所以a∥b.于是2-6=4x=-5y,解得x=-12,y=15.
5.若平面β外的一條直線l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量為n=(4,-1,-2),則l與β的位置關(guān)系是 .
答案:平行
解析:因?yàn)閡·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u(píng)⊥n.所以直線與平面平行,即l∥β.
例1.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點(diǎn),求平面EDB的一個(gè)法向量.
思路分析首先建立空間直角坐標(biāo)系,然后利用待定系數(shù)法按照平面法向量的求解步驟進(jìn)行求解.
解:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得D(0,0,0),P(0,0,1),
E0,12,12,B(1,1,0),于是
DE=0,12,12, DB=(1,1,0).
設(shè)平面EDB的法向量為n=(x,y,z),
則n⊥DE,n⊥DB,于是n·DE=12y+12z=0,n·DB=x+y=0,
取x=1,則y=-1,z=1,故平面EDB的一個(gè)法向量為n=(1,-1,1).
延伸探究：本例條件不變,你能分別求出平面PAD與平面PCD的一個(gè)法向量嗎?它們之間的關(guān)系如何?
解:如同例題建系方法,易知平面PAD的一個(gè)法向量為n1=(0,1,0),平面PCD的一個(gè)法向量為n2=(1,0,0),因?yàn)閚1·n2=0,所以n1⊥n2.
利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟
(1)設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z).
(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).
(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,y,z的方程組n·a=0,n·b=0.
(4)解方程組,取其中的一個(gè)解,即得法向量.
1.如圖所示,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1, AD=12,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.
(1)求平面ABCD的一個(gè)法向量;
(2)求平面SAB的一個(gè)法向量;
(3)求平面SCD的一個(gè)法向量.
解:以點(diǎn)A為原點(diǎn),AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D12,0,0,S(0,0,1).
(1)∵SA⊥平面ABCD,
∴AS=(0,0,1)是平面ABCD的一個(gè)法向量.
(2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,∴AD⊥平面SAB,
∴AD=12,0,0是平面SAB的一個(gè)法向量.
(3)在平面SCD中,DC=12,1,0,SC=(1,1,-1).
設(shè)平面SCD的法向量是n=(x,y,z),則n⊥DC,n⊥SC,∴n·DC=0,n·SC=0,
得方程組12x+y=0,x+y-z=0,∴x=-2y,z=-y,
令y=-1,得x=2,z=1,∴n=(2,-1,1).
例2.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,點(diǎn)P,Q,R,S分別是AA1,D1C1,AB,CC1的中點(diǎn).求證:PQ∥RS.
證明: (方法1)以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.
則P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),PQ=(-3,2,1),RS=(-3,2,1),
∴PQ=RS,∴PQ∥RS,
即PQ∥RS.
(方法2)RS=RC+CS
=12DC?DA+12DD1,
PQ=PA1+A1Q=12DD1+12DC?DA,
∴RS=PQ,∴RS∥PQ,即RS∥PQ.
利用空間向量證明線與線平行的方法
要證明兩直線平行,可先求出兩直線的方向向量,然后證明兩直線的方向向量共線,從而證明兩直線平行.
2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在線段A1D上,點(diǎn)Q在線段AC上,線段PQ與直線A1D和AC都垂直,求證:PQ∥BD1.
證明:以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方 體的棱長(zhǎng)為1,
D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),
∴DA1=(1,0,1),AC=(-1,1,0),設(shè)PQ=(a,b,c),
則DA1·PQ=0,AC·PQ=0,即a+c=0,-a+b=0,
取PQ=(1,1,-1).易知BD1=(-1,-1,1),∴PQ=-BD1,
∴PQ∥BD1,即PQ∥BD1.
例3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點(diǎn).求證:MN∥平面A1BD.
思路分析思路一:可證明MN與A1B,DB是共面向量;
思路二:可證明MN與平面A1BD中的DA1是共線向量;思路三:可通過平面A1BD的法向量來證明.
證明:(方法1)∵M(jìn)N=C1N?C1M=12CB?12B1B
=12DB?12DC?12A1B+12A1B1=12DB?12A1B,
∴MN,DB,A1B是共面向量.
又∵M(jìn)N?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.
(方法2)∵M(jìn)N=C1N?C1M=12C1B1?12C1C
=12(D1A1?D1D)=12DA1,∴MN∥DA1.
又∵M(jìn)N?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.
(方法3)以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則可求得
M0,1,12,N12,1,1,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).
于是MN=12,0,12,DA1=(1,0,1),DB=(1,1,0).
設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),
則n·DA1=0,n·DB=0,得x+z=0,x+y=0.
取x=1,得y=-1,z=-1,∴n=(1,-1,-1).
∵M(jìn)N·n=12,0,12·(1,-1,-1)=0,∴MN⊥n.
又∵M(jìn)N?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.
利用空間向量證明線面平行的方法
(1)利用共面向量法:證明直線的方向向量p與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量a,b是共面向量,即滿足p=xa+yb(x,y∈R),則p,a,b共面,從而可證直線與平面平行.
(2)利用共線向量法:證明直線的方向向量p與該平面內(nèi)的某一向量共線,再結(jié)合線面平行的判定定理即可證明線面平行.
(3)利用法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直線與平面平行.
3.如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, AB=2, AF=1,M是線段EF的中點(diǎn).
求證:AM∥平面BDE.
證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AC∩BD=N,連接NE,則點(diǎn)N,E的坐標(biāo)分別是22,22,0,(0,0,1).
所以NE=-22,-22,1.
又點(diǎn)A,M的坐標(biāo)分別是(2,2,0),22,22,1,
所以AM=-22,-22,1.
所以NE=AM,且A?NE,所以NE∥AM.
又因?yàn)镹E?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE.
例4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點(diǎn),設(shè)Q是CC1上的點(diǎn),問:當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí),平面D1BQ∥平面PAO?
思路分析建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo),然后可根據(jù)面面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為向量共線問題或者利用兩個(gè)平面的法向量共線進(jìn)行證明.
解:如圖所示,分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,在CC1上任取一點(diǎn)Q,連接BQ,D1Q.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,
則O12,12,0,P0,0,12,A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),則Q(0,1,m).
(方法1)因?yàn)镺P=-12,-12,12,BD1=(-1,-1,1),所以O(shè)P∥BD1,
于是OP∥BD1.
AP=-1,0,12,BQ=(-1,0,m),
當(dāng)m=12時(shí),AP=BQ,即AP∥BQ,有平面PAO∥平面D1BQ,
故當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí),平面D1BQ∥平面PAO.
(方法2)OA=12,-12,0,OP=-12,-12,12.
設(shè)平面PAO的法向量為n1=(x,y,z),
則有n1⊥OA,n1⊥OP,因此12x-12y=0,-12x-12y+12z=0,
取x=1,則n1=(1,1,2).
又因?yàn)锽D1=(-1,-1,1),QD1=(0,-1,1-m).
設(shè)平面D1BQ的法向量為n2=(x,y,z),
則有n2⊥BD1,n2⊥QD1,因此-x-y+z=0,-y+(1-m)z=0,
取z=1,則n2=(m,1-m,1).
要使平面D1BQ∥平面PAO,需滿足n1∥n2,
因此1m=11-m=21,解得m=12,這時(shí)Q0,1,12.
故當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí),平面D1BQ∥平面PAO.
利用空間向量證明面面平行的方法
(1)轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行,然后借助向量共線進(jìn)行證明;
(2)通過證明兩個(gè)平面的法向量平行證明.
4.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別為棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點(diǎn).
求證:平面AMN∥平面EFBD.
證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(2,0,0),B(2,3,0),
M(1,0,4),N2,32,4,E0,32,4,F(1,3,4).
∴MN=1,32,0, EF=1,32,0,
AM=(-1,0,4),BF=(-1,0,4).
∴MN=EF,AM=BF.∴MN∥EF,AM∥BF.
∴MN∥平面EFBD,AM∥平面EFBD.
又MN∩AM=M,∴平面AMN∥平面EFBD.
金題典例：如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,求證:平面AB'D'∥平面BDC'.
解題提示:證明面面平行常用的方法有兩種,一是證明它們的法向量共線;二是轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行即可.
證明:(方法1) 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(1,0,0),B'(1,1,1),D'(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1),
于是AB'=(0,1,1), D'B'=(1,1,0), DB=(1,1,0),
設(shè)平面AB'D'的法向量為n1=(x1,y1,z1),
則n1⊥AB',n⊥D'B',即n1·AB'=y1+z1=0,n1·D'B'=x1+y1=0.
令y1=1,則x1=-1,z1=-1,可得平面AB'D'的一個(gè)法向量為n1=(-1,1,-1).
設(shè)平面BDC'的法向量為n2=(x2,y2,z2).
則n2⊥DB,n2⊥DC',即n2·DB=x2+y2=0,n2·DC'=y2+z2=0.
令y2=1,則x2=-1,z2=-1,可得平面BDC'的一個(gè)法向量為n2=(-1,1,-1).
所以n1=n2,所以n1∥n2, 故平面AB'D'∥平面BDC'.
(方法2)由方法1知AD'=(1,0,1),BC'=(1,0,1),AB'=(0,1,1),DC'=(0,1,1),
所以AD'=BC',AB'=DC',即AD'∥BC',AB'∥DC',
所以AD'∥平面BDC',
AB'∥平面BDC'.又AD'∩AB'=A,
所以平面AB'D'∥平面BDC'.
(方法3)同方法1得平面AB'D'的一個(gè)法向量為n1=(-1,1,-1).
易知DB=(1,1,0),DC'=(0,1,1).
因?yàn)閚1·DB=(-1,1,-1)·(1,1,0)=0,
n1·DC'=(-1,1,-1)·(0,1,1)=0,
所以n1也是平面BDC'的一個(gè)法向量,
所以平面AB'D'∥平面BDC'.
點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的特征,盡可能找到三條兩兩互相垂直且相交于一點(diǎn)的線段,特別是有垂直關(guān)系的一些幾何體,如正方體,長(zhǎng)方體,直棱柱,有一條側(cè)棱垂直于底面的棱錐等,其中長(zhǎng)方體(或正方體)是最簡(jiǎn)單的模型.
創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生回顧空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，并提出運(yùn)用空間向量解法立體幾何的問題，實(shí)現(xiàn)將空間幾何問題代數(shù)化的基本思想
由基本問題出發(fā)，讓學(xué)生感受到空間向量語言與立體幾何的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)將立體幾何問題向量化。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生感受空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決立體幾何問題的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。
通過典例解析，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決立體幾何中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。
三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)
1.若不重合的直線l1,l2的方向向量分別為a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),則( )
A.l1∥l2 B.l1⊥l2
C.l1,l2相交但不垂直D.不能確定
答案:A 解析:因?yàn)?-3=2-6=-26,所以a∥b.又直線l1,l2不重合,所以l1,l2平行.
2.已知線段AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)為A(9,-3,4),B(9,2,1),則直線AB( )
A.與坐標(biāo)平面xOy平行B.與坐標(biāo)平面yOz平行
C.與坐標(biāo)平面xOz平行D.與坐標(biāo)平面yOz相交
答案:B 解析:因?yàn)锳(9,-3,4),B(9,2,1),所以 AB=(0,5,-3),而坐標(biāo)平面yOz的法向量為(1,0,0),顯然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直線AB與坐標(biāo)平面yOz平行.
3.若平面α∥β,則下面可以是這兩個(gè)平面法向量的是( )
A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1) B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)
C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1) D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)
答案:D 解析:因?yàn)槠矫姒痢桅?所以兩個(gè)平面的法向量應(yīng)該平行,只有D項(xiàng)符合.
4.已知l∥α,且l的方向向量為(2,m,1),平面α的法向量為1,12,2,則m= .
答案:-8 解析:設(shè)a=(2,m,1),b=1,12,2.因?yàn)閘∥α,所以a⊥b.于是2+12m+2=0,則m=-8.
5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E,F分別是BB1,DD1的中點(diǎn), 求證:(1)FC1∥平面ADE;
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
證明:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),
所以FC1=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(0,2,1).
(1)(方法1)設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,則n1⊥DA,n1⊥AE,
即n1·DA=2x1=0,n1·AE=2y1+z1=0,得x1=0,z1=-2y1.令z1=2,則y1=-1,
所以n1=(0,-1,2).因?yàn)镕C1·n1=-2+2=0,所以FC1⊥n1.
又因?yàn)镕C1?平面ADE,所以FC1∥平面ADE.
(方法2)設(shè)FC1=λDA+μAE,則(0,2,1)=λ(2,0,0)+μ(0,2,1),
所以2λ=0,2μ=2,μ=1,解得λ=0μ=1,即FC1=0·DA+AE,所以FC1與DA,AE是共面向量.又因?yàn)镕C1?平面ADE,所以FC1∥平面ADE.
(2)C1B1=(2,0,0).
設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一個(gè)法向量.由n2⊥FC1,n2⊥C1B1,
得n2·FC1=2y2+z2=0,n2·C1B1=2x2=0,得x2=0,z2=-2y2.
令z2=2,則y2=-1,所以n2=(0,-1,2).
因?yàn)閚1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.
通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。
四、小結(jié)

五、課時(shí)練
通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.4 空間向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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