熱點(diǎn)題型追蹤：1-1基本不等式及其應(yīng)用

這是一份熱點(diǎn)題型追蹤：1-1基本不等式及其應(yīng)用，共23頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

一、單選題
1．已知，則的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
2．設(shè)，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．3
3．已知實(shí)數(shù)x，滿足，則的最小值為（ ）
A．6B．C．D．8
4．正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（ ）
A．B．C．5D．
5．已知，且，則的最小值為（ ）
A．4B．C．D．
6．已知，則的最小值為（ ）
A．5B．3C．D．或3
7．已知x，y為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A．24B．25C．D．
8．若，則函數(shù)的最小值為（ ）
A．4B．5C．7D．9
9．已知，，，則的最小值為（ ）
A．4B．6C．8D．10
10．已知函數(shù)．若，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
11．下列不等式證明過(guò)程正確的是（ ）
A．若，則
B．若x＞0，y＞0，則
C．若x＜0，則
D．若x＜0，則
12．已知，則的最小值是（ ）
A．6B．8C．4D．9
13．已知正數(shù)滿足，則的最大值是（ ）
A．B．C．1D．
14．已知x，y為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（ ）
A．6B．5C．4D．3
二、多選題
15．已知 則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
16．已知a>0，b>0，且a+b=1，則（ ）
A．B．
C．D．
17．已知，則實(shí)數(shù)，滿足（ ）
A．B．
C．D．
18．下列函數(shù)中，最小值為2的是（ ）
A．B．
C．D．
19．下列命題中，真命題的是（ ）
A．，都有
B．，使得
C．任意非零實(shí)數(shù)，都有
D．若，則的最小值為4
20．下面結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則的最大值是
B．函數(shù)的最小值是2
C．函數(shù)（）的值域是
D．，且，則的最小值是3
三、填空題
21．若，，且，則的最小值是
22．若，則的最小值為 ．
23．若，，則的最小值為 ．
24．已知，，且，則的最小值是
25．若，則的最小值為 .
26．函數(shù)（）的最小值為 ．
27．已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為 .
28．已知，則的最小值為 .
29．已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為
30．已知且，則的最小值是 ．
31．若，且，則的最小值為 ．
32．已知，，且，則的最小值為 ．
33．已知，，，則的最小值為 ．
34．若，，且，則有最小值是
35．函數(shù)的最小值為 ．
36．已知，則函數(shù)的最小值是 ．
37．已知正數(shù)x，y滿足，則的最大值為 .
38．函數(shù)在上的值域是 .
39．已知正數(shù)滿足，則的最小值為 .
40．若且滿足，則的最小值是
41．當(dāng)時(shí)，的最小值為 .
42．函數(shù)y＝x＋（x≥2）取得最小值時(shí)的x值為 ．
43．已知函數(shù),若實(shí)數(shù)滿足，且，則的取值范圍是 .
44．已知，其中，，，則的最小值為 ．
45．已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是 ．
46．若，，，，則的最小值為 ．
47．若正實(shí)數(shù)滿足，則最小值為
48．已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，，則的最小值是 .
四、解答題
49．若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍
參考答案：
1．D
【分析】利用基本不等式性質(zhì)求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
所以的最小值為.
故選：D
2．C
【分析】由不等式“1”的代換求解即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，，所?br>.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.
故選：C.
3．C
【分析】根據(jù)“1”的變形技巧化簡(jiǎn)，再運(yùn)用均值不等式求解即可.
【詳解】由條件可得
．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故選：C．
4．B
【分析】中的“1”用“”代替，分離常數(shù)后利用基本不等式即可求解.
【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
故的最小值是.
故選:B.
5．D
【分析】由，可得，再利用基本不等式計(jì)算即可得.
【詳解】，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故選：D.
6．B
【分析】由已知可得，利用基本不等式計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】由，得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3．
故選：B.
7．B
【分析】把變?yōu)?，然后利用基本不等式中常?shù)代換技巧求解最值即可.
【詳解】因?yàn)閤，y為正實(shí)數(shù)，且，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為25.
故選：B
8．C
【分析】利用基本不等式計(jì)算可得；
【詳解】解：因?yàn)椋裕?br>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以函數(shù)的最小值為；
故選：C
9．B
【分析】將已知條件等式化為，整體代入結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，
即的最小值為6，
故選：B.
10．C
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得，則，令，利用對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出其范圍.
【詳解】由得．根據(jù)函數(shù)的圖象及，
則，即，可得，，
令，
根據(jù)對(duì)勾函數(shù)可得在上單調(diào)遞增，則．
所以的取值范圍是.
故選：C.
11．D
【分析】利用基本不等式成立的條件及特值法，逐一判斷即可．
【詳解】∵可能為負(fù)數(shù)，如時(shí)，，∴A錯(cuò)誤；
∵可能為負(fù)數(shù)，如時(shí)，，∴B錯(cuò)誤；
∵，如時(shí)，，∴C錯(cuò)誤；
∵，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，∴D正確．
故選：D．
12．D
【解析】利用基本不等式的換“1”法，得到，進(jìn)而利用基本不等式求解即可
【詳解】∵
∴
則
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)
故選:D.
13．B
【分析】根據(jù)已知等式把代數(shù)式進(jìn)行變形為，再結(jié)合已知等式，利用基本不等式進(jìn)行求解即可.
【詳解】，
因?yàn)?，所以?br>因此
，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)），
所以.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是將原式變形，二是基本不等式的使用技巧，三是一定要注意等號(hào)成立的條件.
14．A
【分析】x，y為正實(shí)數(shù)，利用基本不等式求的最小值.
【詳解】x，y為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
最小值為6，
故選：A
15．ABC
【分析】由題意可知，，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知D錯(cuò)誤；，可知A正確；利用基本不等式可知，化簡(jiǎn)整理可知B正確；在根據(jù)，利用不等式的性質(zhì)，即可判斷C正確.
【詳解】由題可知，，又，所以 ，D錯(cuò)誤；
因?yàn)椋校訟正確；
由基本不等式得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；
又因?yàn)?，，所以，故，B正確；
由于，，所以，C正確.
故選：ABC．
16．ABD
【分析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解.
【詳解】對(duì)于A，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；
對(duì)于B，，所以，故B正確；
對(duì)于C，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；
故選：ABD
【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
17．AD
【分析】對(duì)于A，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于C，由已知可得，從而可得，對(duì)于D，利用基本不等式判斷，對(duì)于B，由，得分析判斷.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，所以A正確；
對(duì)于C，由，得，所以，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以，得，所以D正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以B錯(cuò)誤.
故選：AD
18．CD
【分析】根據(jù)基本不等式求解最值判斷ABC，根據(jù)復(fù)合函數(shù)最值求法求解判斷D.
【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，，不符合要求，錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
由得顯然不成立，所以等號(hào)取不到，
即的最小值不是2，錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)椋?，?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，最小值是2，正確；
對(duì)于D，，易知，，
則，
當(dāng)即或時(shí)，有最小值4，即有最小值2，故D正確.
故選：CD.
19．AB
【分析】利用不等式的性質(zhì)和均值不等式，以及對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求最值，并根據(jù)全稱命題與特稱命題的真假判斷，即可選出真命題.
【詳解】解：對(duì)于A，恒成立，
則，都有，A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
，，使得，B選項(xiàng)正確；
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于 D，當(dāng)時(shí)，，令,
在上單調(diào)遞增，
，
則的最小值不是4，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：AB.
20．ACD
【分析】利用基本不等式求最值判斷ABD，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C．
【詳解】時(shí)，．，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是2，即的最小值是1，
從而的最大值是，A正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，但無(wú)實(shí)數(shù)解，因此等號(hào)不能取得，2不是最小值，B錯(cuò)；
時(shí)，，，
因?yàn)椋詴r(shí)，，時(shí)，，
時(shí)，．
所以值域是，C正確；
，且，，
，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是4－1＝3，D正確．
故選：ACD．
21．/
【分析】利用基本不等式可得答案.
【詳解】因?yàn)?，，所?br>，則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以有最小值.
故答案為：.
22．2
【分析】化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】由，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，即的最小值為2．
故答案為：2.
23．/0.16
【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式直接求解即得.
【詳解】由，得，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.
故答案為：
24．
【分析】運(yùn)用基本不等式來(lái)求解即可．
【詳解】由于，所以．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．
故答案為：
25．0
【分析】構(gòu)造，利用基本不等式計(jì)算即可得出結(jié)果.
【詳解】由，得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：0
26．/
【分析】利用基本不等式求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為.
故答案為：
27．2
【分析】利用基本不等式中常數(shù)代換技巧求最值即可.
【詳解】因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足，所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為2.
故答案為：2
28．/
【分析】先將式子化簡(jiǎn)消去分子的，進(jìn)而利用基本不等式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
所以的最小值為.
故答案為：.
29．9
【分析】借助“1”的靈活運(yùn)用，由基本不等式即可求解最小值.
【詳解】解：因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．
故答案為：9．
30．8
【分析】運(yùn)用“1”的代換及基本不等式即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
所以的最小值為8.
故答案為：8.
31．5
【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)?，且，則，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為5.
故答案為：5.
32．16
【分析】根據(jù)常值代換法，妙用“1”，構(gòu)造基本不等式的條件，即可求得所求式的最小值.
【詳解】
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即當(dāng)時(shí)，取得最小值為16.
故答案為：16.
33．
【分析】利用基本不等式求得的最小值.
【詳解】依題意.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.
34．5
【分析】應(yīng)用基本不等式“1”的代換，把“1”換成，整理后積為定值，然后利用基本不等式求最小值即可.
【詳解】，，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以有最小值5.
故答案為：5.
35．
【分析】將函數(shù)化為，利用基本不等式求其最小值，注意取值條件即可.
【詳解】由，又，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以原函數(shù)的最小值為.
故答案為：
36．
【分析】將函數(shù)化簡(jiǎn)，分離常數(shù)，然后結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
所以函數(shù)的最小值是
故答案為:.
37．
【分析】根據(jù)乘“1”法，即可利用基本不等式求解.
【詳解】∵正數(shù)x，y滿足，∴.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則，其最大值為.
故答案為：
38．
【分析】將函數(shù)變形為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)可解.
【詳解】函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知：
當(dāng)時(shí)，，則，所以，
當(dāng)時(shí)，，則，所以，
綜上所述，函數(shù)在上的值域是.
故答案為：
39．
【分析】利用基本不等式直接求解最值即可.
【詳解】因?yàn)槭钦龜?shù)，，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，的最小值為.
故答案為：
40．7
【分析】直接利用均值不等式計(jì)算得到答案.
【詳解】，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.
41．3
【分析】根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求最值.
【詳解】設(shè)，則，
又由得，
而函數(shù)在上是增函數(shù)，
因此時(shí)，取得最小值，
故答案為：.
42．2
【分析】令x＋1＝t(t≥3)，則有＝t＋－1在[3,＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)t＝3時(shí)，即可求解.
【詳解】依題意，
y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)，
設(shè)x＋1＝t(t≥3)．因?yàn)閒(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)t＝3，即x＝2時(shí)，y＝x＋(x≥2)取得最小值．
故答案為：2.
43．
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)把函數(shù)的解析式寫成分段函數(shù)的形式，并判斷出單調(diào)性，結(jié)合已知、可以確定實(shí)數(shù)的取值范圍以及它們之間的關(guān)系，根據(jù)這個(gè)關(guān)系可以把代數(shù)式寫成關(guān)于中一個(gè)變量的形式，再構(gòu)造新函數(shù)，用單調(diào)性的定義判斷出新函數(shù)的單調(diào)性，最后利用新函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>因?yàn)閮啥魏瘮?shù)均為單調(diào)函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足，且，
所以有；又，所以，于是，則，所以；
令 ，任取，
則，
因?yàn)?，所以，?br>因此，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
因此，即.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了利用消元法、構(gòu)造新函數(shù)法求代數(shù)式的取值范圍問(wèn)題，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了單調(diào)性定義的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.
44．16
【分析】根據(jù)給定條件，利用“1”的妙用求解作答.
【詳解】因?yàn)?，，則
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為16.
故答案為：16
45．24
【分析】變形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值
【詳解】因?yàn)?，且?br>所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，
故答案為：
46．/
【分析】令 ，則，由此可將變形為，結(jié)合基本不等式，即可求得答案。
【詳解】由題意，，，，得：，
設(shè) ，則 ，
故
，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)取得等號(hào)，
故的最小值為，
故答案為：
47．
【分析】“１”的妙用，湊出定值，利用基本不等式求解即可.
【詳解】由于都為正數(shù)，且．
由
，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，
即時(shí)，等號(hào)成立.所以有最小值．
故答案為：．
48．
【分析】根據(jù)題意，將看作一個(gè)整體，變形后結(jié)合基本不等式的計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋矗?br>設(shè)，則，且，
原式
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故答案為：4
49．
【分析】法一:利用分離變量法求解參數(shù)的范圍，、
法二：對(duì)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)和對(duì)稱軸進(jìn)行分類討論，求帶有參數(shù)的二次函數(shù)的最值，求解變量的范圍.
【詳解】法一：對(duì)勾函數(shù)參變分離后結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)
當(dāng)時(shí)，，成立；
當(dāng)時(shí)，由題可得對(duì)任意恒成立，
令，則有，，
，
令，，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為；
法二：分類討論
令，
①當(dāng)時(shí)，，
對(duì)任意，恒成立；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象開口向上，
若對(duì)任意，恒成立，只需，
解得，
故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立；
③當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，，
恒成立；
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為．