專題1-1 基本不等式歸類（16題型+解題攻略）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練（新高考通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27194" 題型01 公式基礎(chǔ) PAGEREF _Tc27194 \h 1
\l "_Tc22731" 題型02 基礎(chǔ)模型：倒數(shù)型 PAGEREF _Tc22731 \h 2
\l "_Tc394" 題型03 常數(shù)代換型 PAGEREF _Tc394 \h 3
\l "_Tc1766" 題型04 積與和型 PAGEREF _Tc1766 \h 4
\l "_Tc8506" 題型05 積與和互化解不等式型 PAGEREF _Tc8506 \h 4
\l "_Tc6010" 題型06 構(gòu)造分母和定型 PAGEREF _Tc6010 \h 5
\l "_Tc22452" 題型07 湊配系數(shù)構(gòu)造分母和定型 PAGEREF _Tc22452 \h 5
\l "_Tc5641" 題型08 換元構(gòu)造分母和定型 PAGEREF _Tc5641 \h 6
\l "_Tc26157" 題型09 分子與分母互消型 PAGEREF _Tc26157 \h 7
\l "_Tc31686" 題型10 “1”代換綜合型 PAGEREF _Tc31686 \h 7
\l "_Tc29336" 題型11 分子消去型 PAGEREF _Tc29336 \h 8
\l "_Tc19008" 題型12 消元型 PAGEREF _Tc19008 \h 8
\l "_Tc9764" 題型13 齊次化構(gòu)造型 PAGEREF _Tc9764 \h 9
\l "_Tc25684" 題型14 三角換元構(gòu)造型 PAGEREF _Tc25684 \h 9
\l "_Tc1246" 題型15 因式分解雙換元型 PAGEREF _Tc1246 \h 10
\l "_Tc24543" 題型16 配方型 PAGEREF _Tc24543 \h 11
\l "_Tc28460" 高考練場(chǎng) PAGEREF _Tc28460 \h 11

題型01 公式基礎(chǔ)
【解題攻略】
【典例1-1】（2020·廣東·普寧市第二中學(xué)高三階段練習(xí)）下列不等式一定成立的是（）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（2021秋·山東日照·高三山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）對(duì)于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（）
A．B．C．D．2
【變式1-1】（2021·高三階段測(cè)試）下列說法不正確的是（）
A．x＋(x>0)的最小值是2B．的最小值是2
C．的最小值是D．若x>0，則2－3x－的最大值是2－4
【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列不等式證明過程正確的是（）
A．若，則
B．若x＞0，y＞0，則
C．若x＜0，則
D．若x＜0，則
【變式1-3】（2022秋·廣東·高三深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）校考）在下列函數(shù)中，最小值是的是（）
A．B．
C．D．
題型02 基礎(chǔ)模型：倒數(shù)型
【解題攻略】
【典例1-1】（2022·浙江杭州·杭州高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知且，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三統(tǒng)考）已知的面積為，，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2021上·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的取值范圍是（）．
A．B．C．D．
【變式1-2】（2020上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為（）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2022上·上海徐匯·高三上海市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）若(x,)最大值記為,則的最小值為
A．0B．C．D．
題型03 常數(shù)代換型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·江西·校聯(lián)考一模）已知，，是正實(shí)數(shù)，且，則最小值為 .
【典例1-2】（2019上·山東濰坊·壽光現(xiàn)代中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）
A．10B．11C．13D．21
【變式1-1】（2023上·上海徐匯·高三上海市第二中學(xué)?？计谥校┮阎?，，，則的最小值為．
【變式1-2】（2023下·湖南株洲·統(tǒng)考）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 .
【變式1-3】（2023上·上海松江·高三校考）已知，，且，則取得最小值時(shí)的值是 .
題型04 積與和型
【解題攻略】
【典例1-1】（2021·全國(guó)·高三測(cè)試）已知，，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)，（）
A．16B．6C．18D．12
【典例1-2】（2021·湖南岳陽(yáng)·高三聯(lián)考）已知，，且，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【變式1-1】(2020·重慶市暨華中學(xué)校高三階段）已知，且，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2021·山東威海·高三?？迹┤?，且，則的最小值為（）
A．18B．15C．20D．13
【變式1-3】（2022·全國(guó)·高三一專題練習(xí)）已知，，，則的最小值為（）
A．2B．3C．D．
題型05 積與和互化解不等式型
【解題攻略】
【典例1-1】（2022秋·云南·校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正數(shù)、滿足，則的最大值為（）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023春·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的最大值為（）
A．1B．2C．D．4
【變式1-1】（2022秋·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語學(xué)校校考期末）已知曲線，則的最大值為（）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2021·重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，，，則ab的最小值是（）
A．4B．9C．16D．25
【變式1-3】（2021·安徽·霍邱縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）若，且，則的取值范圍（）
B．C．D．
題型06 構(gòu)造分母和定型
【解題攻略】
【典例1-1】（2022上·福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)?？迹┤羧齻€(gè)正數(shù)滿足，則的最小值為 .
【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，且，那么的最小值為（）
A．B．2C．D．4
【變式1-1】（2022秋·安徽蕪湖·高三?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（）
A．0B．1C．2D．4
【變式1-2】（2023·浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2022上·山東·高三利津縣高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為 .
題型07 湊配系數(shù)構(gòu)造分母和定型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三題練習(xí)）已知，，且，則的最小值為 .
【典例1-2】（2023秋·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是．
【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是．
【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若三個(gè)正數(shù)滿足，則的最小值為 .
【變式1-3】（2021·三課時(shí)練習(xí)）已知，則的最小值為 .
題型08 換元構(gòu)造分母和定型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·吉林·長(zhǎng)春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的小值為．
【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知且，則的最小值為 .
【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若，則的最小值是 .
【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則的最小值為 .
題型09 分子與分母互消型
【解題攻略】
【典例1-1】（2021秋·高三單元測(cè)試）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是 .
【典例1-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則的最大值是 .
【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為正數(shù)，且，則的最大值為．
【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若，則的最小值是（）
A．8B．7C．6D．5
【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（）
A．B．1C．2D．9
題型10 “1”代換綜合型
【典例1-1】（2022上·遼寧大連·大連二十四中?？迹┮阎?，則的最小值等于 .
【典例1-2】（2021上·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學(xué)校校考）若實(shí)數(shù)，滿足等式，，，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【變式1-1】（2020上·上海徐匯·高三上海中學(xué)?？迹┮阎獙?shí)數(shù)滿足且，若，則的最小值是
【變式1-2】（2020·江蘇蘇州·吳江盛澤中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的最小值為．
題型11 分子消去型
【解題攻略】
【典例1-1】（2020·江蘇省震澤中學(xué)高三階段練習(xí)）若，，，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，則的最小值為（）
A．2B．4C．D．
【變式1-1】（2022春·廣東韶關(guān)·高三?？茧A段練習(xí)）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）
A．1B．6C．7D．
【變式1-2】（2023春·重慶·高三校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)），是直線外一點(diǎn)，且，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2022春·湖北襄陽(yáng)·高三襄陽(yáng)五中?？计谥校┮阎龑?shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）
A．10B．11C．13D．21
題型12 消元型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋2y＋xy＝7，則x＋y的最小值為（）
A．6B．5C．4D．3
【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值是（）
A．14B．C．8D．
【變式1-1】（2023秋·海南?？凇じ呷？奸_學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）
A．2B．C．D．6
【變式1-2】（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，且，則的最小值為．
【變式1-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值是 .
題型13 齊次化構(gòu)造型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023春·天津河西·高二統(tǒng)考期末）已知，則的最小值是（）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2022秋·湖北黃石·高一期中）已知x，y為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（）
A．4B．5C．6D．8
【變式1-1】若a，b均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為
A．B．C．D．2
【變式1-2】函數(shù)的最大值為（）
A.B.C.D.
【變式1-3】已知，，則的最大值是．
【變式1-4】若實(shí)數(shù)滿足，且，則的最大值為____
.
題型14 三角換元構(gòu)造型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023春·四川宜賓·高二校考階段練習(xí)）已知，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的最大值是（）
A．B．C．0D．
【變式1-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為．
【變式1-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，則的最小值為 .
【變式1-3】（2023·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2＋b2＝c2，c≠0，則的取值范圍為．
題型15 因式分解雙換元型
【解題攻略】
【典例1-1】（2022秋·浙江溫州·高三?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則的最大值為（）
A．2B．C．D．
【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則的最小值為（）
A．B．1C．D．
【變式1-1】（2021江蘇高三月考）若a,b∈R，且a2+2ab-3b2=1，則a2+b2的最小值為_____
【變式1-2】（2023春·四川宜賓·高二校考階段練習(xí)）已知，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知且滿足，則的最小值是 .
題型16 配方型
【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知a，，且，則的最大值為（）
A．2B．3C．D．
【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最大值為（）
A．B．C．D．2
【變式1-1】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x、y滿足，且不等式恒成立，則c的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知a，b為非負(fù)數(shù)，且滿足，則的最大值為（）
A．40B．C．42D．
【變式1-3】（2022秋·河北保定·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，，若，則的最大值為．
高考練場(chǎng)
1.（2020秋·浙江紹興·高三?？茧A段練習(xí)）給出下面四個(gè)推導(dǎo)過程：
①∵a，b為正實(shí)數(shù)，∴；
②∵x，y為正實(shí)數(shù)，∴；
③∵，，∴；
④∵，，∴．
其中正確的推導(dǎo)為（）
A．①②B．②③C．③④D．①④
2.（2021上·湖北武漢·高三統(tǒng)考）函數(shù)在區(qū)間上（）
A．有最大值為，最小值為0B．有最大值為，最小值為0
C．有最大值為，無最小值D．有最大值為，無最小值
3.（2023上·新疆烏魯木齊·高三新疆實(shí)驗(yàn)?？迹┰O(shè)x，y均為正數(shù)，且，則的最小值為．
4.（2022·山東·薛城區(qū)教育局教學(xué)研究室）已知，且，則的最小值為（）
A．3B．4C．6D．9
5.（2022上·江西撫州·高三臨川一中?？茧A段練習(xí)）已知，，，則的最小值為 .
6.（2022上·湖北恩施·恩施市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且，，則的最小值為 .
7.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是．
8.（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)、滿足，，且，則的最小值為 .
9.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知、，且，則的取值范圍是 .
10.（2022·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的最小值為 .
11.（2022秋·貴州畢節(jié)·高三統(tǒng)考）已知，，且，則的最小值為（）
A．4B．C．D．5
12.（2023春·天津和平·高三統(tǒng)考）已知，則的最小值是．
13.（2023·高三單元測(cè)試）函數(shù)的最大值是（）
A．2B．C．D．
14.若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
15.（2023秋·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 .
利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：
（1） “一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.
倒數(shù)型：
，或者
容易出問題的地方，在于能否“取等”,如，
利用常數(shù)代換法，可以代通過“分子分母相約和相乘”，相約去或者構(gòu)造出“倒數(shù)”關(guān)系。多稱之為“1”的代換
條件和結(jié)論有“分子分母”特征；
（2）可以乘積出現(xiàn)對(duì)構(gòu)型，再用均值不等式。注意取等條件
結(jié)構(gòu)形式：
（1）求
（2）求
積與和型，如果滿足有和有積無常數(shù)，則可以轉(zhuǎn)化為常數(shù)代換型。
形如，可以通過同除ab，化為構(gòu)造“1”的代換求解
積與和型，如果滿足有和有積有常數(shù)，則可以轉(zhuǎn)化為解不等式型。
形形如求型，可以對(duì)“積pxy”部分用均值，再解不等式，注意湊配對(duì)應(yīng)的“和”的系數(shù)系數(shù)，如下：
對(duì)于分?jǐn)?shù)型求最值，如果復(fù)合a+b=t，求型，則可以湊配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代換來求解。

對(duì)于分?jǐn)?shù)型求最值，如果復(fù)合pa+qb=t，求型，則可以湊配（a+m）+（b+n）=h，再利用“1”的代換來求解。
其中結(jié)合所給與所求a、b的系數(shù)，可以任意調(diào)換，來進(jìn)行變換湊配。
換元型構(gòu)造分母和定型：
形如型，則可以通過換元分母，再利用“1”的代換來求解。
滿足一般情況下可以通過“萬能K法”轉(zhuǎn)化求解
設(shè)K法的三個(gè)步驟：
⑴、問誰設(shè)誰：求誰，誰就是K；
⑵、代入整理：整理成某個(gè)變量的一元二次方程（或不等式）；
⑶、確認(rèn)最值：方程有解（或不等式用均值放縮），≥0確定最值
對(duì)于分式型不等式求最值，如果分子上有變量，可以通過常數(shù)代換或者分離常熟，消去分子上變量，轉(zhuǎn)化為分式型常數(shù)代換或者分式型分母和定來求解
消元型：
對(duì)于雙變量型不等式求最值，如果不符合常見的轉(zhuǎn)化方法，可以通過反解代入消元，轉(zhuǎn)化為單變量型不等式求最值。
齊次化構(gòu)造型：
一般情況下，分式分子分母含有等，滿足齊次型，則可以通過分子分母同除法，構(gòu)造單變量型來轉(zhuǎn)化計(jì)算求解
一般情況下，復(fù)合或者能轉(zhuǎn)化為型，則可以通過三角換元（圓的參數(shù)方程型）來轉(zhuǎn)化構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)輔助角為主的恒等變形來計(jì)算求解最值
如果條件（或者結(jié)論）可以因式分解，則可以通過對(duì)分解后因式雙換元來轉(zhuǎn)化求解
1.特征：條件式子復(fù)雜，一般有一次和二次（因式分解展開就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常見的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）

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