【基礎(chǔ)知識】
1．二次函數(shù)的圖象
（1）二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象的畫法：
①列表：先取原點（0，0），然后以原點為中心對稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表．
②描點：在平面直角坐標系中描出表中的各點．
③連線：用平滑的曲線按順序連接各點．
④在畫拋物線時，取的點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在頂點的兩側(cè)各取三四個點即可．連線成圖象時，要按自變量從小到大（或從大到?。┑捻樞蛴闷交那€連接起來．畫拋物線y＝ax2（a≠0）的圖象時，還可以根據(jù)它的對稱性，先用描點法描出拋物線的一側(cè)，再利用對稱性畫另一側(cè)．
（2）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象看作由二次函數(shù)y＝ax2的圖象向右或向左平移|b2a|個單位，再向上或向下平移|4ac?b24a|個單位得到的．
2．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?br>當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越小．
②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左側(cè)； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右側(cè)．（簡稱：左同右異）
③．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）．
④拋物線與x軸交點個數(shù)．
△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
3．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標是（?b2a，4ac?b24a）．
①拋物線是關(guān)于對稱軸x=?b2a成軸對稱，所以拋物線上的點關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點是拋物線的最高點或最低點．
②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數(shù)解析中的c值．
③拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x=x1+x22．
4．二次函數(shù)圖象與幾何變換
由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．
5．坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)
（1）關(guān)于原點對稱的點的坐標
P（x，y）?P（﹣x，﹣y）
（2）旋轉(zhuǎn)圖形的坐標
圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
【考點剖析】
一．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共8小題）
1．(2023秋?崇明區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．a(chǎn)c＞0B．當x＞﹣1時，y＞0
C．b＝2aD．9a+3b+c＝0
2．(2023秋?黃浦區(qū)期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么點P（b，ac）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．(2023?青浦區(qū)二模）拋物線y＝（a﹣1）x2﹣2x+3在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，則a的取值范圍是 ．
4．(2023秋?青浦區(qū)期末）如果拋物線y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0）在對稱軸左側(cè)的部分是下降的，那么a 0．（填“＜”或“＞”）
5．(2023秋?崇明區(qū)期末）如果拋物線y＝（k﹣2）x2的開口向上，那么k的取值范圍是 ．
6．(2023秋?虹口區(qū)期末）如果拋物線y＝（2﹣a）x2+2開口向下，那么a的取值范圍是 ．
7．(2023秋?奉賢區(qū)校級期中）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）圖象的對稱軸是直線x＝1，其圖象一部分如圖所示，對于下列說法正確的是（ ）
A．a(chǎn)bc＞0B．a(chǎn)﹣b+c＜0
C．b+c＜0D．當﹣1＜x＜3時，y＞0
8．(2023秋?浦東新區(qū)期末）已知拋物線y＝x2+2x+m﹣3的頂點在第二象限，求m的取值范圍．
二．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征（共8小題）
9．(2023秋?浦東新區(qū)校級期末）已知點A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函數(shù)y=?13x2+4的圖象上，那么m、n的大小關(guān)系是：m n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
10．(2023秋?嘉定區(qū)期末）拋物線y＝ax2+2經(jīng)過點（﹣2，6），那么a＝ ．
11．(2023秋?徐匯區(qū)期末）如圖，已知點A是拋物線y＝x2圖象上一點，將點A向下平移2個單位到點B，再把點A繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°得到點C，如果點C也在該拋物線上，那么點A的坐標是 ．
12．(2023秋?徐匯區(qū)期末）如果點A（2，y1），B（5，y2）在二次函數(shù)y＝x2﹣2x+n圖象上，那么y1 y2（填＞、＝或＜）．
13．(2023秋?虹口區(qū)期末）已知點A（x1，y1）、B（x2，y2）為函數(shù)y＝﹣2（x﹣1）2+3的圖象上的兩點，若x1＜x2＜0，則y1 y2（填“＞”、“＝”或“＜”），
14．(2023秋?普陀區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝a（x+1）2+c（a≠0）的圖象上有兩點A（2，4）、B（m，4），那么m的值等于 ．
15．(2023?寶山區(qū)模擬）二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣3的圖象與y軸的交點坐標為 ．
16．(2023秋?嘉定區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，將點P1（a，b﹣a）定義為點P（a，b）的“關(guān)聯(lián)點”．
已知：點A（x，y）在函數(shù)y＝x2的圖象上（如圖所示），點A的“關(guān)聯(lián)點”是點A1．
（1）請在如圖的基礎(chǔ)上畫出函數(shù)y＝x2﹣2的圖象，簡要說明畫圖方法；
（2）如果點A1在函數(shù)y＝x2﹣2的圖象上，求點A1的坐標；
（3）將點P2（a，b﹣na）稱為點P（a，b）的“待定關(guān)聯(lián)點”（其中，n≠0）．如果點A（x，y）的“待定關(guān)聯(lián)點”A2在函數(shù)y＝x2﹣n的圖象上，試用含n的代數(shù)式表示點A2的坐標．
三．二次函數(shù)圖象與幾何變換（共7小題）
17．(2023春?靜安區(qū)期中）如果將拋物線y＝2x2﹣1向左平移1個單位，那么所得新拋物線的表達式是（ ）
A．y＝2x2B．y＝2（x+1）2﹣1
C．y＝2x2﹣2D．y＝2（x﹣1）2﹣1
18．(2023秋?崇明區(qū)期末）將拋物線y＝2x2向上平移3個單位后所得拋物線的表達式是（ ）
A．y＝2x2+3B．y＝2（x+3）2C．y＝2（x﹣3）2D．y＝2x2﹣3
19．(2023秋?寶山區(qū)期末）把拋物線y＝（x﹣1）2+3向左平移2個單位長度，平移后拋物線的表達式為（ ）
A．y＝（x﹣1）2+5B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x+1）2+3D．y＝（x﹣3）2+3
20．(2023?黃浦區(qū)校級二模）如果將拋物線y＝﹣2x2+8向下平移a個單位后，恰好經(jīng)過點（1，4），那么a的值為 ．
21．(2023?青浦區(qū)二模）將拋物線C向左平移2個單位，向上平移1個單位后，所得拋物線為y＝（x﹣1）2，則拋物線C解析式為 ．
22．(2023春?徐匯區(qū)校級期中）拋物線y＝x2+bx+c圖象向右平移2個單位再向下平移3個單位，所得圖象的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，則此拋物線解析式為 ．
23．(2023秋?黃浦區(qū)期末）將二次函數(shù)y＝x2+2x+3的圖象向右平移3個單位，求所得圖象的函數(shù)解析式；請結(jié)合以上兩個函數(shù)圖象，指出當自變量x在什么取值范圍內(nèi)時，上述兩個函數(shù)中恰好其中一個的函數(shù)圖象是上升的，而另一個的函數(shù)圖象是下降的．
【過關(guān)檢測】
一．選擇題（共5小題）
1．(2023秋?長寧區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么a、c滿足（ ）
A．a(chǎn)＞0，c＞0B．a(chǎn)＞0，c＜0C．a(chǎn)＜0，c＞0D．a(chǎn)＜0，c＜0
2．(2023秋?徐匯區(qū)校級期中）若二次函數(shù)y＝ax2﹣bx+1的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．4a＞b2B．a(chǎn)＜0C．b＞0D．a(chǎn)﹣b＞﹣1
3．(2023秋?金山區(qū)期末）下列各點在拋物線y＝2x2上的是（ ）
A．（2，2）B．（2，4）C．（2，8）D．（2，16）
4．(2023秋?浦東新區(qū)期末）已知點A（1，2）、B（2，3）、C（2，1），那么拋物線y＝ax2+bx+1可以經(jīng)過的點是（ ）
A．點A、B、CB．點A、BC．點A、CD．點B、C
5．(2023秋?徐匯區(qū)期末）已知拋物線y＝﹣x2+4x+c經(jīng)過點（4，3），那么下列各點中，該拋物線必經(jīng)過的點是（ ）
A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，5）
二．填空題（共16小題）
6．(2023秋?徐匯區(qū)校級月考）如果二次函數(shù)y＝（m﹣1）x2+x（m是常數(shù)）的圖象開口向上，那么m的取值范圍是 ．
7．(2023秋?徐匯區(qū)期中）若點A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函數(shù)y＝x2﹣2x+5圖象上的兩點，那么y1與y2的大小關(guān)系是 （填y1＞y2、y1＝y(tǒng)2或y1＜y2）．
8．(2023秋?虹口區(qū)期末）二次函數(shù)y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1的圖象經(jīng)過原點，則m的值為 ．
9．(2023秋?徐匯區(qū)校級月考）已知點A（﹣5，m）、B（﹣3，n）都在二次函數(shù)y＝x2+1的圖象上，那么m、n的大小關(guān)系是：m n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
10．(2023秋?松江區(qū)期末）把拋物線y＝x2+1向右平移1個單位，所得新拋物線的表達式是 ．
11．(2023秋?嘉定區(qū)期末）如果拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝1，那么2a+b 0．（從＜，＝，＞中選擇）
12．(2023秋?嘉定區(qū)期末）如果拋物線y＝（2a﹣1）x2的開口向下，那么實數(shù)a的取值范圍是 ．
13．(2023秋?黃浦區(qū)期末）如果拋物線y＝x2+（b+3）x+2c的頂點為（b，c），那么該拋物線的頂點坐標是 ．
14．(2023秋?徐匯區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝a（x+32）2﹣1的圖象在直線x=?32的左側(cè)部分是下降的，那么a的取值范圍是 ．
15．(2023秋?普陀區(qū)期末）沿著x軸正方向看，如果拋物線y＝（a﹣2）x2在對稱軸左側(cè)的部分是下降的，那么a的取值范圍是 ．
16．(2023秋?徐匯區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點C的坐標為（0，1），過點C的直線與二次函數(shù)y＝x2的圖象交于A、B兩點，且BC＝3AC，則點A的坐標為 ．
17．(2023秋?浦東新區(qū)期末）如果（2，y1）（3，y2）是拋物線y＝（x+1）2上兩點，那么y1 y2．（填“＞”或“＜”）
18．(2023秋?浦東新區(qū)校級期末）將拋物線y＝﹣2x2+3x+1向下平移3個單位，所得的拋物線的表達式是 ．
19．(2023秋?嘉定區(qū)期末）將拋物線y＝x2﹣2x向左平移2個單位，得到一條新拋物線，這條新拋物線的表達式是 ．
20．(2023秋?徐匯區(qū)期末）將拋物線y＝2x2+3先向左平移1個單位，再向下平移4個單位后，所得拋物線的表達式是 ．
21．(2023?寶山區(qū)二模）已知點A（﹣3，y1）和點B（?23，y2）都在二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+m（a＞0）的圖象上，那么y1﹣y2 0（結(jié)果用＞，＜，＝表示）．
三、解答題
22.（閔行2020期末24）已知：在平面直角坐標系xOy中，對稱軸為直線x = -2的拋物線經(jīng)過點C(0，2)，與x軸交于A(-3，0)、B兩點(點A在點B的左側(cè)).
(1)求這條拋物線的表達式.
(2)連接BC，求∠BCO的余切值.
(3)如果過點C的直線，交x軸于點E，交拋物線于點P，且∠CEO =∠BCO，求點P的坐標.
23．（浦東新區(qū)2020一模24）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（﹣1，0），B（3，0），與y軸相交于點C．
（1）求拋物線的表達式；
（2）聯(lián)結(jié)AC、BC，求∠ACB的正切值；
（3）點P在拋物線上，且∠PAB＝∠ACB，求點P的坐標．
24.（崇明2020一模24）如圖，拋物線與軸相交于點、點，與軸交于點，點是拋物線上一動點， 聯(lián)結(jié)交線段于點．（1）求這條拋物線解析式，并寫出頂點坐標；（2）求的正切值；（3）當與相似時，求點的坐標．
25.（青浦2020一模24）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線x=2，點A的坐標為（1，0）．
（1）求該拋物線的表達式及頂點坐標；
（2）點P為拋物線上一點（不與點A重合），聯(lián)結(jié)PC．當∠PCB=∠ACB時，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，將拋物線沿平行于軸的方向向下平移，平移后的拋物線的頂點為點D，點P的對應(yīng)點為點Q，當OD⊥DQ時，求拋物線平移的距離．
第11講 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)進階（核心考點講與練）
【基礎(chǔ)知識】
1．二次函數(shù)的圖象
（1）二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象的畫法：
①列表：先取原點（0，0），然后以原點為中心對稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表．
②描點：在平面直角坐標系中描出表中的各點．
③連線：用平滑的曲線按順序連接各點．
④在畫拋物線時，取的點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在頂點的兩側(cè)各取三四個點即可．連線成圖象時，要按自變量從小到大（或從大到小）的順序用平滑的曲線連接起來．畫拋物線y＝ax2（a≠0）的圖象時，還可以根據(jù)它的對稱性，先用描點法描出拋物線的一側(cè)，再利用對稱性畫另一側(cè)．
（2）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象看作由二次函數(shù)y＝ax2的圖象向右或向左平移|b2a|個單位，再向上或向下平移|4ac?b24a|個單位得到的．
2．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?br>當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越?。?br>②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左側(cè)； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右側(cè)．（簡稱：左同右異）
③．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）．
④拋物線與x軸交點個數(shù)．
△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
3．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標是（?b2a，4ac?b24a）．
①拋物線是關(guān)于對稱軸x=?b2a成軸對稱，所以拋物線上的點關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點是拋物線的最高點或最低點．
②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數(shù)解析中的c值．
③拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x=x1+x22．
4．二次函數(shù)圖象與幾何變換
由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．
5．坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)
（1）關(guān)于原點對稱的點的坐標
P（x，y）?P（﹣x，﹣y）
（2）旋轉(zhuǎn)圖形的坐標
圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
【考點剖析】
一．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共8小題）
1．(2023秋?崇明區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．a(chǎn)c＞0B．當x＞﹣1時，y＞0
C．b＝2aD．9a+3b+c＝0
分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖象逐一判斷即可．
【解答】解：A．由圖可知：
拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸，
∴c＞0，
∴ac＜0，
故A不符合題意；
B．設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的另一個交點為（m，0），
∵拋物線的對稱軸是直線：x＝1，
∴?1+m2=1，
∴m＝3，
∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的另一個交點為（3，0），
∴當﹣1＜x＜3時，y＞0，
故B不符合題意；
C．∵拋物線的對稱軸是直線：x＝1，
∴?b2a=1，
∴b＝﹣2a，
故C不符合題意；
D．由B可得：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的另一個交點為（3，0），
∴把（3，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0）中可得：
9a+3b+c＝0，
故D符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，從圖象中獲取信息并結(jié)合圖象去分析是解題的關(guān)鍵．
2．(2023秋?黃浦區(qū)期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么點P（b，ac）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
分析：根據(jù)拋物線開口方向，對稱軸位置及拋物線與y軸交點位置確定a，b，c的符號，進而求解．
【解答】解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線對稱軸在y軸右側(cè)，
∴?b2a＞0，即b＜0，
∵拋物線與y軸交點在x軸下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，
∴點P在第三象限．
故選：C．
【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
3．(2023?青浦區(qū)二模）拋物線y＝（a﹣1）x2﹣2x+3在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，則a的取值范圍是 a＜1 ．
分析：由拋物線開口向下時，對稱軸左側(cè)y隨x的增大而增大可得a﹣1＜0，進而求解．
【解答】解：由題意得拋物線開口向下，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故答案為：a＜1．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
4．(2023秋?青浦區(qū)期末）如果拋物線y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0）在對稱軸左側(cè)的部分是下降的，那么a ＞ 0．（填“＜”或“＞”）
分析：由拋物線在對稱軸左側(cè)的部分是上升的可得出拋物線開口向下，進而即可得出a＞0，此題得解．
【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c在對稱軸左側(cè)的部分是下降的，
∴拋物線開口向上，
∴a＞0．
故答案為：＞．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，牢記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．(2023秋?崇明區(qū)期末）如果拋物線y＝（k﹣2）x2的開口向上，那么k的取值范圍是 k＞2 ．
分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案．
【解答】解：由題意可知：k﹣2＞0，
∴k＞2，
故答案為：k＞2．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
6．(2023秋?虹口區(qū)期末）如果拋物線y＝（2﹣a）x2+2開口向下，那么a的取值范圍是 a＞2 ．
分析：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當拋物線開口向下時，二次項系數(shù)2﹣a＜0．
【解答】解：∵拋物線y＝（2﹣a）x2+2開口向下，
∴2﹣a＜0，即a＞2，
故答案為：a＞2．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．用到的知識點：對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）來說，當a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）開口向上；當a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）開口向下．
7．(2023秋?奉賢區(qū)校級期中）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）圖象的對稱軸是直線x＝1，其圖象一部分如圖所示，對于下列說法正確的是（ ）
A．a(chǎn)bc＞0B．a(chǎn)﹣b+c＜0
C．b+c＜0D．當﹣1＜x＜3時，y＞0
分析：根據(jù)拋物線開口方向，對稱軸位置及拋物線與y軸交點位置可判斷選項A，C．根據(jù)圖象對稱軸為直線x＝1，拋物線與x軸右側(cè)交點在（2，0），（3，0）之間可得拋物線與x軸另一交點在（﹣1，0）與（0，0）之間，從而判斷B，D選項．
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵對稱軸在y軸右側(cè)，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸交點在x軸上方，
∴c＞0．
∴abc＜0，選項A不正確，不符合題意．
∵拋物線與x軸一交點在（2，0），（3，0）之間，拋物線對稱軸為直線x＝1，
∴拋物線與x軸另一交點在（0，0），（﹣1，0）之間，
∴x＝﹣1時，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
∴選項B正確，符合題意．
∵b＞0，c＞0，
∴b+c＞0，選項C不正確，不符合題意．
∵拋物線與x軸交點在（2，0），（3，0）之間與（0，0），（﹣1，0）之間
∴﹣1＜x＜3時，y不能確定正負情況，選項D不正確，不符合題意．
故選：B．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．
8．(2023秋?浦東新區(qū)期末）已知拋物線y＝x2+2x+m﹣3的頂點在第二象限，求m的取值范圍．
分析：先利用配方法得到拋物線的頂點坐標為（﹣1，m﹣4），再利用第二象限點的坐標特征得到m﹣4＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵y＝x2+2x+m﹣3＝（x+1）2+m﹣4，
∴拋物線的頂點坐標為（﹣1，m﹣4），
∵拋物線y＝x2+2x+m﹣3頂點在第二象限，
∴m﹣4＞0，
∴m＞4．
故m的取值范圍為m＞4．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（?b2a，4ac?b24a）．
二．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征（共8小題）
9．(2023秋?浦東新區(qū)校級期末）已知點A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函數(shù)y=?13x2+4的圖象上，那么m、n的大小關(guān)系是：m ＜ n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
分析：根據(jù)拋物線解析式可得拋物線開口方向及對稱軸，根據(jù)點A，B與對稱軸的距離大小求解．
【解答】解：∵y=?13x2+4，
∴拋物線開口向下，對稱軸為y軸，
∵|﹣7|＞|﹣5|，
∴m＜n，
故答案為：＜．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．
10．(2023秋?嘉定區(qū)期末）拋物線y＝ax2+2經(jīng)過點（﹣2，6），那么a＝ 1 ．
分析：根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．
【解答】解：把點（2，6）代入y＝ax2+2得：6＝4a+2，
解得a＝1，
故答案為1．
【點評】主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
11．(2023秋?徐匯區(qū)期末）如圖，已知點A是拋物線y＝x2圖象上一點，將點A向下平移2個單位到點B，再把點A繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°得到點C，如果點C也在該拋物線上，那么點A的坐標是 （?3，3） ．
分析：延長AB交x軸于D，過C點作CE⊥AD于E，解直角三角形求得CE=32×2=3，CE=12AC＝1，設(shè)A（m，m2），則CC（3+m，m2﹣3），代入y＝x2得到關(guān)于m的方程，解方程求得m的值，即可求得A的坐標．
【解答】解：如圖，延長AB交x軸于D，過C點作CE⊥AD于E，
∵∠BAC＝120°，
∴∠EBC＝180°﹣120°＝60°，
∵AB＝2，
∴BC＝AB＝2，
∴BE＝1，CE=32×2=3，CE=12AC＝1，
設(shè)A（m，m2），則C（3+m，m2﹣3），
∵點C也在該拋物線上，
∴m2﹣3＝（3+m）2，
解得m=?3，
∴A（?3，3），
故答案為：（?3，3）．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，坐標與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，表示出C的坐標是解題的關(guān)鍵．
12．(2023秋?徐匯區(qū)期末）如果點A（2，y1），B（5，y2）在二次函數(shù)y＝x2﹣2x+n圖象上，那么y1 ＜ y2（填＞、＝或＜）．
分析：本題需先根據(jù)已知條件求出二次函數(shù)的圖象的對稱軸，再根據(jù)點A、B的橫坐標的大小即可判斷出y1與y2的大小關(guān)系．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x+n的圖象的對稱軸是直線x＝1，
在對稱軸的右面y隨x的增大而增大，
∵點A（2，y1）、B（5，y2）是二次函數(shù)y＝x2﹣2x+n的圖象上兩點，
1＜2＜5，
∴y1＜y2．
故答案為：＜．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，在解題時要能靈活應(yīng)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及點的坐標特征是本題的關(guān)鍵．
13．(2023秋?虹口區(qū)期末）已知點A（x1，y1）、B（x2，y2）為函數(shù)y＝﹣2（x﹣1）2+3的圖象上的兩點，若x1＜x2＜0，則y1 ＜ y2（填“＞”、“＝”或“＜”），
分析：根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴拋物線y＝﹣2（x﹣1）2+3的開口向下，對稱軸為x＝1，
∴在x＜1時，y隨x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＜y2．
故答案為：＜．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)找出其增減性質(zhì)是關(guān)鍵．
14．(2023秋?普陀區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝a（x+1）2+c（a≠0）的圖象上有兩點A（2，4）、B（m，4），那么m的值等于 ﹣4 ．
分析：根據(jù)點A（2，4）、B（m，4）坐標特點可知這兩個點關(guān)于對稱軸對稱，可求出m的值．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝a（x+1）2+c（a≠0），
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，
∵點A（2，4）、B（m，4）都在拋物線上，
∴點A、B關(guān)于直線x＝﹣1對稱，
∴2+m2=?1，
∴m＝﹣4．
故答案為：﹣4．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的對稱性是解決問題的關(guān)鍵．
15．(2023?寶山區(qū)模擬）二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣3的圖象與y軸的交點坐標為 （0，﹣2） ．
分析：根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，令x＝0，求出相應(yīng)的y的值，即可解答本題．
【解答】解：∵y＝（x+1）2﹣3，
∴當x＝0時，y＝﹣2，
即二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣3的圖象與y軸的交點坐標為（0，﹣2），
故答案為（0，﹣2）．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，知道拋物線與y軸的交點，橫坐標為0．
16．(2023秋?嘉定區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，將點P1（a，b﹣a）定義為點P（a，b）的“關(guān)聯(lián)點”．
已知：點A（x，y）在函數(shù)y＝x2的圖象上（如圖所示），點A的“關(guān)聯(lián)點”是點A1．
（1）請在如圖的基礎(chǔ)上畫出函數(shù)y＝x2﹣2的圖象，簡要說明畫圖方法；
（2）如果點A1在函數(shù)y＝x2﹣2的圖象上，求點A1的坐標；
（3）將點P2（a，b﹣na）稱為點P（a，b）的“待定關(guān)聯(lián)點”（其中，n≠0）．如果點A（x，y）的“待定關(guān)聯(lián)點”A2在函數(shù)y＝x2﹣n的圖象上，試用含n的代數(shù)式表示點A2的坐標．
分析：（1）將圖中的拋物線y＝x2向下平移2個單位長，可得拋物線y＝x2﹣2；
（2）根據(jù)“關(guān)聯(lián)點”的定義和圖象上點的坐標特征得到A1（x，x2﹣x），然后代入y＝x2﹣2，得到x2﹣x＝x2﹣2，
解得x＝2，即可求得點A1的坐標；
（3）根據(jù)“待定關(guān)聯(lián)點”的定義和圖象上點的坐標特征得到A2(x，x2?nx)，然后代入y＝x2﹣n，得到x2﹣nx＝x2﹣n，解得x＝1，即可求得點A2的坐標．
【解答】解：（1）將圖中的拋物線y＝x2向下平移2個單位長，可得拋物線y＝x2﹣2，
如圖：
（2）由題意，得點A（x，y）的“關(guān)聯(lián)點”為A1（x，y﹣x），
由點A（x，y）在拋物線y＝x2上，可得A（x，x2），
∴A1(x，x2?x)，
又∵A1（x，y﹣x）在拋物線y＝x2﹣2上，
∴x2﹣x＝x2﹣2，
解得x＝2．
將x＝2代入A1(x，x2?x)，得A1（2，2）；
（3）點A（x，y）的“待定關(guān)聯(lián)點”為A2(x，x2?nx)，
∵A2(x，x2?nx)在拋物線y＝x2﹣n的圖象上，
∴x2﹣nx＝x2﹣n，
∴n﹣nx＝0，n（1﹣x）＝0．又∵n≠0，∴x＝1，
當x＝1時，x2﹣nx＝1﹣n，
故可得A2（1，1﹣n）．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是找出關(guān)聯(lián)點的坐標．
三．二次函數(shù)圖象與幾何變換（共7小題）
17．(2023春?靜安區(qū)期中）如果將拋物線y＝2x2﹣1向左平移1個單位，那么所得新拋物線的表達式是（ ）
A．y＝2x2B．y＝2（x+1）2﹣1
C．y＝2x2﹣2D．y＝2（x﹣1）2﹣1
分析：根據(jù)“左加右減”的法則即可得出結(jié)論．
【解答】解：將拋物線y＝2x2﹣1向左平移1個單位，那么所得新拋物線的表達式是y＝2（x+1）2﹣1，
故選：B．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解答此題的關(guān)鍵．
18．(2023秋?崇明區(qū)期末）將拋物線y＝2x2向上平移3個單位后所得拋物線的表達式是（ ）
A．y＝2x2+3B．y＝2（x+3）2C．y＝2（x﹣3）2D．y＝2x2﹣3
分析：直接根據(jù)平移規(guī)律作答即可．
【解答】解：將拋物線y＝2x2向上平移3個單位后所得拋物線的表達式是y＝2x2+3；
故選：A．
【點評】此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．
19．(2023秋?寶山區(qū)期末）把拋物線y＝（x﹣1）2+3向左平移2個單位長度，平移后拋物線的表達式為（ ）
A．y＝（x﹣1）2+5B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x+1）2+3D．y＝（x﹣3）2+3
分析：根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可．
【解答】解：把拋物線y＝（x﹣1）2+3向左平移2個單位長度，平移后拋物線的表達式為：y＝（x﹣1+2）2+3，即y＝（x+1）2+3，
故選：C．
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．
20．(2023?黃浦區(qū)校級二模）如果將拋物線y＝﹣2x2+8向下平移a個單位后，恰好經(jīng)過點（1，4），那么a的值為 2 ．
分析：易得新拋物線的頂點，根據(jù)頂點式及平移前后二次項的系數(shù)不變，所給坐標可得a的值．
【解答】解：原拋物線的頂點為（0，8），向下平移a個單位后，那么新拋物線的頂點為（0，8﹣a）．
可設(shè)新拋物線的解析式為y＝﹣2x2+8﹣a，
把（1，4）代入得：4＝﹣2×12+8﹣a．
a＝2．
故答案是：2．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，拋物線平移不改變二次項的系數(shù)的值，解決本題的關(guān)鍵是得到新拋物線的頂點坐標．
21．(2023?青浦區(qū)二模）將拋物線C向左平移2個單位，向上平移1個單位后，所得拋物線為y＝（x﹣1）2，則拋物線C解析式為 y＝（x﹣3）2﹣1 ．
分析：根據(jù)圖象反向平移，可得原函數(shù)圖象，根據(jù)圖象左加右減，上加下減，可得答案．
【解答】解：∵將拋物線C向左平移2個單位，向上平移1個單位后，所得拋物線為y＝（x﹣1）2，
∴將拋物線y＝（x﹣1）2向右平移2個單位，向下平移1個單位后，得到拋物線C為y＝（x﹣1﹣2）2﹣1，即y＝（x﹣3）2﹣1．
故答案為：y＝（x﹣3）2﹣1．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．
22．(2023春?徐匯區(qū)校級期中）拋物線y＝x2+bx+c圖象向右平移2個單位再向下平移3個單位，所得圖象的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，則此拋物線解析式為 y＝x2+2x ．
分析：逆向思考：把拋物線y＝x2﹣2x﹣3的圖象向左平移2個單位再向上平移3個單位，得到拋物線y＝x2+bx+c．先把y＝x2﹣2x﹣3配成頂點式得y＝（x﹣1）2﹣4，則拋物線y＝（x﹣1）2﹣4的對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為（1，﹣4），所以拋物線y＝x2﹣2x﹣3的圖象向左平移2個單位再向上平移3個單位，所得拋物線的對稱軸為直線x＝1﹣2＝﹣1，頂點坐標為（﹣1，﹣1），然后利用頂點式直接寫出其解析式．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴拋物線y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4的對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為（1，﹣4），
∴拋物線y＝x2﹣2x﹣3的圖象向左平移2個單位再向上平移3個單位，所得拋物線的對稱軸為直線x＝1﹣2＝﹣1，頂點坐標為（﹣1，﹣1），
∴所得拋物線的解析式為y＝（x+1）2﹣1＝x2+2x．
故答案為y＝x2+2x．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：先把拋物線的解析式化為頂點式y(tǒng)＝a（x﹣k）2+h，其中對稱軸為直線x＝k，頂點坐標為（k，h），若把拋物線先右平移m個單位，向上平移n個單位，則得到的拋物線的解析式為y＝a（x﹣k﹣m）2+h+n；拋物線的平移也可理解為把拋物線的頂點進行平移．
23．(2023秋?黃浦區(qū)期末）將二次函數(shù)y＝x2+2x+3的圖象向右平移3個單位，求所得圖象的函數(shù)解析式；請結(jié)合以上兩個函數(shù)圖象，指出當自變量x在什么取值范圍內(nèi)時，上述兩個函數(shù)中恰好其中一個的函數(shù)圖象是上升的，而另一個的函數(shù)圖象是下降的．
分析：根據(jù)平移的規(guī)律得到平移后的解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得．
【解答】解：∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴將二次函數(shù)y＝x2+2x+3的圖象向右平移3個單位，得到函數(shù)y＝（x+1﹣3）2+2，即y＝（x﹣2）2+2，
∵二次函數(shù)y＝（x+1）2+2的圖象在x＞﹣1時，y隨x的增大而增大，二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+2的圖象在x＜2時，y隨x的增大而減小，
∴當﹣1＜x＜2時，兩個函數(shù)中恰好其中一個的函數(shù)圖象是上升的，而另一個的函數(shù)圖象是下降的．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【過關(guān)檢測】
一．選擇題（共5小題）
1．(2023秋?長寧區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么a、c滿足（ ）
A．a(chǎn)＞0，c＞0B．a(chǎn)＞0，c＜0C．a(chǎn)＜0，c＞0D．a(chǎn)＜0，c＜0
分析：根據(jù)拋物線開口方向以及與y軸的交點情況即可進行判斷．
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸的上方，
∴c＞0，故選項A、B、D錯誤，選項C正確．
故選：C．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向．當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）．
2．(2023秋?徐匯區(qū)校級期中）若二次函數(shù)y＝ax2﹣bx+1的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．4a＞b2B．a(chǎn)＜0C．b＞0D．a(chǎn)﹣b＞﹣1
分析：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：如圖，
觀察圖象可知：a＞0，??b2a＜0，
∴b＜0，
∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴b2﹣4a＞0，
∴4a＜b2，
∵x＝1時，y＞0，∴a﹣b+1＞0，
∴a﹣b＞﹣1，
故A，B，C錯誤，D正確，
故選：D．
【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3．(2023秋?金山區(qū)期末）下列各點在拋物線y＝2x2上的是（ ）
A．（2，2）B．（2，4）C．（2，8）D．（2，16）
分析：把x＝2代入拋物線解析式中，求得函數(shù)值，即可判斷．
【解答】解：把x＝2代入y＝2x2得y＝2×22＝8，
故點（2，8）在拋物線上．
故選：C．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，圖象上點的坐標適合解析式．
4．(2023秋?浦東新區(qū)期末）已知點A（1，2）、B（2，3）、C（2，1），那么拋物線y＝ax2+bx+1可以經(jīng)過的點是（ ）
A．點A、B、CB．點A、BC．點A、CD．點B、C
分析：根據(jù)圖象上點的坐標特征進行判斷．
【解答】解：∵B、C兩點的橫坐標相同，
∴拋物線y＝ax2+bx+1只能經(jīng)過A，C兩點或A、B兩點，
把A（1，2），C（2，1），代入y＝ax2+bx+1得a+b+1=24a+2b+1=1．
解得，a=?1b=2；
把A（1，2），B（2，3），代入y＝ax2+bx+1得a+b+1=24a+2b+1=3．
解得，a=0b=1（不合題意）；
∴拋物線y＝ax2+bx+1可以經(jīng)過的A，C兩點，
故選：C．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，圖象上點的坐標適合解析式．
5．(2023秋?徐匯區(qū)期末）已知拋物線y＝﹣x2+4x+c經(jīng)過點（4，3），那么下列各點中，該拋物線必經(jīng)過的點是（ ）
A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，5）
分析：先根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，然后計算出自變量為0所對應(yīng)的函數(shù)值，再根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征進行判斷．
【解答】解：∵拋物線y＝﹣x2+4x+c經(jīng)過點（4，3），
∴﹣16+16+c＝3，
∴c＝3，
∴拋物線為y＝﹣x2+4x+3，
當x＝0時，y＝﹣x2+4x+3＝3；
所以點（0，3）在拋物線y＝﹣x2+4x+3上．
故選：B．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式．
二．填空題（共16小題）
6．(2023秋?徐匯區(qū)校級月考）如果二次函數(shù)y＝（m﹣1）x2+x（m是常數(shù)）的圖象開口向上，那么m的取值范圍是 m＞1 ．
分析：由二次函數(shù)的圖象的開口方向可得到二次項系數(shù)大于0，可求得m的取值范圍．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝（m﹣1）x2+x的圖象開口向上，
∴m﹣1＞0，
解得：m＞1，
故答案為：m＞1．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的開口方向由二次項系數(shù)決定是解題的關(guān)鍵．
7．(2023秋?徐匯區(qū)期中）若點A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函數(shù)y＝x2﹣2x+5圖象上的兩點，那么y1與y2的大小關(guān)系是 y1＞y2 （填y1＞y2、y1＝y(tǒng)2或y1＜y2）．
分析：將x＝﹣3和x＝0分別代入函數(shù)解析式求得y的值，然后比較大小．
【解答】解：當x＝﹣3時，y1＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）+5＝20，
當x＝0時，y2＝5，
∴y1＞y2．
故答案為：y1＞y2．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是將x的值代入函數(shù)解析式求得y的值．
8．(2023秋?虹口區(qū)期末）二次函數(shù)y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1的圖象經(jīng)過原點，則m的值為 ﹣1 ．
分析：將原點坐標（0，0）代入二次函數(shù)解析式，列方程求m即可．
【解答】解：∵點（0，0）在拋物線y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1上，
∴m2﹣1＝0，
解得m1＝1或m2＝﹣1，
∵m＝1不合題意，
∴m＝1
故答案為：﹣1．
【點評】此題考查了二次函數(shù)圖象上的點與解析式的關(guān)系，將點的坐標代入解析式是解題的關(guān)鍵．
9．(2023秋?徐匯區(qū)校級月考）已知點A（﹣5，m）、B（﹣3，n）都在二次函數(shù)y＝x2+1的圖象上，那么m、n的大小關(guān)系是：m ＞ n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
分析：先利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的對稱軸為y軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．
【解答】解：由二次函數(shù)y＝x2+1可知，拋物線開口向上，拋物線的對稱軸為y軸，
∴當x＜0時，y隨x的增大而減小，
∵﹣5＜﹣3，
∴m＞n．
故答案為：＞．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
10．(2023秋?松江區(qū)期末）把拋物線y＝x2+1向右平移1個單位，所得新拋物線的表達式是 y＝x2﹣2x+2 ．
分析：根據(jù)平移規(guī)律得到新拋物線頂點坐標，即可得的新拋物線的表達式．
【解答】解：∵拋物線y＝x2+1的頂點坐標為（0，1），
∴拋物線向右平移1個單位后，所得新拋物線的表達式為y＝（x﹣1）2+1，即y＝x2﹣2x+2．
故答案為：y＝x2﹣2x+2．
【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)圖象的平移，掌握平移規(guī)律：“左加右減，上加下減”是解決問題的關(guān)鍵．
11．(2023秋?嘉定區(qū)期末）如果拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝1，那么2a+b ＝ 0．（從＜，＝，＞中選擇）
分析：根據(jù)對稱軸公式列出?b2a=1，變形即可．
【解答】解∵對稱軸為x＝1，
∴?b2a=1，
∴2a+b＝0，
故答案為＝．
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確記憶二次函數(shù)對稱軸公式是解題關(guān)鍵．
12．(2023秋?嘉定區(qū)期末）如果拋物線y＝（2a﹣1）x2的開口向下，那么實數(shù)a的取值范圍是 a＜12 ．
分析：由于拋物線開口向下，則2a﹣1＜0，解得即可．
【解答】解：∵拋物線y＝（2a﹣1）x2的開口向下，
∴2a﹣1＜0，
即a＜12．
故答案為a＜12．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0），當a＞0時，拋物線開口向上；當a＜0時，拋物線開口向下．
13．(2023秋?黃浦區(qū)期末）如果拋物線y＝x2+（b+3）x+2c的頂點為（b，c），那么該拋物線的頂點坐標是 （﹣1，1） ．
分析：根據(jù)二次函數(shù)的頂點公式求出b、c的值即可．
【解答】解：根據(jù)頂點公式：b=?b+32×1，
解得：b＝﹣1，
c=4×2c?(b+3)24×1=8c?44，
解得：c＝1．
所以拋物線的頂點坐標是（﹣1，1）
故答案為：（﹣1，1）．
【點評】此題主要考查了根據(jù)二次函數(shù)的頂點公式求值，熟練記憶二次函數(shù)頂點公式是解題關(guān)鍵．
14．(2023秋?徐匯區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝a（x+32）2﹣1的圖象在直線x=?32的左側(cè)部分是下降的，那么a的取值范圍是 a＞0 ．
分析：根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到a的取值范圍，本題得以解決．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝a（x+32）2﹣1，
∴該函數(shù)的對稱軸為直線x=?32，
∵二次函數(shù)y＝a（x+32）2﹣1的圖象在直線x=?32的左側(cè)部分是下降的，
∴a＞0，
故答案為：a＞0
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
15．(2023秋?普陀區(qū)期末）沿著x軸正方向看，如果拋物線y＝（a﹣2）x2在對稱軸左側(cè)的部分是下降的，那么a的取值范圍是 a＞2 ．
分析：利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線開口向上，則a﹣2＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵拋物線y＝（a﹣2）x2在對稱軸左側(cè)的部分是下降的，
∴拋物線開口向上，
∴a﹣2＞0，解得a＞2．
故答案為a＞2．
【點評】本本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。攁＞0時，拋物線開口向上；當a＜0時，拋物線開口向下．
16．(2023秋?徐匯區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點C的坐標為（0，1），過點C的直線與二次函數(shù)y＝x2的圖象交于A、B兩點，且BC＝3AC，則點A的坐標為 （?33，13） ．
分析：過A作AD⊥y軸于D，過B作BE⊥y軸于E，又CB＝3AC，得CE＝3CD，BE＝3AD，設(shè)AD＝m，則BE＝3m，A（﹣m，m2），B（3m，9m2），可得C（0，3m2），即可得到3m2＝1，解得m的值，即可求得A的坐標．
【解答】解：過A作AD⊥y軸于D，過B作BE⊥y軸于E，如圖：
∵AD⊥y軸，BE⊥y軸，
∴AD∥BE，
∴ACBC=CDCE=ADBE，
∵CB＝3AC，
∴CE＝3CD，BE＝3AD，
設(shè)AD＝m，則BE＝3m，
∵A、B兩點在二次函數(shù)y＝x2的圖象上，
∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），
∴OD＝m2，OE＝9m2，
∴ED＝8m2，
而CE＝3CD，
∴CD＝2m2，OC＝3m2，
∴C（0，3m2），
∵點C的坐標為（0，1），
∴3m2＝1，
∴m2=13，
∴﹣m=?33，
∴A（?33，13）．
故答案為：（?33，13）．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點坐標的特征，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示C的坐標．
17．(2023秋?浦東新區(qū)期末）如果（2，y1）（3，y2）是拋物線y＝（x+1）2上兩點，那么y1 ＜ y2．（填“＞”或“＜”）
分析：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線y＝（x+1）2的開口向上，對稱軸為直線x＝﹣1，則在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大．
【解答】解：∵y＝（x+1）2，
∴a＝1＞0，
∴拋物線開口向上，
∵拋物線y＝（x+1）2對稱軸為直線x＝﹣1，
∵﹣1＜2＜3，
∴y1＜y2．
故答案為＜．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．(2023秋?浦東新區(qū)校級期末）將拋物線y＝﹣2x2+3x+1向下平移3個單位，所得的拋物線的表達式是 y＝﹣2x2+3x﹣2 ．
分析：根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律：上加下減進行解答即可．
【解答】解：將拋物線y＝﹣2x2+3x+1向下平移3個單位，所得的拋物線的表達式是y＝﹣2x2+3x+1﹣3，即y＝﹣2x2+3x﹣2．
故答案為y＝﹣2x2+3x﹣2．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，知道拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減是解題的關(guān)鍵．
19．(2023秋?嘉定區(qū)期末）將拋物線y＝x2﹣2x向左平移2個單位，得到一條新拋物線，這條新拋物線的表達式是 y＝x2+2x ．
分析：按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律，即可得出平移后拋物線的解析式．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴將拋物線y＝x2﹣2x向左平移2個單位得到拋物線的解析式為：y＝（x﹣1+2）2﹣1，即y＝x2+2x．
故答案為：y＝x2+2x．
【點評】此題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，掌握拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減是解題的關(guān)鍵．
20．(2023秋?徐匯區(qū)期末）將拋物線y＝2x2+3先向左平移1個單位，再向下平移4個單位后，所得拋物線的表達式是 y＝2（x+1）2﹣1 ．
分析：根據(jù)函數(shù)圖象平移規(guī)律，可得答案．
【解答】解：將拋物線y＝2x2+3先向左平移1個單位，再向下平移4個單位后，所得拋物線的表達式是y＝2（x+1）2+3﹣4，即y＝2（x+1）2﹣1，
故答案為：y＝2（x+1）2﹣1．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式．
21．(2023?寶山區(qū)二模）已知點A（﹣3，y1）和點B（?23，y2）都在二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+m（a＞0）的圖象上，那么y1﹣y2 ＞ 0（結(jié)果用＞，＜，＝表示）．
分析：將點A（﹣3，y1）和點B（?23，y2）代入二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+m（a＞0），進而可得結(jié)果．
【解答】解：∵點A（﹣3，y1）和點B（?23，y2）都在二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+m（a＞0）的圖象上，
∴y1＝9a+6a+m＝15a+m，y2=49a+43a+m=169a+m，
∴y1﹣y2＝15a+m?169a﹣m=1199a，
∵a＞0，
∴1199a＞0，
∴y1﹣y2＞0．
故答案為：＞．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
三、解答題
22.（閔行2020期末24）已知：在平面直角坐標系xOy中，對稱軸為直線x = -2的拋物線經(jīng)過點C(0，2)，與x軸交于A(-3，0)、B兩點(點A在點B的左側(cè)).
(1)求這條拋物線的表達式.
(2)連接BC，求∠BCO的余切值.
(3)如果過點C的直線，交x軸于點E，交拋物線于點P，且∠CEO =∠BCO，求點P的坐標.
答案:(1)；(2)；(3)點P坐標是(，)或(，).
解析：解：(1)設(shè)拋物線的表達式為.由題意得：
解得：，.∴這條拋物線的表達式為. (2)令y = 0，那么，
解得，. ∵點A的坐標是(-3，0)，∴點B的坐標是(-1，0).∵C(0，2)，∴，.
在Rt△ OBC中，∠BOC=90o，∴.(3)設(shè)點E的坐標是(x，0)，得OE=.∵，
∴.在Rt△EOC中，∴.∴=4，∴點E坐標是(4，0)或 (4，0).∵點C坐標是(0，2)，∴. ∴ ，或
解得和(舍去)，或和(舍去)；∴點P坐標是(，)或(，).
23．（浦東新區(qū)2020一模24）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（﹣1，0），B（3，0），與y軸相交于點C．
（1）求拋物線的表達式；
（2）聯(lián)結(jié)AC、BC，求∠ACB的正切值；
（3）點P在拋物線上，且∠PAB＝∠ACB，求點P的坐標．
答案:（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）2；（3）（1，4）或（5，﹣12）；
解析：解：（1）將點A（﹣1，0），B（3，0）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，b＝2，c＝3，∴拋物線的表達式為y＝﹣x2+2x+3；（2）∵在y＝﹣x2+2x+3中，當x＝0時，y＝3，∴C（0，3），∴OC＝OB＝3，∴△OBC為等腰直角三角形，∠OBC＝45°，∴BC＝OC＝3，如圖1，過點A作AH⊥BC于H，則∠HAB＝∠HBA＝45°，∴△AHB是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴AH＝BH＝AB＝2，∴CH＝BC﹣BH＝，∴在Rt△AHC中，tan∠ACH＝＝2，即∠ACB的正切值為2；（3）①如圖2，當∠PAB＝∠ACB時，過點P作PM⊥x軸于點M，設(shè)P（a，﹣a2+2a+3），則M（a，0），由（1）知，tan∠ACB＝2，∴tan∠PAM＝2，∴，∴，解得，a1＝﹣1（舍去），a2＝1，∴P1（1，4）；②取點P（1，4）關(guān)于x軸的對稱點Q（1，﹣4），延長AQ交拋物線于P2，則此時∠P2AB＝∠PAM＝∠ACB，設(shè)直線PQ的解析式為y＝kx+b，將A（﹣1，0），Q（1，﹣4）代入，得，，解得，k＝﹣2，b＝﹣2，
∴yAQ＝﹣2x﹣2，聯(lián)立，，解得，，∴P2（5，﹣12）；
綜上所述，點P的坐標為（1，4）或（5，﹣12）．

24.（崇明2020一模24）如圖，拋物線與軸相交于點、點，與軸交于點，點是拋物線上一動點， 聯(lián)結(jié)交線段于點．（1）求這條拋物線解析式，并寫出頂點坐標；（2）求的正切值；（3）當與相似時，求點的坐標．
答案:（1）,；（2）2；（3）點D的坐標為或
解析：（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，拋物線過點，，解得，這條拋物線的解析式為，頂點坐標為；（2）解：過點B作，垂足為H，，，，，，在中，，，，，；（3）解：過點D作軸，垂足為K，設(shè)，則，并由題意可得點D在第二象限，，是公共角，當與相似時存在以下兩種可能①，，，解得，（舍去），；②，，，解得，（舍去），；綜上所述：當與相似時，點D的坐標為或.

25.（青浦2020一模24）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線x=2，點A的坐標為（1，0）．
（1）求該拋物線的表達式及頂點坐標；
（2）點P為拋物線上一點（不與點A重合），聯(lián)結(jié)PC．當∠PCB=∠ACB時，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，將拋物線沿平行于軸的方向向下平移，平移后的拋物線的頂點為點D，點P的對應(yīng)點為點Q，當OD⊥DQ時，求拋物線平移的距離．
答案:（1）（2，-1）（2）P（，）．（3）；
解析：解：（1）∵A的坐標為（1，0），對稱軸為直線x=2，∴點B的坐標為（3，0），將A（1，0）、B（3，0）代入，得 解得： 所以，．當x=2時，，∴頂點坐標為（2，-1） ．（2）過點P作PN⊥x軸，垂足為點N．過點C作CM⊥PN，交NP的延長線于點M．∵∠CON=90°，∴四邊形CONM為矩形．∴∠CMN=90°，CO= MN．∵，∴點C的坐標為（0，3）∵B（3，0），∴OB=OC．∵∠COB=90°，∴∠OCB=∠BCM = 45°，又∵∠ACB=∠PCB，∴∠OCB-∠ACB =∠BCM -∠PCB，即∠OCA=∠PCM． ∴tan∠OCA= tan∠PCM．∴．設(shè)PM=a，則MC=3a，PN=3-a．∴P（3a，3-a）．將P（3a，3-a）代入，得．解得，（舍）．∴P（，）．（3）設(shè)拋物線平移的距離為m．得，∴D的坐標為（2，）．過點D作直線EF∥x軸，交y軸于點E，交PQ的延長線于點F．∵∠OED=∠QFD=∠ODQ=90°，∴∠EOD+∠ODE = 90°，∠ODE+∠QDF = 90°，∴∠EOD=∠QDF，∴tan∠EOD = tan∠QDF．∴．∴．解得．所以，拋物線平移的距離為．

相關(guān)試卷

滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點講與練第16講二次函數(shù)中的角相等問題(考點講與練)(原卷版+解析)：

這是一份滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點講與練第16講二次函數(shù)中的角相等問題(考點講與練)(原卷版+解析)，共29頁。

滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點講與練第14講二次函數(shù)中的平移問題(考點講與練)(原卷版+解析)：

這是一份滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點講與練第14講二次函數(shù)中的平移問題(考點講與練)(原卷版+解析)，共32頁。

滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點講與練第12講二次函數(shù)的應(yīng)用(考點講與練)(原卷版+解析)：

這是一份滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點講與練第12講二次函數(shù)的應(yīng)用(考點講與練)(原卷版+解析)，共28頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點講與練第10講二次函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)(考點講與練)(原卷版+解析)

滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點講與練第10講二次函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)(考點講與練)(原卷版+解析)
滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點講與練第08講銳角的三角比(考點講與練)(原卷版+解析)

滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點講與練第08講銳角的三角比(考點講與練)(原卷版+解析)
滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點講與練第03講平面向量的線性運算(考點講與練)(原卷版+解析)

滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點講與練第03講平面向量的線性運算(考點講與練)(原卷版+解析)
滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點講與練第01講相似形與比例線段(考點講與練)(原卷版+解析)

滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點講與練第01講相似形與比例線段(考點講與練)(原卷版+解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
暑假專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部