專題12 集合的基本運算（補集與集合的綜合應(yīng)該運算）（原卷及解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識點1：全集
知識點2：補集
【知識點撥】(1)簡單地說，?UA是從全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素組成的集合．
(2)性質(zhì)：A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?，?U(?UA)＝A，?UU＝?，?U?＝U，?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，
?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
(3)如圖所示的陰影部分是常用到的含有兩個集合運算結(jié)果的Venn圖表示．
【題型歸納目錄】
題型1：補集的運算
題型2：集合的交并、補集的綜合運算
題型3：與補集有關(guān)的求參數(shù)問題
【典型例題】
題型1：補集的運算
1．（2022·遼寧朝陽·高一階段練習(xí)）如圖，已知集合A={-8，1}，B={-8，-5，0，1，3}，則Venn圖中陰影部分表示的集合為（）
A．{-5，0，3}B．{-5，1，3}
C．{0，3}D．{1，3}
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知，結(jié)合給出的Venn圖可判斷陰影部分為?BA, 根據(jù)給到的集合和集合，可直接進行求解.
【詳解】
因為集合A={-8，1}，B={-8，-5，0，1，3}，
Venn圖中陰影部分表示的集合為?BA={-5，0，3}．
故選：A.
2．（2022·廣東·化州市第三中學(xué)高一階段練習(xí)）若全集，且，則集合（）
A．{1，4}B．{0，4}C．{2，4}D．{0，2}
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)補集的定義求解即可.
【詳解】
解：因為全集，且，
所以.
故選：B
3．（2022·四川·寧南中學(xué)高一階段練習(xí)（理））已知集合，集合，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接求出.
【詳解】
因為集合，集合，所以.
故選：C.
4．（2022·陜西渭南·高一期末）若全集，且，則（）
A．或B．或
C．D．或.
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)集合補集的概念及運算，準確計算，即可求解.
【詳解】
由題意，全集，且，
根據(jù)集合補集的概念及運算，可得或.
故選：D.
5．（2022·河南平頂山·高一期末）已知集合，，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先化簡集合，進而求得集合A，B的補集，再逐項判斷.
【詳解】
因為集合，
所以或，
因為，
所以，
所以，
故選：D
6．（2022·浙江省定海第一中學(xué)高一開學(xué)考試）已知全集，集合，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用補集的定義即可求得.
【詳解】
因為全集，集合，
所以.
故選：D
7．（2022·河南·林州一中高一開學(xué)考試）已知全集，集合，則（）
A．B．或
C．或D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根據(jù)補集的概念求解即可.
【詳解】
解：因為全集，集合，
所以
故選：D
題型2：集合的交并、補集的綜合運算
1．（2022·江蘇·無錫市市北高級中學(xué)高一期中）已知全集為，集合，集合，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用題意首先求得補集，然后進行交集運算即可求得最終結(jié)果.
【詳解】
集合，4，，集合，，
由補集的定義可得：，，，
然后進行交集運算可得：.
故選：C.
2．（2022·江蘇·海安市曲塘中學(xué)高一期中）設(shè)全集，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)補集的概念求出，再根據(jù)并集運算即可求出結(jié)果.
【詳解】
由題意可知，又，所以.
故選:A.
3．（2022·河北省唐縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)全集，集合，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)補集、交集的定義計算可得；
【詳解】
解：因為，所以，又；
所以；
故選：B
4．（2022·四川攀枝花·高一期末）設(shè)全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由圖中陰影部分可知對應(yīng)集合為，然后根據(jù)集合的基本運算求解即可.
【詳解】
解：由圖中陰影部分可知對應(yīng)集合為
全集，2，3，4，，集合，，，3，，
=，=．
故選：．
5．（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)集合，，，若全集，則下列結(jié)論正確的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)集合，，的關(guān)系求解即可.
【詳解】
集合，，的關(guān)系如下圖，
由圖可知只有正確．
故選：D.
6．（2022·重慶八中高一期末）設(shè)全集為，集合，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出集合B的補集，再根據(jù)集合的交集運算求得答案.
【詳解】
因為，所以，
故，
故選:B.
7．（2022·天津·油田三中高一階段練習(xí)）已知全集，，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求集合A的補集，再求A的補集與集合B的交集即可.
【詳解】
由得，
又，則
故答案為：
8．（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)，，全集，，或，則______.
【答案】1
【解析】
【分析】
根據(jù)補集的概念對應(yīng)系數(shù)相等即可求出結(jié)果.
【詳解】
因為，，所以或.
又或，所以，，所以.
故答案為：1.
9．（2022·上海南匯中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)全集，若，，，則A=______.
【答案】
【解析】
【分析】
寫出全集U，作出韋恩圖，將全集U中的元素放置在合適的區(qū)域內(nèi)即可求出集合A.
【詳解】
依題意，全集，作出韋恩圖，如下圖所示：
觀察韋恩圖知集合.
故答案為：
10．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)獅山高級中學(xué)高一階段練習(xí)）某城市數(shù)，理，化競賽時，高一某班有24名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，28名學(xué)生參加物理競賽，19名學(xué)生參加化學(xué)競賽，其中參加數(shù)，理，化三科競賽的有7名，只參加數(shù)，物兩科的有5名，只參加物，化兩科的有3名，只參加數(shù)，化兩科的有4名．若該班學(xué)生共有48名，問沒有參加任何一科競賽的學(xué)生有__名．
【答案】3
【解析】
【分析】
根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)圖形求出單獨參加數(shù)理化的人數(shù)，然后把單獨參加數(shù)理化的人數(shù)和參加2門，3門競賽的人數(shù)加在一起，即可得到競賽的總?cè)藬?shù)，然后即可求出沒有參加任何一科競賽的學(xué)生人數(shù).
【詳解】
畫三個圓分別代表參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)的人．
因為參加數(shù)，理，化三科競賽的有7名，只參加數(shù)，物兩科的有5名，只參加物，化兩科的有3名，只參加數(shù)，化兩科的有4名．分別填入圖形中，
又因為有24名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，28名學(xué)生參加物理競賽，19名學(xué)生參加化學(xué)競賽，
故單獨參加數(shù)學(xué)的有8人，單獨參加物理的有13人，單獨參加化學(xué)的有5人，
故是參加競賽的人數(shù)，所以沒參加的人數(shù)為人．
故答案為：3．
題型3：與補集有關(guān)的求參數(shù)問題
1．（2022·四川省蒲江縣蒲江中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合，集合，若則實數(shù)的取值范圍是______．
【答案】或
【解析】
【分析】
首先分別化簡集合,計算出，根據(jù)即可計算出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】
由題意得：
所以
因為
所以或
即或
故答案為：或
2．（2022·廣西·玉林市第十一中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)全集，，，則a=____________．
【答案】或2
【解析】
【分析】
根據(jù)補集的運算法則，得到，求出的值，檢驗得出最后結(jié)果.
【詳解】
因為，，所以，因為，所以，解得：或，經(jīng)檢驗，均符合要求.
故答案為：或2
3．（2022·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知全集，集合，集合，，則實數(shù)的取值范圍是______.
【答案】或
【解析】
【分析】
解一元二次不等式得集合，求出其補集，根據(jù)集合間的關(guān)系列出的不等式解出即可.
【詳解】
或，
，
又，，
或，或，
故答案為：或.
4．（2022·安徽宿州·高一期中）設(shè)集合，，.
(1)求.
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先解出集合，再計算即可；
（2）由得，再按照兩根的大小分類討論解不等式即可.
(1)
，，則；
(2)
，由得，
①當時，即時，，只需，即；
②當時，即時，，滿足條件；
③當時，即時，，只需，即；
綜上可得：的取值范圍是.
5．（2022·河北滄州·高一期末）已知集合，.
(1)當時，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)求出集合A和B，根據(jù)并集的計算方法計算即可；
(2)求出，分B為空集和不為空集討論即可.
(1)
，
當時，，
∴；
(2)
{或x＞4}，
當時，，，解得a＜1；
當時，若，則解得.
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
6．（2022·北京·高一期末）已知集合，．
(1)求集合；
(2)當時，求；
(3)若，求的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題干條件以及補集的定義可得解；
（2）根據(jù)題干條件以及交集的定義可得解；
（3）根據(jù)（1）可得或，結(jié)合，分析即得解
(1)
由題意，
故或
(2)
當時，
故
(3)
由（1）或
若，則
解得
7．（2022·山東臨沂·高一期末）已知集合，.
(1)若，求；
(2)求實數(shù)的取值范圍，使___________成立.
從①，②，③中選擇一個填入橫線處求解.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【解析】
(1)，
，
當時，，所以；
(2)由(1)知，，，
所以或，或，
若選①，，則或，
解得或，所以的取值范圍為或；
若選②，，則或，
解得或，所以的取值范圍為或；
若選③，，則，
解得，所以的取值范圍為.
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2022·湖南·高一階段練習(xí)）設(shè)集合，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
解一元二次不等式可求得，根據(jù)集合的交集運算即可求得答案.
【詳解】
由題意得，
∴，
故選：C
2．（2022·河南·永城市苗橋鄉(xiāng)重點中學(xué)高一期末）已知集合，，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用補集定義求出，利用交集定義能求出．
【詳解】
解：集合，，
則或，
．
故選：D
3．（2022·云南·昭通市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合，，則如圖所示的陰影部分表示的集合為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用韋恩圖結(jié)合集合的基本運算求解.
【詳解】
解：因為，，
所以陰影部分表示的集合為.
故選：B.
4．（2022·重慶復(fù)旦中學(xué)高一開學(xué)考試）若集合，，則（）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)補集的定義和運算求出，結(jié)合交集的概念和運算即可得出結(jié)果.
【詳解】
由題意知，
，又，
所以.
故選：A
5．（2022·天津天津·高一期末）設(shè)全集，集合，則（）
A．{3，5}B．{2，4}
C．{1，2，3，4，5}D．{2，3，4，5，6}
【答案】D
【解析】
【分析】
先求補集，再求并集.
【詳解】
，則.
故選：D
6．（2022·河北邢臺·高一階段練習(xí)）已知集合，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
按照并集和補集計算即可.
【詳解】
由題意得，，所以．
故選：B.
7．（2022·湖北·宜昌市一中高一階段練習(xí)）若全集，，，則集合（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
計算，，再計算交集得到答案.
【詳解】
，，.
故選：D.
8．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）已知全集，集合，若的元素的個數(shù)為4，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)集合補集的結(jié)果個數(shù)，即可容易求得參數(shù)范圍.
【詳解】
若的元素的個數(shù)為4，則
故選：A.
【點睛】
本題考查由集合的補集元素個數(shù)求參數(shù)范圍，屬基礎(chǔ)題.
二、多選題
9．（2022·湖北·車城高中高一階段練習(xí)）設(shè)全集，集合，則的子集為（）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根據(jù)補集和子集的定義即可求出答案.
【詳解】
因為，集合的子集有：，.
故選：AD.
10．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知全集，集合，，則使成立的實數(shù)的取值范圍可以是（）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
討論和時，計算，根據(jù)列不等式，解不等式求得的取值范圍，再結(jié)合選項即可得正確選項.
【詳解】
當時，，即，此時，符合題意，
當時，，即，
由可得或，
因為，所以或，可得或，
因為，所以，
所以實數(shù)的取值范圍為或，
所以選項ABC正確，選項D不正確；
故選：ABC.
11．（2022·江西·高一期中）已知集合M?N的關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
根據(jù)Venn圖和交并補的定義逐一判斷即可.
【詳解】
由題意得，對于A，C，設(shè)，，
則，，則，故A錯誤；，故C錯誤；
對于B，由Venn圖和知，，故B正確；
對于D，因為，所以，故D正確.
故選:BD.
12．（2022·山東泰安·高一期中）已知為全集，則下列說法正確的是（）
A．若，則B．若，則或
C．若，則D．若，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用集合的交、并、補運算即可求解.
【詳解】
A，因為，，
所以，說法正確；
B，若，則集合不一定為空集，
只需兩個集合中無公共元素即可，B說法錯誤，；
C，因為，，
所以，說法正確；
D，，即集合中均無任何元素，可得，D說法正確.
故選：ACD
三、填空題
13．（2022·北京四中高一階段練習(xí)）某班有學(xué)生55人，其中音樂愛好者34人，體育愛好者43人，還有4人既不愛好體育也不愛好音樂，則班級中即愛好體育又愛好音樂的有___________人．
【答案】26
【解析】
【分析】
運用集合間關(guān)系即可得出結(jié)果.
【詳解】
由題意作出Venn圖，從而求解人數(shù)．
解：作Venn圖如圖，
，
，
；
故．
故答案為：26．
14．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)集合，，，則集合的子集個數(shù)為______．
【答案】4
【解析】
【分析】
解一元二次不等式，再結(jié)合得集合，從而可求得集合，，再用列舉法列出集合的子集即可.
【詳解】
解不等式得，，
所以，
所以，，
集合的子集個數(shù)為4，列舉如下：，，，.
故答案為：4.
15．（2022·安徽省太和中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是_______.
【答案】或
【解析】
先求得集合A，由已知得，分和兩種情況建立不等式，可求得答案．
【詳解】
集合或，，∵，∴，
當，即時，，符合題意；
當，即時，或，得.綜上，或.
故答案為：或．
【點睛】
本題考查集合間的運算和集合間的包含關(guān)系.在解決有關(guān)A?B集合問題時，往往忽略空集的情況，一定先考慮是否成立，以防漏解.
16．（2022·湖南師大附中高一階段練習(xí)）已知，，且，則的值等于_____．
【答案】
【解析】
根據(jù)，可得，即可解得p的值，進而可求得集合，又根據(jù)，可得，即，即可解得q的值，即可得答案.
【詳解】
因為，
所以，則，解得，
所以，解得，
又因為，
所以，即，
所以，解得，
所以，
故答案為：
【點睛】
本題考查元素與集合的關(guān)系，重點考查分析理解，邏輯推理能力，屬基礎(chǔ)題.
四、解答題
17．（2022·浙江金華第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知全集為，集合，．
(1)求，；
(2)若，且，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）化簡集合，根據(jù)集合的并集、補集、交集運算可得結(jié)果；
（2）分類討論集合，根據(jù)子集關(guān)系列式可求出結(jié)果.
(1)
，
，
或，
.
(2)
因為，所以，
當，即時，，符合題意；
當，即時，，解得，
綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.
18．（2022·福建省德化第一中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)全集，集合
(1)求；
(2)若集合，且，求a的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)交集，并集和補集的定義即可得出答案；
（2）根據(jù)，可得，從而可得出答案.
(1)
解：，
或，
，
(2)
解：，
，，
所以，解得.
19．（2022·湖北·襄陽市第二十四中學(xué)高一階段練習(xí)）已知且，或.求：
(1)，；
(2).
【答案】(1)或;
(2)
【解析】
【分析】
（1）先求解集合A，再根據(jù)交集和并集的概念寫出結(jié)論即可；
（2）先分別求解集合A和集合B的補集，再根據(jù)交集的概念寫出答案.
(1)
根據(jù)可知，
又或
或;
.
(2)
根據(jù)題意，或;
所以.
20．（2022·北京·高一期末）已知集合，．
(1)求集合；
(2)當時，求；
(3)若，求的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題干條件以及補集的定義可得解；
（2）根據(jù)題干條件以及交集的定義可得解；
（3）根據(jù)（1）可得或，結(jié)合，分析即得解
(1)
由題意，
故或
(2)
當時，
故
(3)
由（1）或
若，則
解得
21．（2022·安徽宣城·高一期中）已知表示實數(shù)集，集合，集合．
(1)當時，求；
(2)若，求實數(shù)m的取值范圍；
(3)若，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）解不等式求出集合A，再求出集合A的補集，然后求出，
（2）由，可得，從而得，解不等式組可得答案，
（3）由，分和兩種情況求解即可
(1)
因為，所以或，
當時，，
所以
(2)
由知，所以，得，
即實數(shù)m的取值范圍為
(3)
由，得
①當，即時，，符合題意；
②當，即時，若要滿足題意，
則需或，得．
綜上，可知實數(shù)m的取值范圍為．
22．（2022·河北·石家莊市第四十一中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)集合，，．
（1）若，求a的取值范圍；
（2）若，求a的取值范圍．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】
（1）先確定集合或，計算方程的判別式，然后分類討論，當時，確定集合，此時不成立，舍去；當時，確定集合，利用補集的思想，求時取值范圍，再求補集，即可.
（2）根據(jù)，得到，再根據(jù)原命題與其逆否命題等價，則，即，解不等式組，即可.
【詳解】
（1）或，即或
當，即時，，此時不成立，舍去
當，即時，方程的兩根為，
若使得成立，則需或，
即或，解得.
則成立時，或
綜上所述：或.
（2）即
由（1）可知或，則，
當，即時，成立
當，即時，，若使得成立，
則需滿足，即，解得（舍去）
綜上所述.
【點睛】
本題考查利用集合之間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，注意分類討論以及補集思想的運用，屬于難度較大的一道題.
文字
語言
一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集
文字語言
對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作?UA
符號語言
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
圖形語言

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