知識點一：基本不等式
1.對公式及的理解.
（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；
（2）取等號“=” 的條件在形式上是相同的，都是“當且僅當時取等號”.
2.由公式和可以引申出常用的常用結(jié)論
①（同號）；
②（異號）；
③或
知識點詮釋： 可以變形為：，可以變形為：.
知識點二：基本不等式的證明
方法一：幾何面積法
如圖，在正方形中有四個全等的直角三角形.
設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為、，那么正方形的邊長為.這樣，4個直角三角形的面積的和是，正方形的面積為.由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：.當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即時，正方形縮為一個點，這時有.
得到結(jié)論：如果，那么（當且僅當時取等號“=”）
特別的，如果，，我們用、分別代替、，可得：
如果，，則，（當且僅當時取等號“=”）.
通常我們把上式寫作：如果，，，（當且僅當時取等號“=”）
方法二：代數(shù)法
∵，
當時，；
當時，.
所以，（當且僅當時取等號“=”）.
知識點詮釋：
特別的，如果，，我們用、分別代替、，可得：
如果，，則，（當且僅當時取等號“=”）.
通常我們把上式寫作：
如果，，，（當且僅當時取等號“=”）.
知識點三：基本不等式的幾何意義
如圖，是圓的直徑，點是上的一點，，，過點作交圓于點D，連接、.
易證，那么，即.
這個圓的半徑為，它大于或等于，即，其中當且僅當點與圓心重合，即時，等號成立.
知識點詮釋：
1.在數(shù)學中，我們稱為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù). 因此基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).
2.如果把看作是正數(shù)的等差中項，看作是正數(shù)的等比中項，那么基本不等式可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.
知識點四：用基本不等式求最大（?。┲?br>在用基本不等式求函數(shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三取等.
① 一正：函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；
② 二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；
③ 三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值.
知識點詮釋：
1．兩個不等式：與成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實數(shù)，后者要求a，b都是正數(shù).
2．兩個不等式：與都是帶有等號的不等式，對于“當且僅當……時，取“=”號這句話的含義要有正確的理解.
3．基本不等式的功能在于“和積互化”.若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮使用平均不等式；若對于所給的“和式”中的各項的“積”為定值，則“和”有最小值，對于給出的“積式”中的各項的“和”為定值，則“積”有最大值.
4．利用兩個數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必須具備三個條件：
①各項都是正數(shù)；
②和（或積）為定值；
③各項能取得相等的值.
5．基本不等式在解決實際問題中有廣泛的應(yīng)用，在應(yīng)用時一般按以下步驟進行：
①先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；
②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；
③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大或最小值；
④寫出正確答案.
【題型歸納目錄】
題型一：對基本不等式的理解及簡單應(yīng)用
題型二：利用基本不等式比較大小
題型三：利用基本不等式證明不等式
題型四：利用基本不等式求最值
題型五：利用基本不等式求解恒成立問題
題型六：基本不等式在實際問題中的應(yīng)用
【典型例題】
題型一：對基本不等式的理解及簡單應(yīng)用
1．（2022·新疆喀什·高一期末）已知，則下列說法正確的是（ ）
A．有最大值0B．有最小值為0
C．有最大值為－4D．有最小值為－4
2．（2022·安徽省蚌埠第三中學高一開學考試）已知x>3，則對于，下列說法正確的是（ ）
A．y有最大值7B．y有最小值7C．y有最小值4D．y有最大值4
（多選題）3．（2022·江蘇省天一中學高一期末）已知、、、均為非零實數(shù)，則下列一定正確的有（ ）
A．B．
C．若，則D．若，，則
（多選題）4．（2022·安徽蚌埠·高一期末）已知，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．有最小值1B．有最小值2
C．有最小值4D．有最小值4
（多選題）5．（2022·湖北武漢·高一期末）下列說法正確的是（ ）
A．的最小值是
B．的最小值是
C．的最小值是
D．的最小值是
6．（2022·陜西·長安一中高一期中）已知，且，那么下列不等式：①；②；③；④中，正確的序號是________．
題型二：利用基本不等式比較大小
1．（2022·陜西安康·高一期中）若，，，則下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心高一期末）設(shè)，其中、是正實數(shù)，且，，則與的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·湖南·雅禮中學高一期末）近來豬肉價格起伏較大，假設(shè)第一周、第二周的豬肉價格分別為a元/斤、b元/斤，甲和乙購買豬肉的方式不同，甲每周購買20元錢的豬肉，乙每周購買6斤豬肉，甲、乙兩次平均單價為分別記為，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．，的大小無法確定
4．（2022·湖南·高一課時練習）若實數(shù)，滿足，且.則下列四個數(shù)中最大的是（ ）
A．B．C．D．
（多選題）5．（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學高一階段練習）設(shè)，則下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
（多選題）6．（2022·湖南·婁底市第四中學高一階段練習）已知，，給出下列四個不等式，其中正確的不等式有（ ）
A．B．
C．D．
（多選題）7．（2022·江西·高一期末）已知，，則下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
（多選題）8．（2022·廣東·高一期末）下列命題正確的有（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
（多選題）9．（2022·河北唐山·高一期末）已知兩個不為零的實數(shù)x，y滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
（多選題）10．（2022·福建省龍巖第一中學高一階段練習）十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號使用，后來英國數(shù)學家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐漸被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠.若小融從家到學校往返的速度分別為和 ，其全程的平均速度為，則下列選項正確的是（ ）
A．B．
C．D．
題型三：利用基本不等式證明不等式
1．（2022·湖南·高一課時練習）下列結(jié)論是否成立？若成立，試說明理由；若不成立，試舉出反例．
(1)若，則；
(2)若，則；
(3)若，則．
2．（2022·湖南·高一課時練習）證明下列不等式，并討論等號成立的條件：
(1)若，則；
(2)若，則；
(3)若，則；
(4)若，則；
(5)對任意實數(shù)和，．
3．（2022·湖南·高一課時練習）設(shè)，為正實數(shù)，求證：．
4．（2022·湖南·高一課時練習）已知a，b，c為任意實數(shù)，求證：．
5．（2022·湖南·衡陽市田家炳實驗中學高一階段練習）（1）已知a，b，c，d均為正數(shù).求證：
（2）已知.求證：y
6．（2022·湖北黃岡·高一期中）證明：
(1)已知a>b>0，c8.
10．（2022·全國·高一課時練習）已知，求證：．
題型四：利用基本不等式求最值
1．（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學高一階段練習）已知，則的最小值是( )
A．5B．4C．8D．6
2．（2022·江西·高一期中）已知，，且，則的最小值是（ ）
A．B．2C．9D．4
3．（2022·湖北·高一階段練習）已知，且，則的最小值是（ ）
A．6B．8C．14D．16
4．（2022·湖北·鄂州市鄂城區(qū)教學研究室高一期末）若，，且，則的最小值為（ ）．
A．B．C．3D．
（多選題）5．（2022·貴州·赫章縣教育研究室高一期末）若正實數(shù)a，b滿足，則下列說法錯誤的是（ ）
A．有最小值B．有最大值
C．有最小值4D．有最小值
（多選題）6．（2022·湖南衡陽·高一期末）已知正數(shù)，滿足，則（ ）
A．的最大值為B．的最小值為
C．的最小值為8D．的最小值為2
7．（2022·貴州·遵義市南白中學高一期末）已知正數(shù)x、y滿足x+=4，則xy的最大值為_______.
8．（2022·北京·高一期末）已知實數(shù)滿足，則的最大值為___________.
9．（2022·湖北·石首市第一中學高一階段練習）若，且，則的最小值為_________．
10．（2022·江西南昌·高一期末）當時，函數(shù)的最小值為___________．
11．（2022·江蘇省響水中學高一開學考試）若正數(shù)a，b滿足，則的最小值為_______．
12．（2022·全國·池州市第一中學高一開學考試）若實數(shù)，，且，則的最小值為______．
13．（2022·安徽蕪湖·高一期末）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為_________
14．（2022·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第六中學高一開學考試）若實數(shù)x、y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是________.
15．（2022·湖南·高一課時練習）求函數(shù)的最大值．
題型五：利用基本不等式求解恒成立問題
1．（2022·河南·虞城縣高級中學高一期末）若對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·黑龍江·佳木斯一中高一開學考試）已知，，若不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（ ）
A．10B．9C．8D．7
3．（2022·浙江·杭州市富陽區(qū)江南中學高一開學考試）已知，若不等式恒成立，則的最大值為（ ）
A．13B．14C．15D．16
4．（2022·江蘇·高一專題練習）已知，，若不等式恒成立，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·江蘇·高一專題練習）若不等式對滿足條件的恒成立，則實數(shù)k的最大值為（ ）
A．2B．4
C．6D．8
（多選題）6．（2022·浙江嘉興·高一期末）已知正實數(shù)x，y滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)m的值可以為（ ）
A．B．C．1D．3
7．（2022·湖南·長郡中學高一期末）設(shè)，若恒成立，則k的最大值為___________.
8．（2022·全國·高一）已知為正實數(shù)且，若不等式對任意正實數(shù)恒成立，則的取值范圍是_________．
9．（2022·江蘇·高一專題練習）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是______．
題型六：基本不等式在實際問題中的應(yīng)用
1．（2022·江蘇南通·高一期末）為宣傳2022年北京冬奧會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計三個等高的宣傳欄（欄面分別為一個等腰三角形和兩個全等的直角梯形），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為.設(shè)直角梯形的高為.
(1)當時，求海報紙的面積；
(2)為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最?。?br>2．（2022·河北保定·高一期末）如圖，欲在山林一側(cè)建矩形苗圃，苗圃左側(cè)為林地，三面通道各寬，苗圃與通道之間由柵欄隔開．
(1)若苗圃面積，求柵欄總長的最小值；
(2)若苗圃帶通道占地總面積為，求苗圃面積的最大值．
3．（2022·貴州銅仁·高一期末）2020 年初至今，新冠肺炎疫情襲擊全球，對人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴重影響. 在黨和政府強有力的抗疫領(lǐng)導下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復工復產(chǎn)，減輕經(jīng)濟下降對企業(yè)和民眾帶來的損失. 為降低疫情影響，某廠家擬在2022年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量) x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足 x= 4?. 已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本為 8萬元，生產(chǎn)成本為16萬元 / 萬件，廠家將產(chǎn)品的銷售價格定為萬元 / 萬件 (產(chǎn)品年平均成本)的1.5倍.
(1)將2022年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；
(2)該廠家2022年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？
4．（2022·遼寧朝陽·高一開學考試）如圖，設(shè)矩形的周長為8，將△沿AC向△折疊，AB折過去后交DC于點P，設(shè)，求面積的最大值及相應(yīng)x的值.
5．（2022·湖南·高一課時練習）如圖，動物園要以墻體為背面，用鋼筋網(wǎng)圍成四間具有相同面積的矩形虎籠．
(1)現(xiàn)有可圍長鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠的面積最大？
(2)若每間虎籠的面積為，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最?。?br>6．（2022·吉林·長春外國語學校高一期末）某村計劃建造一個室內(nèi)面積為的矩形蔬菜溫室（如圖）.在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留寬的空地.設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長為，后側(cè)邊長為，蔬菜的種植面積為.
(1)用、表示；
(2)求蔬菜種植面積的最大值.
7．（2022·上海金山·高一期末）某科技公司研究表明：該公司的市場占有率與每年研發(fā)經(jīng)費（單位：億元）滿足關(guān)系式：，其中為實常數(shù).
(1)若時，該公司市場占有率不低于，則每年研發(fā)經(jīng)費至少需要多少億元？
(2)若時，求該公司市場占有率的最大值.
8．（2022·湖南·長郡中學高一期末）設(shè)矩形ABCD（AB>AD）的周長為24，把△ABC沿AC向△ADC折疊，AB折過去后交DC于點P，設(shè)AB=x，求△ADP的最大面積及相應(yīng)x的值.
9．（2022·新疆·烏市一中高一期中）某項研究表明，在考慮行車安全的情況下，某路段車流量（單位時間內(nèi)測量點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)與車流速度（假設(shè)車輛以相同速度行駛，單位：米/秒）平均車長（單位：米）的值有關(guān)，其公式為
（1）如果不限定車型，，則最大車流量為_______輛/小時；
（2）如果限定車型，，則最大車流量比（1）中的最大車流量增加______輛/小時.

相關(guān)試卷

專題16 基本不等式（2份打包，原卷版+教師版）-2024年新高一（初升高）數(shù)學暑期銜接講義：

這是一份專題16 基本不等式（2份打包，原卷版+教師版）-2024年新高一（初升高）數(shù)學暑期銜接講義，文件包含專題16基本不等式教師版-2024年新高一初升高數(shù)學暑期銜接講義doc、專題16基本不等式教師版-2024年新高一初升高數(shù)學暑期銜接講義pdf、專題16基本不等式學生版-2024年新高一初升高數(shù)學暑期銜接講義doc、專題16基本不等式學生版-2024年新高一初升高數(shù)學暑期銜接講義pdf等4份試卷配套教學資源，其中試卷共86頁， 歡迎下載使用。

2025年高考數(shù)學一輪復習專題2.2 基本不等式-(原卷版+解析版)：

這是一份2025年高考數(shù)學一輪復習專題2.2 基本不等式-(原卷版+解析版)，文件包含2025年高考數(shù)學一輪復習專題22基本不等式原卷版docx、2025年高考數(shù)學一輪復習專題22基本不等式解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共49頁， 歡迎下載使用。

專題16 極值點偏移問題（原卷及解析版）：

這是一份專題16 極值點偏移問題（原卷及解析版），文件包含專題16極值點偏移問題原卷版docx、專題16極值點偏移問題解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共19頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

人教A版 (2019)必修 第一冊2.2 基本不等式一課一練

人教A版 (2019)必修 第一冊2.2 基本不等式一課一練
必修 第一冊2.2 基本不等式同步達標檢測題

必修 第一冊2.2 基本不等式同步達標檢測題
必修 第一冊2.2 基本不等式鞏固練習

必修 第一冊2.2 基本不等式鞏固練習
專題16 數(shù)列1多選題(原卷版)+解析版

專題16 數(shù)列1多選題(原卷版)+解析版
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
暑假專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部