知識點(diǎn)1：集合的概念
(1)含義：一般地，我們把所研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)．
(2)集合相等：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，即這兩個(gè)集合中的元素完全相同，就稱這兩個(gè)集合相等．
【知識點(diǎn)撥】集合中的元素必須滿足如下性質(zhì)：
(1)確定性：指的是作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的，即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬于或不屬于這個(gè)集合是確定的，要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一．
(2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說，對于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不同的．
(3)無序性：集合中的元素是沒有順序的，比如集合{1,2,3}與{2,3,1}表示同一集合．
知識點(diǎn)2：元素與集合的關(guān)系
【知識點(diǎn)撥】符號“∈”和“?”只能用于元素與集合之間，并且這兩個(gè)符號的左邊是元素，右邊是集合，具有方向性，左右兩邊不能互換．
知識點(diǎn)3：集合的表示法
(1)自然語言表示法：用文字語言形式來表示集合的方法．例如：小于3的實(shí)數(shù)組成的集合．
(2)字母表示法：用一個(gè)大寫拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小寫拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用數(shù)集的表示：
(3)列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{ }”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
(4)描述法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的
一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.這種用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．
【題型歸納目錄】
題型1：集合與元素的含義
題型2：元素與集合的關(guān)系
題型3：集合中元素特性的簡單應(yīng)用
題型4：列舉法表示集合
題型5：描述法表示集合
題型6：集合表示的綜合問題
【典型例題】
題型1：集合與元素的含義
1．（2022湖南·懷化五中高一期中）下面給出的四類對象中，構(gòu)成集合的是（ ）
A．某班視力較好的同學(xué)B．長壽的人C．的近似值D．倒數(shù)等于它本身的數(shù)
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)集合的定義分析判斷即可.
【詳解】
對于A，視力較好不是一個(gè)明確的定義，故不能構(gòu)成集合；
對于B，長壽也不是一個(gè)明確的定義，故不能構(gòu)成集合；
對于C， 的近似值沒有明確近似到小數(shù)點(diǎn)后面幾位，
不是明確的定義，故不能構(gòu)成集合；
對于D，倒數(shù)等于自身的數(shù)很明確，只有1和-1，故可以構(gòu)成集合；
故選：D.
2．（2022北大附中云南實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一階段練習(xí)）下列各對象可以組成集合的是（ ）
A．與非常接近的全體實(shí)數(shù)
B．北大附中云南實(shí)驗(yàn)學(xué)校學(xué)年度第二學(xué)期全體高一學(xué)生
C．高一年級視力比較好的同學(xué)
D．高一年級很有才華的老師
【答案】B
【解析】
【分析】
由集合中元素的性質(zhì)可直接得到結(jié)果.
【詳解】
對于ACD，集合中的元素具有確定性，但ACD中的元素不確定，故不能構(gòu)成集合，ACD錯(cuò)誤；
B中的元素滿足集合中元素的特點(diǎn)，可以構(gòu)成集合，B正確.
故選：B.
3．（2022·全國·高一）給出下列表述：①聯(lián)合國常任理事國；②充分接近的實(shí)數(shù)的全體；③方程的實(shí)數(shù)根④全國著名的高等院校.以上能構(gòu)成集合的是（ ）
A．①③B．①②C．①②③D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)集合中的元素需要滿足：確定性、互異性、無序性進(jìn)行判斷.
【詳解】
解：
① 聯(lián)合國的常任理事國有：中國、法國、美國、俄羅斯、英國.所以可以構(gòu)成集合.
② 中的元素是不確定的，不滿足集合確定性的條件，不能構(gòu)成集合.
③ 方程的實(shí)數(shù)根是確定，所以能構(gòu)成集合.
④ 全國著名的高等院校.不滿足集合確定性的條件，不構(gòu)成集合.
故選：A
4．（2022甘肅蘭州·高一期中）下列說法正確的是（ ）
A．某個(gè)村子里的高個(gè)子組成一個(gè)集合
B．所有小正數(shù)組成一個(gè)集合
C．集合和表示同一個(gè)集合
D．這六個(gè)數(shù)能組成一個(gè)集合
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)集合的性質(zhì)，結(jié)合各選項(xiàng)的描述判斷正誤.
【詳解】
A：某個(gè)村子里的高個(gè)子，不符合集合中元素的確定性，不能構(gòu)成集合，錯(cuò)誤；
B：所有小正數(shù)，不符合集合中元素的確定性，不能構(gòu)成集合，錯(cuò)誤；
C：和中的元素相同，它們是同一個(gè)集合，正確；
D：中含有相同的數(shù)，不符合集合元素的互異性，錯(cuò)誤.
故選：C
5．（2022江西省崇義中學(xué)高一期中）下面能構(gòu)成集合的是（ ）
A．中國的小河流B．大于5小于11的偶數(shù)
C．高一年級的優(yōu)秀學(xué)生D．某班級跑得快的學(xué)生
【答案】B
【解析】
【分析】
結(jié)合集合中元素的特征，對選項(xiàng)逐個(gè)分析可選出答案.
【詳解】
由題意，對于A，我國的小河流不能構(gòu)成集合，不符合集合中元素的確定性；
對于B，大于5小于11的偶數(shù)為，可以構(gòu)成集合；
對于C，高一年級的優(yōu)秀學(xué)生不能構(gòu)成集合，不符合集合中元素的確定性；
對于D，某班級跑得快的學(xué)生不能構(gòu)成集合，不符合集合中元素的確定性.
故選：B.
6．（2022全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列對象能構(gòu)成集合的是（ ）
A．高一年級全體較胖的同學(xué)
B．接近于0的數(shù)
C．全體很大的自然數(shù)
D．平面內(nèi)到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)集合中元素的確定性，即可判斷對象能否構(gòu)成集合.
【詳解】
解：A中的“較胖”、B中的“接近于”和C中的“很大”都沒有一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，
不滿足元素的確定性，所以A，B，C中的對象均不能構(gòu)成集合，
顯然D中的對象滿足元素的確定性，則能構(gòu)成集合．
故選：D．
7．（2022全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列各個(gè)全體中，能表示為集合的是（ ）
A．某屆某校較優(yōu)秀的畢業(yè)生；B．很接近的所有實(shí)數(shù)；
C．某班身高較高的男生；D．?dāng)?shù)軸上所有的有理數(shù)點(diǎn)．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)集合的概念依次判斷即可得答案.
【詳解】
解：對于A選項(xiàng)，較優(yōu)秀的畢業(yè)生不確定，故不正確；
對于B選項(xiàng)，很接近的數(shù)沒有度量標(biāo)準(zhǔn)，故不正確；
對于C選項(xiàng)，身高較高沒有度量標(biāo)準(zhǔn)，故不正確；
對于D選項(xiàng)，滿足集合的概念，故正確.
故選：D
題型2：元素與集合的關(guān)系
1．（2022湖南·衡陽市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①，②， ③， ④
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
不是整數(shù)，是實(shí)數(shù)，不是正整數(shù)，是無理數(shù)
【詳解】
①錯(cuò)誤②正確③錯(cuò)誤④正確
故選：B
2．（2022浙江·金華市曙光學(xué)校高一階段練習(xí)）給出下列關(guān)系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)數(shù)集的定義，即可得答案；
【詳解】
是實(shí)數(shù)，①正確；是無理數(shù)，②錯(cuò)誤；－3是整數(shù)，③錯(cuò)誤；－是無理數(shù)，④正確.
所以正確的個(gè)數(shù)為2.
故選：B.
3．（2022·四川自貢·高一期末）若，則的值為（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分別令和，根據(jù)集合中元素的互異性可確定結(jié)果.
【詳解】
若，則，不符合集合元素的互異性；
若，則或（舍），此時(shí)，符合題意；
綜上所述：.
故選：A.
4．（2022黑龍江·勃利縣高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合 ，且 ，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．3B．2C．0或3D．0或2或3
【答案】A
【解析】
【分析】
依題意可得或，求出方程的根，再代入集合中檢驗(yàn)即可；
【詳解】
解：因?yàn)?，且，所以或，解得或或，?dāng)時(shí)，即集合不滿足集合元素的互異性，故，當(dāng)時(shí)集合不滿足集合元素的互異性，故，當(dāng)時(shí)滿足條件；
故選：A
5．（2022江蘇·常州市第一中學(xué)高一期中）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）．
A．B．C．或D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)元素與集合之間的關(guān)系，及集合元素的互異性即可求出的值.
【詳解】
，且，或
⑴、當(dāng)即或，
①、當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，不滿足集合元素的互異性，故舍去；
②、當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，符合題意；
⑵、當(dāng)即時(shí)，此時(shí)，不滿足集合元素的互異性，故舍去；
綜上所述：實(shí)數(shù)的值為1.
故選：B
6．（2022山西·大同市平城中學(xué)校高一階段練習(xí)）已知集合，若A中只有一個(gè)元素，則a=（ ）
A．0或B．C．D．0或
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)A中只有一個(gè)元素，分和兩種情況討論即可得出答案.
【詳解】
解：當(dāng)時(shí)，,符合題意，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?A中只有一個(gè)元素，則方程只有一個(gè)解，
所以，所以.
綜上所述或.
故選：A.
題型3：集合中元素特性的簡單應(yīng)用
1．（2022全國·高一課時(shí)練習(xí)）若集合，則下列說法中正確的是（ ）
A．a(chǎn)可取全體實(shí)數(shù)
B．a(chǎn)可取除去0以外的所有實(shí)數(shù)
C．a(chǎn)可取除去3以外的所有實(shí)數(shù)
D．a(chǎn)可取除去0和3以外的所有實(shí)數(shù)
【答案】D
【解析】
【分析】
由集合中元素的互異性可知，解之即可求出結(jié)果.
【詳解】
由集合中元素的互異性可知，即，故，，因此a可取除去0和3以外的所有實(shí)數(shù)，
故選：D.
2．（2022北京·海淀實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則a2020+b2020的值為（ ）
A．0B．﹣1C．1D．1或﹣1
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)即可求出a，b的值，然后即可求出a2020+b2020的值.
【詳解】
∵，根據(jù)集合中元素的性質(zhì)可得：
∴，解得a=﹣1，b=0，
∴a2020+b2020=（﹣1）2020+0=1.
故選：C.
3．（2022湖北·武漢市育才高級中學(xué)高一階段練習(xí)）集合中a的取值范圍是（ ）
A．或B．
C．且D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由集合中元素的互異性可知，即可選出答案.
【詳解】
由集合中元素的互異性，需要滿足，解得且，
故選：C.
4．（2022河北·石家莊二十三中高一階段練習(xí)）若，則的值為（ ）
A．0B．1C．D．1或
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)集合相等的概念，以及集合元素的互異性，求得，代入即可求解.
【詳解】
因?yàn)?，可得，即?br>若時(shí)，此時(shí)不滿足集合中元素的互異性，舍去；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
所以，所以.
故選：C.
5．（2022全國·高一課時(shí)練習(xí)）若方程和方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為M，則M中的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
求出兩個(gè)方程的根，利用集合元素的互異性即得解.
【詳解】
解：方程和方程的實(shí)數(shù)根分別是2，3和2，-1，
又集合中的元素具有互異性，所以集合M中的元素個(gè)數(shù)為3個(gè).
故選：C
6．（2022全國·高一課時(shí)練習(xí)）由實(shí)數(shù)，，，，所組成的集合中最多含有（ ）
A．2個(gè)元素B．3個(gè)元素C．4個(gè)元素D．5個(gè)元素
【答案】A
【解析】
【分析】
對各個(gè)對象進(jìn)行化簡并判斷形式是否相同，從而判斷集合中所含元素的個(gè)數(shù).
【詳解】
，，而或，所以共有和兩種形式.則當(dāng)時(shí)，集合中有1個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，集合中有2個(gè)元素，，所以組成的集合中最多含有2個(gè)元素．
故選：A
7．（2022四川甘孜·高一期末）若集合中的元素是△ABC的三邊長，則△ABC一定不是（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)集合元素的互異性即可判斷.
【詳解】
由題可知，集合中的元素是的三邊長，
則，所以一定不是等腰三角形．
故選：D．
題型4：列舉法表示集合
1．（2019·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期中）方程組的解集為_____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用加減消元法求得方程組的解集.
【詳解】
依題意，
兩式相加得，
所以方程組的解集為.
故答案為：
2．（2022·廣西玉林·高一期末）集合，用列舉法可以表示為_________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根據(jù)集合元素屬性特征進(jìn)行求解即可.
【詳解】
因?yàn)椋?，可得，因?yàn)?，所以，集合?br>故答案為：
3．（2022全國·高一課時(shí)練習(xí)）若、、且、，集合，則用列舉法可表示為______.
【答案】
【解析】
【分析】
分別討論正負(fù)即可求出.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以用列舉法可表示為.
故答案為：.
4．（2022·全國·高一）集合，，，則的所有元素之和等于__________.
【答案】18
【解析】
【分析】
根據(jù)元素和集合的關(guān)系，利用列舉法求出集合，從而可求出的所有元素之和.
【詳解】
解：由題可知，，，，
當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；
當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；
所以，
所以的所有元素之和為：.
故答案為：18.
5．（2022全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知均為非零實(shí)數(shù)，則代數(shù)式的值所組成的集合的元素個(gè)數(shù)是______．
【答案】2
【解析】
【分析】
分析題意知代數(shù)式的值與的符號有關(guān)，按其符號的不同分3種情況討論，分別求出代數(shù)式的值，即可得解.
【詳解】
根據(jù)題意分2種情況討論：
當(dāng)全部為負(fù)數(shù)時(shí)，為正數(shù)，則；
當(dāng)全部為正數(shù)時(shí)，為正數(shù)，則；
當(dāng)一正一負(fù)時(shí)，為負(fù)數(shù)，則；
綜上可知，的值為或3，即代數(shù)式的值所組成的集合的元素個(gè)數(shù)是2
故答案為：2
6．（2022廣東·中山中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合M=，N=，定義集合A=，則A中元素的個(gè)數(shù)是________________
【答案】8
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，列舉法表示集合A，即得解
【詳解】
由題意，集合M=，N=
故集合A=，有8個(gè)元素
故答案為：8
7．（2022河南商丘·高一階段練習(xí)）已知集合，，則集合B中的元素個(gè)數(shù)為______．
【答案】13
【解析】
【分析】
由題列舉出集合B，即得.
【詳解】
將x，y及的值列表如下，去掉重復(fù)的值，可知集合中的元素個(gè)數(shù)為13．
故答案為：13
8．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）用列舉法表示下列集合：
(1)組成中國國旗的顏色名稱的集合；
(2)方程組的解集．
【答案】(1){紅色，黃色}；
(2).
【解析】
【分析】
利用集合的列舉法的概念即得.
(1)
組成中國國旗的顏色名稱的集合用列舉法表示為{紅色，黃色}；
(2)
由，解得，
故方程組的解集為.
9．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）用列舉法表示下列集合：
(1){x|x是14的正約數(shù)}；
(2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}；
(3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}；
(4){x|x＝(－1)n, n∈N}；
(5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}.
【答案】(1){1, 2, 7, 14}
(2){(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
(3)
(4){－1, 1}
(5){(0, 8), (2, 5), (4, 2)}
【解析】
【分析】
根據(jù)集合的列舉法的概念即得.
(1)
{x|x是14的正約數(shù)}={1, 2, 7, 14}.
(2)
{(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
(3)
{(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}=.
(4)
{x|x＝(－1)n, n∈N}={－1, 1}.
(5)
{(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}={(0, 8), (2, 5), (4, 2)}.
題型5：描述法表示集合
1．（2022全國·高一課時(shí)練習(xí)）用描述法表示被4除余3的自然數(shù)全體組成的集合______．
【答案】
【解析】
【分析】
用數(shù)學(xué)式子表示出自然語言即可．
【詳解】
被4除余3的自然數(shù)即為4的整數(shù)倍加3，
因此．
故答案為：．
2．（2022上海市通河中學(xué)高一階段練習(xí)）用描述法表示下圖中的陰影部分可以是________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先注意是點(diǎn)集，利用與的范圍來限定.
【詳解】
可以用來表示圖中陰影部分.
故答案為：
3．（2022全國·高一課時(shí)練習(xí)）用描述法表示下列集合．
（1）小于5的正有理數(shù)組成的集合：______；
（2）平面直角坐標(biāo)系中第一、三象限角平分線上的所有點(diǎn)組成的集合：______；
（3）偶數(shù)集：______；
（4）拋物線上的所有點(diǎn)組成的集合：______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)各項(xiàng)集合的自然語言描述，直接應(yīng)用描述法寫出集合即可.
【詳解】
（1）由描述可得：集合為.
（2）第一、三象限角平分線上的所有點(diǎn)都在上，故集合為.
（3）由偶數(shù)可表示為，故集合為.
（4）由描述知：集合為.
故答案為：，，，.
4．（2022全國·高一單元測試）所有正奇數(shù)組成的集合是______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接根據(jù)正奇數(shù)的定義得到集合.
【詳解】
所有正奇數(shù)組成的集合是.
故答案為：.
5．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）用描述法表示下列集合：
(1)所有被3整除的整數(shù)組成的集合；
(2)不等式的解集；
(3)方程的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；
(4)拋物線上所有點(diǎn)組成的集合；
(5)集合.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)且
【解析】
【分析】
根據(jù)題設(shè)中的集合和集合的表示方法，逐項(xiàng)表示，即可求解.
(1)
解：所有被3整除的整數(shù)組成的集合，用描述法可表示為：
(2)
解：不等式的解集，用描述法可表示為：.
(3)
解：方程的所有實(shí)數(shù)解組成的集合，
用描述法可表示為：.
(4)
解：拋物線上所有點(diǎn)組成的集合，
用描述法可表示為：.
(5)
解：集合，用描述法可表示為：且.
6．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）用描述法表示下列集合：
(1)奇數(shù)組成的集合；
(2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的點(diǎn)組成的集合．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
利用集合的描述法即得.
(1)
奇數(shù)組成的集合為；
(2)
平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的點(diǎn)組成的集合為.
題型6：集合表示的綜合問題
1．（2022·北京西城·高一期末）設(shè)A是實(shí)數(shù)集的非空子集，稱集合且為集合A的生成集．
(1)當(dāng)時(shí)，寫出集合A的生成集B；
(2)若A是由5個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值；
(3)判斷是否存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集，并說明理由．
【答案】(1)
(2)7
(3)不存在，理由見解析
【解析】
【分析】
（1）利用集合的生成集定義直接求解.
（2）設(shè)，且，利用生成集的定義即可求解；
（3）不存在，理由反證法說明.
(1)
，
(2)
設(shè)，不妨設(shè)，
因?yàn)?，所以中元素個(gè)數(shù)大于等于7個(gè)，
又，，此時(shí)中元素個(gè)數(shù)大于等于7個(gè)，
所以生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值為7.
(3)
不存在，理由如下：
假設(shè)存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，使其生成集，
不妨設(shè)，則集合A的生成集
則必有，其4個(gè)正實(shí)數(shù)的乘積；
也有，其4個(gè)正實(shí)數(shù)的乘積，矛盾；
所以假設(shè)不成立，故不存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合的新定義，解題的關(guān)鍵是理解集合A的生成集的定義，考查學(xué)生的分析解題能力，屬于較難題.
2．（2022全國·高一課時(shí)練習(xí)）（1）是否存在實(shí)數(shù)，，使得等式成立？若存在，寫出所有實(shí)數(shù)對的集合；若不存在，請說明理由；
（2）計(jì)算：．
【答案】（1）存在，；（2）．
【解析】
【分析】
（1）化簡可得，且，整理即得解；
（2）在（1）中令，，取，將5個(gè)式子疊加即得解
【詳解】
（1）由題意，
，且，即
故所有滿足條件的實(shí)數(shù)對的集合為．
（2）在（1）中令，，
有
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
將5個(gè)式子左右疊加可得：
3．（2022全國·高一專題練習(xí)）設(shè)集合.
（1）將集合中的元素進(jìn)行從小到大的排列，求最小的六個(gè)元素組成的子集；
（2）對任意的，判定和是否是集合中的元素？并證明你的結(jié)論.
【答案】（1）；（2）存在或存在，一定是集合中的元素，證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）從0依次令為自然數(shù)，計(jì)算可得集合B；
（2）舉例，但，.設(shè)，，計(jì)算，可得結(jié)論.
【詳解】
解：（1）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)，或時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)，或時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
所以最小的六個(gè)元素組成的子集；
（2）存在或存在，一定是集合中的元素.
如：，但，.
一定是集合中的元素.
設(shè)，，
則，且，
所以.
4．（2022全國·高一專題練習(xí)）數(shù)集M滿足條件：若，則.
（1）若，求集合M中一定存在的元素；
（2）集合M內(nèi)的元素能否只有一個(gè)？請說明理由；
（3）請寫出集合M中的元素個(gè)數(shù)的所有可能值，并說明理由.
【答案】（1）；（2）不能，理由見解析；（3）見解析.
【解析】
【分析】
（1）由，令，代入已知關(guān)系式，循環(huán)代入直到再次出現(xiàn)為止，即可得到集合M中的元素.
（2）假設(shè)M中只有一個(gè)元素a，則，方程無解，即不可能只有一個(gè).
（3）由（1）的方法可得集合M中可能出現(xiàn)4個(gè)元素分別為：，然后分別檢驗(yàn)四個(gè)元素是否相等，從而得到元素個(gè)數(shù)的所有可能值.
【詳解】
（1）由，令，則由題意關(guān)系式可得：，，，而，所以集合M中一定存在的元素有：.
（2）不，理由如下：
假設(shè)M中只有一個(gè)元素a，則由，化簡得，無解，所以M中不可能只有一個(gè)元素.
（3）M中的元素個(gè)數(shù)為，理由如下：
由已知條件，則，以此類推可得集合M中可能出現(xiàn)4個(gè)元素分別為：，由(2)得，
若，化簡得，無解，故；
若，化簡得，無解，故；
若，化簡得，無解，故；
若，化簡得，無解，故；
若，化簡得，無解，故；
綜上可得：，所以集合M一定存在的元素有，當(dāng)取不同的值時(shí)，集合M中將出現(xiàn)不同組別的4個(gè)元素，所以可得出集合M中元素的個(gè)數(shù)為.
【點(diǎn)睛】
本題考查集合中元素與集合的關(guān)系，考查集合中元素個(gè)數(shù)的問題，考查分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2022·江蘇·高一）下列四個(gè)命題中，其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）
①與0非常接近的全體實(shí)數(shù)能構(gòu)成集合；
②表示一個(gè)集合；
③空集是任何一個(gè)集合的真子集；
④任何一個(gè)非空集合至少有兩個(gè)子集．
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)集合定義，空集性質(zhì)以及非空集合子集個(gè)數(shù)為即可得結(jié)果.
【詳解】
①與0非常接近的全體實(shí)數(shù)不確定，所以不能構(gòu)成集合，錯(cuò)誤；
②，正確；
③空集是任何非空集合的真子集，錯(cuò)誤；
④對于非空集合，至少有一個(gè)元素，所以子集的個(gè)數(shù)為，正確.
故選：C
2．（2022全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于集合的說法正確的有（ ）
①很小的整數(shù)可以構(gòu)成集合；
②集合與集合是同一個(gè)集合；
③1，2，，0.5，這些數(shù)組成的集合有5個(gè)元素．
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)集合的定義判斷．
【詳解】
很小的整數(shù)可以構(gòu)成集合是錯(cuò)誤的，不滿足元素的確定性，故①錯(cuò)誤．
集合表示y的取值范圍，而表示的集合為函數(shù)圖象上的點(diǎn)，所以不是同一集合，故②錯(cuò)誤．
1，2，，0.5，這些數(shù)組成的集合有3個(gè)元素，而不是5個(gè)元素，故③錯(cuò)誤．
故選：A．
3．（2022全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，若集合，則的（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用集合相等，結(jié)合元素的互異性求解.
【詳解】
易知，∵，
∴，即，
∴.
∴，解得或.
當(dāng)時(shí)，集合為，不符合集合中元素的互異性，故舍去；
當(dāng)時(shí)，集合為}.
∴，.
∴.
故選：C
4．（2022·四川廣安·高一期末）下列關(guān)系中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系求解.
【詳解】
根據(jù)元素與集合的關(guān)系可知，，，不正確，
故選：C
5．（2022浙江·高一期中）若，則的可能值為（ ）
A．0，2B．0，1
C．1，2D．0，1，2
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)，分，，討論求解.
【詳解】
因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，集合為，不成立；
當(dāng)時(shí)，集合為，成立；
當(dāng)時(shí)，則（舍去）或，當(dāng)時(shí)，集合為，成立；
∴或.
故選：A
6．（2022福建·三明一中高一階段練習(xí)）如果集合中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)m的所有可能值的和為（ ）
A．4B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
分m=0和m≠0兩種情況討論，可得出結(jié)論．
【詳解】
當(dāng)m=0時(shí)，顯然滿足集合有且只有一個(gè)元素，
當(dāng)m≠0時(shí)，由集合有且只有一個(gè)元素，
可得判別式，
解得，
∴實(shí)數(shù)m的值為0或2，即實(shí)數(shù)m的所有可能值的和為2.
故選：B．
7．（2022全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，對關(guān)于的方程組的解的說法正確的是（ ）
A．對任意實(shí)數(shù)，該方程組的解集都是單元素集；
B．至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得該方程組的解集為空集；
C．至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得該方程組的解集為無限集；
D．對任意實(shí)數(shù)，該方程組的解集都不是空集.
【答案】B
【解析】
【分析】
方程組的解可以看作是兩條直線是否相交及交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題即可求解.
【詳解】
對關(guān)于的方程組的解,
即為直線與直線公共點(diǎn)的坐標(biāo)，
當(dāng)時(shí)，兩直線無公共點(diǎn)，即方程組的解集為空集，故AD不正確；
當(dāng)時(shí)，兩直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即方程組有且只有一個(gè)解，故B正確，C不正確.
故選：B
8．（2022湖北黃石·高一階段練習(xí)）已知集合，且，則（ ）
A．B．
C．D．不屬于中的任意一個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】
設(shè)出的值，相加再判斷得解.
【詳解】
.
故選：B
二、多選題
9．（2022安徽·亳州二中高一期中）下列說法正確的是（ ）
A．我校愛好足球的同學(xué)組成一個(gè)集合
B．是不大于3的正整數(shù)組成的集合
C．集合和表示同一集合
D．?dāng)?shù)1，0，5，，，，組成的集合有7個(gè)元素
【答案】BC
【解析】
【分析】
根據(jù)集合的元素的特征逐一判斷即可.
【詳解】
我校愛好足球的同學(xué)不能組成一個(gè)集合；
是不大于3的正整數(shù)組成的集合；
集合和表示同一集合；
由于，所以數(shù)1，0，5，，，，組成的集合有5個(gè)元素；
故選：BC
10．（2022福建·泉州科技中學(xué)高一階段練習(xí)）已知x，y，z為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值所組成的集合是M，則下列判斷正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
討論的正負(fù)數(shù)分布情況判斷對應(yīng)代數(shù)式的值，即可確定集合M，進(jìn)而確定正確的選項(xiàng).
【詳解】
當(dāng)均為負(fù)數(shù)時(shí)，；
當(dāng)兩負(fù)一正時(shí)，；
當(dāng)兩正一負(fù)時(shí)，；
當(dāng)均為正數(shù)時(shí)，；
∴，A、B錯(cuò)誤，C、D正確.
故選：CD
11．（2022全國·高一課時(shí)練習(xí)）方程組，的解集可以表示為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由方程組，解得，得到解集中只含有一個(gè)元素，根據(jù)集合的表示方法，逐項(xiàng)判定，即可求解．
【詳解】
由題意，方程組，解得，其解集中只含有一個(gè)元素，
根據(jù)集合的表示方法，其中A，B．D項(xiàng)表示都是正確的，其中選項(xiàng)C是表示由兩個(gè)元素組成的集合，不符合要求，所以不能表示為．
故選：ABD．
12．（2022江蘇常州·高一期中）已知集合，則下列說法中正確的是（ ）
A．但
B．若，其中，則
C．若，其中，則
D．若，其中，則
【答案】BC
【解析】
【分析】
A選項(xiàng)，求出，，故；BC選項(xiàng)，通過計(jì)算可以得到，；D選項(xiàng)，時(shí)，不符合要求，D錯(cuò)誤.
【詳解】
，故，，所以，A錯(cuò)誤；
，其中，，故，B正確；
，其中，，故，C正確；
因?yàn)?，若，此時(shí)無意義，故，D錯(cuò)誤.
故選：BC
三、填空題
13．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）用符號“”和“”填空：
（1）______N； （2）1______； （3）______R；
（4）______； （5）______N； （6）0______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷.
【詳解】
由所表示的集合，由元素與集合的關(guān)系可判斷
（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
故答案為：（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
14．（2022黑龍江·齊齊哈爾市第一中學(xué)校高一階段練習(xí)）設(shè)全集，集合，，且，則實(shí)數(shù)______．
【答案】3或-1##-1或3
【解析】
【分析】
根據(jù)集合相等得到，解出m即可得到答案.
【詳解】
由題意，或m=-1.
故答案為：3或-1.
15．（2022湖南·長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）設(shè)P，Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，P中含有0，2兩個(gè)元素，Q中含有1，6兩個(gè)元素，定義集合P+Q中的元素是a+b，其中，，則中元素的個(gè)數(shù)是_________．
【答案】4
【解析】
【分析】
求得的元素，由此確定正確答案.
【詳解】
依題意，，
所以共有個(gè)元素.
故答案為：
16．（2022湖北·荊門市龍泉中學(xué)高一階段練習(xí)）從集合M=中去掉所有3的倍數(shù)和5的倍數(shù)，則剩下的元素個(gè)數(shù)為______
【答案】1078
【解析】
【分析】
剔除集合中是3的倍數(shù)，5的倍數(shù)的元素，即可得出結(jié)果.
【詳解】
集合M中，3的倍數(shù)有個(gè)，5的倍數(shù)有個(gè)，15的倍數(shù)有個(gè)，
則剩下的元素個(gè)數(shù)為個(gè).
故答案為：1078.
四、解答題
17．（2022全國·高一課時(shí)練習(xí)）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?br>(1)不小于1且不大于17的質(zhì)數(shù)組成的集合A；
(2)所有正奇數(shù)組成的集合B；
(3)絕對值不大于3的所有整數(shù)組成的集合C；
(4)直角坐標(biāo)平面上，拋物線上的點(diǎn)組成的集合D．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）求出不小于1且不大于17的所有質(zhì)數(shù)，用列舉法表示；
（2）所有正奇數(shù)有無數(shù)個(gè)，用描述法表示；
（3）求出絕對值不大于3的所有整數(shù)，用列舉法表示；
（4）拋物線上的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，用作為代表元，用描述法表示．
(1)
不小于1且不大于17的質(zhì)數(shù)有，用列舉法表示：；
(2)
所有正奇數(shù)有無數(shù)個(gè)，用描述法表示：；
(3)
絕對值不大于3的所有整數(shù)只有，用列舉法表示：；
(4)
直角坐標(biāo)平面上，拋物線上的點(diǎn)，用描述法表示：．
18．（2022全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，若，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
結(jié)合，尋找元素的對應(yīng)關(guān)系，顯然不成立，故只能，化簡集合，解得參數(shù)即可求解的值．
【詳解】
因?yàn)?，集合中有一元素?，顯然不成立，故只能，此時(shí)，，故滿足，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，故.
19．（2022·山西·高一期末）已知集合.
(1)若，求，的值；
(2)若，且，求，的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意可得，解方程組即可得出答案；
（2）易得，再根據(jù)，列出方程組，解之即可得解.
(1)
解：若，
則有，解得；
(2)
解：，
因?yàn)椋?br>所以，解得.
20．（2022貴州畢節(jié)·高一期中）已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線．
(1)求的解析式．
(2)在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答．
問題：已知在上的最小值為b，且______，集合，判斷b是否屬于集合A，并說明理由．
注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，由求解；
（2）選擇①，易知在上單調(diào)遞減，求得b，再判斷；選擇②，易知在上單調(diào)遞增，求得b，再判斷.
(1)
解：由題意得，
得，
故．
(2)
選擇①，．
圖象的對稱軸為直線．
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
故．
令，得，不符合題意．
故．
選擇②，．
圖象的對稱軸為直線．
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
故．
令，得，符合題意．
故．
21．（2022全國·高一單元測試）已知實(shí)數(shù)集R的子集S滿足條件：①；②若，則．求證：
(1)若，則S中必有另外兩個(gè)元素；
(2)集合S中不可能只有一個(gè)元素．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題設(shè)條件②求出集合的其它元素，即可證結(jié)論.
（2）設(shè)S為單元素集可得，進(jìn)而求參數(shù)a，即可判斷S中是否可能只有一個(gè)元素．
(1)
∵，
∴，同理：，，
∴S中還有-1，兩個(gè)元素.
(2)
不妨設(shè)S為單元素集，則，整理得，解得，
∴S不可能為單個(gè)元素集合.
22．（2022全國·高一專題練習(xí)）數(shù)集M滿足條件：若，則.
（1）若，求集合M中一定存在的元素；
（2）集合M內(nèi)的元素能否只有一個(gè)？請說明理由；
（3）請寫出集合M中的元素個(gè)數(shù)的所有可能值，并說明理由.
【答案】（1）；（2）不能，理由見解析；（3）見解析.
【解析】
【分析】
（1）由，令，代入已知關(guān)系式，循環(huán)代入直到再次出現(xiàn)為止，即可得到集合M中的元素.
（2）假設(shè)M中只有一個(gè)元素a，則，方程無解，即不可能只有一個(gè).
（3）由（1）的方法可得集合M中可能出現(xiàn)4個(gè)元素分別為：，然后分別檢驗(yàn)四個(gè)元素是否相等，從而得到元素個(gè)數(shù)的所有可能值.
【詳解】
（1）由，令，則由題意關(guān)系式可得：，，，而，所以集合M中一定存在的元素有：.
（2）不，理由如下：
假設(shè)M中只有一個(gè)元素a，則由，化簡得，無解，所以M中不可能只有一個(gè)元素.
（3）M中的元素個(gè)數(shù)為，理由如下：
由已知條件，則，以此類推可得集合M中可能出現(xiàn)4個(gè)元素分別為：，由(2)得，
若，化簡得，無解，故；
若，化簡得，無解，故；
若，化簡得，無解，故；
若，化簡得，無解，故；
若，化簡得，無解，故；
綜上可得：，所以集合M一定存在的元素有，當(dāng)取不同的值時(shí)，集合M中將出現(xiàn)不同組別的4個(gè)元素，所以可得出集合M中元素的個(gè)數(shù)為.
【點(diǎn)睛】
本題考查集合中元素與集合的關(guān)系，考查集合中元素個(gè)數(shù)的問題，考查分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
關(guān)系
概念
記法
讀法
屬于
如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合A
a∈A
a屬于集合A
不屬于
如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A
a?A
a不屬于集合A
名稱
非負(fù)整數(shù)集
(自然數(shù)集)
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實(shí)數(shù)集
符號
N
N*或N＋
Z
Q
R
1
2
3
4
6
1
1
2
3
4
6
2
1
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3
3
1
2
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