某同學(xué)在計(jì)算97×103時(shí)將其變成(100–3)(100+3)并很快得出結(jié)果，你知道他運(yùn)用了什么知識(shí)嗎？這節(jié)課，我們就來(lái)一起探討上述計(jì)算的規(guī)律.
1. 掌握平方差公式的推導(dǎo)及應(yīng)用.
2. 了解平方差公式的幾何意義，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式是如何相乘的？
(x ＋ 3)( x＋5)
(a+b)(m+n)
①(x ＋ 1)( x–1)；②(m ＋ 2)( m–2)； ③(2m＋ 1)(2m–1)； ④(5y ＋ z)(5y–z).
計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
這些計(jì)算結(jié)果有什么特點(diǎn)？
(a+b)(a?b)=
兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2
2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
注：這里的兩數(shù)可以是兩個(gè)單項(xiàng)式也可以是兩個(gè)多項(xiàng)式等．
(a+b)(a–b)=(a)2–(b)2
公式中的a和b，既可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng) 式或者多項(xiàng)式；2. 左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式的積，并且有一項(xiàng)完全相同，另 一項(xiàng)互為相反數(shù)；3. 右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的絕對(duì)值的平方.
(a+b)(a– b)=
(–3+a)(–3–a)
(0.3x–1)(1+0.3x)
(1+a)(–1+a)
( 0.3x)2–12
口答下列各題： (1)(–a+b)(a+b)=_________. (2)(a–b)(b+a)= __________. (3)(–a–b)(–a+b)= ________. (4)(a–b)(–a–b)= _________.
例1 計(jì)算：(1) (3x＋2 )( 3x–2 ) ； (2)(–x+2y)(–x–2y).
(2) 原式= (–x)2 – (2y)2
= x2 – 4y2.
解： (1)原式=(3x)2–22
易錯(cuò)警示：當(dāng)相同項(xiàng)帶有“負(fù)號(hào)”時(shí)，必須用括號(hào)括起來(lái).
利用平方差公式計(jì)算：(1)(3x–5)(3x＋5)； (2)(–2a–b)(b–2a)；(3)(–7m＋8n)(–8n–7m)．
解：(1)原式=(3x)2–52＝9x2–25；
(2)原式=(–2a)2–b2＝4a2–b2；
(3)原式=(–7m)2–(8n)2＝49m2–64n2；
例2 計(jì)算:(1) 102×98; (2) (y+2) (y–2) – (y–1) (y+5) .
解: (1) 102×98
=10000 – 4
=(100＋2)(100–2)
= y2–4–y2–4y+5
(2)(y+2)(y–2)– (y–1)(y+5)
= y2–22–(y2+4y–5)
= – 4y + 1.
利用平方差公式簡(jiǎn)便運(yùn)算
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2) .
解: (1) 原式=(50＋1)(50–1)
(2) 原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6)
= 9x2–16–6x2–5x+6
= 3x2–5x–10.
例3 先化簡(jiǎn)，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)，其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2)
原式＝5×12–5×22＝–15.
＝4x2–y2–4y2＋x2
利用平方差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值
先化簡(jiǎn),再求值: (3–x)(3+x)+(x+1)(x–1),其中x=2.
解：(3–x)(3+x)+2(x+1)(x–1) =9–x2+2(x2–1) =9–x2+2x2–2 =7+x2 當(dāng)x=2時(shí)， 原式=7+22 =7+4=11
例4 對(duì)于任意的正整數(shù)n，整式(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值一定是10的整數(shù)倍嗎？
即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍數(shù)．
解：原式＝9n2–1–(9–n2)
∵(10n2–10)÷10=n2–1.
利用平方差公式進(jìn)行證明
對(duì)于平方差中的a和b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.在探究整除性或倍數(shù)問(wèn)題時(shí)，一般先將代數(shù)式化為最簡(jiǎn)，然后根據(jù)結(jié)果的特征，判斷其是否具有整除性或倍數(shù)關(guān)系．
如果兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別是2n–1，2n+1(其中n為正整數(shù))，證明兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù).
證明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因?yàn)?n是8的倍數(shù)，所以結(jié)論成立.
例5 王大伯家把一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽．今年王大伯對(duì)李大媽說(shuō)：“我把這塊地一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續(xù)租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應(yīng)了．你認(rèn)為李大媽吃虧了嗎？為什么？
理由：原正方形的面積為a2，
改變邊長(zhǎng)后面積為(a＋4)(a–4)＝a2–16，
利用平方差公式解決實(shí)際問(wèn)題
解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出算式，然后根據(jù)公式化簡(jiǎn)算式，解決問(wèn)題．
如圖1,在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形(a>b ),把余下的部分剪成一個(gè)矩形(如圖2).通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖形(陰影部分)的面積,驗(yàn)證了一個(gè)等式,這個(gè)等式是( )A. a2–b2 = (a+b) (a–b)B. (a+b)2=a2+2ab+b2C. (a–b)2=a2–2ab+b2D. (a+2b)(a–b)=a2+ab–2b2
1. 化簡(jiǎn)(x–1)(x+1)的結(jié)果是　 ．
2. 某同學(xué)化簡(jiǎn)a(a+2b)–(a+b)(a–b)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，解答過(guò)程如下：原式=a2+2ab–(a2–b2) (第一步) =a2+2ab–a2–b2(第二步) =2ab–b2 (第三步)(1)該同學(xué)解答過(guò)程從第　　步開始出錯(cuò)，錯(cuò)誤原因是　 ；(2)寫出此題正確的解答過(guò)程．
原式=a2+2ab–(a2–b2)=a2+2ab–a2+b2=2ab+b2．
1. 下列運(yùn)算中，可用平方差公式計(jì)算的是(　　)A．(x＋y)(x＋y) B．(–x＋y)(x–y)C．(–x–y)(y–x) D．(x＋y)(–x–y)
2. 計(jì)算(2x+1)(2x–1)等于(　　) A．4x2–1 B．2x2–1 C．4x–1 D．4x2+1
3. 兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和為5，邊長(zhǎng)之差為2，那么用較大的正方形的面積減去較小的正方形的面積，差是________．
(1)(a+3b)(a– 3b)；
原式=(2a+3)(2a–3)
原式=(–2x2 )2–y2
原式=(a)2–(3b)2
(2)(3+2a)(–3+2a)；
(3)(–2x2–y)(–2x2+y).
4. 利用平方差公式計(jì)算：
5. 計(jì)算： 20152 – 2014×2016.
20152 – 2014×2016
= 20152 – (2015–1)(2015+1)
– (20152–12 )
– 20152+12
6. 利用平方差公式計(jì)算:
(1)(a–2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2–4)(a2+4) =a4–16.
(2) (x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=(x2–y2)(x2+y2)(x4+y4)
=(x4–y4)(x4+y4)
=x8–y8.
先化簡(jiǎn)，再求值：(x+1)(x–1) +x2(1–x) +x3，其中x＝2.
解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3
原式=2×22–1=7.
已知x≠1，計(jì)算：(1＋x)(1–x)＝1–x2，(1–x)(1＋x＋x2)＝1–x3，(1–x)(1＋x＋x2＋x3)＝ 1–x4(1)觀察以上各式并猜想：(1–x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n為正整數(shù))
(2)根據(jù)你的猜想計(jì)算：①(1–2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n為正整數(shù))；③(x–1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；

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