【回歸教材】
1.二項(xiàng)式定理
2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
3.【常用結(jié)論】
(1)是第k＋1項(xiàng)，而不是第k項(xiàng)．
(2)通項(xiàng)公式中a，b的位置不能顛倒．
(3)通項(xiàng)公式中含有a，b，n，k，Tk＋1五個(gè)元素，只要知道其中四個(gè)就可以求出第五個(gè)，即“知四求一”.
【典例講練】
題型一 求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)
【例1-1】用二項(xiàng)式定理展開(kāi)______．
【例1-2】已知在的展開(kāi)式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．求：
(1)實(shí)數(shù)的值；
(2)展開(kāi)式中第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和的系數(shù)；
(3)展開(kāi)式中的所有有理項(xiàng)．
【例1-3】的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)__________.
【例1-4】的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．B．C．D．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1-1】求的展開(kāi)式．
【練習(xí)1-2】若的展開(kāi)式共有項(xiàng)，則___________；展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是___________.
【練習(xí)1-3】在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．B．C．30D．50
題型二 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
【例2-1】已知的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．
(1)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)； (2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2-1】在的展開(kāi)式中第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則_________ .
【練習(xí)2-2】在的展開(kāi)式中，其二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則所有項(xiàng)的系數(shù)和為_(kāi)_______．
【練習(xí)2-3】已知的展開(kāi)式中，第二項(xiàng)的系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)的值為，
(1)求的值； (2)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).
題型三 二項(xiàng)式系數(shù)的和
【例3-1】.求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和以及偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；
(5).
歸納總結(jié)：
【練習(xí)3-1】【多選題】若，則下列結(jié)果正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【練習(xí)3-2】【已知的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則______；若，則______．
題型四 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用
【例4-1】【多選題】設(shè)，且，若能被13整除，則a的值可以為（ ）
A．0B．11C．12D．25
【例4-2】請(qǐng)利用二項(xiàng)式定理證明：.
【例4-3】的近似值（精確到）為_(kāi)_______．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)4-1】的計(jì)算結(jié)果精確到0.001的近似值是（ ）
A．0.930B．0.931C．0.932D．0.933
【練習(xí)4-2】設(shè)，且，若能被整除，則（ ）
A．B．C．D．
題型五 楊輝三角
【例5-1】“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中出現(xiàn)，歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年.在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中（如圖），記第2行的第3個(gè)數(shù)字為，第3行的第3個(gè)數(shù)字為，第行的第3個(gè)數(shù)字為，則（ ）
A．165B．180C．220D．236
【練習(xí)5-1】【多選題】我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算術(shù)》就給出了著名的楊輝三角，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的，以下關(guān)于楊輝三角的敘述證確的是（ ）
A．第9行中從左到右第6個(gè)數(shù)是126 B．
C． D．
【完成課時(shí)作業(yè)（六十七）】
【課時(shí)作業(yè)（六十七）】
A組 礎(chǔ)題鞏固
1．若的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為256，則的值為（ ）
A．10B．8C．6D．4
2．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）
A．15B．60C．120D．240
3．若的展開(kāi)式中的系數(shù)為0，則（ ）
A．B．C．D．
4．若，則（ ）
A．40B．41C．D．
5．已知，則（ ）
A．224B．C．D．448
6．設(shè)，若，則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是（ ）
A．B．C．D．
7．【多選題】已知的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則（ ）．
A．
B．展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為1
C．展開(kāi)式中第3項(xiàng)或第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
D．展開(kāi)式中有理項(xiàng)只有4項(xiàng)
8．的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______________（用數(shù)字作答）．
9．的近似值為 ．(精確到兩位小數(shù))
10．已知能被13整除，則實(shí)數(shù)____________．
11．在的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______．
12．已知多項(xiàng)式，則__________，___________．
13．計(jì)算：________．
14．已知展開(kāi)式的第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等．
(1)問(wèn)展開(kāi)式中是否存在常數(shù)項(xiàng)，若存在，請(qǐng)寫(xiě)出常數(shù)項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．
B組 挑戰(zhàn)自我
1．若，且，則實(shí)數(shù)的值可以為（ ）
A．1或B．C．或3D．
2．（ ）
A．B．C．D．
3．設(shè)，則________．
4．如圖所示的楊輝三角中，從第行開(kāi)始，每一行除兩端的數(shù)字是以外，其他每一個(gè)數(shù)字都是它肩上兩個(gè)數(shù)字之和在此數(shù)陣中，若對(duì)于正整數(shù)，第行中最大的數(shù)為，第行中最大的數(shù)為，且，則的值為_(kāi)_____．
二項(xiàng)式定理
二項(xiàng)展開(kāi)式
公式右邊的多項(xiàng)式
二項(xiàng)式系數(shù)
二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)
二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)
它表示第k＋1項(xiàng)
性質(zhì)
對(duì)稱性
與首末等距的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù) ，即
增減性與最大值
當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是
當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間 的二項(xiàng)式系數(shù)最大
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間 的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大
二項(xiàng)式系數(shù)的和


第 5 課時(shí) 二項(xiàng)式定理
編寫(xiě)：廖云波
【回歸教材】
1.二項(xiàng)式定理
2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
3.【常用結(jié)論】
(1)是第k＋1項(xiàng)，而不是第k項(xiàng)．
(2)通項(xiàng)公式中a，b的位置不能顛倒．
(3)通項(xiàng)公式中含有a，b，n，k，Tk＋1五個(gè)元素，只要知道其中四個(gè)就可以求出第五個(gè)，即“知四求一”.
【典例講練】
題型一 求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)
【例1-1】用二項(xiàng)式定理展開(kāi)______．
【答案】
【分析】利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)即可.
【詳解】．
故答案為：
【例1-2】已知在的展開(kāi)式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．求：
(1)實(shí)數(shù)的值；
(2)展開(kāi)式中第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和的系數(shù)；
(3)展開(kāi)式中的所有有理項(xiàng)．
【答案】(1)
(2)二項(xiàng)式系數(shù)是，系數(shù)為
(3)第1項(xiàng)，第3項(xiàng)，第5項(xiàng)，第7項(xiàng)，第9項(xiàng)，第11項(xiàng)
【分析】（1）寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，，根據(jù)題意求出的值；
（2）二項(xiàng)式系數(shù)即，令，求出，帶回通項(xiàng)，得到的系數(shù)；
（3）有理項(xiàng)必須滿足為整數(shù)，其中.
（1）
的展開(kāi)式的通項(xiàng)為
．
因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以當(dāng)時(shí)，，解得．
（2）
由（1）可得第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是．
令，得，
所以展開(kāi)式中的系數(shù)為．
（3）
由題意，為整數(shù)，故只需為偶數(shù)．
因?yàn)?，所以符合要求的?項(xiàng)，分別為展開(kāi)式的第1項(xiàng)，第3項(xiàng)，第5項(xiàng)，第7項(xiàng)，第9項(xiàng)，第11項(xiàng)．
【例1-3】的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】現(xiàn)將原式分為兩個(gè)多項(xiàng)式，分別用二項(xiàng)式定理計(jì)算即可.
【詳解】 ，
對(duì)于 ，通項(xiàng)公式為 ，
令 ，得r=3， ；
對(duì)于 ，通項(xiàng)公式為 ，不存在常數(shù)項(xiàng)；
∴常數(shù)項(xiàng)為-10；
故答案為：-10.
【例1-4】的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】中將看成一項(xiàng)，兩次展開(kāi)，求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為0，即可求解.
【詳解】，展開(kāi)式通項(xiàng)為
，
令，當(dāng)時(shí)，
為常數(shù)項(xiàng)即.
故選:A.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1-1】求的展開(kāi)式．
【答案】
【分析】直接利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)即可.
【詳解】
【練習(xí)1-2】若的展開(kāi)式共有項(xiàng)，則___________；展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是___________.
【答案】 6 60
【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理直接求出n值，再利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解常數(shù)項(xiàng)作答.
【詳解】因的展開(kāi)式共有項(xiàng)，則，解得，
的展開(kāi)式通項(xiàng)為：，
由得：，所以的展開(kāi)式是.
故答案為：6；60
【練習(xí)1-3】在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．B．C．30D．50
【答案】B
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式展開(kāi)式確定含的項(xiàng)組成情況，再根據(jù)乘法計(jì)數(shù)原理與加法計(jì)數(shù)原理求結(jié)果.
【詳解】表示5個(gè)因式的乘積，在這5個(gè)因式中，
有2個(gè)因式都選，其余的3個(gè)因式都選1，相乘可得含的項(xiàng)；
或者有3個(gè)因式選，有1個(gè)因式選，1個(gè)因式選1，相乘可得含的項(xiàng)，
故項(xiàng)的系數(shù)為，
故選B．
題型二 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
【例2-1】已知的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．
(1)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)和等差中項(xiàng)解出.當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，相等且最大．
（2）求系數(shù)最大的項(xiàng)，則只需比較相鄰兩項(xiàng)系數(shù)的大小即可．
（1）的展開(kāi)式的通項(xiàng)．因?yàn)檎归_(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，所以，即，整理得，解得或．又因?yàn)?，所以，所以?項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為．
（2）由（1）得展開(kāi)式中系數(shù)為由得整理得，解得所以當(dāng)或時(shí)項(xiàng)的系數(shù)最大.因此，展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為和．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2-1】在的展開(kāi)式中第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則_________ .
【答案】
【分析】由題意利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求得的值．
【詳解】解：若展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，即，則．
故答案為：
【練習(xí)2-2】在的展開(kāi)式中，其二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則所有項(xiàng)的系數(shù)和為_(kāi)_______．
【答案】64
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和求得n的值，再用賦值法求得各項(xiàng)系數(shù)和即可.
【詳解】由題意可得，解得,
故令，則所有項(xiàng)的系數(shù)和為，
故答案為：64
【練習(xí)2-3】已知的展開(kāi)式中，第二項(xiàng)的系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)的值為，
(1)求的值；
(2)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可求解第二項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)；
（2）二項(xiàng)式展開(kāi)式中二項(xiàng)式的系數(shù)為，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大，即所求項(xiàng)為第四項(xiàng).
(1)
解：二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，
則，故，
當(dāng)時(shí)，，則常數(shù)項(xiàng)為，故，
所以.
(2)
解：二項(xiàng)式展開(kāi)式中共有7項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大，
則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第四項(xiàng)，即.
題型三 二項(xiàng)式系數(shù)的和
【例3-1】.求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和以及偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；
(5).
【答案】(1)1
(2)
(3)
(4)，
(5)4044
【分析】（1）令，即可求解；
（2）令，結(jié)合（1）即可求解；
（3）相當(dāng)于求展開(kāi)式的系數(shù)和，令即可求解；
（4）由二項(xiàng)式系數(shù)和性質(zhì)求解即可；
（5）兩邊分別求導(dǎo)得
，
令，即可求解
（1）令，得①.
（2）令，得②.由①-②得，.
（3）相當(dāng)于求展開(kāi)式的系數(shù)和，令，得.
（4）展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和是.展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)系數(shù)和是.
（5）兩邊分別求導(dǎo)得：，令，得
歸納總結(jié)：
【練習(xí)3-1】【多選題】若，則下列結(jié)果正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式和系數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析即可得出答案.
【詳解】令可得，①，故A正確；
令可得：，②
①②可得：，故，故B正確；
令可得：，③
令可得：，④
把③代入④即可得出：，故C錯(cuò)誤；
兩邊對(duì)求導(dǎo)得．
令可得，故D正確.
故選：ABD
【練習(xí)3-2】【已知的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則______；若，則______．
【答案】 7 129
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和為可求得，分別令，即可得出答案.
【詳解】解：因?yàn)榈恼归_(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，
所以，可得，
令，得，
令，得，
所以．
故答案為：7；129.
題型四 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用
【例4-1】【多選題】設(shè)，且，若能被13整除，則a的值可以為（ ）
A．0B．11C．12D．25
【答案】CD
【分析】化簡(jiǎn)，再利用二項(xiàng)式定理分析得解.
【詳解】解：，
又52能被13整除，
∴需使能被13整除，即能被13整除，
∴，，又，
∴或25.
故選：CD．
【例4-2】請(qǐng)利用二項(xiàng)式定理證明：.
【答案】證明見(jiàn)解析.
【分析】由于，利用二項(xiàng)式定理將展開(kāi)，然后利用放縮法可證得結(jié)果.
【詳解】證
當(dāng)，時(shí)，
,
所以結(jié)論成立.
【例4-3】的近似值（精確到）為_(kāi)_______．
【答案】．
【分析】，按二項(xiàng)式定理展開(kāi)，按照近似要求求解.
【詳解】由二項(xiàng)式定理，
.
故答案為：1.13.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)4-1】的計(jì)算結(jié)果精確到0.001的近似值是（ ）
A．0.930B．0.931C．0.932D．0.933
【答案】C
【分析】由二項(xiàng)式定理求解
【詳解】.
故選：C
【練習(xí)4-2】設(shè)，且，若能被整除，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】因?yàn)?，利用二?xiàng)式定理展開(kāi)式可得能被整除，由此求出的值.
【詳解】因?yàn)?，所以展開(kāi)式為
，
其中每一項(xiàng)都能被整除，
，
其中每一項(xiàng)都能被整除，
所以能被整除的余數(shù)為，
因?yàn)?，且，若能被整除?br>所以能被整除，所以.
故選：D.
題型五 楊輝三角
【例5-1】“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中出現(xiàn)，歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年.在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中（如圖），記第2行的第3個(gè)數(shù)字為，第3行的第3個(gè)數(shù)字為，第行的第3個(gè)數(shù)字為，則（ ）
A．165B．180C．220D．236
【答案】A
【分析】根據(jù)楊輝三角及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)確定，…，，再應(yīng)用組合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求結(jié)果.
【詳解】由題意得，，
則.
故選：
【練習(xí)5-1】【多選題】我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算術(shù)》就給出了著名的楊輝三角，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的，以下關(guān)于楊輝三角的敘述證確的是（ ）
A．第9行中從左到右第6個(gè)數(shù)是126
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)楊輝三角，利用組合數(shù)的計(jì)算判斷ABD，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)判斷C.
【詳解】對(duì)于A，第9行中從左到右第6個(gè)數(shù)是，故A正確；
對(duì)于B，，故B正確；
對(duì)于C，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，故D正確.
故選：ABD.
【完成課時(shí)作業(yè)（六十七）】
【課時(shí)作業(yè)（六十七）】
A組 礎(chǔ)題鞏固
1．若的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為256，則的值為（ ）
A．10B．8C．6D．4
【答案】D
【分析】設(shè)，令解方程得解.
【詳解】解：設(shè)，
令得，
解得．
故選：D
2．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）
A．15B．60C．120D．240
【答案】B
【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式計(jì)算．
【詳解】，
所以的系數(shù)是．
故選：B．
3．若的展開(kāi)式中的系數(shù)為0，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得的展開(kāi)式中和的系數(shù)，得到的展開(kāi)式中的系數(shù)，進(jìn)而可以解得.
【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中的系數(shù)為，的系數(shù)為，
所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為，
由，得.
故選：C.
4．若，則（ ）
A．40B．41C．D．
【答案】B
【分析】利用賦值法可求的值.
【詳解】令，則，
令，則，
故，
故選：B.
5．已知，則（ ）
A．224B．C．D．448
【答案】D
【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的項(xiàng)的特點(diǎn)，應(yīng)將其變形成項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式形式，再借助通項(xiàng)求解系數(shù).
【詳解】令，得，
則
可化為：，
二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)為：
所以
故選：D.
6．設(shè)，若，則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用賦值法可求得，繼而求得，由此可得,求得n的值，即可求得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，可得；
當(dāng)時(shí)，可得．
又，所以，得，
所以的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，即,
故選：B
7．【多選題】已知的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則（ ）．
A．
B．展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為1
C．展開(kāi)式中第3項(xiàng)或第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
D．展開(kāi)式中有理項(xiàng)只有4項(xiàng)
【答案】ABD
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和為求出，即可判斷A，再利用賦值法求出所有項(xiàng)系數(shù)和，即可判斷B，再根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的特征判斷C，最后利用展開(kāi)式的通項(xiàng)判斷D；
【詳解】解：因?yàn)檎归_(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，所以，，故A正確；
令，得所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，故B正確；
因?yàn)?，所以展開(kāi)式共7項(xiàng)，所以第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)橥?xiàng)是，
當(dāng)，2，4，6時(shí)為有理項(xiàng)，所以只有4項(xiàng)為有理項(xiàng)，故D正確．
故選：ABD
8．的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______________（用數(shù)字作答）．
【答案】-28
【分析】可化為，結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，
的展開(kāi)式中的系數(shù)為-28
故答案為：-28
9．的近似值為 ．(精確到兩位小數(shù))
【答案】
【解析】由，利用二項(xiàng)式定理可求得近似值.
【詳解】.
10．已知能被13整除，則實(shí)數(shù)____________．
【答案】10
【分析】首先根據(jù)題意得到，再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)即可得到答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，即．
故答案為：10
11．在的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______．
【答案】28
【分析】將化為，寫(xiě)出其通項(xiàng)公式，再利用的通項(xiàng)公式，即可求得答案.
【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，,
令，可得，,
故展開(kāi)式中的系數(shù)為,
故答案為:28
12．已知多項(xiàng)式，則__________，___________．
【答案】
【分析】第一空利用二項(xiàng)式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令求出，再令即可得出答案．
【詳解】含的項(xiàng)為：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案為：；．
13．計(jì)算：________．
【答案】1
【分析】將整理變形為二項(xiàng)式形式，即可求得答案.
【詳解】
,
故答案為：1
14．已知展開(kāi)式的第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等．
(1)問(wèn)展開(kāi)式中是否存在常數(shù)項(xiàng)，若存在，請(qǐng)寫(xiě)出常數(shù)項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．
【答案】(1)存在，常數(shù)項(xiàng)為
(2)
【分析】（1）根據(jù)可求得，從而確定展開(kāi)式通項(xiàng)；令可得，代入通項(xiàng)即可得到常數(shù)項(xiàng)；
（2）設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，利用不等式法可解得，代入通項(xiàng)即可得到系數(shù)最大項(xiàng).
(1)
展開(kāi)式的第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，
，解得：；
展開(kāi)式通項(xiàng)為：；
令，解得：，
展開(kāi)式存在常數(shù)項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)為.
(2)
由（1）知：；
假設(shè)展開(kāi)式第項(xiàng)的系數(shù)最大，
則，解得：，；
則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第四項(xiàng).
B組 挑戰(zhàn)自我
1．若，且，則實(shí)數(shù)的值可以為（ ）
A．1或B．C．或3D．
【答案】A
【分析】利用賦值法，分別令，和，
，
，
再根據(jù)，求得的值．
【詳解】在中，
令可得，即，
令，可得，
∵，
∴，
∴，
整理得，
解得，或．
故選：A
2．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，再對(duì)兩邊求導(dǎo)可得兩邊求導(dǎo)數(shù)，，分別取和，即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，
兩邊求導(dǎo)數(shù)，，
令，得，
取，得.
故選：D.
3．設(shè)，則________．
【答案】##16807
【分析】運(yùn)用賦值法，令，再相加即可.
【詳解】令，得①，
令，得②，
由，得．
故答案為：
4．如圖所示的楊輝三角中，從第行開(kāi)始，每一行除兩端的數(shù)字是以外，其他每一個(gè)數(shù)字都是它肩上兩個(gè)數(shù)字之和在此數(shù)陣中，若對(duì)于正整數(shù)，第行中最大的數(shù)為，第行中最大的數(shù)為，且，則的值為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的最大值滿足的條件求出，，代入，根據(jù)組合數(shù)的公式求解即可．
【詳解】由題意知，故
，
，，
解得．
故答案為：．
二項(xiàng)式定理
二項(xiàng)展開(kāi)式
公式右邊的多項(xiàng)式
二項(xiàng)式系數(shù)
二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)
二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)
它表示第k＋1項(xiàng)
性質(zhì)
對(duì)稱性
與首末等距的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即
增減性與最大值
當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的
當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大
二項(xiàng)式系數(shù)的和

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