2024暑假初升高銜接講義之銜接點(diǎn)01 乘法公式（解析版）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1、掌握平方差公式，完全平方公式的形式，意義和應(yīng)用
2、能夠熟練的運(yùn)用平方差公式，完全平方公式展開與化簡
3、掌握立方和，立方差公式，并能靈活展開與化簡
4、掌握三數(shù)和公式展開過程，并能靈活應(yīng)用
1、初中知識(shí)再現(xiàn)
（1）平方差公式：；注意公式的正逆應(yīng)用.
（2）完全平方公式：
（3）高頻應(yīng)用方式：
①
②
③
④
⑤
⑥
2、高中相關(guān)知識(shí)
（1）立方和公式：
（2）立方差公式：
（3）兩數(shù)和立方公式：
過程：
（4）兩數(shù)差立方公式：
過程：
（5）三數(shù)和平方公式：
過程：
對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)一：平方差公式的應(yīng)用
典型例題
例題1．（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·期中）一個(gè)長方形的寬為，長為，則這個(gè)長方形的面積是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題主要考查平方差公式的應(yīng)用，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．根據(jù)長方形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：由長方形的面積公式可得，．
故選：．
例題2．（23-24七年級(jí)下·遼寧錦州·期中）下列各整式乘法能用平方差公式計(jì)算的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本題考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．，能用平方差公式計(jì)算，因此選項(xiàng)A符合題意；
B．，能用完全公式計(jì)算，因此選項(xiàng)B不符合題意；
C．，能用完全公式計(jì)算，因此選項(xiàng)C不符合題意；
D．，能用完全公式計(jì)算，因此選項(xiàng)D不符合題意；
故選：A
例題3．（2023·浙江麗水·模擬預(yù)測(cè)）先化簡，再求值：，其中．
【答案】
【分析】本題考查整式的化簡求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．先根據(jù)完全平方公式和平方差公式將題目中的式子展開，再合并同類項(xiàng)，最后將的值代入化簡后的式子計(jì)算即可．
【詳解】解：

，
當(dāng)時(shí)，原式．
精練
1．（23-24七年級(jí)下·四川成都·階段練習(xí)）下列不能用平方差公式計(jì)算的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本題考查平方差公式：，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征：左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，且兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；右邊是兩項(xiàng)的平方差（相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方）；公式中的和可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式．據(jù)此依次對(duì)各選項(xiàng)逐一分析即可作出判斷．
【詳解】解：A．，能用平方差公式計(jì)算，故此選項(xiàng)不符合題意；
B．，不能用平方差公式計(jì)算，故此選項(xiàng)符合題意；
C．，能用平方差公式計(jì)算，故此選項(xiàng)不符合題意；
D．，能用平方差公式計(jì)算，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
2．（23-24六年級(jí)下·山東泰安·階段練習(xí)）已知，，則．
【答案】5
【分析】本題考查了平方差公式的運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)事解決本題的關(guān)鍵．
利用平方差公式，代入即可算出．
【詳解】解：由
把代入得
∴．
故答案為：5．
3．（2024·吉林長春·一模）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本題考查了整式的化簡求值，平方差公式．熟練掌握整式的化簡求值，平方差公式是解題的關(guān)鍵．
利用平方差公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算，然后進(jìn)行加減運(yùn)算可得化簡結(jié)果，最后代值求解即可．
【詳解】解：
，
將代入原式．
對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)二：完全平方公式的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）閱讀材料：數(shù)學(xué)計(jì)算中常利用公式變形求解，例如“已知，，求的值．”可以這樣解：將完全平方公式變形得到．請(qǐng)根據(jù)閱讀材料解決問題：如圖，已知長方形周長為，，則的值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用．熟練掌握完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
由題意知，，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由題意知，，，
解得，，
∴，
故選：A．
例題2．（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·階段練習(xí)）若，則的值是（）
A．4B．8C．12D．16
【答案】C
【分析】本題考查了完全平方公式，熟練運(yùn)用整體思想是解題的關(guān)鍵．設(shè)，變形后根據(jù)完全平方公式即可解答．
【詳解】解：設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
例題3．（23-24七年級(jí)下·四川成都·階段練習(xí)）讀材料，解答下列問題：
若，求的值．
小明的解題方法：
，，
∴10．
小亮的解題方法：
設(shè)：，，則，
∴．
(1)任選材料中一種方法解答：若，求的值；
(2)如圖1，長方形空地，米，米，在中間長方形上安放雕塑，四周剩余的寬度相同，設(shè)該寬度為x米，則長方形中，米，米（用含x的代數(shù)式表示）；
(3)在（2）的條件下，如圖2，以長方形四邊為直徑在形外做半圓，在四個(gè)半圓里種花，若長方形的面積為平方米，求種花的面積．（結(jié)果保留π）
【答案】(1)
(2)，
(3)平方米
【分析】本題綜合考查了完全平方公式的應(yīng)用，掌握公式的形式是解題關(guān)鍵．
（1）設(shè)，則，；根據(jù)即可求解；
（2）根據(jù)、即可求解；
（3）由題意得、，可得，根據(jù)種花的面積即可求解
【詳解】（1）解：設(shè)，
則，，
∴
∴；
（2）解：由圖可知：（米）；
（米）；
故答案為：，
（3）解：由題意得：
由（2）可得：
∵
∴種花的面積(平方米)
精練
1．（23-24七年級(jí)下·黑龍江大慶·階段練習(xí)）仔細(xì)觀察下圖，依據(jù)圖形面積間的關(guān)系，不添加輔助線，便可得到一個(gè)熟悉的公式，這個(gè)公式是（）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】此題主要考查完全平方公式的幾何驗(yàn)證，解題的關(guān)鍵是根據(jù)面積法進(jìn)行求解驗(yàn)證．
根據(jù)兩次求面積的方法即可求解．
【詳解】正方形的面積可以表示為，
正方形的面積還可以表示為，
∴．
故選：C．
2．（2023·吉林四平·模擬預(yù)測(cè)）先化簡，再求值：，其中．
【答案】
【分析】本題考查整式運(yùn)算中的化簡求值，先計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，完全平方公式，再合并同類項(xiàng)，化簡后，代值計(jì)算即可．
【詳解】解：原式
，
當(dāng)時(shí)，
原式
．
3．（2023·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）（1）計(jì)算：；
（2）化簡．
【答案】（1）；（2）
【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算及完全平方公式的應(yīng)用，解題時(shí)要能熟練運(yùn)用．
（1）依據(jù)題意，根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可得解．
（2）利用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算即可得解．
【詳解】解：（1）
；
（2）
．
對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)三：乘法公式延伸：立方和、立方差公式的應(yīng)用
典型例題
例題1．（23-24八年級(jí)上·北京·期中）閱讀材料：運(yùn)用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還可以應(yīng)用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：立方和公式：；立方差公式：；根據(jù)材料和已學(xué)知識(shí)，化簡結(jié)果為；當(dāng)時(shí)分式的值為．
【答案】 2
【分析】先利用將后式的分母化簡，然后約分，最后進(jìn)行減法運(yùn)算，代入，計(jì)算即可．
【詳解】原式
，
把代入原式．
故答案為：，2．
【點(diǎn)睛】本題主要考分式加減以及化簡求值，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握分式加減的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
例題2．（23-24八年級(jí)上·山東淄博·期中）楊輝，南宋杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家．楊輝研究了二項(xiàng)式定理，并根據(jù)此定理研究了兩數(shù)的立方和、立方差、三數(shù)的立方和等公式．
【答案】（1）；（2）①；②；③
【分析】本題主要考查了因式分解和分式的化簡，
（1）公式推導(dǎo)原式利用立方和定義分解即可；
（2）①原式利用立方差公式分解即可；②原式利用立方和公式分解即可；③利用立方和公式、完全平方公式和平方差公式進(jìn)行分式的化簡即可．
【詳解】解：（1）
；
（2）①原式；
②原式；
③原式=．
例題3．（23-24八年級(jí)上·河南信陽·期末）閱讀材料：運(yùn)用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還可以應(yīng)用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：
立方和公式：；
立方差公式：．
根據(jù)材料和已學(xué)知識(shí)解決下列問題
(1)因式分解：；
(2)先化簡，再求值：，其中．
【答案】(1)
(2)，5
【分析】（1）根據(jù)材料給出的立方差公式，分解因式即可；
（2）根據(jù)材料給出的立方差公式，先對(duì)分式進(jìn)行因式分解，化簡題目中的式子，然后將x的值代入化簡后的式子即可解答本題．
【詳解】（1））原式
（2）原式
=
．
當(dāng)時(shí)，原式．
【點(diǎn)睛】本題考查了公式法分解因式、分式化簡求值，掌握立方差公式的應(yīng)用，讀懂材料是解題關(guān)鍵．
例題4．（23-24八年級(jí)上·江西南昌·期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
楊輝，南宋杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。楊輝研究了二項(xiàng)式定理，并根據(jù)此定理研究了兩數(shù)的立方和、立方差、三數(shù)的立方和等公式。兩數(shù)的立方差公式是：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），這個(gè)公式的推導(dǎo)過程如下：a3﹣b3＝a3﹣a2b+a2b﹣b3＝a2（a﹣b）+b（a2﹣b2）＝a2（a﹣b）+b（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．
(1)利用上述方法推導(dǎo)立方和公式a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）（從左往右推導(dǎo)）；
(2)已知a+b＝1，ab＝﹣1，a＞b，求a2+b2，a3﹣b3的值．
【答案】(1)(a+b)(a2﹣ab+b2)
(2)3；
【分析】（1）仿照材料給出的推導(dǎo)過程，將分成，即可求解；
（2）根據(jù)a+b=1，ab=-1，利用完全平方公式即可求出，進(jìn)而可求出，依據(jù)a＞b，可得，則依據(jù)材料中即可求解．
【詳解】（1）
；
（2）∵，a+b=1，ab=-1，
∴；
∵，
∴，
∵a＞b，
∴，
∴
．
即，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式、完全平方公式等知識(shí)，靈活運(yùn)用材料給出的推理過程是解答本題的關(guān)鍵．
精練
1．（23-24七年級(jí)上·上海松江·期中）利用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算：
（1） = ；
= ．
在多項(xiàng)式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面計(jì)算結(jié)果作為結(jié)論逆運(yùn)用，則成為因式分解中的立方和與立方差公式．
已知，利用自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，以及立方和與立方差公式，解決下列問題：
（2）；（直接寫出答案）
（3）；（直接寫出答案）
（4）；（寫出解題過程）
【答案】（1），；（2）6；（3）14；（4）198
【分析】（1）根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則展開計(jì)算即可；
（2）利用完全平方公式變形，再代入求值；
（3）利用立方差公式和完全平方公式變形，再代入求值；
（4）利用立方差公式和完全平方公式變形，再代入求值；
【詳解】解：（1）
=
=
=
=，
故答案為：，；
（2）
=
=
=6；
（3）
=
=
=
=14；
（4）
=
=
=
=198
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，正確的理解已知條件中的公式是解題的關(guān)鍵．
2．（23-24七年級(jí)上·上海普陀·階段練習(xí)）多項(xiàng)式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，還有立方和公式與立方差公式如下：
立方和公式：
立方差公式：
如果把公式逆運(yùn)用，則成為因式分解中的立方和與立方差公式.
根據(jù)以上材料，請(qǐng)完成下列問題：
（1）因式分解：
（2）因式分解：
（3）已知：的值
【答案】（1）（a＋b）（a2?ab＋b2）（a6?a3b3＋b6）；（2）（a?b）（a＋b）（a4＋a2b2＋b4）．（3）322
【分析】根據(jù)已知條件中的公式分解即可．
【詳解】（1）因式分解：a9＋b9
＝（a3）3＋（b3）3
＝（a3＋b3）（a6?a3b3＋b6）
＝（a＋b）（a2?ab＋b2）（a6?a3b3＋b6）；
（2）因式分解：a6?b6
＝（a2）3?（b2）3
＝（a2?b2）（a4＋a2b2＋b4）
＝（a?b）（a＋b）（a4＋a2b2＋b4）；
（3）∵a＋b＝3，ab＝1，
∴a2＋b2＝（a＋b）2?2ab＝7，
∴a6＋b6=
（a2＋b2）（a4?a2b2＋b4）
＝[（a＋b）2?2ab][（a2＋b2）2?2a2b2?a2b2]
＝7×（49?3×1）＝322．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解?運(yùn)用公式法，正確的理解已知條件中的公式是解題的關(guān)鍵．
3．（23-24七年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）閱讀理解題：
拆項(xiàng)法是因式分解中一種技巧較強(qiáng)的方法，它通常是把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，再分組分解，因而有時(shí)需要多次實(shí)驗(yàn)才能成功，例如把分解因式，這是一個(gè)三項(xiàng)式，最高次項(xiàng)是三次項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)為零，本題既沒有公因式可提取，又不能直接應(yīng)用公式，因而考慮制造分組分解的條件，把常數(shù)項(xiàng)拆成1和3，原式就變成，再利用立方和與平方差先分解，解法如下：
原式
公式：，
根據(jù)上述論法和解法，
（1）因式分解：；
（2）因式分解：；
（3）因式分解：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）將原式拆成，然后分別利用立方差和平方差公式因式分解后再提起公因式x-1即可；
（2）將原式拆成，然后前兩項(xiàng)利用立方差公式因式分解，后兩項(xiàng)提取公因式即可確定答案；
（3）將原式拆成，然后利用平方差公式因式分解即可．
【詳解】解：（1）
（2）
（3）
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)閱讀題目，從題目中得到因式分解的方法，難度不大．
4．（23-24·湖南湘潭·）閱讀材料：運(yùn)用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還可以應(yīng)用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：
立方和公式：；
立方差公式：；
根據(jù)材料和已學(xué)知識(shí)，先化簡，再求值：，其中．
【答案】2
【分析】根據(jù)題目中的公式可以化簡題目中的式子，然后將的值代入化簡后的式子即可解答本題．
【詳解】解：
，
當(dāng)時(shí)，原式
【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法．
第01講乘法公式 (分層精練）
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（23-24六年級(jí)下·山東泰安·階段練習(xí)）下列等式能夠成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵：．
【詳解】解：A、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，原式計(jì)算正確，符合題意；
D、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
2．（23-24七年級(jí)下·福建漳州·階段練習(xí)）下列乘法中，能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本題主要考查平方差公式，根據(jù)平方差公式的形式：，逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】A、，該選項(xiàng)不符合題意；
B、，該選項(xiàng)不符合題意；
C、該選項(xiàng)不符合題意；
D、符號(hào)平方差公式，該選項(xiàng)符合題意．
故選：D
3．（23-24八年級(jí)上·貴州黔南·階段練習(xí)）在邊長為a的正方形中挖去一個(gè)邊長為b的小正方形（如圖甲），把余下的部分拼成一個(gè)矩形（如圖乙），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證等式（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了平方差公式在幾何圖形中的應(yīng)用，分別表示出圖甲和圖乙中的陰影部分面積，再根據(jù)圖甲和圖乙中陰影部分面積相等，即可得到答案．
【詳解】解：圖甲中陰影部分面積等于大正方形面積減去小正方形面積，即為；
圖乙中陰影部分面積為一個(gè)長為，寬為的長方形面積，即為；
∵圖甲和圖乙中陰影部分面積相等，
∴，
故選：C．
4．（23-24七年級(jí)下·江西吉安·階段練習(xí)）下列各式，能用平方差公式計(jì)算的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、，不能用平方差公式計(jì)算，不符合題意；
B、，不能用平方差公式計(jì)算，不符合題意；
C、，不能用平方差公式計(jì)算，不符合題意；
D、，能用平方差公式計(jì)算，符合題意；
故選D．
5．（23-24七年級(jí)下·安徽宿州·階段練習(xí)）下列各式，不能用平方差公式計(jì)算的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
此題主要考查了乘法公式，根據(jù)乘法公式進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論．
【詳解】解：A．，故能用平方差公式計(jì)算，不符合題意；
B．，故能用平方差公式計(jì)算，不符合題意；
C．，故能用平方差公式計(jì)算，不符合題意；
D．，故不能用平方差公式計(jì)算，符合題意．
故選：D．
6．（23-24八年級(jí)上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）多項(xiàng)式加上一個(gè)一次單項(xiàng)式后是一個(gè)完全平方式，這個(gè)單項(xiàng)式不能是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可．
【詳解】
解：多項(xiàng)式加上一個(gè)一次單項(xiàng)式后是一個(gè)完全平方式，這個(gè)單項(xiàng)式可以是,不能是,
故選：C．
7．（23-24八年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）若多項(xiàng)式是完全平方式，則的值為（）
A．16B．4C．D．
【答案】C
【分析】本題考查完全平方式．根據(jù)可確定是的倍即可．
【詳解】
．
故選：C．
8．（2023七年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）由可得，即①，我們把等式①叫做多項(xiàng)式乘法的立方公式．下列應(yīng)用這個(gè)立方公式進(jìn)行的變形不正確的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根據(jù)立方公式及題意逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．，因此選項(xiàng)A不符合題意；
B．，因此選項(xiàng)B不符合題意；
C．，因此選項(xiàng)C不符合題意；
D．，因此選項(xiàng)D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握立方和或立方差公式是正確判斷的前提．
二、填空題
9．（23-24七年級(jí)下·江蘇徐州·階段練習(xí)）若是完全平方式，則的值是．
【答案】
【分析】本題考查了完全平方式，利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出m的值．
【詳解】解：∵是完全平方式，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
10．（23-24七年級(jí)下·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知：，且，則．
【答案】1
【分析】本題考查平方差公式應(yīng)用，根據(jù)代入計(jì)算即可得到答案；
【詳解】解：∵，，
∴，
故答案為：1．
三、解答題
11．（21-22六年級(jí)下·山東淄博·期中）根據(jù)，可得．
即①，我們把等式①叫做多項(xiàng)式乘法的立方和公式．
(1)把立方和公式①中的b改用－b替代時(shí)，可得立方差公式，請(qǐng)直接寫出立方差公式______．
(2)立方和和立方差公式統(tǒng)稱為立方公式，請(qǐng)根據(jù)立方公式判斷計(jì)算能直接運(yùn)用公式嗎？若能，請(qǐng)直接寫出答案；若不能，請(qǐng)改變某個(gè)因式中的某一項(xiàng)，使它能利用立方公式計(jì)算，并直接寫出相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果．
【答案】(1)
(2)不能，可變形為或者
【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則求解即可；
（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則計(jì)算即可判斷是否能運(yùn)用公式；根據(jù)題意結(jié)合（1）即可得到改變的項(xiàng)；
【詳解】（1）解：，
故答案為：；
（2）解：不能，理由如下：
∵，
∴不能直接運(yùn)用公式；
根據(jù)題意可知可變形為或者．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
12．（2024七年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）如圖1是一個(gè)長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖）．
(1)觀察圖2請(qǐng)你寫出、、之間的等量關(guān)系是；
(2)根據(jù)（1）中的結(jié)論，若，，則；
(3)拓展應(yīng)用：若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)面積法進(jìn)行計(jì)算，即可解答；
（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（3）設(shè)，，則，再根據(jù)已知可得，然后利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
本題考查了整式的混合運(yùn)算化簡求值，完全平方公式的幾何背景，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：由題意得：
∵大正方形的面積等于小正方形面積加上4個(gè)全等的長方形面積
∴，
故答案為：；
（2）解：，，
，
，
故答案為：；
（3）解：設(shè)，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值為．
方法提取
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，是在公式化體系的不斷完善中進(jìn)行的．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方差公式，在平方差公式的基礎(chǔ)上，可以對(duì)式子a3﹣b3進(jìn)行如下推導(dǎo)：
．
對(duì)于，稱為立方差公式．
公式推導(dǎo)
（1）請(qǐng)參考“立方差公式”的推導(dǎo)過程推導(dǎo)立方和公式：．
學(xué)以致用
（2）請(qǐng)靈活運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解：
① ；
② ．
③

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