1、能熟練把二次根式化簡為最簡根式
2、了解分式和最簡分式
3、能熟練應(yīng)用分式基本性質(zhì)約分和通分
1、初中知識再現(xiàn)
（1）二次根式的定義
一般地，形如的式子叫做二次根式.
（2）二次根式性質(zhì)：
①
②
③
④
（3）分式
形如：（其中中含有字母）的式子叫作分式.
（4）分式的基本性質(zhì)：
分式的分子與分母同時乘以（或除以）同一個不為的整式，分式的值不變.用式子表示為：
2、高中相關(guān)知識
2.1無理式：根號下含有字母的式子并且開不盡方的根式叫做無理式.例如：，是無理式，而不是無理式
2.2分母有理化：把分母中的根號化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同時乘分母的有理化因式.例如：.
2.3有理化因式：兩個含有根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含根式，那么這兩個代數(shù)式叫做互為有理化因式.常用的有理化因式有：
①與 ②與
2.4繁分式：當(dāng)一個分式的分子或分母中仍含有分式時，該分式就稱為繁分式.如：或等.繁分式的化簡，通常將其化成分式的除法進(jìn)行運(yùn)算.
對點(diǎn)特訓(xùn)一：二次根式有意義的條件
典型例題
例題1．（23-24九年級下·云南昭通·階段練習(xí)）函數(shù)有意義，則自變量x的取值范圍是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】本題考查了分式有意義以及二次根式有意義，根據(jù)分母不為0以及被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，據(jù)此即可作答．
【詳解】解：∵函數(shù)有意義
∴
解得且
故選：D
例題2．（2024·江蘇鹽城·一模）若二次根式有意義，則x的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件，分式有意義的條件列出不等式組，解不等式組即可求解．
【詳解】解：依題意，
解得，
故答案為：．
精練
1．（2024·山東聊城·一模）使有意義的x的取值范圍是（ ）
A．且B．
C．且D．
【答案】A
【分析】本題考查了分式有意義的條件，二次根式有意義的條件．根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分母不等于0求解即可．
【詳解】解： 由題意得，且，
解得且．
故選：A．
2．（2024年西藏自治區(qū)中考二模數(shù)學(xué)模擬試題）函數(shù)中自變量x的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】本題考查的是求解函數(shù)的取值范圍，二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，根據(jù)分式與二次根式有意義的條件可得且，從而可得答案．
【詳解】解：∵，
∴且，
解得：且，
故答案為：且．
對點(diǎn)特訓(xùn)二：求二次根式中的參數(shù)
典型例題
例題1．（23-24八年級下·湖北省直轄縣級單位·階段練習(xí)）已知是正整數(shù)，是整數(shù)，則的最小值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】本題考查了二次根式的意義，根據(jù)是正整數(shù)，是正整數(shù)，得出是一個完全平方數(shù)，再將分解質(zhì)因數(shù)，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：是正整數(shù)，是正整數(shù)，
是一個完全平方數(shù)，
，
是一個完全平方數(shù)，
的最小值為2，
故選：A．
例題2．（23-24八年級上·四川達(dá)州·期中）已知有理數(shù)滿足，則的值是 .
【答案】
【分析】將已知等式整理得，由a，b為有理數(shù)，得到，求出a，b的值，代入計算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵a，b為有理數(shù)，
∴，
解得，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了求二次根式中的參數(shù)，將已知等式整理后得到對應(yīng)關(guān)系，由此求出a，b的值是解題的關(guān)鍵．
精練
1．（23-24八年級下·四川涼山·期中）如果是一個正整數(shù)，則整數(shù)的最小值是（ ）
A．-4B．-2C．2D．8
【答案】A
【分析】根據(jù)是一個正整數(shù)，得出，根據(jù)為整數(shù)，得出a的最小值為，最后代入驗證是一個正整數(shù)符合題意，得出答案即可．
【詳解】解：∵是一個正整數(shù)，
∴，
∴，
∵為整數(shù)，
∴a的最小值為，
且時，符合題意，故A正確．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)題意求出，是解題的關(guān)鍵．
2．（2024九年級下·廣東·專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)m滿足，則m的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出m的取值范圍．理解是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意可知：，
解得：，
故答案為：．
對點(diǎn)特訓(xùn)三：二次根式的乘法與除法及其混合運(yùn)算
典型例題
例題1．（23-24九年級上·四川成都·期中）下列計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次根式的乘法和除法，二次根式的加法，以及二次根式的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)運(yùn)算法則逐項分析即可．
【詳解】解：A．，正確；
B．與不是同類二次根式，不能合并，故不正確；
C．，故不正確；
D．，故不正確．
故選：A．
例題2．（23-24八年級下·河南商丘·階段練習(xí)）計算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，，，熟悉其運(yùn)算規(guī)則是解決問題的關(guān)鍵．
（2）本題考查了二次根式與平方差公式和完全平方公式的結(jié)合，熟悉二次根式混合運(yùn)算規(guī)則和公式是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：
．
（2）
．
精練
1．（2024·河北衡水·一模）設(shè)，其中，，則M的值為（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】B
【分析】本題考查了二次根式乘法運(yùn)算；先利用乘法分配律展開，再利用二次根式乘法法則進(jìn)行運(yùn)算，代值運(yùn)算即可求解；掌握（，）是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：
，
當(dāng)，時，
；
故選：B．
2．（23-24八年級下·山東日照·階段練習(xí)）小亮的作業(yè)本上有以下四題：（1）；（2）；（3）；（4）做錯的題目是（ ）
A．（1）B．（1）（3）C．（4）D．（1）（4）
【答案】D
【分析】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算：先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式．也考查了二次根式的性質(zhì)與化簡以及二次根式的乘除法．
（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)得到；
（2）根據(jù)二次根式的乘法進(jìn)行計算；
（3）先判斷，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計算；
（4）根據(jù)二次根式的加法法則進(jìn)行判斷，非同類二次根式不能合并．
【詳解】解：因為，所以（1）錯誤；
因為，所以（2）正確；
因為有意義，所以，所以，所以（3）正確；
與不是同類二次根式，不能合并，所以（4）錯誤；
綜上分析可知，正錯誤的是（1）（4）．
故選：D．
對點(diǎn)特訓(xùn)四：最簡二次根式
典型例題
例題1．（23-24八年級上·河北石家莊·期末）若最簡二次根式可以與合并，則的值可以是（ ）
A．5B．4C．2D．1
【答案】C
【分析】本題考查合并同類二次根式，涉及同類二次根式、最簡二次根式、合并同類二次根式等知識，由題意，將化為最簡二次根式，從而得到，解方程即可得到答案，熟記最簡二次根式及同類二次根式的定義是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，是最簡二次根式，且可以與合并，
，解得，
故選：C．
例題2．（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）已知二次根式．
(1)求使得該二次根式有意義的的取值范圍；
(2)已知是最簡二次根式，且與可以合并，
求的值；
求與的乘積．
【答案】(1)；
(2)；．
【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)最簡根式和同類二次根式的定義可得，解方程即可得到答案；
根據(jù)所求利用二次根式的乘法計算法則求解即可；
本題主要考查了二次根式有意義的條件，最簡二次根式和同類二次根式的定義，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）∵二次根式有意義，
∴，
解得：；
（2），
∵與可以合并，
∴，
解得：；
由得：，
，
．
精練
1．（23-24八年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知最簡二次根式與是同類二次根式，則x的值為 ．
【答案】4
【分析】本題考查同類二次根式的概念，幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同是同類二次根式，先化簡，根據(jù)最簡二次根式被開方數(shù)相等，由此可得出關(guān)于x的方程，求出x的值即可．
【詳解】解：
由題意可得：，
解得：．
當(dāng)時，與是同類二次根式．
故答案為：4．
2．（23-24八年級上·江蘇常州·階段練習(xí)）若最簡二次根式和是同類二次根式．
(1)求、的值；
(2)、平方和的算術(shù)平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)同類二次根式得出和的二元一次方程組，從而得出和的值；
（2）將和的值代入代數(shù)式得出答案．
【詳解】（1）解：∵最簡二次根式和是同類二次根式，
∴，，
解得，．
（2）解：當(dāng)，時．
【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根、最簡二次根式，二元一次方程組的應(yīng)用以及求代數(shù)式的值，熟練掌握算術(shù)平方根、最簡二次根式以及二元一次方程組的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
對點(diǎn)特訓(xùn)五：二次根式的加法與減法及其混合運(yùn)算
典型例題
例題1．（23-24八年級下·湖南邵陽·階段練習(xí)）點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則可以近似表示運(yùn)算結(jié)果的點(diǎn)是（ ）
A．點(diǎn)B．點(diǎn)C．點(diǎn)D．點(diǎn)
【答案】C
【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算、估算無理數(shù)的大小、實(shí)數(shù)與數(shù)軸，先根據(jù)二次根式混合運(yùn)算的法則得出，再估算出的大小，結(jié)合數(shù)軸即可得出答案．
【詳解】解：，
，
，即，
，
由數(shù)軸可得：點(diǎn)在到之間，
故選：C．
例題2．（23-24八年級下·廣西欽州·階段練習(xí)）計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；
（1）先化簡再計算即可；
（2）把括號里的每一項都除以，再化簡即可；
【詳解】（1）解：
（2）解：
精練
1．（23-24八年級下·湖南邵陽·階段練習(xí)）下列運(yùn)算中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次根式的加減、二次根式的乘除，根據(jù)二次根式的加減、二次根式的乘除的運(yùn)算法則逐項判斷即可．
【詳解】解：A、和不是同類二次根式，不能直接相加，故原選項計算錯誤，不符合題意；
B、，故原選項計算錯誤，不符合題意；
C、，故原選項計算錯誤，不符合題意；
D、，故原選項計算正確，符合題意．
故選：D．
2．（23-24八年級下·遼寧大連·階段練習(xí)）計算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）先化簡二次根式，再計算二次根式的乘法和除法，最后加減即可；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式去括號，分母有理化，再計算加減即可．
【詳解】（1）解：原式

；
（2）解：原式
．
對點(diǎn)特訓(xùn)六：分母有理化
典型例題
例題1．（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）閱讀下列材料，然后回答問題．
在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時，我們有時會碰上這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡：
，以上這種化簡的步驟叫作分母有理化．
(1)化簡：；
(2)已知的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求的值．
(3)計算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了分母有理化，無理數(shù)的估算：
（1）仿照題意進(jìn)行分母有理化即可；
（2）將進(jìn)行分母有理化為，進(jìn)而可得的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，代入即可求解；
（3）先分母有理化得到，據(jù)此把所求式子對應(yīng)項分母有理化，然后根據(jù)二次根式的加減計算法則化簡求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：解：
；
（2）解：
∵，
∴，
∴的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，
∴；
（3）解：∵，
∴
．
例題2．（23-24八年級下·遼寧大連·階段練習(xí)）閱讀下列解題過程：
請回答下列問題：
(1)仿照上面的解題過程化簡： ＝ ＝ ．
(2)請直接寫出的化簡結(jié)果： ．
(3)利用上面的結(jié)論，通過計算試比較與的大小，并說明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】本題考查了二次根式的分母有理化．
（1）把分子分母有乘以，然后利用平方差公式計算；
（2）利把分子分母有乘以，然后利用平方差公式計算；
（3）利用（2）中的結(jié)論得到，然后比較大小即可．
【詳解】（1），
故答案為：，，；
（2），
故答案為：；
（3），理由如下：
由（2）中規(guī)律可得：，，
∵，
∴
∴．
精練
1．（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）已知，，求．
【答案】10
【分析】本題考查二次根式的化簡求值，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．
先利用分母有理化進(jìn)行化簡，然后再求出和的值，從而利用完全平方公式進(jìn)行計算，即可解答．
【詳解】解：∵，
，
∴，，
∴
．
2．（23-24八年級下·云南昭通·階段練習(xí)）觀察以下式子的化簡過程：
①，
②，
③，
④，
……
根據(jù)以上式子的化簡過程，得出規(guī)律．完成下列問題：
(1)如果n為正整數(shù)，那么的值為______；
(2)根據(jù)以上規(guī)律計算：的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查分母有理化：
（1）根據(jù)題干給定的等式，化簡即可；
（2）先進(jìn)行分母有理化，再進(jìn)行計算即可．
【詳解】（1）解：；
故答案為：；
（2）原式
．
對點(diǎn)特訓(xùn)七：二次根式化簡求值
典型例題
例題1．（23-24八年級下·湖南邵陽·階段練習(xí)）（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）2
【分析】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性、二次根式的混合運(yùn)算、利用完全平方公式進(jìn)行計算，求代數(shù)式的值，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．
（1）由題意得出，，再利用完全平方公式將式子變形為，代入計算即可得出答案；
（2）由二次根式有意義的條件得出且，從而得出，代入得出，利用完全平方公式將式子展開，再將的值代入計算即可得出答案．
【詳解】解∶（1）∵，，
∴，，
；
（2）根據(jù)題意得且，
∴，
∴，
∴．
例題2．（23-24八年級下·山東日照·階段練習(xí)）（1）先化簡，再求值：，其中，．
（2）已知，，求代數(shù)式的值．
【答案】（1）；；（2）7
【分析】本題主要考查二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及完全平方公式、平方差公式．
（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，然后代入即可求出答案；
（2）先由x與y的值計算出和的值，再代入原式計算即可．
【詳解】解：（1）
，
當(dāng)，時，原式．
（2）∵，
，
∴，
，
．
精練
1．（23-24八年級下·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）已知，，．求值：
(1)；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值：
（1）先求出，，再根據(jù)進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)（1）得，，再根據(jù)進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，，
∴
；
（2）解：由（1）得，，
∴

．
2．（23-24八年級下·湖北武漢·階段練習(xí)）（1）計算：式子______（請直接寫出這個常數(shù)）；
（2）已知，求的值；
（3）若的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，直接寫出的值．
【答案】（1）4；（2）；（3）
【分析】本題考查分式、二次根式化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式，分母有理化等知識．
（1）展開去括號，再合并即可得答案；
（2）利用可得答案；
（3）先分母有理化，再求出、的值，代入所求式子計算即可．
【詳解】解：（1）


；
（2），
，
，
；
（3），
又∵，
，，



．
∴的值為．
對點(diǎn)特訓(xùn)八：分式的意義
典型例題
例題1．（23-24八年級下·陜西西安·階段練習(xí)）要使分式有意義，則x的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】根據(jù)，且計算即可，本題考查了分式有意義條件，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．
【詳解】分式有意義．
故，且，
解得，且
故答案為：且#且．
例題2．（2024·廣東深圳·一模）先化簡，再從不等式組中選擇一個適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，代入求值．
【答案】，當(dāng)時，原式．
【分析】本題考查了分式的化簡求值，先利用分式的性質(zhì)和運(yùn)算法則對分式化簡，再從不等式組中選擇一個適當(dāng)?shù)恼麛?shù)代入到化簡后的結(jié)果中計算即可求解，掌握分式的性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：原式
，
，
當(dāng)或時，原式無意義，
故取整數(shù)時，
原式．
精練
1．（23-24九年級下·北京·階段練習(xí)）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件為分母不等于零是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)分式有意義的條件結(jié)合已知條件列式計算即可．
【詳解】解：∵在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴，即．
故答案為:．
2．（23-24九年級下·廣東深圳·階段練習(xí)）先化簡，然后從，1，，2中選一個合適的數(shù)代入求值．
【答案】，2
【分析】本題考查分式化簡求值，涉及通分、因式分解、分式加減乘除混合運(yùn)算、約分、分式有意義的條件等知識，先將分式分子分母因式分解、再由分式加減乘除混合運(yùn)算法則，利用通分、約分化簡，再根據(jù)分式有意義的條件取得的值，代值求解即可得到答案，熟練掌握分式加減乘除混合運(yùn)算法則，根據(jù)分式有意義的條件取值是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：
，
分式分母不能為0，
，則原式．
對點(diǎn)特訓(xùn)九：分式的化簡求值
典型例題
例題1．（23-24九年級下·北京·階段練習(xí)）已知 ，求代數(shù)式的值．
【答案】
【分析】本題考查分式化簡求值，先計算除法，再計算加法即可化簡，然后把變形為a2+2a=2，代入化簡式計算即可．熟練掌握分式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：
=
=
=
=
=，
∵
∴，
∴原式=．
例題2．（23-24八年級下·山東泰安·階段練習(xí)）（1）先化簡，再求值：，其中a滿足．
（2）已知，探究m與n的關(guān)系．
【答案】（1），；（2）
【分析】本題主要考查了二次根式的混合計算，分式的化簡求值：
（1）先把小括號內(nèi)的式子通分，然后把除法變成乘法化簡，再求出，最后利用整體代入法求解即可；
（2）先把原式變形為，再利用平方差公式得到，兩邊同時平方推出，則．
【詳解】解：
，
∵，
∴，
∴原式；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
精練
1．（23-24八年級下·重慶銅梁·階段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本題主要考查分式化簡求值，二次根式運(yùn)算，根據(jù)分式的混合運(yùn)算先化簡，再代入求值，即可求解．掌握相關(guān)運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：原式=
，
當(dāng)時，原式．
2．（23-24八年級下·河南南陽·階段練習(xí)）先化簡，然后從的范圍內(nèi)選取一個你喜歡的整數(shù)作為的值代入求值．
【答案】，當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式
【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先把小括號內(nèi)的式子通分化簡，然后計算分式除法化簡，再根據(jù)分式有意義的條件選擇符合題意的x的值代值計算即可．
【詳解】解：
，
∵分式要有意義，
∴，
∴且，
∵，且x為整數(shù)，
∴當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式．
對點(diǎn)特訓(xùn)十：分式的基本性質(zhì)
典型例題
例題1．（23-24八年級上·山東·課后作業(yè)）不改變分式的值，使分子、分母最高次項的系數(shù)為正數(shù)，正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】讓分子，分母同時改變符號即可讓分子和分母中x的最高次項的系數(shù)都是正數(shù)．
【詳解】分子的最高次項為﹣3x2，分母的最高次項為﹣5x3，系數(shù)均為負(fù)數(shù)，所以應(yīng)同時改變分子，分母的符號可得原式==．
故選D．
【點(diǎn)睛】用到的知識點(diǎn)為：分子，分母，分式本身的符號，改變其中的2個，分式的大小不變；分子，分母的最高次項的系數(shù)均為負(fù)數(shù)，應(yīng)同時改變分子，分母的符號．
例題2．（23-24八年級上·全國·課堂例題）不改變分式的值，把下列各分式的分子與分母中各項系數(shù)都化為整數(shù)：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此題主要考查了分式的基本性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握分式的分子與分母同乘 (或除以) 一個不等于0的整式，分式的值不變；
（1）分子分母都乘以60即可；
（2）分子分母同時乘以12即可；
【詳解】（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將的分子與分母同乘60，
得．
（2）解：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將的分子與分母同乘12，
得．
題型歸類練
1．（23-24八年級上·湖南長沙·期末）下列各式中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了分式的性質(zhì)，根據(jù)分式的性質(zhì)逐項判斷即可求解．
【詳解】解：A、等號右邊分子分母同時乘以，得左邊，故A錯誤，不合題意；
B、分式的分子分母同時加一個非零的數(shù)，得到的分式值與原分式不一定相等，故B錯誤，不合題意；
C、，故C錯誤，不合題意；
D、分子分母同時乘以，即，故D正確，符合題意．
故選：D
2．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）不改變分式的值，把分子、分母的系數(shù)化為整數(shù)．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此題考查的是分式的變形，掌握分式的基本性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵；
（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)變形即可；
（2）根據(jù)分式的基本性質(zhì)變形即可．
【詳解】（1）解：；
（2）解：．
第02講 根式、分式的化簡(分層精練）
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升
A夯實(shí)基礎(chǔ)
1．（23-24八年級下·云南昭通·階段練習(xí)）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴，
∴，
故選：B．
2．（23-24八年級下·海南儋州·階段練習(xí)）在、、、、、中分式的個數(shù)有（ ）
A．個B．個C．個D．個
【答案】B
【分析】本題主要考查了分式的定義，判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．
【詳解】解：在、、、、、中分式有、、，共3個，
故選：B．
3．（23-24八年級下·廣東湛江·階段練習(xí)）計算：的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查二次根式的除法運(yùn)算，掌握分母有理化是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
故選A．
4．（23-24八年級下·廣東湛江·階段練習(xí)）若，則x的值可以是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)化簡，掌握二次根式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
解得，
符合題意的為2，
故選D．
5．（2024·貴州遵義·一模）要使無意義，則x的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了分式無意義的條件．根據(jù)分式無意義的條件為分式的分母為0，即可求解．
【詳解】解：∵無意義，
∴，
∴．
故選：A
6．（2024八年級下·江蘇·專題練習(xí)）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】此題考查分式化簡，關(guān)鍵是根據(jù)約分進(jìn)行計算．根據(jù)分式進(jìn)行計算判斷即可．
【詳解】解：、，正確；
、不能約分，錯誤；
、，錯誤；
、，錯誤；
故選：．
7．（2024·山東·一模）已知，則的值分別為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
本題考查了分式的加減和二元一次方程組的解法，先對等號右邊的分式進(jìn)行加減，根據(jù)等號左右兩邊相等，得到關(guān)于的二元一次方程組，求解即可，根據(jù)分式方程的左右兩邊相等，得到關(guān)于的方程組是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
又∵，
∴，
∴，
解得：，
故選：A．
8．（23-24八年級下·廣西賀州·階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖，則化簡的結(jié)果為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，整式的加減，化簡絕對值；根據(jù)數(shù)軸可得，則進(jìn)而根據(jù)二次根式以及絕對值的性質(zhì)化簡，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴
故選：D．
二、填空題
9．（23-24八年級下·湖南邵陽·階段練習(xí)）化簡的結(jié)果是 ．
【答案】6
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件、二次根式的性質(zhì)，由二次根式有意義的條件得出，從而得出，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．
【詳解】解：，
，
，
，
故答案為：．
10．（2024·西藏·二模）先化簡再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本題考查了分式的化簡求值，正確對分式的分子和分母分解因式是解題的關(guān)鍵．
首先把所求的式子分子和分母分解因式，把除法轉(zhuǎn)化為乘法，計算乘法，再進(jìn)行分式的減法運(yùn)算即可化簡，最后代入數(shù)值計算即可．
【詳解】解：原式
，
把，代入得：原式．
故答案為：，．
三、解答題
11．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．
【答案】，
【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
先化簡括號內(nèi)的式子，再算括號外的乘除法，最后將求出x的值代入化簡后的式子計算即可．
【詳解】解：原式
，
當(dāng)時，原式．
12．（23-24八年級下·湖南邵陽·階段練習(xí)）觀察下列等式∶
第1個：；
第2個：；
第3個：；
第4個：；
…
按照以上規(guī)律，解決下列問題∶
(1)寫出你猜想的第個等式 ；（用含的等式表示）
(2)根據(jù)上面的結(jié)論計算的結(jié)果．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握運(yùn)算法則，得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題目中所給式子呈現(xiàn)的規(guī)律即可得出答案；
（2）根據(jù)（1）中得出的規(guī)律，計算即可得出答案．
【詳解】（1）解：第1個：；
第2個：；
第3個：；
第4個：；
…
第個等式，
故答案為：；
（2）解：
．

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