2022年高中名校自主招生初升高銜接數(shù)學(xué)講義10 數(shù)論含答案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第十講數(shù)論知識要點由于數(shù)論在中考中涉及的考點幾乎沒有，同學(xué)們接觸極少，所以當(dāng)它出現(xiàn)在自招考試中往往會造成大范圍失分.反之，對數(shù)論較為熟悉的同學(xué)也因此能在自招考試中取得優(yōu)勢.數(shù)論涉及的考點比較廣，其中整除、同余、奇偶性、質(zhì)數(shù)合數(shù)、完全平方數(shù)及一元二次方程整數(shù)根問題等在自招中出現(xiàn)得比較頻繁.數(shù)的整除特征：1.一個數(shù)的末位能被2或5整除，這個數(shù)就能被2或5整除；一個數(shù)的末兩位能被4或25整除，這個數(shù)就能被4或25整除；一個數(shù)的末三位能被8或125整除，這個數(shù)就能被8或125整除.2.一個各位數(shù)數(shù)字和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除；一個數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被9整除，這個數(shù)就能被9整除.3.如果一個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個數(shù)能被11整除.4.如果一個整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13整除，那么這個數(shù)能被7、11或13整除.例題精講用數(shù)字6、7、8各兩個，組成一個六位數(shù)，使它能被168整除.這個六位數(shù)是多少？如果甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是90，乙、丙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是105，甲、丙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是126，那么甲數(shù)是多少？方程的整數(shù)解的個數(shù)是_.若正整數(shù)n使得是由同一個數(shù)字組成的三位數(shù)，則符合條件的n為_.同余的基本性質(zhì)若兩個整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對于模m同余，用式子表示為：，左邊的式子叫做同余式.同余具有下面的性質(zhì)：（1）自反性；（2）對稱性；（3）傳遞性，.設(shè)a、b、c、d是整數(shù)，并且，則（1）；（2）；（3）.試求除以17的余數(shù).完全平方數(shù)常用性質(zhì)1.主要性質(zhì)（1）完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是0、1、4、5、6、9.不可能是2、3、7、8.（2）在兩個連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù).（3）完全平方數(shù)的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù).（4）若質(zhì)數(shù)p整除完全平方數(shù)，則p能被a整除.2.一些重要的推論（1）任何偶數(shù)的平方一定能被4整除；任何奇數(shù)的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的數(shù)一定不是完全平方數(shù).（2）一個完全平方數(shù)被3除的余數(shù)是0或1.即被3除余2的數(shù)一定不是完全平方數(shù).（3）自然數(shù)的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96.（4）完全平方數(shù)個位數(shù)字是奇數(shù)（1、5、9）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù).（5）完全平方數(shù)個位數(shù)字是偶數(shù)（0、4）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù).（6）完全平方數(shù)的個位數(shù)字為6時，其十位數(shù)字必為奇數(shù).（7）凡個位數(shù)字是5但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；末尾只有奇數(shù)個“0”的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；個位數(shù)字為1、4、9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù).有一個四位數(shù)，它是一個完全平方數(shù)，求a.設(shè)正整數(shù)n至少有4個不同的正約數(shù)，且是n的最小的4個正約數(shù)，它們滿足.求所有這樣的n.正整數(shù)n恰好有4個正因數(shù)（包括1和n）已知其中兩個因數(shù)之和是另兩個因數(shù)之和的六倍.求n的值.求所有的整數(shù)數(shù)組，使得已知質(zhì)數(shù)p使得恰有30個正因數(shù).則p的最小值為多少？有四個數(shù)，每三個數(shù)的積被第四個數(shù)除后余一，求這四個數(shù).習(xí)題鞏固試求被7除的余數(shù).使得整除的正整數(shù)n共有多少個？若n為正整數(shù)，且滿足，則n的可能值有多少個？方程的所有不同整數(shù)解的個數(shù)為多少？已知正整數(shù)x、y.求的解.一個三位數(shù)是它的各位數(shù)字之和的29倍.則這個三位數(shù)是多少？設(shè)，，，其中，a、b、c是質(zhì)數(shù)，且滿足，.問：a、b、c能否構(gòu)成三角形的三邊？如果能，求出三角形的面積；如果不能，請說明理由.已知a、b是整數(shù)，c是質(zhì)數(shù)，且.則有序數(shù)對有多少組？若a、b均為質(zhì)數(shù)，且，則的末位數(shù)字是多少？設(shè)x為正整數(shù)，且，則使能被12整除的共有多少個？已知p為大于5的質(zhì)數(shù)，且m為除以120的余數(shù).則的個位數(shù)字是多少？對正整數(shù)n，記.若，則M的正因數(shù)中共有完全立方數(shù)多少個？自招鏈接已知某個直角三角形的兩條直角邊長都是整數(shù)，且在數(shù)值上該三角形的周長等于其面積的整數(shù)倍.問：這樣的直角三角形有多少個？方程的正整數(shù)解共有多少組？參考答案例題精講因為，所以組成的六位數(shù)可以被8、3、7整除.能夠被8整除的數(shù)的特征是末三位組成的數(shù)一定是8的倍數(shù)，末兩位組成的數(shù)一定是4的倍數(shù)，末位為偶數(shù).在題中條件下，驗證只有688、768是8的倍數(shù)，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍數(shù)，由數(shù)的整除性質(zhì)4知形式的數(shù)一定是7、11、13的倍數(shù)，所以768768一定是7的倍數(shù)，□□□688的□不管怎么填都得不到7的倍數(shù).至于能否被3整除可以不驗證，因為整除3的數(shù)的規(guī)律是數(shù)字和為3的倍數(shù)，在題中給定的條件下，不管怎么填數(shù)字和都是定值.所以768768能被168整除，且驗證沒有其他滿足條件的六位數(shù). 對90分解質(zhì)因數(shù)：.因為126是甲的倍數(shù)，又126不是5的倍數(shù)，所以甲中不含因數(shù)5.如果乙也不含因數(shù)5，那么甲、乙的最小公倍數(shù)也不含因數(shù)5，但90是5的倍數(shù)，所以乙含有因數(shù)5.因為105不是2的倍數(shù)，所以乙也不是2的倍數(shù)，即乙中不含因數(shù)2，于是甲必含有因數(shù)2.因為105不是9的倍數(shù)，所以乙也不是9的倍數(shù)，即乙最多含有1個因數(shù)3.由于甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是90，90中含有2個因數(shù)3，所以甲必含有2個因數(shù)3，那么.總結(jié)：兩個數(shù)的最小公倍數(shù)含有兩數(shù)的所有質(zhì)因子，并且這些質(zhì)因數(shù)的個數(shù)為兩數(shù)中此質(zhì)因數(shù)的個數(shù)的最大值.如，，則A、B的最小公倍數(shù)含有質(zhì)因子2、3、5、7、11，并且它們的個數(shù)為a、b中含有此質(zhì)因子較多的那個數(shù)的個數(shù).即依次含有3個、3個、2個、1個、1個，故. 2016是4的倍數(shù)，一個平方數(shù)除以4的余數(shù)為0或者1，所以可以判斷x，y，z為2的倍數(shù).兩邊同時除以4，得.同理可得，、、為2的倍數(shù).兩邊同時除以4，得.不妨設(shè)，可得，，；，，；，，；所以，；；.根據(jù)排列組合與正負(fù)號，共組解. 設(shè)，①則，得：.，因為，所以或.由n的大致范圍得：或36，代入得：，. 同余：若兩個整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對于模m同余，用式子表示為：，左邊的式子叫做同余式.因為，所以.從而，. 由完全平方數(shù)的個位數(shù)字特征：只能取0、1、4、5、6、9，故.因此，N的末兩位為.再由完全平方數(shù)末兩位特征：只有符合條件，即，6.當(dāng)時，非完全平方數(shù)，舍去；當(dāng)時，，符合條件.故. 顯然最小的是1，其次如果n為奇數(shù)則矛盾，所以是偶數(shù).于是第二小的數(shù)是2.于是剩下的兩個約數(shù)是一奇一偶.如果第三個為偶數(shù)，那么只能是4，否則若是大于4，那么p必定是比第三個還小的約數(shù).如果第三個是4，那么n是4的倍數(shù)，這和式子左邊除以4余數(shù)是2矛盾.所以第三個是奇數(shù).第四個是偶數(shù)，那么只能是第三個數(shù)的兩倍.于是我們得到. 注意到，恰有四個正因數(shù)的正整數(shù)必為或（p、q為質(zhì)數(shù)，）.當(dāng)時，其全部正因數(shù)為1、p、、.由題設(shè)條件知，有，，滿足.上式右邊為p的倍數(shù)，故，或3.經(jīng)檢驗，上式均不成立.當(dāng)時，其全部正因數(shù)為1、p、q、.顯然，.若，則，可得（或，因此或143.若，則，與p為質(zhì)數(shù)矛盾.若，則，與p為質(zhì)數(shù)矛盾.綜上：或143. 如果，并且，則.所以式中所有不等號均為等號，這要求，，，，這是不可能的，從而或者.不妨設(shè)，則或.情形一：，此時，，故，可知，從而，故，于是，或.分別代入可求得，或.情形二：，此時，，即有，同上可知，即，因此，，或，對應(yīng)地，可求得或（當(dāng)時無解）綜上，結(jié)合對稱性，可知，，，，，或共7組解. 當(dāng)或3時，不符合題意.所以.又，此時，.因為p有兩個因數(shù)，所以有15個因數(shù).而，為使p最小，又是偶數(shù)，故只能是或.從而，（舍）或23.因此p的最小值為23. 設(shè)這四個數(shù)分別為a、b、c、d，其實題目就一個條件：，，，.第一步：先證四個數(shù)兩兩互質(zhì)（這個還是比較容易發(fā)現(xiàn)的）設(shè)，則.所以a、b互質(zhì).同理，其他均兩兩互質(zhì).第二步：構(gòu)造一個多項式，能被四個數(shù)共享.（這個技巧比較難想到）令，則，，，.由a、b、c、d兩兩互質(zhì)得：，即（表示為整數(shù)），很顯然a、b、c、d中不可能有1，不然就沒余數(shù)這回事了.又由兩兩互質(zhì)可知，這四個數(shù)都不相同.那么我們不妨設(shè)，則，故.第三步：用不等式解方程.（這個算基本功了）首先a不能太大，我猜是2，不信咱就證一下：若，則，矛盾！所以.那么方程化為.同理，b也不能太大.若，則，所以或4或5.討論一下：當(dāng)時，原方程化為：，構(gòu)造因式分解：，得：，或，.同理，當(dāng)，5時，原方程無整數(shù)解.綜上：這四個數(shù)分別為2、3、7、41或2、3、11、13.習(xí)題鞏固由于，故只需考慮除以6的余數(shù)即可.而無論n取什么正整數(shù)，除以6均余4..（其中為除以6余4后的商），而，故n有個. .因為，所以2013有8個約數(shù)，而每個約數(shù)加1即為符合條件的n.答案:8個.原方程化為.因為與的和能被3整除，而分解為兩個整數(shù)因數(shù)（包括負(fù)因數(shù)），這兩個整數(shù)因數(shù)的和也能被3整除，所以解的個數(shù)應(yīng)為. 由. ①若，有.又，矛盾.所以.在式①中，由，有.因此，x只可取5、6、7中的數(shù).經(jīng)驗算，只有兩組正整數(shù)解為，. 設(shè)三位數(shù)為.則.因a、b、c為正整數(shù)，所以.而，則，.由，知，從而，，.所以，這個三位數(shù)為261. 不能.由題意得：，，.因為，所以.又x為整數(shù)，a為質(zhì)數(shù)，則或，.當(dāng)時，.進(jìn)而，，，與b、c是質(zhì)數(shù)矛盾.當(dāng)時，.進(jìn)而，，.因為，所以a、b、c不能構(gòu)成三角形的三邊. 由已知得.因與的奇偶性相同，所以上式左邊為偶數(shù).從而，c為偶質(zhì)數(shù)2.故，，，，，共6組. 由條件知和必為一奇一偶.若是偶數(shù)，則，.此時，.由的末位數(shù)字為6，的末位數(shù)字為1，知的末位數(shù)字為9.若是偶數(shù)，則，.此時，.由的末位數(shù)字為1，的末位數(shù)字為6，知的末位數(shù)字為3.故的末位數(shù)字是9或3. 注意到，由，得，又是奇數(shù)，故.而，于是，，12，24，36，48.故，13，25，37，49，共5個.注意到.設(shè).顯然，.又p為大于5的質(zhì)數(shù)，故.所以除以120的余數(shù)總是1，即.所以.即的個位數(shù)字為9. 注意到，.又一個完全立方數(shù)應(yīng)具有形式，且，，，.故這樣的n共有個.自招鏈接設(shè)該直角三角形的兩條直角邊長為a、b，且，那么結(jié)合勾股定理及條件，可設(shè)， ①其中k為正整數(shù).對①兩邊乘以2，移項后，兩邊平方，，化簡整理，得，因式分解，得.注意到，、為正整數(shù)，且，故，.分別可求得，或.綜上，滿足條件的直角三角形恰有3個，它們的三邊長為，和. 注意到原方程關(guān)于a、b、c對稱.不妨設(shè).則.代入原方程得.當(dāng)時，得；當(dāng)時，得，；當(dāng)時，得（舍去）；當(dāng)時，c不為正整數(shù).綜上，當(dāng)時，原方程有三組正整數(shù)解，，.故原方程的正整數(shù)解共有（組）.

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