第十二講  高斯函數(shù)知識要點不超過實數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作，稱為x的小數(shù)部分，記作. 例如，，. 這一規(guī)定最早為大數(shù)學(xué)家高斯所使用，故稱為高斯函數(shù). 高斯函數(shù)的性質(zhì)：（1）的定義域為實數(shù)集，值域為整數(shù)集；（2）；（3）；（4）當，；（5）設(shè)n為整數(shù)，則；（6）；（7）對任意正實數(shù)有. 特別地，對正數(shù)x及正整數(shù)n有，；（8）對正實數(shù)x、y有；（9）設(shè)n為正整數(shù)，則；（10）對整數(shù)x，有，對非整數(shù)x，有；（11）對正數(shù)m和n，不大于m的n的倍數(shù)共有個；（12）①，②，③（n為整數(shù)）；（13）設(shè)p為任一素數(shù)，在n！中含p的最高乘方次數(shù)記為，則.例題精講計算的值. （2017共出現(xiàn)了2017次）計算的值. 已知，且滿足，求的值. 在中，有多少個不同的整數(shù)？解方程. 解方程. 解方程. 證明：對于任意實數(shù)x，有. 習(xí)題鞏固設(shè)，求. 求的值. 計算的值. 在中，有多少個不同的整數(shù)？解方程. 解方程. 解方程. 解方程. 解方程. 求滿足的所有x的和. 解方程. 設(shè)表示不超過x的最大整數(shù)，求方程的解. （1）從1017到2017的整數(shù)中，有多少個數(shù)是7的倍數(shù)？（2）如果，求最大的正整數(shù)k. 自招鏈接求不超過的最大整數(shù). 用表示不大于x的最大x的整數(shù)，如. 解方程：. 參考答案例題精講為了方便表述，記（n個2017），則.所以，即. 所以，即. 同理：.  所以. 由題意，. 事實上，當為整數(shù)，而a、b均不是整數(shù)時，有為整數(shù)，則為整數(shù)，又，所以，故. 根據(jù)上面結(jié)論，將原式首尾配對，共有251對，所以. 因為，故則或1，共有18個1，由性質(zhì)（4）可知，前面11項均為0，后面18項均為1，即，. 所以解得，故. 所以. 設(shè). 當時，必有，此時，解得，所以，從0到503的整數(shù)都能取到，當時，必有，此時，所以是不同的整數(shù)，從而，共有個不同的整數(shù). （法一）原方程化為，代入得，得，則可能取值為、，對應(yīng)的x取值為、. 經(jīng)檢驗，和均為原方程的解. （法二）原方程化為，代入，得，得，故或，對應(yīng)的x取值為、. 經(jīng)檢驗，和均為原方程的根. 原方程化為，代入得，解得或. 所以的可能取值為、2、3，對應(yīng)的x取值分別為、、3. 經(jīng)檢驗或或均為原方程的解. 去分母，將原方程化為，當時，只需滿足x為非零整數(shù)；當時，，將代入得. 當時，，此時無整數(shù)解，當時，，解得，此時. 當時，，. 所以；當時，，，所以，. 因此，對于任意實數(shù)x，恒成立. 習(xí)題鞏固考慮的整數(shù)部分. ，所以，整數(shù)部分為，故故. 考慮，其中，因為，故，原式. 首尾配對，原式. 設(shè). 當時，必有，此時，解得，故從0到8的整數(shù)都能取到；當時，必有，此時，所以是不同的整數(shù)，從而共有個不同的整數(shù). 將原方程代入得，解得，則，即，所以的可能取值為、，對應(yīng)的x取值為、，經(jīng)檢驗或為原方程的解. 由題意，得，解得：，所以，經(jīng)檢驗為原方程的解. 由題意，得. 估算一下x的范圍，得到：，所以. 由題意，得，得或，所以，代入檢驗得.由于，，所以：，即：，解得：，故. 所以，對應(yīng)的x為，經(jīng)檢驗或為原方程的解. 原方程化為，所以，可得，于是，從而，滿足條件的x為：，和為：. 代入得，即，由得，故，所以. 將代入得，解得，1，所以. （1）1到2017的整數(shù)中有個7的倍數(shù)，1到1016的整數(shù)中有7的倍數(shù)個，故1017到2017的整數(shù)中有個7的倍數(shù)；（2）2017！中含有7的次數(shù)為，1016！中含有7的次數(shù)為，故k的最大值為. 自招鏈接設(shè)，則，，，因為，所以. 所以求不超過的最大整數(shù)是7039. （1）當x是整數(shù)，則，所有非零整數(shù)都是原方程的解. （2）當x不是整數(shù)，則，由原方程得. 所以. 當，則. 代入①，得. 當時，，這樣的整數(shù)不存在；當時，，只有整數(shù)滿足，此時. 綜上所述，原方程的解為所有非零整數(shù)和.   

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