在自招考試中，對于拓展Ⅱ教材中的知識點必須掌握．處理圓中比例線段的問題，通常用到圓冪定理．圓冪定理是初中幾何中最重要的定理之一．相交弦定理、切割線定理和割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理．
相交弦定理：圓的弦相交于圓內(nèi)的一點，各弦被這點內(nèi)分（分點在線段內(nèi)）成的兩條線段長的乘積相等．即如圖5-1所示，有．
切割線定理：圓的弦延長相交于圓外一點，各弦被這點外分（分點在線段的延長線上）成的兩線段長的乘積相等，并且等于這點到圓的切線長的平方．即如圖5-2所示，有．
例題精講
如圖5-3，是的切線．從的中點作割線，分別交于點、，連結(jié)、，分別交于點、．求證：．
如圖5-4，四邊形內(nèi)接于以為直徑的半圓，且，、的延長線相交于點．，，已知，求的長
已知為等腰底邊的中點，以點為圓心作半圓與兩腰相切于點、 ，過半圓上任一點作半圓的切線，分別交、于點、，求的值．
如圖5-7，正中與平行的中位線和的外接圓弧交于，和交于點，求．
如圖5-9，過的頂點、分別作其外接圓的切線、交于點，連結(jié) 分別交的邊及其外接圓于點、．求證：．
如圖5-10，的弦，垂足為，以為一邊作正方形，點在上．若的半徑等于10，弦的弦心距為5，求正方形的邊長．
如圖5-12，甲、乙兩名滑冰運動員分別在圓形滑冰場的點、處，，，且，乙以的速度從點沿著圓形滑冰場邊順時針方向滑行，在乙離開點的同時，甲以的速度也從點沿著一條直線滑行，這條直線能使甲、乙在給定的速度下最早相遇．則最早相遇的時間在（ ）內(nèi)．
A．B．C．D．
如圖5-14，與外切于點，、的半徑分別為2、1，為的切線，為的直徑，分別交、于點、．求的值．
如圖5-16，已知是以為直徑的半圓上一點，于點，半圓、分別以、為直徑，、均與半圓內(nèi)切，亦與相切，并分別與半圓、相外切．若、的面積之和為，則的值為多少？
習題鞏固
已知四邊形內(nèi)接于直徑為3的圓，對角線和的交點是，是直徑，，且，求四邊形的周長．
如圖，已知圓的直徑上有兩定點、和圓心等距離，是圓周上任意一點，連結(jié)、分別延長交圓于點、，求證：是定．
如圖，在以為圓心的兩個同心圓中，、是大圓上任意兩點，過、作小圓的割線和．求證：．
如圖，已知的弦、相交于點，，，，切于點，與的延長線交于點，，求的長．
在中，已知，，，為內(nèi)角平分線，以為弦作一圓與相切，且與、分別交于點、，求的．
如圖所示，若，，與交于點，且，，求．
兩個角的邊交于點、、、．已知，這兩個角的平分線互相垂直，證明：點、、、四點共圓．
如圖所示，如果凸五邊形中，且．求證：．
如圖所示，在銳角中，，垂足為點；，垂足為點；，垂足為點．若點為的外心，求證：．
如圖所示，的外接圓半徑為，，垂足為點；，垂足為點；，垂足為點．求證：．
如圖，在箏形中，，，的平分線交于點．已知、、、四點共圓．則的度數(shù)是多少？
如圖，已知與相離，自點向作切線、（、為切點）分別交于點、；自點向作切線、（、為切點）分別交于點、．假定、兩點在連心線的同側(cè)．求證：．
自招鏈接
如圖所示，在梯形中，，，，，且 ，求的長．
如圖，切于點，點是的中點，弦，的延長線交于點，于點，連結(jié)，是的中點．已知，．求的長．
參考答案
因為是的切線，是的切線，是的割線，所以．
又因為為的中點，所以，所以，即．
又因為，所以∽．所以．
因為，則，所以，所以．
注意到，所以∽，
因此只需求出與半徑之間的關(guān)系．
因為，所以所對的圓心角等于所對的圓周角，即．
利用平行線分線段成比例以及圓冪定理可以聯(lián)立解得與半徑之比．
如圖5-5，連結(jié)、．設(shè)半徑為．
因為的，所以，所以．
設(shè)，則．所以．
由切割線定理有：，即．
所以，所以．所以．
因為，，所以∽．
所以．
又因為，所以．
如圖5-6，連結(jié)、、、、．
由切線的性質(zhì)得，，，
且由切線長定理得，，
所以，，，
所以．
因為，所以，所以∽．
所以，即，
所以．
如圖5-8，設(shè)、分別為、中點，兩端延長，交圓于點，，易見．設(shè)，．
則由相交弦定理有，解得．
由，知，
，，
于是．
因為、是的切線，所以∽，∽．
故，．
又，則，即．
由于∽，∽，
從而，，．
兩式相乘得．
所以，．
如圖5-11，作于點，交于點，作于點，連結(jié)、．
易知，，．
不妨設(shè)正方形的邊長為，則．
由相交弦定理得，即，①
又．②
將式②代入式①并化簡整理得
．
因為，取，所以，正方形的邊長為．
答案：C
如圖5-13，射線、分別交于點、．
在上依次取點、．、分別交于點、，過點分別作弦、的垂線，垂足分別為、．
設(shè)交于點．則．
故．①
由相交弦定理知．
則
．
顯然，，．
故．②
①＋②得．
由點、的任意性得．
設(shè)甲、乙最早相遇的時間為．此時，乙的位置為點．設(shè)的中點為．
由，得．則乙至少滑行了．
又，故乙在時間時已滑過了點．則
．
于是，．因此，乙至少滑行了．
由，知乙在時間時已滑過了點．
又，故甲沿直線滑到弧上任一點（除點外）所用時間小于．
從而，．所以，答案為．
如圖5-15，連結(jié)，則過點．連結(jié)并延長交于點．
因為，且為中點，所以，為的重心．
又過點，則，且為的中點．
由，知．即．
又四邊形為圓內(nèi)接四邊形，則．
故∽
．
由，有．令．則．
又，故．
解得．
所以，，．
則．
如圖5-17，設(shè)、、、、的半徑分別為、、、、，與切于點，過點作于點，連結(jié)、、．
易知，四邊形是矩形，則．
故．
在和中，，
即．
故．
同理，．
由題設(shè)知．則．
故．
習題鞏固
如圖，連結(jié)并延長交于點，則為中點，，
易證∽，則，
故，．
又．故，．
而，即．所以．
又，即，所以．
而，，，所以．
又，所以．
故四邊形的周長為．
連結(jié)，本題中、是定點，由相交弦定理是定值，是定值，
又因為、在一個三角形內(nèi)，滿足一定的數(shù)量關(guān)系，故取、為變參量．
設(shè)，，圓半徑為（常量），（常量）．
根據(jù)相交弦定理得．
所以．
同理可證．
在中，是上中線，且，
所以定值．
設(shè)大圓半徑為，小圓半徑為，由圓冪定理得．
因為弦、交于點，所以由相交弦定理得．
因為，，，所以．
因為為切線，由切割線定理得：
．
因為，所以，（舍去），
所以．
如圖，連結(jié)．
由，得．則∽．
易知，．
又，因此，．
以為圓心，以為半徑作圓，則該圓過、，且在圓上．
延長交圓于另一點．
由相交弦定理知．
依題意，，，是的外心，
所以，
因為，所以，．
又與是對頂角，
因此，是的外角．
所以．
于是，
所以、、、四點共圓．
如圖，連結(jié)．
因為（已知），所以、、、四點共圓，
故，又有、、、四點共圓．
于是．
在與中，因為（已知），（已證），
且三角形內(nèi)角和為，所以．
說明 其實，當證得、、、也四點共圓之后，推得：．
如圖，延長交于點，連結(jié)．
由“雙垂直模型”可知，
而由、、、四點共圓可知，
由、、、四點共圓可知，從而，故得證．
由“雙垂直模型”可知，而由、、、四點共圓可知，從而．
由∽可知（注意到是、、、的直徑即可），
從而．
如圖，連結(jié)交于點．
設(shè)、交于點，作點關(guān)于的對稱點．
易知在線段上．連結(jié)、．
由 、、、四點共圓知．
由
，
知，則．
又，則、、、四點共圓．
由，知．
所以，．
從而，，即．
因此，．
證法一：如圖，連結(jié)、、、、．
因為切于點，切于點，所以．
于是，、、、四點共圓．
因此，，．
在等腰與中，易知．
所以，、、、四點共圓．
于是，．從而，．
同理，．故．
證法二：如圖，過、分別向連心線引垂線，垂足分別為、，連結(jié)、．
由，
得∽．
同理，∽．
由，，知，所以，，
同理，．故．
自招鏈接
如圖，作點關(guān)于的對稱點，連結(jié)、、．設(shè)與交于點．
由，知點、到的距離相等．則．
設(shè)，．
由，得．
故、、、四點共圓．
由，得．
故．
又∽．
故．
由角平分線的性質(zhì)得．
又因為，
所以，，．
于是，由，解得．故．
如圖，延長、交于點．易知是半圓．連結(jié)，則是的直徑．
由，≌．
又，則．
由得．
于是，．
由切割線定理得．
由勾股定理得．
易知∽．所以，．
于是，，即．

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