理解三元一次方程組的概念以及三元一次方程組需要滿足的3個(gè)條件
掌握消元法解三元一次方程組的一般步驟
掌握特殊類型的三元一次方程組的解法
Q：足球比賽規(guī)則規(guī)定：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分．某足球隊(duì)賽了22場(chǎng)得47分，且勝的場(chǎng)數(shù)比負(fù)的場(chǎng)數(shù)的4倍還多2．該球隊(duì)勝、平、負(fù)各多少場(chǎng)？
【解答】設(shè)該球隊(duì)勝x場(chǎng)、平y(tǒng)場(chǎng)、負(fù)z場(chǎng)，可以得到關(guān)于x、y、z的三個(gè)方程：x+y+z=223x+y=47x=4z+2
三元一次方程組及其解法
根據(jù)題意：三個(gè)條件必須同時(shí)滿足，因此，我們把這三個(gè)方程聯(lián)立在一起：
像這樣，把含有三個(gè)未知數(shù)的三個(gè)一次方程聯(lián)立在一起，就組成了一個(gè)三元一次方程組.
【三元一次方程組的定義】方程組含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且方程組中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的方程（一般情況下，是三個(gè)方程），像這樣的方程組叫做三元一次方程組．
【命名解讀】①三元：共含有三個(gè)未知數(shù)；②一次：每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1．
【三元一次方程組需要滿足的3個(gè)條件】①方程組中的每個(gè)方程都是整式方程；②方程組中共含有三個(gè)未知數(shù)；③每個(gè)方程都是一次方程．
【注意點(diǎn)】方程組中的每個(gè)方程都是一次方程，但不一定都是三元一次方程，方程組中共計(jì)含有三個(gè)未知數(shù)即可
【回顧】解二元一次方程組的關(guān)鍵是什么？
消元法（先消去一個(gè)元）
【結(jié)論】解三元一次方程組的關(guān)鍵也是消元法
【消元法解三元一次方程組的一般步驟】（1）代入/加減消元：利用代入法或加減法，消去一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組；（2）求值：解這個(gè)二元一次方程組，求出這兩個(gè)未知數(shù)的值；（3）代回：把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)關(guān)于第三個(gè)未知數(shù)的一元一次方程，求出第三個(gè)未知數(shù)的值；（4）寫解：把求得的x、y、z的值用“{”聯(lián)立起來(lái)，就是方程組的解．
【解答】以消去c為例由①+②得：2a=2，解得：a=1，由②+③得：3a+2b=7……④,將a=1代入④得：3+2b=7,解得：b=2，
此題可將(b+c)當(dāng)作整體，直接加減消元求出a
【解答】以消去x為例由①-②得：3y=3，解得：y=1，由③-②得：4y+2z=0，整理得：2y+z=0……④，將y=1代入④得：2+z=0,解得：z=-2，
此題可將(x+z)當(dāng)作整體，直接加減消元求出y
【解答】以消去z為例由①+③得：3y=3，解得：y=1，由②+③得：x+y=2……④，將y=1代入④得：x+1=2,解得：x=1，
【解答】以消去x為例由①×2-②得：11z=22，解得：z=2，由①-③×2得：7y+2z=25……④，將z=2代入④得：7y+4=25,解得：y=3，
此題可將(2x+3y)當(dāng)作整體，直接加減消元求出z
解特殊類型的三元一次方程組
【解答】含比例式，可用設(shè)k法∵a：b：c=3：4：5，∴可以假設(shè)a=3k，b=4k，c=5k，∵4a-5b+3c=7，∴12k-20k+15k=7，∴k=1，
【分析】未知數(shù)的系數(shù)輪換，可直接將三式相加：由①+②+③得：2x+2y+2z=10，整理得：x+y+z=5……④，由④-①得：z=4，由④-②得：x=-1，由④-③得：y=2，
例3-3：已知a：b：c=2：3：4，a+b+c=27，求a-2b-3c的值．
【解答】∵a：b：c=2：3：4，∴可以假設(shè)a=2k，b=3k，c=4k，∵a+b+c=27，∴9k=27，∴k=3，∴a=6，b=9，c=12，∴a-2b-3c=6-18-36=-48.
【解答】由①+②+③得：2x+2y+2z=12，整理得：x+y+z=6……④，由④-①得：z=7，由④-②得：x=2，由④-③得：y=-3，
【三元一次方程組的定義】方程組含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且方程組中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的方程（一般情況下，是三個(gè)方程），像這樣的方程組叫做三元一次方程組．【命名解讀】①三元：共含有三個(gè)未知數(shù)；②一次：每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1．【三元一次方程組需要滿足的3個(gè)條件】①方程組中的每個(gè)方程都是整式方程；②方程組中共含有三個(gè)未知數(shù)；③每個(gè)方程都是一次方程．【注意點(diǎn)】方程組中的每個(gè)方程都是一次方程，但不一定都是三元一次方程，方程組中共計(jì)含有三個(gè)未知數(shù)即可

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初中數(shù)學(xué)蘇科版（2024）七年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

10.4 三元一次方程組

版本： 蘇科版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)

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