學生的知識技能基礎(chǔ)：學生已熟練的掌握了二元一次方程組的概念、解法和應(yīng)用，認識了二元一次方程組的模型，并應(yīng)用它們解決許多現(xiàn)實和有趣的問題，具備了用消元法解方程組的基本技能；學生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在相關(guān)知識的學習過程中，學生已經(jīng)經(jīng)歷了一些在實際應(yīng)用問題中尋找等量關(guān)系建立方程并求解的活動，解決了一些簡單的現(xiàn)實問題，受到了利用方程組解決實際問題的簡便性性和作用，同時在以前的數(shù)學習中學生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作學習的經(jīng)驗，具備了一定的合作與交流的能力。
二、【教學任務(wù)】
教科書基于學生已熟練的掌握了二元一次方程組的概念、解法和應(yīng)用的基礎(chǔ)之上，提出了本課的具體學習任務(wù)：了解三元一次方程組的概念，會用“代入”“加減”把三元一次方程組化為“二元”、進而化為“一元”方程來解決。作為選學內(nèi)容使有較好數(shù)學基礎(chǔ)，對數(shù)學知識感興趣的同學能根據(jù)三元一次方程組的具體形式選擇適當?shù)慕夥ú⒔鉀Q實際問題，能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，更深的體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型.
教學目標：
①通過對二元一次方程組的類比學習，了解三元一次方程組的概念，會用“代入”“加減”把三元一次方程組化為“二元”、進而化為“一元”方程來解決；
②再次經(jīng)歷找等量關(guān)系、建立方程模型的活動過程. 在解方程組的過程中體會其基本思想就是“消元”.無論是解二元一次方程組、還是三元一次方程組，推廣到四元、五元、多元一次方程組，基本策略都是化多為少、逐一解決，具體措施都是“代入”或“加減”，以實現(xiàn)“消元”，轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而得解；
③讓學生感受把新知轉(zhuǎn)化為已知、把不會的問題轉(zhuǎn)化為學過的問題、把難度大的問題轉(zhuǎn)化為難度較小的問題這一化歸思想；感受數(shù)學知識之間的密切聯(lián)系，增強學生的數(shù)學應(yīng)用意識，初步培養(yǎng)學生建立數(shù)學模型解決問題的良好習慣.
教學重點
1．使學生會解簡單的三元一次方程組．
2．通過本節(jié)學習，進一步體會“消元”的基本思想．
3、針對方程組的特點，靈活使用代入法、加減法等重要方法．
三、【教學過程】
前面我們學習了二元一次方程組的解法．有些問題，可以設(shè)出兩個未知數(shù)，列出二元一次方程組來求解．實際上，有不少問題中含有更多的未知數(shù)．大家看下面的問題．
（一）知識回顧
1、看一看下面兩個方程組，用哪種方法更簡便

2、解二元一次方程組有哪幾種方法？
代入消元法和加減消元法
3、它們的實質(zhì)是什么？
二元一次方程組 一元一次方程
(目的：通過復(fù)習回憶二元一次方程組解法，)
（二）探索新知
小明手頭有12張面額分別為1元，2元，5元的紙幣，共計22元，其中1元紙幣的數(shù)量是2元紙幣數(shù)量的4倍，求1元，2元，5元紙幣各多少張．
1．題目中有幾個未知數(shù)，你如何去設(shè)？
2．根據(jù)題意你能找到等量關(guān)系嗎？
3．根據(jù)等量關(guān)系你能列出方程組嗎？
請大家分組討論上述問題,（教師對學生進行巡回指導(dǎo)）
學生成果展示：
1．設(shè)1元，2元，5元各x張，y張， z張．（共三個未知數(shù)）
2．三種紙幣共12張；三種紙幣共22元；1元紙幣的數(shù)量是2元紙幣的4倍．
3．上述三種條件都要滿足，因此可得方程組
師生歸納：像這樣共含有三個未知數(shù)的三個一次方程所組成的一組方程，叫做三元一次方程組
關(guān)注概念中的三個要點：①未知數(shù)的個數(shù)；②未知數(shù)的次數(shù)；③未知數(shù)同時滿足三個等量關(guān)系
(目的：通過情，引入新課，使學生了解三元一次方程組的概念及本節(jié)課要解決的問題，強調(diào)審題抓住的三個等量關(guān)系，從而表示成以上三個方程，這個問題的解答必須同時滿足這三個條件，希望學生能找出等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)建立方程，引出本節(jié)課的要解決的問題——解三元一次方程組.)
4、討論三元一次方程組怎么求解？
引導(dǎo)學生回顧前面所學二元一次方程組解法的基本指導(dǎo)思想——消元，以及消元的基本方法（代入消元、加減消元），嘗試對，進行消元， 從而解決問題.三元一次方程組的消元可以類比二元一次方程組的消元進行（學生小組交流，探索如何消元）；
1.用代入消元法：由于方程組③式的特點，可將③式分別代入①②式，消去x，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于y，z的二元一次方程組的求解；解此二元一次方程組得出y、z，進而代回③可求x．
2.用加減消元法：由于③式中沒有含z，可以將①，②式聯(lián)立相加，消掉z，從而得到關(guān)于x， y的二元一次方程組的求解；解此二元一次方程組得出x、y，進而代回①可求z.
教師對學生的想法給予肯定并總結(jié)解三元一次方程組的基本思路：通過“代入”或“加減”進行消元，把“三元”化為“二元”，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進而轉(zhuǎn)化為解一元一次方程．
即三元一次方程組 二元一次方程組 一元一次方程
（三）例題講解
1、解三元一次方程組
（讓學生獨立分析、解題，方法不唯一，可分別讓學生板演后比較．）
解：②×3+③，得11x+10z=35 ④
①與④組成方程組
把x=5，z=-2代入②，得y=．
因此，三元一次方程組的解為
歸納：此方程組的特點是①不含y，而②③中y的系數(shù)為整數(shù)倍關(guān)系，因此用加減法從②③中消去y后，再與①組成關(guān)于x和z的二元一次方程組的解法最合理．反之用代入法運算較煩瑣．
（目的：本題的意圖是讓學生模仿老師的做法自行操作，所以盡量讓各項系數(shù)簡單一些，讓學生練習感覺輕松、愉悅一些.）
2、解三元一次方程組
解：由③－①得 2x+y=-2 ④
由①×2+②得 3x－y=17 ⑤
將④、⑤組成方程組

解二元一次方程組得
x=3,y=-8
把x=3,y=-8帶入①得 z=-11
三元一次方程組的解為
（設(shè)計意圖：（前面例題和練習的基礎(chǔ)上，對本課解過的三個方程組進行比較，談?wù)劷鉀Q方程組的方法.總結(jié)求解三元一次方程組的整體思路——消元，實現(xiàn)三元——二元——一元的轉(zhuǎn)化.在消元過程中，消“誰”都行，用那種消法（代入法、加減法）也可，但如果選擇合適，可提高計算的效率.）
學生歸納具體做法是：①如果已有某個未知數(shù)的表達式，直接用代入消元，否則常用加減消元.②用加減消元時，如果方程組中有至少一個方程只有兩個未知數(shù)，缺哪個未知數(shù)就消哪個.③用加減消元時，如果方程組中三個方程均含有三個未知數(shù)，通常要進行兩次消元才能轉(zhuǎn)化為二元一次方程組.
（四）適當點撥，講解拓展
在等式y(tǒng)=ax2+bx+c中，當x=-1時，y=0；當x=2時，y=3；當x=5時，y=60，求a，b，c的值．
（師生一起分析，列出方程組后交由學生求解．）
解：由題意，得三元一次方程組
②-①，得a+b=1， ④
③-①，得4a+b=10． ⑤
④與⑤組成二元一次方程組．
解得
把a=3，b=-2代入①，得c=-5．
因此，
答：a=3，b=-2，c=-5．
（設(shè)計意圖:設(shè)計此題與解三元一次方程組的意義相吻合，加深學生對解三元一次方程組的理解。）
（五）當堂檢測，效果反饋
1.在方程5x－2y＋z＝3中，若x＝－1，y＝－2，則z＝_______.
2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，則x＋y＋z＝_______
3.已知∣x－8y∣＋2（4y－1）2＋3∣8z－3x∣＝0，則x＋y＋z＝_______
4.已知單項式－8a3x＋y－z b12 cx＋y＋z與2a4b2x－yc6是同類型，則x＝____，y＝____，z＝_____
5. 解方程組 ,則x＝_____，y＝______，z＝_______.
6.解方程組
x＋y＝3
y＋z＝5
x＋z＝6
x＋y－z＝6
x－3y＋2z＝1
3x＋2y－z＝4
（2）
7. 在一次足球比賽中規(guī)定：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，某隊在足球比賽得4場比賽中得6分，這個隊勝了幾場，平了幾場，負了幾場？
8. 在一次足球比賽中規(guī)定：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，某隊在足球比賽得4場比賽中得6分，這個隊勝了幾場，平了幾場，負了幾場？
（六、）課堂小結(jié)
1．學會三元一次方程組的基本解法．
2．掌握代入法，加減法的靈活選擇，體會“消元”思想．
（目的：引導(dǎo)學生自己小結(jié)本節(jié)課的知識要點及數(shù)學方法，使這節(jié)課知識系統(tǒng)化，感性認識上升為理性認識.）
（七）課后探究，拓展延伸
1、練習冊：65--66頁、課課練
2、完成挑戰(zhàn)極限
解方程組
（設(shè)計目的：課后作業(yè)設(shè)計包括了兩個層面：作業(yè)1是為了鞏固基礎(chǔ)知識而設(shè)計；作業(yè)2是為了擴展學生的知識面；拓廣知識，增加學生對數(shù)學問題本質(zhì)的思考而設(shè)計，通過此題可讓學生進一步運用消元法解決問題．）
四、【板書設(shè)計】
三元一次方程組
1. 三元一次方程組定義：共含有三個未知數(shù)的三個一次方程所組成的一組方程；概念中的三個要點：①未知數(shù)的個數(shù)；②未知數(shù)的次數(shù)；③未知數(shù)同時滿足三個等量關(guān)系
2. 解三元一次方程組的基本思路：
即三元一次方程組 二元一次方程組 一元一次方程
3. 解三元一次方程組
解：②×3+③，得11x+10z=35 ④
①與④組成方程組
把x=5，z=-2代入②，得y=．
因此，三元一次方程組的解為
關(guān)于本教學設(shè)計的說明
五、【教學設(shè)計反思】
1.本節(jié)課的內(nèi)容屬于選修學習的內(nèi)容，主要突出對數(shù)學興趣濃厚、學有余力的同學進一步探究和拓展使用，在數(shù)學方法和思想方面需重點引導(dǎo)，通過引導(dǎo)，使學生明白解多元方程組的一般方法和思想，理解鞏固環(huán)節(jié)需多注意多種解題方法的引導(dǎo)，并且比較各種解題方法之間的優(yōu)劣，總結(jié)出解多元方程的基本方法.
2.作為選修課，在內(nèi)容上要讓學生理解三元一次方程組概念的同時，要讓學生理解為什么要用三元一次方程組甚至多元方程組去求解實際問題的必要性，從而掌握本堂課的基礎(chǔ)知識．在教學的過程中，要讓學生充分理解對復(fù)雜的實際問題方程中元越多，等量關(guān)系的建立就越直接；充分理解代入消元法和加減法解方程的優(yōu)點和缺點，有關(guān)這一方面的題目要讓學生充分討論、交流、合作，其理解才會深刻．

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10.4 三元一次方程組

版本： 蘇科版

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