2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、填空題
1．已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，進(jìn)而得結(jié)果
【詳解】
故答案為：
2．在半徑為1的圓中，弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為 .
【答案】/
【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.
【詳解】在半徑為1的圓中，弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為,
故答案為：
3．已知向量且，則 .
【答案】-28
【分析】由平面向量平行與垂直的坐標(biāo)運(yùn)算,列方程組求解
【詳解】因?yàn)榍?，所以，解?
故答案為：-28
4．已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再根據(jù)二倍角公式求解.
【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義得：，
又因?yàn)?br>故答案為：
5．若向量、滿(mǎn)足，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解作答.
【詳解】由，，得，
所以.
故答案為：
6．若是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，則 ．
【答案】3
【分析】利用實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理，結(jié)合韋達(dá)定理求解即可．
【詳解】1－i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2＋bx＋c＝0的一個(gè)根，
可知1＋i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2＋bx＋c＝0的一個(gè)根，
∴(1＋i)(1﹣i)＝c，∴c＝3．
故答案為：3．
7．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，若，則 ．
【答案】
【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，的值，進(jìn)而利用正弦定理可求的值．
【詳解】因?yàn)椋?br>且，可得，；
由正弦定理可得：．
故答案為：．
8．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則 ．

【答案】/
【分析】根據(jù)圖象求得，進(jìn)而可得，再代入最大值點(diǎn)即可求得的值，進(jìn)而可求得.
【詳解】由已知可得，，所以，所以，
所以.
又因?yàn)樵谔幦〉米畲笾担?br>所以有，
所以.
又因?yàn)?，所以?br>所以，
所以.
故答案為：.
9．如圖，為計(jì)算湖泊岸邊兩景點(diǎn)與之間的距離，在岸上選取和兩點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得，，，，，據(jù)以上條件可求得兩景點(diǎn)與之間的距離為 （精確到）.

【答案】5.8
【分析】在中，根據(jù)余弦定理求出，然后在，先求出，然后根據(jù)正弦定理，即可求出答案.
【詳解】在中，有，，，
由余弦定理可得，，
即，
整理可得，
解得或（舍去）.
在中，有，，，
所以，.
由正弦定理可得，
(km).
故答案為：.
10．在中，，點(diǎn)是外接圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為 .
【答案】48
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，用圓的方程設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算的最大值．
【詳解】，
，即為直角三角形，
建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則，，，外接圓，
設(shè)，，則，，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
所以的最大值是48．
故答案為：48．
11．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】先求出平移后圖象對(duì)應(yīng)的解析式，根據(jù)單調(diào)性可求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題設(shè)可得平移后圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，
因?yàn)?，故?br>因?yàn)樵诓粏握{(diào)，故或，
即或，
所以或，故.
故答案為：.
12．已知向量，其中且．設(shè)與的夾角為，若對(duì)于任意，總有，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】不妨設(shè)，，則將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題，利用極限位置一一分析即可；
【詳解】解：不妨設(shè)，，則向量問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為如下解三角形問(wèn)題：
由，為銳角，
同時(shí)由余弦定理，
而實(shí)際上表示的是OA的延長(zhǎng)線(xiàn)．
故，而，則與的夾角．
可知，隨著的增大，也在增大，則在減小，
由題意，只需求所趨近的最大值和最小值即可．
第一種極限情況，當(dāng)與A重合時(shí)，
第二種極限情況，當(dāng)位于OA的延長(zhǎng)線(xiàn)無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，可看作與平行，根據(jù)兩條平行直線(xiàn)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)，，
由于恒成立，則，則k的最小值為．
故答案為：
二、單選題
13．，則是（ ）
A．第一或第二象限角B．第二或第四象限角
C．第一或第三象限角D．第二或第三象限角
【答案】C
【分析】求解指數(shù)不等式可得，進(jìn)一步得到，則答案可求．
【詳解】由，
得，
，
即，
是第一或第三象限的角．
故選：C．
14．設(shè)z1，z2為復(fù)數(shù)，下列命題一定成立的是（ ）
A．如果，a是正實(shí)數(shù)，那么
B．如果，那
C．如果，a是正實(shí)數(shù)，那么
D．如果，那么
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】設(shè)，
對(duì)A：∵，則，
∴，A正確；
對(duì)B：∵，即，則，
不能得到，更不能得到，
例如，則，但，B錯(cuò)誤；
對(duì)C：∵，則，
但只有實(shí)數(shù)才能比較大小，對(duì)于虛數(shù)無(wú)法比較大小，C錯(cuò)誤；
對(duì)D：∵，則，
可得，不能得到，
例如，則，但顯然，D錯(cuò)誤.
故選：A.
15．已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）若，則是等腰三角形；
（2）若，則是直角三角形；
（3）若，則是鈍角三角形；
（4）若，則是等邊三角形．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用三角形的性質(zhì)、正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行計(jì)算求解.
【詳解】中，，由正弦定理有：
，因?yàn)橹校?br>所以，即，即，
所以或，故（1）錯(cuò)誤；
中，因?yàn)?，所以?br>所以或，故（2）錯(cuò)誤；
中，，當(dāng)時(shí)，
，，，顯然不滿(mǎn)足；
當(dāng)中有1為負(fù)，2個(gè)為正，不妨設(shè)，
則，，，所以是鈍角三角形；故（3）正確；
中，，所以，
所以
因?yàn)椋?br>所以，所以，
則是等邊三角形，故（4）正確；故A，C，D錯(cuò)誤.
故選：B.
16．已知，若存在正整數(shù)n，使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有2023個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a所有可能的值為（ ）
A．1B．－1C．0D．1或－1
【答案】B
【分析】根據(jù)題意令分析可得關(guān)于t的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，結(jié)合韋達(dá)定理可得，分類(lèi)討論的分布，結(jié)合正弦函數(shù)分析判斷.
【詳解】令，
令，則，即，
∵，
則關(guān)于t的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)為，令，
可得，則有：
1.若， 即和，
結(jié)合正弦函數(shù)圖象可知：在內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，無(wú)實(shí)數(shù)根，
故對(duì)任意正整數(shù)n，在內(nèi)有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
2.若， 即和，
結(jié)合正弦函數(shù)圖象可知：無(wú)實(shí)數(shù)根，在內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故對(duì)任意正整數(shù)n，在內(nèi)有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
3.若， 即和，
結(jié)合正弦函數(shù)圖象可知：在內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，在內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故對(duì)任意正整數(shù)n，在內(nèi)有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
4.若， 即和，
結(jié)合正弦函數(shù)圖象可知：在內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
①對(duì)任意正奇數(shù)n，在內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)，
由題意可得，解得，不合題意；
②對(duì)任意正偶數(shù)n，在內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)，
由題意可得，解得，不合題意；
5.若， 即和，
結(jié)合正弦函數(shù)圖象可知：在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，在內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
①對(duì)任意正奇數(shù)n，在內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)，
由題意可得，解得，符合題意；
②對(duì)任意正偶數(shù)n，在內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)，
由題意可得，解得，不合題意；
綜上所述：當(dāng)，時(shí)，符合題意.
此時(shí)，解得.
故選：B.
三、解答題
17．已知復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位)，且為純虛數(shù)(是的共軛復(fù)數(shù)).
(1)求實(shí)數(shù)的值及復(fù)數(shù)的模；
(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算算出，然后可得答案；
（2）對(duì)進(jìn)行運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后可得答案.
【詳解】（1）由題意得為純虛數(shù)，
所以，所以；
（2），
因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，
所以.
18．在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為，且.
(1)求角的大??；
(2)若，的面積，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理：邊轉(zhuǎn)角，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)條件求出，再利用余弦定理求出，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻玫剑?br>又因?yàn)?，所以?br>故，得到，又因?yàn)?，所?
（2）因?yàn)椋拿娣e，
所以，得到，
在中，由余弦定理得，
所以，故的周長(zhǎng)為.
19．在校園美化、改造活動(dòng)中，要在半徑為、圓心角為的扇形空地的內(nèi)部修建一矩形觀賽場(chǎng)地，如圖所示．取的中點(diǎn)M，記．
(1)寫(xiě)出矩形的面積S與角的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求當(dāng)角為何值時(shí)，矩形的面積最大？并求出最大面積．
【答案】(1)，
(2)當(dāng)時(shí)，矩形的面積最大，最大值為
【分析】（1）首先得出，再用的三角函數(shù)分別表示出和，則，再根據(jù)二倍角公式，降冪公式和輔助角公式化簡(jiǎn)即可；
（2）由，得出，根據(jù)正弦函數(shù)的圖像，得出時(shí)，面積最大，即可得出最大面積．
【詳解】（1）由題可知，，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
，．
（2），
，
當(dāng)，即時(shí)，
，
故當(dāng)時(shí)，矩形的面積最大，最大值為．
20．如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，且．
(1)設(shè)，求實(shí)數(shù)、的值；
(2)若，求的值；
(3)設(shè)點(diǎn)滿(mǎn)足，求證：．
【答案】(1)
(2)
(3)證明見(jiàn)解析.
【分析】(1)根據(jù)向量的減法運(yùn)算和線(xiàn)性表示即可求解；(2)利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解；(2)用基底表示出向量，再用數(shù)量積運(yùn)算律表示出模長(zhǎng)，即可得證.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>所以，所以；
（2）
；
（3）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>,,
所以,
,
所以,即，得證.
21．對(duì)于函數(shù)，，如果存在一組常數(shù)，，…，（其中k為正整數(shù)，且）使得當(dāng)x取任意值時(shí)，有則稱(chēng)函數(shù)為“k級(jí)周天函數(shù)”.
(1)判斷下列函數(shù)是否是“2級(jí)周天函數(shù)”，并說(shuō)明理由：①；②；
(2)求證：當(dāng)時(shí)，是“3級(jí)周天函數(shù)”；
(3)設(shè)函數(shù)，其中b，c，d是不全為0的實(shí)數(shù)且存在，使得，證明：存在，使得.
【答案】(1)是，不是；理由見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）令，，然后化簡(jiǎn)，根據(jù)定義可知；
（2）令，，，然后化簡(jiǎn)，從而得證；
（3）若，則，取，則；若，則利用反證法證明即可；若時(shí)，由，可得，從而可得結(jié)論
【詳解】（1）令，，則，
所以是“2級(jí)周天函數(shù)”；
，不對(duì)任意x都成立，
所以不是“2級(jí)周天函數(shù)”；
（2）令，，，則
所以是“3級(jí)周天函數(shù)”；
（3）對(duì)其進(jìn)行分類(lèi)討論：
1°若，則，此時(shí)取，則；
2°若，采用反證法，若不存在，使得，則恒成立，
由（2）可知是“3級(jí)周天函數(shù)”，
所以，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
再由恒成立，
所以，
進(jìn)而可得，這與b，c，d是不全為0矛盾，
故存在，使得；
3°若，由，，
得，
所以存在，使得，
所以命題成立.

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