注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
4．測(cè)試范圍：滬教版2020必修第三冊(cè)第十~十一章。
5．難度系數(shù)：0.65。
一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）
1．“點(diǎn)A在直線上”用符號(hào)語(yǔ)言可以表示為 .
【答案】
【解析】A在直線上，即
故答案為：
2．在正方體中，，則直線到平面的距離為 ．
【答案】2
【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，.
又平面，平面，
所以，平面.
所以，點(diǎn)A到平面的距離，即等于直線到平面的距離.
又平面，所以點(diǎn)A到平面的距離即為.
所以，直線到平面的距離為2.

故答案為：2.
3．已知圓柱的底面半徑為2，高為2，則該圓柱的側(cè)面積是 ．
【答案】
【解析】圓柱的側(cè)面展開(kāi)為矩形，其中矩形的一條邊長(zhǎng)為圓柱底面周長(zhǎng)，即，另一邊長(zhǎng)為2，故圓柱的側(cè)面面積為.
故答案為：
4．如圖，在正方體中，異面直線與所成的角為 ．
【答案】
【解析】在正方體中，連接，
正方體的對(duì)角面是矩形，則，
因此是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，
而，即是正三角形，則，
所以異面直線與所成的角為.
故答案為：
5．圓錐的母線長(zhǎng)為2，母線所在直線與圓錐的軸所成角為，則該圓錐的高為 ．
【答案】3
【解析】由已知得該圓錐的高為.
故答案為：3.
6．一個(gè)梯形的直觀圖是一個(gè)如圖所示的等腰梯形，且，則原梯形的面積為 .
【答案】8
【解析】在坐標(biāo)系中作出直觀圖對(duì)應(yīng)的原圖形，它是直角梯形，如圖.
易得，，，
故原梯形的面積為：，
故答案為：8.
7．已知斜線段的長(zhǎng)度是斜線段在這個(gè)平面內(nèi)射影的長(zhǎng)的倍，則這條斜線和這個(gè)平面所成的角的大小為 .
【答案】/
【解析】設(shè)斜線和平面所成角為，則，.
故答案為：.
8．已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為，且兩個(gè)截面之間的距離是，則球的表面積為 ．
【答案】
【解析】由球的截面為圓，設(shè)兩個(gè)平行的截面圓的半徑分別為，，球的半徑為，
因?yàn)椋裕?br>又，所以，
當(dāng)兩截面在球心的同側(cè)時(shí)，，
解得，球的表面積為；
當(dāng)兩截面在球心的同側(cè)時(shí)，，無(wú)解；
綜上，所求球的表面積為.
故答案為：.
9．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA＝1，則側(cè)面PCD與底面ABCD所成的二面角的大小是 ．

【答案】45°
【解析】因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，所以AD⊥CD，
又因?yàn)镻A⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，所以PA⊥CD，
因?yàn)镻A∩AD＝A，PA、AD在面PAD內(nèi)，所以CD⊥平面PAD，
又因?yàn)镻D?平面PAD，所以CD⊥PD，
于是∠PDA為側(cè)面PCD與底面ABCD所成的二面角的平面角，
因?yàn)镻A⊥底面ABCD，AD?底面ABCD，PA⊥AD，
又因?yàn)镻A＝1，AD＝1，所以∠PDA＝45°，
于是側(cè)面PCD與底面ABCD所成的二面角的大小為45°．
故答案為：45°．
10．如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，下列說(shuō)法中，正確的序號(hào)是 .
（1）直線與直線相交；
（2）直線與直線平行；
（3）直線與直線是異面直線；
（4）直線與直線成角.
【答案】（3）（4）/(4)(3)
【解析】解：由正方體的平面展開(kāi)圖可得正方體，
可得與為異面直線，故（1）錯(cuò)誤；
與為異面直線，故（2）錯(cuò)誤；
直線與直線是異面直線，故（3）正確；
連接，，由正方體的性質(zhì)可得，所以為異面直線與直線所成的角，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，即直線與直線所成角為，故（4）正確；
故答案為：（3）（4）．
11．設(shè)和都是平面的垂線，其垂足分別為.已知，那么線段 .
【答案】或
【解析】如圖所示，因?yàn)楹投际瞧矫娴拇咕€，其垂足分別為，
可得，且，
如圖（1）所示，當(dāng)點(diǎn)在平面的同側(cè)時(shí)，
過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，
又因?yàn)椋傻茫?br>在直角中，可得.
如圖（2）所示，當(dāng)點(diǎn)在平面的兩側(cè)時(shí)，
過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線的垂線，設(shè)，垂足為，則，
又因?yàn)?，可得?br>在直角中，可得.
故答案為：或.
12．如圖，平面平面，，，．平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，記直線OP與平面OAB所成角為，則的最大值是 ．
【答案】
【解析】如圖，
過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，
取的中點(diǎn)為，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
平面平面，且平面平面，平面，，
，平面，在平面上的射影就是直線，
故就是直線與平面所成的角，即，
，，
又，，，平面，
平面，平面，，
故點(diǎn)的軌跡就是平面內(nèi)以線段為直徑的圓點(diǎn)除外，
，且，，
設(shè)，則，從而，
，如圖，
當(dāng)且僅當(dāng)，即是圓的切線時(shí)，角有最大值，有最大值，
取得最大值為：．
故答案為：.
二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng))
13．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面B．斜棱柱的側(cè)面中沒(méi)有矩形
C．圓柱的母線平行于軸D．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形
【答案】B
【解析】由棱柱的性質(zhì)可知A正確，B錯(cuò)誤；由圓柱的性質(zhì)可知C正確；由正棱錐的性質(zhì)可知D正確.
故選：B
14．已知是直線，是兩個(gè)不同平面，下列命題中的真命題是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】C
【解析】若，則有，故可判斷A錯(cuò)誤.
若，則或，故B錯(cuò)誤.
若，則存在直線與平行，所以，故C正確.
若，則或，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
15．《九章算術(shù)》中所述“羨除”，是指如圖所示五面體，其中，“羨除”形似“楔體”．“廣”是指“羨除”的三條平行側(cè)棱之長(zhǎng)、、，“深”是指一條側(cè)棱到另兩條側(cè)棱所在平面的距離、“袤”是指這兩條側(cè)棱所在平行直線之間的距離（如圖）．羨除的體積公式為，過(guò)線段，的中點(diǎn)，及直線作該羨除的一個(gè)截面，已知?jiǎng)偤脤⒘w除分成體積比為的兩部分．若、，則的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【解析】因?yàn)?、、，，為線段，的中點(diǎn)，
所以且，
所以，，
即，，
因?yàn)椋?，解?
故選：B
16．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則以下命題正確的序號(hào)為（ ）

①直線平面
②平面與平面的夾角大小為
③三棱錐的體積為定值
④異面直線與所成角的取值范圍是
A．①②B．①③C．①③④D．①④
【答案】B
【解析】如圖，連接，正方形中，，
正方體的棱平面，平面，，
，平面，所以平面，
又平面，所以，同理．
，平面，所以平面，①正確；
因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br>又平面平面，，平面，平面，
則是平面與平面的夾角，顯然三角形為等腰直角三角形，則該角大小為，②錯(cuò)；
因?yàn)?，，，所以?br>所以四邊形為平行四邊形，因此有，
又平面，平面，所以平面，
，因此到平面的距離為定值，三棱錐的體積為定值，③正確；
由于，因此異面直線與所成角就是與所夾的角，
即圖中或，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，易知，
當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，
因?yàn)槭堑冗吶切?，在線段，因此或中較小的角的范圍是，④錯(cuò)誤．
故選：B．

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)
17．如圖，已知分別是正方體的棱的中點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)．
(1)求證：點(diǎn)Q在直線DC上；
(2)求異面直線與所成角的大小．
【解析】（1）平面平面，
由于平面，平面，
所以，也即點(diǎn)Q在直線DC上. （6分）
（2）根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，
所以異面直線與所成角為， （8分）
由于分別是的中點(diǎn)，
所以，
所以異面直線與所成角的大小為. （14分）
18．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，O是AC與BD的交點(diǎn)，，，平面ABCD，，M是PD的中點(diǎn)．
(1)證明：平面ACM
(2)求直線AM與平面ABCD所成角的大?。?br>【解析】（1）連接，在平行四邊形中，
因?yàn)闉榕c的交點(diǎn)，
所以為的中點(diǎn)， （2分）
又為的中點(diǎn),所以.
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面. （6分）
（2）取中點(diǎn),連接,，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,且,
由平面，得平面，
所以是直線與平面所成的角. （8分）
因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅?，且，?br>所以，則，
在Rt中,,所以,從而，
因?yàn)槠矫?平面,，
所以在Rt中，，，
所以直線與平面所成角大小為. （14分）
19．某種“籠具”由上、下兩層組成，上層和下層分別是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱，其中圓柱與圓錐的底面半徑相等，如圖所示：圓錐無(wú)底面，圓柱無(wú)上底面有下底面，內(nèi)部鏤空，已知圓錐的母線長(zhǎng)為20cm，圓柱高為30cm，底面的周長(zhǎng)為.
(1)求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到）；
(2)現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作這樣“籠具”的保護(hù)罩（包括底面）50個(gè)，該保護(hù)罩緊貼包裹“籠具”，紗網(wǎng)材料（按實(shí)測(cè)面積計(jì)算）的造價(jià)為每平方米8元，共需多少元？（結(jié)果精確到0.1元）
【解析】（1）設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，高為，圓柱高為，
則由題意有，得，圓錐高，
所以“籠具”的體積. （6分）
（2）圓柱的側(cè)面積，圓柱的底面積，
圓錐的側(cè)面積，
所以“籠具”的側(cè)面積. （12分）
故造50個(gè)“籠具”的最低總造價(jià)為元. （14分）
答：這種“籠具”的體積約為；生產(chǎn)50個(gè)籠具需要138.7元.
20．如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，．

(1)證明：與平面不垂直；
(2)證明：平面平面；
(3)如果，二面角等于，求二面角的大?。?br>【解析】（1）若平面，
則，
由已知，
得， （2分）
這與矛盾，所以與平面不垂直． （4分）
（2）取、的中點(diǎn)、，連接、、，
由，，得，
，
為直角梯形的中位線， （6分）
，又，
∴CD⊥平面PEF， （8分）
由平面，得，又且梯形兩腰、必交，
平面,
又平面，
平面平面, （10分）
（3）由（2）及二面角的定義知為二面角的平面角,
作于，連，
由于平面,平面,故,
,平面,故平面
平面,所以
故為二面角的平面角, （12分）
即，
由已知，得，
又．
，
． ，
故二面角的大小為． （18分）

21．如圖，斜三棱柱中，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，平面⊥平面．
(1)求證：直線平面；
(2)設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為點(diǎn)，若三角形是等邊三角形且邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱，且異面直線與互相垂直，求異面直線與所成角；
(3)若，在三棱柱內(nèi)放置兩個(gè)半徑相等的球，使這兩個(gè)球相切，且每個(gè)球都與三棱柱的三個(gè)側(cè)面及一個(gè)底面相切．求三棱柱的高．
【解析】（1）斜三棱柱中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以， （2分）
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面； （4分）
（2）因?yàn)锳C=BC，為的中點(diǎn)，所以CD⊥AB，
因?yàn)槠矫妗推矫?，交線為AB，CD平面ABC，
所以CD⊥平面，故⊥平面，
所以,又與互相垂直，,面
故面,得.即為直角三角形， （6分）
在中，為中點(diǎn)，，所以為的三等分點(diǎn)，設(shè)，
由余弦定理可得：
解之：，所以故
⊥平面，在中，.
與所成的角為
（10分）
（3）過(guò)作于，過(guò)作于，連
為直截面，小球半徑為的內(nèi)切圓半徑
因?yàn)椋裕?br>故AC⊥BC，則 （12分）
設(shè)所以，由解得，
；
由最小角定理
（14分）
由面,易知，
內(nèi)切圓半徑為：
則 （18分）

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