注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
4．測試范圍：（必修第三冊+必修第四冊）（人教B版2019）
5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【解析】因為，
所以該復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，在第四象限，故選：D
2．已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線上，則（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】因為角的頂點在坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線上，可得，所以，故選：A
3．已知向量，滿足，，則（ ）．
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解析】由向量，可得，
因為，所以，故選：D.
4．如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形中對角線的長度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由直觀圖知原幾何圖形是直角梯形，如圖，
由斜二測法則知，，
所以，故選：C．
5．在中，內(nèi)角的對邊分別為若滿足，則該三角形為（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．不能確定
【答案】B
【解析】在中，已知
由正弦定理得，
所以即
又，則，則，
所以所以該三角形為等腰三角形.
故選：B.
6．設是三個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，則下列命題中為真命題的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則與異面D．若，則
【答案】D
【解析】對A，若，則a與b相交、平行或異面都有可能，故A錯誤；
對B，若，則或a與b異面，故B錯誤；
對C，若，則a與b相交、平行或異面都有可能，故C錯誤；
對D，若，設與的交線為m，與的交線為n，
在平面內(nèi)取，在平面內(nèi)取，與a不重合，
由面面垂直的性質(zhì)可得，所以，
又，所以，由線面平行的性質(zhì)定理得，
所以有，故D正確.

故選：D.
7．已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，即，
則.
故選：A.
8．秦九韶（1208年~1268年），字道古，祖籍魯郡（今河南省范縣），出生于普州（今四川安岳縣）．南宋著名數(shù)學家，與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學四大家.1247年秦九韶完成了著作《數(shù)書九章》，其中的大衍求一術（一次同余方程組問題的解法，也就是現(xiàn)在所稱的中國剩余定理）、三斜求積術和秦九韶算法（高次方程正根的數(shù)值求法）是有世界意義的重要貢獻．設的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，面積為，秦九韶提出的“三斜求積術”公式為，若，，則由“三斜求積術”公式可得的面積為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】因為，由正弦定理得，所以，
又因為，由余弦定理得，
可得，
所以.
故選：B．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．若z是非零復數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】BCD
【解析】對于A，由，得，則A錯誤.
對于B，因為，所以，解得或（舍去），則B正確.
對于C，設（，且），
則，所以，則C正確.
對于D，由，得.
設（，且），則，
，從而，則D正確.
故選：BCD
10．已知函數(shù)，如圖，圖象經(jīng)過點，，則（ ）
A． B．
C．是函數(shù)的一條對稱軸 D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
【答案】AD
【解析】由及過，得，即，
所以，又，解得，故A正確；
又點代入，得，
所以，又，于是，故B不正確；
由，則，故C不正確；
由，得
于是的單調(diào)遞增區(qū)間為，令可知D正確.
故選：AD.
11．《九章算術》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，如圖所示，該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．圖中的曲池，垂直于底面，，底面扇環(huán)所對的圓心角為，弧AD的長度是弧BC長度的3倍，，則下列說法正確的是（ ）．
A．弧AD長度為B．曲池的體積為
C．曲池的表面積為D．三棱錐的體積為5
【答案】AD
【解析】設弧所在圓的半徑為，弧所在圓的半徑為，
因為弧的長度是弧長度的3倍，底面扇環(huán)所對的圓心角為，
所以，解得，所以，可得，
所以弧的的長度為，所以A正確；
該曲池的體積為，所以B不正確；
曲池的表面積為
，所以C不正確；
三棱錐的體積為，所以D正確.
故選：AD.
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知向量，若向量在上的投影向量為，且與不共線，請寫出一個符合條件的向量的坐標 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由向量，可得向量，
因為向量在上的投影向量為，可得，可得，
設，可得，取，
此時向量與向量不共線，故.
13．如圖，已知兩座燈塔和與海洋觀察站的距離都等于，燈塔在觀察站的北偏東的方向，燈塔在觀察站的南偏東的方向，則燈塔與燈塔間的距離為 （）．
【答案】
【解析】由題意可得，，
在中，由余弦定理可得
，即，
解得，
14．如圖，已知正三棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱的長為2，E、F分別為和AC中點，則直線EF與平面所成角的余弦值為 ，異面直線與所成角的余弦值為 ．
【答案】 /
【解析】取中點，連接，
由題意可知，平面，所以為直線EF與平面所成角，
在中，，
所以；
取中點，連接，
可得，
所以異面直線與所成角的余弦值為，
在中，，，
，
由余弦定理可得，，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15．（本小題滿分13分）如圖，在斜坐標系中，分別是與軸?軸正方向同向的單位向量，且的夾角為，定義向量在該斜坐標系中的坐標為有序數(shù)對，記為.在斜坐標系中，完成如下問題：
(1)若，求；
(2)若，求（用表示）；
(3)若，求向量的夾角的大小.
【解】（1）根據(jù)題意，得到，
所以
（2）
（3）
，又因為
16．（本小題滿分15分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.
(1)求角；
(2)射線繞點旋轉(zhuǎn)交線段于點，且，求的面積的最小值.
【解】（1），
由正弦定理得，
則，
即
則，
且，
，；
（2）由和，可知，
因為，
所以，
又因為，
所以，即，
又，
當且僅當，即時，等號成立，
所以，
所以，
所以的面積的最小值為.
17．（本小題滿分15分）已知函數(shù)．
(1)若，的最小值為，求的對稱中心；
(2)已知，函數(shù)圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在（且）上恰好有12個零點，求的最小值．
【解】（1）的最小正周期為，
又，的最小值為，
的最小正周期是，
故，解得，
當時，，
由，
的對稱中心為；
當時，，
由，
的對稱中心為，
綜上所述，的對稱中心為或．
（2）函數(shù)圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，
，最小正周期，
令，則，
即或，
解得或．
若函數(shù)在（且）上恰好有12個零點，
則，
要使最小，須，恰好為的零點，
故．
可得的最小值為．
18．（本小題滿分17分）如圖所示，在長方形中，，為的中點，以為折痕，把折起到的位置，且平面平面.
(1)求證：；
(2)求四棱錐的體積；
(3)在棱上是否存在一點P，使得平面，若存在，求出點P的位置；若不存在，請說明理由.
【解】（1）根據(jù)題意可知，在長方形中，和為等腰直角三角形，
∴，
∴，即.
∵平面平面，
且平面平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴.
（2）如圖所示，取的中點，連接，則，且.
∵平面平面，且平面平面，平面，
∴平面，
∴.
（3）連接交于點，假設在上存在點P，使得平面，連接.
∵平面，平面平面，
∴，∴在中，.
∵，∴，
∴，即，
∴在棱上存在一點P，且，
使得平面.
19．（本小題滿分17分）由倍角公式，可知可以表示為的二次多項式．對于，我們有
可見也可以表示成的三次多項式．
(1)利用上述結(jié)論，求的值；
(2)化簡；并利用此結(jié)果求的值；
(3)已知方程在上有三個根，記為，求證：.
【解】（1），所以，
因為，
因為，，
即，
因為，解得（舍）.
（2）
，
故
；
（3）證明：因為，故可令，
故由可得：．
由題意得：，因，故，
故，或，或，
即方程（*）的三個根分別為，，，
又，故，
于是，
.

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