人教版八年級數(shù)學(xué)下冊重難點專題提升精講精練專題16一次函數(shù)與幾何綜合壓軸題型專訓(xùn)(原卷版+解析)-試卷下載-教習網(wǎng)

題型一根據(jù)兩直線的交點求不等式的解集
題型二兩直線的交點與二元一次方程組的解
題型三一次函數(shù)中最短路徑問題
題型四動點問題的函數(shù)圖象
題型五一次函數(shù)的規(guī)律探究問題
題型六一次函數(shù)與全等三角形綜合
題型七一次函數(shù)與平行四邊形綜合
題型八一次函數(shù)綜合壓軸題
【經(jīng)典例題一根據(jù)兩直線的交點求不等式的解集】
【知識歸納】
由于任何一個一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為＞0或＜0或≥0或≤0（、為常數(shù)，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數(shù)的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）時求相應(yīng)的自變量的取值范圍.
要點詮釋：求關(guān)于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，從“數(shù)”的角度看，就是為何值時，函數(shù)的值大于0？從“形”的角度看，確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點的橫坐標的范圍.
（≠，且）的解集的函數(shù)值大于的函數(shù)值時的自變量取值范圍直線在直線的上方對應(yīng)的點的橫坐標范圍．
【例1】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）一次函數(shù)（）與的圖像如圖所示，當時，，則滿足條件的k的取值范圍是（）
A．，且B．，且
C．，且D．或
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022·安徽·天長市實驗中學(xué)八年級階段練習）如圖，函數(shù)與的圖象相交于點，則關(guān)于的不等式的解集是（）
A．B．C．D．
【變式2】（2021·全國·八年級專題練習）在平面直角坐標系中，垂直x軸的直線l分別與函數(shù)的圖像交于P、Q兩點，若平移直線l，可以使P、Q都在x軸的下方，則實數(shù)a的取值范圍是_________．
【變式3】（2022·安徽阜陽·八年級期中）如圖，已知直線分別與x，y軸交于點A、B，與直線相交于點C，點P為直線上一點．
(1)求n和k的值；
(2)若點P在射線上，且，求點P的坐標；
(3)觀察函數(shù)圖象，請直接寫出不等式的解集．
【經(jīng)典例題二兩直線的交點與二元一次方程組的解】
【知識歸納】
一次函數(shù)與二元一次方程組
每個二元一次方程組都對應(yīng)兩個一次函數(shù)，于是也對應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這時的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標.
要點詮釋：
1.兩個一次函數(shù)圖象的交點與二元一次方程組的解的聯(lián)系是：在同一直角坐標系中，兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標就是相應(yīng)的二元一次方程組的解.反過來，以二元一次方程組的解為坐標的點一定是相應(yīng)的兩個一次函數(shù)的圖象的交點.如一次函數(shù)與圖象的交點為(3，－2)，則就是二元一次方程組的解.
2.當二元一次方程組無解時，相應(yīng)的兩個一次函數(shù)在直角坐標系中的直線就沒有交點，則兩個一次函數(shù)的直線就平行.反過來，當兩個一次函數(shù)直線平行時，相應(yīng)的二元一次方程組就無解.如二元一次方程組無解，則一次函數(shù)與的圖象就平行，反之也成立.
3.當二元一次方程組有無數(shù)解時，則相應(yīng)的兩個一次函數(shù)在直角坐標系中的直線重合，反之也成立.
方程組解的幾何意義
1．方程組的解的幾何意義：方程組的解對應(yīng)兩個函數(shù)的圖象的交點坐標．
2．根據(jù)坐標系中兩個函數(shù)圖象的位置關(guān)系，可以看出對應(yīng)的方程組的解情況：
根據(jù)交點的個數(shù)，看出方程組的解的個數(shù)；
根據(jù)交點的坐標，求出（或近似估計出）方程組的解．
3．對于一個復(fù)雜方程組，特別是變化不定的方程組，用圖象法可以很容易觀察出它的解的個數(shù)．
【例2】（2022·廣東·九年級專題練習）已知函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象經(jīng)過點，且實數(shù)，，滿足等式：，則一次函數(shù)與軸的交點坐標為（）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2021·全國·八年級期中）在平面直角坐標系中，將函數(shù)的圖象向上平移個單位長度，使其與的交點在位于第二象限，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【變式2】（2021·全國·八年級專題練習）對于實數(shù)a，b，我們定義符號max{a，b}的意義為：當a≥b時，max{a，b}＝a；當a＜b時，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若關(guān)于x的函數(shù)為y＝max{x+3，﹣x+1}，則該函數(shù)的最小值是_____．
【變式3】（2022·黑龍江鶴崗·八年級期末）在平面直角坐標系中，直線與軸交于點．
(1)如圖，直線與直線交于點，與軸交于點，點的橫坐標為．
①求點的坐標及的值；
②直線、直線與軸所圍成的的面積等于多少？
(2)在（1）的條件下直線與軸交于點，在軸上是否存在點，使是以為腰的等腰三角形？如存在，請直接寫出點的坐標．
【經(jīng)典例題三一次函數(shù)中最短路徑問題】
【解題技巧】
我們將“連點之間，線段最短”，“連接直線外一點與直線上個點的所有線段中，垂線段最短”這樣的問題稱為最短路徑問題。一次函數(shù)背景下的最短路徑問題通常表現(xiàn)為：動點在直線上（一次函數(shù)或者x軸，y軸上），動點與兩定點的距離之和最小，求點的坐標或者線段之和的最小值。
【例3】（2022秋·八年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，點是直線與直線的交點，點B是直線與y軸的交點，點P是x軸上的一個動點，連接PA，PB，則的最小值是（）
A．6B．C．9D．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022·山東·濟南市章丘區(qū)第四中學(xué)八年級階段練習）如圖，已知直線：分別交軸、軸于點兩點，，分別為線段和線段上一動點，交軸于點，且．當?shù)闹底钚r，則點的坐標為（）
A．B． C．D．
【變式2】（2022·遼寧·沈陽市第一二六中學(xué)八年級期中）如圖，已知，點P在線段上（點P不與點A重合），點Q在線段上，，當最小時，點Q的坐標________．
【變式3】（2022·陜西·西安市鐵一中學(xué)八年級階段練習）（1）如圖①，在中，，，點D為線段上的動點，則最小值為．
（2）如圖②，在平面直角坐標系中，直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點，D為線段上的一點且平分的面積，請求出D點坐標．
（3）如圖③，在平面直角坐標系中，是某地市政施工的一塊區(qū)域示意圖，其中，米，點D坐標為．按設(shè)計要求在線段上任取一點C，以為底，在右側(cè)作等腰直角三角形區(qū)域，取中點F，連接．現(xiàn)對區(qū)域進行圍擋施工，為節(jié)約材料，設(shè)計要求圍擋區(qū)域的周長最小，請你根據(jù)以上信息求出符合設(shè)計的的周長，并說明理由．
【經(jīng)典例題四動點問題的函數(shù)圖象】
【解題技巧】
根據(jù)一次函數(shù)中的點位置關(guān)系，找出對應(yīng)圖形中的對應(yīng)點，分析圖形中點的運動狀態(tài)，代入即可計算；
【例4】（2022秋·廣東茂名·八年級茂名市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D①，在中，，點D為的中點，動點P從A點出發(fā)沿運動到點B，設(shè)點P的運動路程為x，的面積為y，y與x的圖像如圖②所示，則的長為（）
A．B．13C．D．15
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022·浙江金華·八年級期末）如圖①，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，點D是AB邊的中點，點P從點A出發(fā)，沿著AC﹣CB運動，到達點B停止．設(shè)點P的運動路徑長為x，連DP，記△APD的面積為y，若表示y與x有函數(shù)關(guān)系的圖象如圖②所示，則△ABC的周長為（）
A．6+2B．4+2C．12+4D．6+4
【變式2】（2022·湖北孝感·八年級期末）如圖1，在矩形ABCD中，E為邊BC上一點，連接AE．動點P從點A出發(fā)，沿折線A→D→C→E方向勻速運動至點E停止．設(shè)點P的運動速度為1cm/s，運動時間為t（s），的面積為，S與t的函數(shù)圖像如圖2所示，則AE的長為______cm．
【變式3】（2022·江蘇·昆山市周莊中學(xué)八年級階段練習）在中，，點P為邊上的動點，速度為．

(1)如圖1，點D為邊上一點，，動點P從點D出發(fā)，在的邊上沿D→B→C的路徑勻速運動，當?shù)竭_點C時停止運動．設(shè)的面積為（cm2），的面積為（），點P運動的時間為t（）．，與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，根據(jù)題意解答下列問題：
①在圖1中，，；
②在圖2中，求和的交點H的坐標；
(2)在（1）的條件下，如圖3，若點P，點Q同時從點A出發(fā)，在的邊上沿A→B→C的路徑勻速運動，點Q運動的速度為，當點P到達點C時，點P與點Q同時停止運動．求t為何值時，最大？最大值為多少？
【經(jīng)典例題五一次函數(shù)的規(guī)律探究問題】
【例5】（2023秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線：與直線：相交于動點，直線與y軸交于點A，一動點C從點A出發(fā)，先沿平行于x軸的方向運動，到達直線上的點處后，改為垂直于x軸方向運動，到達直線上的點A1處后，再沿平行于x軸的方向運動，到達直線上的點處后，又改為垂直于x軸的方向運動，到達直線的點處后，仍沿平行于x軸的方向運動，．．．，照此規(guī)律運動，動點C依次進過點，，，，，，…，，則當動點C到達處時，運動的總路徑的長為（）
A．22022-1B．22022-2C．22023+1D．22023-2
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022·山東德州·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點，，，…和，，，…分別在直線和x軸上．，，，…都是等腰直角三角形．如果點，那么點的縱坐標是（）
A．B．C．D．
【變式2】（2021·山東·濟南市歷城區(qū)教育教學(xué)研究中心八年級期中）如圖，已知直線a：，直線b：和點，過點P作y軸的平行線交直線a于點，過點作x軸的平行線交直線b于點，過點作y軸的平行線交直線a于點，過點作x軸的平行線交直線b于點，…，按此作法進行下去，則點的橫坐標為_______
【變式3】（2022·全國·八年級課時練習）如圖，正方形ABCD、正方形A1B1C1D1、正方形A2B2C2D2均位于第一象限內(nèi)，它們的邊平行于x軸或y軸，其中點A、A1、A2在直線OM上，點C、C1、C2在直線ON上，O為坐標原點，已知點A的坐標為，正方形ABCD的邊長為1.
（1）求直線ON的表達式；
（2）若點C1的橫坐標為4，求正方形A1B1C1D1的邊長；
（3）若正方形A2B2C2D2的邊長為a，則點B2的坐標為（）.
（A）（B）（C）（D）
【經(jīng)典例題六一次函數(shù)與全等三角形綜合】
【例6】（2022秋·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與x軸、y軸交于A、B兩點，在y軸上有一點C(0，4)，動點M從A點發(fā)以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動．當動到△COM 與△AOB全等時，移的時間t是（）
A．2B．4C．2或4D．2或6
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2021秋·八年級單元測試）如圖，直線y＝-2x+2與x軸和y軸分別交與A、B兩點，射線AP⊥AB于點A．若點C是射線AP上的一個動點，點D是x軸上的一個動點，且以C、D、A為頂點的三角形與△AOB全等，則OD的長為（）
A．2或+1B．3或C．2或D．3或+1
【變式2】（2022秋·浙江·八年級期末）如圖，直線y＝－x＋8與x軸，y軸分別交于點A，B，直線y＝x＋1與直線AB交于點C，與y軸交于點D．則△BDC的面積=____．若P是y軸正半軸上的一點，Q是直線AB上的一點，連接PQ．△BDC與△BPQ全等(點Q不與點C重合)，寫出所有滿足要求的點Q坐標______．
【變式3】（2021秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）如圖①，已知直線與x軸、y軸分別交于點A、C，以為邊在第一象限內(nèi)作長方形．
(1)點A的坐標為__________，點B的坐標為__________；
(2)如圖②，將對折，使得點A與點C重合，折痕交于點，交于點D，求點D的坐標；
(3)在第一象限內(nèi)，是否存在點P（點B除外），使得與全等？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【經(jīng)典例題七一次函數(shù)與平行四邊形綜合】
【例7】（2022春·福建廈門·八年級?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，已知直線與軸和軸分別交于，兩點，直線與軸交于點，過點作軸，與直線交于點．當以，，，四個頂點圍成的四邊形為平行四邊形時，點的坐標可以是（）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）已知四個點、、、能組成平行四邊形，則的最小值為（）
A．5B．10C．D．
【變式2】（2023春·八年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形OABC的頂點B的坐標為，直線l：恰好將平行四邊形OABC的面積平分，則b的值為______．
【變式3】（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，直線與軸、軸分別相交于點、，與直線相交于點．
(1)求點坐標；
(2)在平面直角坐標系中，是否存在一點M，使得以O(shè)，A，M，C為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，試寫出所有符合條件的點M的坐標；如果不存在，請說明理由；
【經(jīng)典例題八一次函數(shù)綜合壓軸題】
【例8】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）定義：平面直角坐標系中，若點A到x軸、y軸的距離和為2，則稱點A為“成雙點”．例如：如圖，點到x軸、y軸的距離分別為，距離和為2，則點B是“成雙點”，點也是“成雙點”．一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且圖象上存在“成雙點”，則k的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·河南鄭州·九年級校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形的一邊在軸上，，在第二象限，在左側(cè)，，，，直線的解析式為，現(xiàn)將平行四邊形沿軸向右平移，當直線恰好平分平行四邊形的面積時，此時的平移距離為（）
A．B．C．D．
【變式2】（2023秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）如圖．直線：與軸，軸分別交于點，，直線經(jīng)過點，與軸負半軸交于點，且，則直線的函數(shù)表達式為______．
【變式3】（2022秋·廣西百色·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知直線的函數(shù)關(guān)系式為，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，將直線平移得直線，直線分別交x軸、y軸于點C、D，且經(jīng)過點．
(1)求直線的函數(shù)表達式；
(2)求點C和點D的坐標；
(3)在直線上是否存在點E，使得？若存在，請求出符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由．
【培優(yōu)檢測】
1．（2023春·八年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象分別交x、y軸于點A、B，將直線繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，交x軸于點C，則的面積是（）
A．22B．20C．18D．16
2．（2021秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖（1），在中，，動點從的頂點出發(fā)，以的速度沿勻速運動回到點，圖（2）是點運動過程中，線段的長度隨時間變化的圖象，其中點為曲線部分的最低點，若的面積是，則的值為（）．
A．18B．16C．20D．15
3．（2023秋·江蘇蘇州·八年級蘇州中學(xué)?？计谀┤鐖D，直線交軸，軸于點，點在第一象限內(nèi)，且縱坐標為4．若點關(guān)于直線的對稱點恰好落在軸的正半軸上，則點的橫坐標為（）
A．B．C．D．
4．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級校聯(lián)考期末）如圖，△ABC中，，把△ABC放在平面直角坐標系xOy中，且點A，B的坐標分別為（2，0），（12，0），將△ABC沿x軸向左平移，當點C落在直線上時，線段AC掃過的面積為（）
A．66B．108C．132D．162
5．（2022·河南許昌·統(tǒng)考二模）如圖1，點是的中線上的一動點，點是的中點，連接，設(shè)，，圖2是點運動時隨變化的關(guān)系圖象，其中點是函數(shù)圖象的最低點，則的值為（）
A．33B．34C．35D．36
6．（2022秋·八年級課時練習）如圖，點A、B的坐標分別為、，點P為x軸上的動點，若點B關(guān)于直線AP的對稱點恰好落在x軸上，則點P的坐標是（）
A．B．C．D．
7．（2021·河南·模擬預(yù)測）如圖，正方形OABC中，點A（4，0），點D為AB上一點，且BD＝1，連接OD，過點C作CE⊥OD交OA于點E，過點D作MN∥CE，交x軸于點M，交BC于點N，則點M的坐標為（）
A．（5，0）B．（6，0）C．（，0）D．（，0）
8．（2022秋·重慶·八年級西南大學(xué)附中?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，直線與x軸，y軸分別交于B、A兩點，以線段AB為邊在AB右側(cè)作等邊三角形ABC，邊AC與x軸交于點E，邊BC與y軸交于點F，點D是y軸上的一個動點，連接AD，BD，CD．下面的結(jié)論中，正確的個數(shù)有（）個
①；②；③當時，；④點C的坐標為；⑤當時，；
A．2B．3C．4D．5
9．（2023秋·四川成都·八年級?？计谀┤鐖D，平面直角坐標系中，已知直線上一點，連接，以為邊做等腰直角三角形，，過點作線段軸，直線與直線交于點，且，直線與直線交于點，則點的坐標是_____．
10．（2022秋·遼寧沈陽·八年級沈陽市第七中學(xué)?？计谀┤鐖D，一次函數(shù)與軸交于點，點在直線上且橫坐標為．點為軸上一點，，若點是軸上的動點，在直線上找在一點（點與點不重合），使與全等，點的坐標為______．
11．（2022春·廣東江門·八年級江門市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，直線：與x軸交于點，以為邊長作等邊三角形，過點作平行于軸，交直線于點，以為邊長作等邊三角形，過點作平行于軸，交直線于點，以為邊長作等邊三角形，……，則點的橫坐標是__________．
12．（2022秋·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知，點P在線段上（點P不與點A重合），點Q在線段上，，當最小時，點Q的坐標________．
13．（2022秋·北京·九年級北大附中?？奸_學(xué)考試）如圖，直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點．從點P（1，0）射出的光線經(jīng)直線AB反射后又經(jīng)直線OB反射回到P點，則光線第一次的反射點Q的坐標是________．
14．（2022春·浙江金華·八年級校聯(lián)考期中）已知直線與軸，軸分別交于點A，，點是射線上的動點，點在坐標平面內(nèi) ，以O(shè)，A，C，D為頂點的四邊形是菱形．則點的坐標為______．
15．（2022秋·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）定義：叫做關(guān)于直線的“分邊折疊函數(shù)”．
(1)已知“分邊折疊函數(shù)”
①直接寫出該函數(shù)與y軸的交點坐標；
②若直線與該函數(shù)只有一個交點，求t的取值范圍；
(2)已知“分邊折疊函數(shù)”的圖像被直線與y軸所夾的線段長為，則k的值為___________．
16．（2023秋·廣東梅州·八年級豐順縣豐順中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，直線AB：與軸交于點C，且點，.
(1)點C的坐標為
(2)求原點O到直線的距離；
(3)在x軸上是否存在一點P，使得是直角三角形?若存在，求出點P的坐標.
17．（2023秋·廣東深圳·八年級深圳外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D，已知函數(shù)的圖象與軸交于點，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸以及的圖象分別交于點，且點的坐標為，
(1)求的值；
(2)若函數(shù)的函數(shù)值不大于函數(shù)的函數(shù)值，直接寫出的取值范圍______；
(3)求的面積．
18．（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過和．
(1)求這個一次函數(shù)的表達式．
(2)當時，對于x的每一個值，函數(shù)的值都小于的值，直接寫出m的取值范圍．
19．（2023秋·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，A、B、C為坐標軸上的三個點，且，過點A的直線交直線于點D，交y軸于點E，的面積為8．
(1)求點D的坐標．
(2)求直線的表達式．
(3)過點C作，交直線于點F交與G，求的面積．
20．（2023秋·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系xOy中，點，，，點D在第四象限，其中，，，，．
(1)如圖1，求證：；
(2)若，且．
①如圖1，求四邊形的面積；（用含a的式子表示）
②如圖2，交y軸于點E，連接，當E關(guān)于的對稱點K落在x軸上時，求的長．
專題16 一次函數(shù)與幾何綜合壓軸題型專訓(xùn)
【題型目錄】
題型一根據(jù)兩直線的交點求不等式的解集
題型二兩直線的交點與二元一次方程組的解
題型三一次函數(shù)中最短路徑問題
題型四動點問題的函數(shù)圖象
題型五一次函數(shù)的規(guī)律探究問題
題型六一次函數(shù)與全等三角形綜合
題型七一次函數(shù)與平行四邊形綜合
題型八一次函數(shù)綜合壓軸題
【經(jīng)典例題一根據(jù)兩直線的交點求不等式的解集】
【知識歸納】
由于任何一個一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為＞0或＜0或≥0或≤0（、為常數(shù)，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數(shù)的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）時求相應(yīng)的自變量的取值范圍.
要點詮釋：求關(guān)于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，從“數(shù)”的角度看，就是為何值時，函數(shù)的值大于0？從“形”的角度看，確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點的橫坐標的范圍.
（≠，且）的解集的函數(shù)值大于的函數(shù)值時的自變量取值范圍直線在直線的上方對應(yīng)的點的橫坐標范圍．
【例1】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）一次函數(shù)（）與的圖像如圖所示，當時，，則滿足條件的k的取值范圍是（）
A．，且B．，且
C．，且D．或
【答案】B
【分析】聯(lián)立與，求出兩條直線交點的橫坐標，根據(jù)當時，，結(jié)合圖象列不等式，即可求解．
【詳解】解：聯(lián)立與，
得，
解得，
即一次函數(shù)（）與的圖像的交點的橫坐標為，
當時，，
，
當，即時，，
解得；
當，即時，，
解得，與矛盾，不合題意；
又，
滿足條件的k的取值范圍是且，
故選B．
【點睛】本題考查根據(jù)兩條直線的交點求不等式的解集，熟練運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022·安徽·天長市實驗中學(xué)八年級階段練習）如圖，函數(shù)與的圖象相交于點，則關(guān)于的不等式的解集是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)A 是函數(shù) ，的圖像交點，可把A代入中，求出，所以點，再把A代入解得，不等式可化為，解不等式即可得出答案．
【詳解】函數(shù)過點，
，
解得：，
，
將A代入中，
，
解得：

解不等式
解集為．
故選：D．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，求出點A的坐標和的函數(shù)解析式，并結(jié)合函數(shù)圖象進行解答是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2021·全國·八年級專題練習）在平面直角坐標系中，垂直x軸的直線l分別與函數(shù)的圖像交于P、Q兩點，若平移直線l，可以使P、Q都在x軸的下方，則實數(shù)a的取值范圍是_________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可知在時，有公共解，因此可以列出不等式，從而得到答案．
【詳解】令，則，
令，則，
∵平移直線，可以使P、Q都在軸的下方，
∴可知在時，有公共解，
∴，解得：，
故填：．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與不等式的關(guān)系，解答的關(guān)鍵是將圖象問題轉(zhuǎn)化為不等式．
【變式3】（2022·安徽阜陽·八年級期中）如圖，已知直線分別與x，y軸交于點A、B，與直線相交于點C，點P為直線上一點．
(1)求n和k的值；
(2)若點P在射線上，且，求點P的坐標；
(3)觀察函數(shù)圖象，請直接寫出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)P
(3)
【分析】（1）把點C代入解析式中，可直接求出n的值；再把點C的坐標代入中，即可求出k的值；
（2）先根據(jù)解析式可求出點A和點B的值，進而可求出的面積，則可求出的面積和的面積，過點P作x軸的垂線，表示出的面積，建立方程即可；
（3）根據(jù)圖象即可求得．
【詳解】（1）把點C代入解析式中，得，
∴C，
把點C的坐標代入中，則，解得；
（2）∵直線分別與x，y軸交于點A、B，
∴A，B，
過點C作軸于點M，
∴，
∴，
∴，
∵點P在射線上，
∴，
過點P作軸于點N，
∴，
∴，
∴，
令，則，
解得，
∴P；
（3）由圖象可知，不等式的解集為．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積以及函數(shù)與不等式的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合思想．

【經(jīng)典例題二兩直線的交點與二元一次方程組的解】
【知識歸納】
一次函數(shù)與二元一次方程組
每個二元一次方程組都對應(yīng)兩個一次函數(shù)，于是也對應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這時的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標.
要點詮釋：
1.兩個一次函數(shù)圖象的交點與二元一次方程組的解的聯(lián)系是：在同一直角坐標系中，兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標就是相應(yīng)的二元一次方程組的解.反過來，以二元一次方程組的解為坐標的點一定是相應(yīng)的兩個一次函數(shù)的圖象的交點.如一次函數(shù)與圖象的交點為(3，－2)，則就是二元一次方程組的解.
2.當二元一次方程組無解時，相應(yīng)的兩個一次函數(shù)在直角坐標系中的直線就沒有交點，則兩個一次函數(shù)的直線就平行.反過來，當兩個一次函數(shù)直線平行時，相應(yīng)的二元一次方程組就無解.如二元一次方程組無解，則一次函數(shù)與的圖象就平行，反之也成立.
3.當二元一次方程組有無數(shù)解時，則相應(yīng)的兩個一次函數(shù)在直角坐標系中的直線重合，反之也成立.
方程組解的幾何意義
1．方程組的解的幾何意義：方程組的解對應(yīng)兩個函數(shù)的圖象的交點坐標．
2．根據(jù)坐標系中兩個函數(shù)圖象的位置關(guān)系，可以看出對應(yīng)的方程組的解情況：
根據(jù)交點的個數(shù)，看出方程組的解的個數(shù)；
根據(jù)交點的坐標，求出（或近似估計出）方程組的解．
3．對于一個復(fù)雜方程組，特別是變化不定的方程組，用圖象法可以很容易觀察出它的解的個數(shù)．
【例2】（2022·廣東·九年級專題練習）已知函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象經(jīng)過點，且實數(shù)，，滿足等式：，則一次函數(shù)與軸的交點坐標為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將點代入函數(shù)中，得到關(guān)于，，的關(guān)系式，將看作常數(shù)，再聯(lián)立滿足的等式組成二元一次方程組，將，用含的式子表示出來，此時再回代入函數(shù)中，求解出的值，最后在一次函數(shù)中令，求解出y的值，最終表示出交點坐標即可．
【詳解】解：將點代入函數(shù)中，
得：，
又∵，
化簡可得：
此時聯(lián)立方程組可得：，
解得：，
∴點的坐標可表示為（-k，2k），
將（-k，2k）代入得：
，
解得，
∵為常數(shù)且，
∴，
此時一次函數(shù)，
令，
解得：，
∴交點坐標為．
故選：C．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，聯(lián)立二元一次方程組并正確求解是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2021·全國·八年級期中）在平面直角坐標系中，將函數(shù)的圖象向上平移個單位長度，使其與的交點在位于第二象限，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出平移后的函數(shù)解析式，再聯(lián)立它與另一個函數(shù)解析式求出它們的交點坐標，根據(jù)第二象限的坐標特點為，得到關(guān)于m的不等式組，解這個不等式組即可得出m的取值范圍．
【詳解】解：將函數(shù)的圖象向上平移m個單位長度后的圖象的解析式為，
聯(lián)立后可以得到：，
解得，
因為它們的交點在第二象限，
即，
解得，
，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的平移以及求圖象的交點的問題，解決本題需要建立關(guān)于x和y的二元一次方程組和關(guān)于m的不等式組，要求學(xué)生能熟練運用平移的規(guī)則得到平移后的函數(shù)解析式，同時能聯(lián)立這兩個解析式求交點坐標，最后還需要根據(jù)交點坐標的特征建立不等式組求出其中的字母參數(shù)的取值范圍，整個過程對學(xué)生的計算能力有較高的要求．
【變式2】（2021·全國·八年級專題練習）對于實數(shù)a，b，我們定義符號max{a，b}的意義為：當a≥b時，max{a，b}＝a；當a＜b時，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若關(guān)于x的函數(shù)為y＝max{x+3，﹣x+1}，則該函數(shù)的最小值是_____．
【答案】2
【分析】聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過解方程組找出交點坐標，再根據(jù)max{a，b}的意義即可得出函數(shù)的最小值．
【詳解】解：聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，得：，
解得：．
∴當x＜﹣1時，y＝max{x+3，﹣x+1}＝﹣x+1＞2；當x≥﹣1時，y＝max{x+3，﹣x+1}＝x+3≥2．
∴函數(shù)y＝max{x+3，﹣x+1}最小值為2．
故答案為：2．
【點睛】本題考查一次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握分段函數(shù)的解析式和函數(shù)最值的求解方法．
【變式3】（2022·黑龍江鶴崗·八年級期末）在平面直角坐標系中，直線與軸交于點．
(1)如圖，直線與直線交于點，與軸交于點，點的橫坐標為．
①求點的坐標及的值；
②直線、直線與軸所圍成的的面積等于多少？
(2)在（1）的條件下直線與軸交于點，在軸上是否存在點，使是以為腰的等腰三角形？如存在，請直接寫出點的坐標．
【答案】(1)①的坐標是，的值為；②直線、直線與軸所圍成的的面積等于
(2)存在，的坐標為或或
【分析】（1）①將x=-l代入y=-2x+1，得出B點坐標，進而求出k的值；
②求出A，C點坐標，進而得出AC的長，即可得出△ABC的面積；
（2）分兩種情況若，為腰；若，為腰進行解答．
（1）
①在中，令得，
，
把代入得：
，
解得，
，
的坐標是，的值為；
在中，令得，
，
在中，令得，
，
，
直線、直線與軸所圍成的的面積等于；
（2）
在軸上存在點，使是以為腰的等腰三角形，理由如下：
在中，令得，
，
，
，
設(shè)，則，，
若，為腰，則，
解得或，
或；
若，為腰，則，
解得或與重合，舍去，
，
綜上所述，的坐標為或或．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，兩直線相交問題以及等腰三角形存在性問題等知識，得出A，C，E點坐標是解題關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題三一次函數(shù)中最短路徑問題】
【解題技巧】
我們將“連點之間，線段最短”，“連接直線外一點與直線上個點的所有線段中，垂線段最短”這樣的問題稱為最短路徑問題。一次函數(shù)背景下的最短路徑問題通常表現(xiàn)為：動點在直線上（一次函數(shù)或者x軸，y軸上），動點與兩定點的距離之和最小，求點的坐標或者線段之和的最小值。
【例3】（2022秋·八年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，點是直線與直線的交點，點B是直線與y軸的交點，點P是x軸上的一個動點，連接PA，PB，則的最小值是（）
A．6B．C．9D．
【答案】D
【分析】作點A關(guān)于x軸的對稱點A'，連接A'B，則PA+PB的最小值即為A'B的長，先求出點A坐標，再待定系數(shù)法求出b的值，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得點A'的坐標，進一步求出A'B的長，即可確定PA+PB的最小值．
【詳解】解：作點A關(guān)于x軸的對稱點，連接，如圖所示：
則PA+PB的最小值即為的長，
將點A（3，a）代入y=2x，
得a=2×3=6，
∴點A坐標為（3，6），
將點A（3，6）代入y=x+b，
得3+b=6，
解得b=3，
∴點B坐標為（0，3），
根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得點A'坐標為（3，-6）
∴，
∴PA+PB的最小值為．
故選：D．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及兩直線的交點問題，一次函數(shù)的性質(zhì)，利用軸對稱解決最短路徑問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)以及一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022·山東·濟南市章丘區(qū)第四中學(xué)八年級階段練習）如圖，已知直線：分別交軸、軸于點兩點，，分別為線段和線段上一動點，交軸于點，且．當?shù)闹底钚r，則點的坐標為（）
A．B． C．D．
【答案】C
【分析】首先求得，取點，連接，證明，即可推導(dǎo)，即有，因為，即當共線時，的值最??；利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，即可獲得答案．
【詳解】解：對于直線：，
當時，可有，
當時，可有，解得，
∴，
又∵，
∴，
如下圖，取點，連接，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值為線段的長，
即當共線時，的值最小，
設(shè)直線的解析式為，
將點代入，
可得，解得，
∴直線的解析式為，
令，則，
∴點，
∴當?shù)闹底钚r，點的坐標為．
故選：C．
【點睛】本題考查一次函數(shù)圖像上的點的特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、最短路徑、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用相關(guān)知識，并學(xué)會構(gòu)建全等三角形解決問題．
【變式2】（2022·遼寧·沈陽市第一二六中學(xué)八年級期中）如圖，已知，點P在線段上（點P不與點A重合），點Q在線段上，，當最小時，點Q的坐標________．
【答案】
【分析】如圖所示，過點Q作軸于D，過點B作于E，設(shè)，利用勾股定理求出，再利用三角形面積法求出，則，即可利用勾股定理求出，要使最小就相當于在x軸上找一點到點G和點H的距離最小，該點即為直線與x軸的交點，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：如圖所示，過點Q作軸于D，過點B作于E，設(shè)，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的和就相當于點到點G和點H的距離之和，
∵要使最小，
∴即為直線與x軸的交點，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
令，則，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，坐標與圖形，一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，正確得到要使最小就相當于在x軸上找一點到點G和點H的距離最小是解題的關(guān)鍵．
【變式3】（2022·陜西·西安市鐵一中學(xué)八年級階段練習）（1）如圖①，在中，，，點D為線段上的動點，則最小值為．
（2）如圖②，在平面直角坐標系中，直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點，D為線段上的一點且平分的面積，請求出D點坐標．
（3）如圖③，在平面直角坐標系中，是某地市政施工的一塊區(qū)域示意圖，其中，米，點D坐標為．按設(shè)計要求在線段上任取一點C，以為底，在右側(cè)作等腰直角三角形區(qū)域，取中點F，連接．現(xiàn)對區(qū)域進行圍擋施工，為節(jié)約材料，設(shè)計要求圍擋區(qū)域的周長最小，請你根據(jù)以上信息求出符合設(shè)計的的周長，并說明理由．
【答案】（1）6；（2）；（3）的周長的最小值為：米
【分析】（1）根據(jù)垂線段最短即可得出答案；
（2）先根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點A、B的坐標，再根據(jù)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，得出此時點D為線段的中點，最后根據(jù)中點坐標公式，求出結(jié)果即可；
（3）過點E作軸于點M，軸于點N，證明，得出，說明點在直線上，根據(jù)中點坐標公式說明點F在直線上，作點D關(guān)于直線的對稱點，連接交直線于一點F，連接，，此時最小，求出其最小值，即可得出的周長最小值．
【詳解】解：（1）∵垂線段最短，
∴當時，最小，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案為：6．
（2）解：把，代入得，
把代入得，解得，
∴點A坐標為，點B坐標為，
∵三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，
∴當D為中點時，將分成面積相等的兩部分，
∴點D的坐標為：，即．
（3）過點E作軸于點M，軸于點N，如圖所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴點在直線上，
設(shè)點，
∵點為的中點，，
∴，即，
令，，
則，
∴點F在直線上，
設(shè)直線與軸交于點P，與軸交于點Q，
則P點坐標為，Q點坐標為，
∴，，
∴，
∴，
作點D關(guān)于直線的對稱點，連接交直線于一點F，連接，，此時最小，如圖所示：
∵，
∴，
∴軸，
∵，
∴點的坐標為，
∵，
∴，
∵，
又∵為定值，
∴當最小時，的周長最小，
∴的周長的最小值為：米．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，中點坐標公式，垂線段最短，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，找出使周長最小時，點F的位置．
【經(jīng)典例題四動點問題的函數(shù)圖象】
【解題技巧】
根據(jù)一次函數(shù)中的點位置關(guān)系，找出對應(yīng)圖形中的對應(yīng)點，分析圖形中點的運動狀態(tài)，代入即可計算；
【例4】（2022秋·廣東茂名·八年級茂名市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D①，在中，，點D為的中點，動點P從A點出發(fā)沿運動到點B，設(shè)點P的運動路程為x，的面積為y，y與x的圖像如圖②所示，則的長為（）
A．B．13C．D．15
【答案】C
【分析】由圖象可知，當時，的面積最大為，易得當點與點重合時，的面積最大，此時，，根據(jù)三角形的中線平分面積，得到的面積為，利用面積公式求出，再用勾股定理求出即可．
【詳解】解：過點作，交于點，
則：，
∴的面積隨著的變化而變化，
∴當點與點重合時，的面積最大，
由圖可知：當時，的面積最大為，
∴，，
∵點D為的中點，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∴；
故選C．
【點睛】本題考查動點的函數(shù)圖象，同時考查了三角形的中線，勾股定理．從圖象中有效的獲取信息，確定動點的位置，是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022·浙江金華·八年級期末）如圖①，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，點D是AB邊的中點，點P從點A出發(fā)，沿著AC﹣CB運動，到達點B停止．設(shè)點P的運動路徑長為x，連DP，記△APD的面積為y，若表示y與x有函數(shù)關(guān)系的圖象如圖②所示，則△ABC的周長為（）
A．6+2B．4+2C．12+4D．6+4
【答案】A
【分析】設(shè)BC=x，在Rt△ABC中根據(jù)∠A=30°，可得AB=2BC=2x，即有，由圖②可知△ADP的最大面積為，由圖①易知，當P點行至C點時，△ADP的面積最大，此時根據(jù)AD=BD，可得，再在Rt△ABC中，有，即有，解得x=2，即有BC=2，AB=4，，則問題得解．
【詳解】設(shè)BC=x，在Rt△ABC中，有∠A=30°，∠C=90°，
∴AB=2BC=2x，
∴利用勾股定理可得：，
由圖②可知△ADP的最大面積為，
∵D點AB中點，
∴AD=BD，
由圖①易知，當P點行至C點時，△ADP的面積最大，
此時根據(jù)AD=BD，可得，
即有，
又∵在Rt△ABC中，，
即有，
解得x=2（負值舍去），即BC=2，AB=4，，
則△ABC的周長為：，
故選：A．
【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合得出是解答本題的關(guān)鍵．
【變式2】（2022·湖北孝感·八年級期末）如圖1，在矩形ABCD中，E為邊BC上一點，連接AE．動點P從點A出發(fā)，沿折線A→D→C→E方向勻速運動至點E停止．設(shè)點P的運動速度為1cm/s，運動時間為t（s），的面積為，S與t的函數(shù)圖像如圖2所示，則AE的長為______cm．
【答案】
【分析】如圖3，連接AD，結(jié)合圖1，圖2可知，AD=8，S△AED=24cm2，S△ACE=18 cm2，利用面積公式求得AB=CD=6cm，CE=6cm，從而得BE=2，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖3，連接AD，結(jié)合圖1，圖2可知，AD=8，S△AED=24cm2，S△ACE=18 cm2，
∵AD=8，S△AED=24，S△ACE=18 ，
∴AB=CD=6cm，CE=6cm，
∴BE=BC-CE=AD-CE=8-6=2，
∵在Rt△ABE中，∠B=，
∴AE2=BE2+AB2，
∴AE=(cm)，
故答案為：．
【點睛】本題考查了圖像法表示變量間的關(guān)系，勾股定理以及三角形的面積，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【變式3】（2022·江蘇·昆山市周莊中學(xué)八年級階段練習）在中，，點P為邊上的動點，速度為．

(1)如圖1，點D為邊上一點，，動點P從點D出發(fā)，在的邊上沿D→B→C的路徑勻速運動，當?shù)竭_點C時停止運動．設(shè)的面積為（cm2），的面積為（），點P運動的時間為t（）．，與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，根據(jù)題意解答下列問題：
①在圖1中，，；
②在圖2中，求和的交點H的坐標；
(2)在（1）的條件下，如圖3，若點P，點Q同時從點A出發(fā)，在的邊上沿A→B→C的路徑勻速運動，點Q運動的速度為，當點P到達點C時，點P與點Q同時停止運動．求t為何值時，最大？最大值為多少？
【答案】(1)①5，6；②點
(2)時，最大值為5.5
【分析】（1）①由圖象可求解；②由勾股定理可求的長，由三角形的面積公式可求，即可求點H坐標；
（2）分三種情況討論，由線段的和差關(guān)系可求解．
【詳解】（1）①由圖2可知，，，
∴（），
故答案為：5，6；
②如圖1，過點A作于T，
∵，，
∴（），
∴（），
∴（），
∴當時，即，
此時點P是的中點，
∴，
∴，
∴點；
（2）①當時，P，Q均在上，
∴當時，最大，
②當時，P在上，Q在上，
∴，
∴當時，最大，
③當時，P，Q均在上，
∴，
∴當時，最大，
∴綜上，時，最大值為5.5．
【點睛】本題是三角形綜合題，考查了函數(shù)圖象的性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題五一次函數(shù)的規(guī)律探究問題】
【例5】（2023秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線：與直線：相交于動點，直線與y軸交于點A，一動點C從點A出發(fā)，先沿平行于x軸的方向運動，到達直線上的點處后，改為垂直于x軸方向運動，到達直線上的點A1處后，再沿平行于x軸的方向運動，到達直線上的點處后，又改為垂直于x軸的方向運動，到達直線的點處后，仍沿平行于x軸的方向運動，．．．，照此規(guī)律運動，動點C依次進過點，，，，，，…，，則當動點C到達處時，運動的總路徑的長為（）
A．22022-1B．22022-2C．22023+1D．22023-2
【答案】D
【分析】將代入解析式，可得，，由直線直線：可知，，則縱坐標為1，代入直線：中，得，又、橫坐標相等，可得，則，，可判斷為等腰直角三角形，利用平行線的性質(zhì)，得、、…、都是等腰直角三角形，根據(jù)平行于軸的直線上兩點縱坐標相等，平行于軸的直線上兩點橫坐標相等，及直線、的解析式，分別求，的長，得出一般規(guī)律，即可得到答案．
【詳解】解：將代入解析式，可得，，
由直線：可知，，
由平行于坐標軸的兩點的坐標特征和直線、對應(yīng)的函數(shù)表達式可知，，，，
，，，，
，，，…，
由此可得，，
∴當動點到達點處時，運動的總路徑的長為，
∴當點到達處時，運動的總路徑的長為．
故選：D．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是利用平行于軸的直線上點的縱坐標相等，平行于軸的直線上點的橫坐標相等，得出點的坐標，判斷等腰直角三角形，得出一般規(guī)律．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022·山東德州·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點，，，…和，，，…分別在直線和x軸上．，，，…都是等腰直角三角形．如果點，那么點的縱坐標是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)點，，，…，坐標，結(jié)合函數(shù)解析式，尋找縱坐標規(guī)律，進而解題．
【詳解】解：過作軸于，過作軸于，過作軸于，…
如圖，

∵（1，1）在直線y＝x+b上，
∴b＝，
∴y＝x+，
設(shè)（，），（，），（，），…，（，），
則有，
，
…
，
又∵，，…都是等腰直角三角形，軸，軸，軸…，
∴，
，
…
∴，
，
…
，
將點坐標依次代入直線解析式得到：
，
，
，
…
，
又∵ ，
∴，
，
，
…
，
故選：A．
【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形以及規(guī)律型：點的坐標，通過運算發(fā)現(xiàn)縱坐標的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2021·山東·濟南市歷城區(qū)教育教學(xué)研究中心八年級期中）如圖，已知直線a：，直線b：和點，過點P作y軸的平行線交直線a于點，過點作x軸的平行線交直線b于點，過點作y軸的平行線交直線a于點，過點作x軸的平行線交直線b于點，…，按此作法進行下去，則點的橫坐標為_______
【答案】
【分析】先求出，可得點的縱坐標為1，再求出點，即點的橫坐標為，同理點的橫坐標為，點的橫坐標為，點的橫坐標為，點的橫坐標為，點的橫坐標為，點的橫坐標為，……，由此發(fā)現(xiàn)，再由，即可求解．
【詳解】解：∵點，點在直線a：上，
∴，
∵軸，
∴點的縱坐標為1，
∵點在直線b：上，
∴，解得：，
∴點，即點的橫坐標為，
同理點的橫坐標為，
點的橫坐標為
點的橫坐標為，
點的橫坐標為，
點的橫坐標為，
點的橫坐標為，
……，
∴，
∵，
∵點的橫坐標為，
∴點的橫坐標為．
故答案為：
【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，規(guī)律型：點的坐標，正確的作出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式3】（2022·全國·八年級課時練習）如圖，正方形ABCD、正方形A1B1C1D1、正方形A2B2C2D2均位于第一象限內(nèi)，它們的邊平行于x軸或y軸，其中點A、A1、A2在直線OM上，點C、C1、C2在直線ON上，O為坐標原點，已知點A的坐標為，正方形ABCD的邊長為1.
（1）求直線ON的表達式；
（2）若點C1的橫坐標為4，求正方形A1B1C1D1的邊長；
（3）若正方形A2B2C2D2的邊長為a，則點B2的坐標為（）.
（A）（B）（C）（D）
【答案】（1）；（2）2；（3）B.
【分析】（1）根據(jù)已知條件可求得點B和點C的坐標，令直線ON的表達式為y=kx，代入點A的坐標，可求得k，即得出直線ON的表達式；
（2）可確定C1的坐標，B1的坐標，A1的坐標；又點A1在直線OM上，則可得出正方形A1B1C1D1的邊長；
（3）根據(jù)已知條件正方形A2B2C2D2的邊長為a和（1）（2）可得出點B2的坐標．
【詳解】（1）由點A的坐標為（3，3），正方形ABCD的邊長為1．
得點B的坐標為（2，3），點C的坐標為（2，4），
令直線ON的表達式為y=kx，
則4=2k，解得k=2，
所以直線ON的表達式為y=2x．
（2）由點C1的橫坐標為4，且在直線ON上，
所以C1的坐標為（4，8），令正方形A1B1C1D1的邊長為x，
則B1的坐標為（4，8-x），A1的坐標為（4+x，8-x），
由點A的坐標為（3，3），易知直線OM的表達式為y=x，
又點A1在直線OM上，則4+x=8-x，
解得x=2，即正方形A1B1C1D1的邊長為2．
（3）設(shè)C2的坐標為（m，n），
∵點C2在直線ON上，
∴n=2m，
∵正方形A2B2C2D2的邊長為a，
∴B2的坐標為（m，n-a），A2的坐標為（m+a，n-a），
∵點A2在直線OM上，則m+a=n-a，則n=m+2a，
∴2m=m+2a，解得m=2a，
則點B2的坐標為（2a，3a），
故選B．
【點睛】本題是一道一次函數(shù)的綜合題目，考查了解析式的確定和正方形的性質(zhì)，是中考壓軸題，難度較大．
【經(jīng)典例題六一次函數(shù)與全等三角形綜合】
【例6】（2022秋·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與x軸、y軸交于A、B兩點，在y軸上有一點C(0，4)，動點M從A點發(fā)以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動．當動到△COM 與△AOB全等時，移的時間t是（）
A．2B．4C．2或4D．2或6
【答案】D
【分析】先求解的坐標，再利用全等三角形的性質(zhì)求解再結(jié)合軸對稱的性質(zhì)可得答案.
【詳解】解：直線與x軸、y軸交于A、B兩點，
令則
令，則

而

當時，而

如圖，當關(guān)于軸對稱時，
此時
此時

故選：D
【點睛】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟悉全等三角形的基本圖形是解本題的關(guān)鍵.
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2021秋·八年級單元測試）如圖，直線y＝-2x+2與x軸和y軸分別交與A、B兩點，射線AP⊥AB于點A．若點C是射線AP上的一個動點，點D是x軸上的一個動點，且以C、D、A為頂點的三角形與△AOB全等，則OD的長為（）
A．2或+1B．3或C．2或D．3或+1
【答案】D
【分析】利用一次函數(shù)與坐標軸的交點求出△AOB的兩條直角邊，并運用勾股定理求出AB．根據(jù)已知可得∠CAD＝∠OBA，分別從∠ACD＝90°或∠ADC＝90°時，即當△ACD≌△BOA時，AD＝AB，或△ACD≌△BAO時，AD＝OB，分別求得AD的值，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵直線y＝-2x+2與x軸和y軸分別交與A、B兩點，
當y＝0時，x＝1，當x＝0時，y＝2，
∴A（1，0），B（0，2）．
∴OA＝1，OB＝2．
∴AB＝．
∵AP⊥AB，點C是射線AP上，
∴∠BAC＝90°，即∠OAB＋∠CAD＝90°，
∵∠OAB＋∠OBA＝90°，
∴∠CAD＝∠OBA，
若以C、D、A為頂點的三角形與△AOB全等，則∠ACD＝90°或∠ADC＝90°，
即△ACD≌△BOA或△ACD≌△BAO．
如圖1所示，當△ACD≌△BOA時，∠ACD＝∠AOB＝90°，AD＝AB，
∴OD＝AD＋OA＝＋1；
如圖2所示，當△ACD≌△BAO時，∠ADC＝∠AOB＝90°，AD＝OB＝2，
∴OD＝OA＋AD＝1＋2＝3．
綜上所述，OD的長為3或＋1．
故選：D．
【點睛】此題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識，掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2022秋·浙江·八年級期末）如圖，直線y＝－x＋8與x軸，y軸分別交于點A，B，直線y＝x＋1與直線AB交于點C，與y軸交于點D．則△BDC的面積=____．若P是y軸正半軸上的一點，Q是直線AB上的一點，連接PQ．△BDC與△BPQ全等(點Q不與點C重合)，寫出所有滿足要求的點Q坐標______．
【答案】，，
【分析】將兩條直線的方程聯(lián)立，求出點的坐標，從而可得的底與高，進而求出面積；對點的位置進行分類討論，畫出使與全等的草圖，結(jié)合全等三角形對應(yīng)邊相等建立等量關(guān)系，求出點的坐標．
【詳解】解：，令，得，
．
，令，得，
．
．
令，解得，
．
．
若與全等，則：
①當點在點下方時，如圖所示，，．
，即，解得，
將代入，得．
．
②當點在點上方時，如圖所示．
若，，則，
將代入，得，
．
若，，則，
將代入，得，
．
綜上，所有滿足題意的點的坐標為，，．
故答案為：；，，．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握一次函數(shù)與全等三角形相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
【變式3】（2021秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）如圖①，已知直線與x軸、y軸分別交于點A、C，以為邊在第一象限內(nèi)作長方形．
(1)點A的坐標為__________，點B的坐標為__________；
(2)如圖②，將對折，使得點A與點C重合，折痕交于點，交于點D，求點D的坐標；
(3)在第一象限內(nèi)，是否存在點P（點B除外），使得與全等？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用解析式中，，求出點A、C的坐標，即可得到點B的坐標；
（2）根據(jù)折疊得到．設(shè)，則，由勾股定理得，求出x即可．
（3）先求出直線解析式，由得，則點P在直線上．過P作于點Q，在中，，由面積法得到，
求出，代入，得到點P的坐標．
【詳解】（1）解：令中，得，解得；
令，得，
∴，
∵以為邊在第一象限內(nèi)作長方形．
∴軸，軸，
∴,
故答案為：；
（2）由折疊知：．
設(shè)，則，
根據(jù)題意得：，
解得：．
此時，，
∴；
（3）存在點P，
設(shè)直線為，把代入，得
，
解得：．
∴直線解析式為．
由得，則點P在直線上．
過P作于點Q，
在中，
由得：
∴．
∴，
把代入，得．
此時．
【點睛】此題考查了一次函數(shù)圖像的應(yīng)用，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題七一次函數(shù)與平行四邊形綜合】
【例7】（2022春·福建廈門·八年級?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，已知直線與軸和軸分別交于，兩點，直線與軸交于點，過點作軸，與直線交于點．當以，，，四個頂點圍成的四邊形為平行四邊形時，點的坐標可以是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】兩直線與軸的交點相同為，求出、兩點坐標，由以，，，四個頂點圍成的四邊形為平行四邊形，得，由此列出方程進行解答．
【詳解】解：∵直線與軸和軸分別交于，兩點，
∴當時，，
∴，
∵直線與軸交于點，
∴當時，，
∴，
∵過點作軸，與直線交于點
∴當時，，
∴，
∵以，，，四個頂點圍成的四邊形為平行四邊形，軸，軸，
∴，
∴，
解得：或，
經(jīng)檢驗：或都是原方程的解，但不符合題意，舍去，
∴，
∴．
故選：B．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖像上點的坐標特征，平行四邊形的判定，分式方程，運用了方程的思想方法．解題的關(guān)鍵是根據(jù)列出關(guān)于的方程．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）已知四個點、、、能組成平行四邊形，則的最小值為（）
A．5B．10C．D．
【答案】C
【分析】分兩種情況討論，當CD是平行四邊形的一條邊，可得AB=CD，當CD為對角線，可求AB，OC的解析式，可得當CH⊥AB時，CH有最小值，即CD有最小值．
【詳解】解：①若CD是平行四邊形的一條邊，
則AB=CD==10；
②若CD是平行四邊形的一條對角線，
如圖，過點O作OE⊥AB于E，設(shè)AB與CD交于點H，
∵點A（-8，0）、B（0，6），
∴直線AB的解析式為：，
∵C（4a，3a），
∴過點C的直線為：，
∵點A（-8，0）、B（0，6），
∴AO=6，BO=8，
∴AB==10，
∵S△ABO=AO·BO=AB·OE，
∴OE=，
∵四邊形ACBD是平行四邊形，
∴CH=DH=CD，
∴當CH⊥AB時，CH有最小值，即CD有最小值，
∴當CH=OE=時，CD有最小值為＜10，
故選：C．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理等知識，求出OE的長是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2023春·八年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形OABC的頂點B的坐標為，直線l：恰好將平行四邊形OABC的面積平分，則b的值為______．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，直線l：恰好將平行四邊形OABC的面積平分，則直線l必過平行四邊形對角線的交點，即為線段的中點，可知的中點坐標為，然后將其代入直線方程即可得解．
【詳解】解：直線l：恰好將平行四邊形OABC的面積平分，
直線l必過平行四邊形對角線的交點，即為線段的中點，設(shè)為點E（如圖），
，
，
，
故答案為：．
【點睛】此題考查一次函數(shù)圖像平分平行四邊形的面積問題，熟練掌握一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
【變式3】（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，直線與軸、軸分別相交于點、，與直線相交于點．
(1)求點坐標；
(2)在平面直角坐標系中，是否存在一點M，使得以O(shè)，A，M，C為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，試寫出所有符合條件的點M的坐標；如果不存在，請說明理由；
【答案】(1)點坐標是
(2)存在，點M坐標是，，
【分析】（1）兩個直線方程聯(lián)立求交點坐標．
（2）分三種情況：①當AC是對角線時，②當AO是對角線時，③當CO是對角線時，分別求解即可．
【詳解】（1）解方程組：
得：，
點坐標是；
（2）存在；令代入，得，解得：x=，
∴C，
設(shè)如圖所示：
①當是對角線時，，，
∴點M坐標是；
②當是對角線時，，，
∴點M坐標是；
③當是對角線時，，，
∴點M坐標是
綜上所述：點M坐標是，，．
【點睛】此題考查了直線方程、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵熟悉直線方程和平行四邊形的性質(zhì)．
【經(jīng)典例題八一次函數(shù)綜合壓軸題】
【例8】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）定義：平面直角坐標系中，若點A到x軸、y軸的距離和為2，則稱點A為“成雙點”．例如：如圖，點到x軸、y軸的距離分別為，距離和為2，則點B是“成雙點”，點也是“成雙點”．一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且圖象上存在“成雙點”，則k的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取點，連接，在取點P作軸，軸，垂直分別為M，N，則，可得到均為等腰直角三角形，從而得到為等腰直角三角形，進而得到，繼而得到線段上的點為“成雙點”，線段上的點為“成雙點”，可得到當一次函數(shù)的圖象與線段或線段有交點時，一次函數(shù)的圖象上存在“成雙點”，再分別求出當一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點E時，當一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點G時，k的值，即可求解．
【詳解】解：如圖，取點，連接，在取點P作軸，軸，垂直分別為M，N，則，
∴，
∴均為等腰直角三角形，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴點P是“成雙點”，
即線段上的點為“成雙點”，
同理線段上的點為“成雙點”，
∴當一次函數(shù)的圖象與線段或線段有交點時，一次函數(shù)的圖象上存在“成雙點”，
∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
∴，
解得：，
∴一次函數(shù)的解析式為，
當一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點E時，
，解得：，
當一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點G時，
，解得：，
∴k的取值范圍為．
故選：D
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會尋找特殊點解決問題，屬于中考壓軸題．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·河南鄭州·九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，平行四邊形的一邊在軸上，，在第二象限，在左側(cè)，，，，直線的解析式為，現(xiàn)將平行四邊形沿軸向右平移，當直線恰好平分平行四邊形的面積時，此時的平移距離為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作于，解直角三角形求得Ａ、Ｃ的坐標，即可求得中點的坐標，根據(jù)題意當直線恰好平分平行四邊形的面積時，則必經(jīng)過的中點，把中點的縱坐標答題直線求得橫坐標，即可求得平移的距離．
【詳解】解：作于，
，，，
，，
，
，
，，
的中點為，
平行四邊形沿軸向右平移，當直線恰好平分平行四邊形的面積時，則必經(jīng)過的中點，
把代入得，，解得，
，
平移距離為．
故選：．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖像與平移變換、平行四邊形的性質(zhì)、一次函數(shù)圖像上點的坐標特征等知識點，明確直線經(jīng)過平行四邊形對角線的交點平分平行四邊形的面積是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2023秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）如圖．直線：與軸，軸分別交于點，，直線經(jīng)過點，與軸負半軸交于點，且，則直線的函數(shù)表達式為______．
【答案】
【分析】過點作于點，由的解析式求出點，的坐標，由得，設(shè)，，根據(jù)勾股定理和等積法求出，，得出點坐標，最后設(shè)出解析式代入求解即可．
【詳解】解：如圖，過點作于點，
∵：與軸，軸分別交于點，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，，則，，
由勾股定理得，即，
由等積法得，
∴，
聯(lián)立，
解得或（舍去），
∴，
設(shè)：，
將點代入并解得，
∴的函數(shù)表達式為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的幾何綜合，正確畫出輔助線，熟練運用勾股定理和等積法是解題的關(guān)鍵．
【變式3】（2022秋·廣西百色·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知直線的函數(shù)關(guān)系式為，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，將直線平移得直線，直線分別交x軸、y軸于點C、D，且經(jīng)過點．
(1)求直線的函數(shù)表達式；
(2)求點C和點D的坐標；
(3)在直線上是否存在點E，使得？若存在，請求出符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）根據(jù)平移設(shè)，將代入，求出m值即可；
（2）在中，時，，得到，時，，得到；
（3）設(shè)，根據(jù)，，得到，，根據(jù)，得到，根據(jù)，得到，得到，或，求得，或，得到，或．
【詳解】（1）解：設(shè)將向下平移m個單位，得到直線，
則，
∵經(jīng)過點，
∴，
解得：，
∴直線的函數(shù)表達式為：；
（2）在中，
令，則，
令，則，
∴，；
（3）存在，或，理由：
在中，令，則，令，則，
∴，，
設(shè)，
，，
，，
，
，
，
，
設(shè)、之間的距離為，
，
，
，或，
，或，
或．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)，平移，一次函數(shù)與一元一次方程，一次函數(shù)與三角形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直線平移的性質(zhì)，點平移的坐標性質(zhì)，一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，一次函數(shù)與三角形面積的關(guān)系．
【培優(yōu)檢測】
1．（2023春·八年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象分別交x、y軸于點A、B，將直線繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，交x軸于點C，則的面積是（）
A．22B．20C．18D．16
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件得到，，過A作交于F，過F作軸于E，得到是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得，求得直線的函數(shù)表達式，據(jù)此求解可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象分別交x、y軸于點A、B，
∴令，得，令，則，
∴，，
∴，
過A作交于F，過F作軸于E，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線的函數(shù)表達式為：，
∴，解得，
∴直線的函數(shù)表達式為：，
∴，
∴，
∴的面積是，
故選：B．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
2．（2021秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖（1），在中，，動點從的頂點出發(fā)，以的速度沿勻速運動回到點，圖（2）是點運動過程中，線段的長度隨時間變化的圖象，其中點為曲線部分的最低點，若的面積是，則的值為（）．
A．18B．16C．20D．15
【答案】A
【分析】先求出線段、的長，再求a的值．
【詳解】過點A作于點H，
由函數(shù)圖象可知
∵的面積是,
∴
∴
∵,
∴
∵
由勾股定理得：
∴
∵動點以的速度沿勻速運動回到點，
∴總時間為：
∴
故選A
【點睛】本題考查動點問題，解題的關(guān)鍵是讀懂函數(shù)圖象反映出的信息并掌握勾股定理．
3．（2023秋·江蘇蘇州·八年級蘇州中學(xué)?？计谀┤鐖D，直線交軸，軸于點，點在第一象限內(nèi)，且縱坐標為4．若點關(guān)于直線的對稱點恰好落在軸的正半軸上，則點的橫坐標為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由直線，可得，易知；連接，交直線與點，連接，由軸對稱的性質(zhì)可得垂直平分，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，再證明，由全等三角形的性質(zhì)可得；設(shè)，則，，由勾股定理可得，解得，即可確定點的橫坐標．
【詳解】解：對于直線，
當時，，當時，，
∴，
∴，
連接，交直線與點，連接，如下圖，
∵點與點關(guān)于直線對稱，
∴，且，
∴，
∵點在第一象限內(nèi)，且縱坐標為4，
∴軸，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴，
∴在中，，
即，解得，
∴，
∴點的橫坐標為．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了坐標與圖形、一次函數(shù)與坐標軸交點、軸對稱的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運用是解題關(guān)鍵．
4．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級校聯(lián)考期末）如圖，△ABC中，，把△ABC放在平面直角坐標系xOy中，且點A，B的坐標分別為（2，0），（12，0），將△ABC沿x軸向左平移，當點C落在直線上時，線段AC掃過的面積為（）
A．66B．108C．132D．162
【答案】C
【分析】過點C作CD⊥x軸于點D，由點A、B的坐標利用勾股定理可求出點C的坐標，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點C移動后的坐標，借助平行四邊形的面積即可得出線段AC掃過的面積．
【詳解】過點C作CD⊥x軸于點D，如圖所示．
∵點A，B的坐標分別為(2，0)，(12，0)，AC=BC=13，
∴AD=BD=AB=5，
∴CD=．
∴點C的坐標為(7，12)．
當y=12時，有12=?x+8，
解得：x=?4，
∴點C平移后的坐標為(?4，12)．
∴△ABC沿x軸向左平移7?(?4)=11個單位長度，
∴線段AC掃過的面積S=11CD=132．
故選：C．
【點睛】此題考查坐標與圖形變化-平移，等腰三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．
5．（2022·河南許昌·統(tǒng)考二模）如圖1，點是的中線上的一動點，點是的中點，連接，設(shè)，，圖2是點運動時隨變化的關(guān)系圖象，其中點是函數(shù)圖象的最低點，則的值為（）
A．33B．34C．35D．36
【答案】B
【分析】如圖所示，取BC中點E，取CD中點F，連接EF，AE，先根據(jù)圖2可知AE=25，AF=26，然后證明EF為△BCD的中位線，得到，同理可證QF是△PDC的中位線，得到，由此可知Q在EF上，則當AQ⊥EF時，AQ有最小值，由此求出EF的長從而求出BD的長即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，取BC中點E，取CD中點F，連接EF，AE，
由圖2可知，當時，，
∴當BP=0時，AQ=25，即當P與B重合時，AQ=25，
∵此時P與B重合，Q為PC的中，即Q為BC的中點，
∴AE=25，
同理當P與D重合時，即PD=m時，AF=AQ=26，
∵E、F分別為BC，CD的中點，
∴EF為△BCD的中位線，
∴，
同理可證QF是△PDC的中位線，
∴，
∴點Q在EF上，
∴當AQ⊥EF時，AQ的值最小，即此時的y值最小，
過點A作于，連接并延長交PD于，由圖2可知，
∴，，
∴EF=17，
∴BD=34，
∴點P與點D重合時，BP取得最大值m，
∴m=BD=34，
故選B．
【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理，動點的函數(shù)圖象，點到直線的距離垂線段最短，勾股定理等等，正確讀懂函數(shù)圖象作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
6．（2022秋·八年級課時練習）如圖，點A、B的坐標分別為、，點P為x軸上的動點，若點B關(guān)于直線AP的對稱點恰好落在x軸上，則點P的坐標是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)勾股定理的長，求得的坐標．然后用待定系數(shù)法求出直線的解析式，由對稱的性質(zhì)得出，求出直線的解析式，然后求出直線與軸的交點即可．
【詳解】解：如圖，連接、，
，，
，
點與關(guān)于直線對稱，
，
在中，
點坐標為或，
，點關(guān)于直線的對稱點恰好落在軸上，
點關(guān)于直線的對稱點，
點坐標為不合題意舍去，
設(shè)直線方程為
將，代入得：，
解得，，
直線的解析式為：，
直線的解析式為：，
當時，，
解得：，
點的坐標為：；
故選：A．
【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題目，考查了用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式、軸對稱的性質(zhì)、垂線的關(guān)系等知識；本題有一定難度，綜合性強，由直線的解析式進一步求出直線的解析式是解決問題的關(guān)鍵．
7．（2021·河南·模擬預(yù)測）如圖，正方形OABC中，點A（4，0），點D為AB上一點，且BD＝1，連接OD，過點C作CE⊥OD交OA于點E，過點D作MN∥CE，交x軸于點M，交BC于點N，則點M的坐標為（）
A．（5，0）B．（6，0）C．（，0）D．（，0）
【答案】C
【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)確定點D的坐標，再根據(jù)“ASA”證明△COE≌△OAD，進而得出點E的坐標，再求出直線CE的關(guān)系式，即可求出直線MN的關(guān)系式，最后令y＝0可得答案．
【詳解】∵OABC是正方形，A（4，0），
∴OA＝OC＝AB＝4，∠AOC＝∠OAB＝90°．
∵BD＝1，
∴AD＝3，
則D（4，3）．
∵CE⊥OD，
∴∠DOE＝90°﹣∠CEO＝∠OCE．
在△COE和△OAD中，
∴△COE≌△OAD（ASA），
∴OE＝AD＝3，
∴E（3，0）．
設(shè)直線CE為y＝kx+b，把C（0，4），E（3，0）代入得：
，
解得，
∴直線CE為．
由設(shè)直線MN為，把D（4，3）代入得：，
解得，
∴直線MN為，
在中，令y＝0得，
解得，
∴M（，0），
故選：C．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)兩直線平行求出直線MN的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
8．（2022秋·重慶·八年級西南大學(xué)附中校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸，y軸分別交于B、A兩點，以線段AB為邊在AB右側(cè)作等邊三角形ABC，邊AC與x軸交于點E，邊BC與y軸交于點F，點D是y軸上的一個動點，連接AD，BD，CD．下面的結(jié)論中，正確的個數(shù)有（）個
①；②；③當時，；④點C的坐標為；⑤當時，；
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，再由題意可得A（0，2），B（-2，0），從而得到∠ABO=∠BAO=45°，進而得到∠CBE=∠ABC-∠ABO=15°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，則①正確；過點Ｇ作ＣＧ⊥ｘ軸于點Ｇ，ＣＨ⊥ｙ軸于點Ｈ，則∠BGC=∠AHC=90°，可證得△BCG≌△ACH，△BOF≌△AOE，從而得到CG=CH，AF=BE，再由三角形的面積，可得②正確；根據(jù)，可得AD=AB=AC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠ABD=∠ADB=，∠ADC=∠ACD=，則得到③正確；過點C作CP⊥AB于點P，可得CP過點O，根據(jù)勾股定理可得，，從而得到，再由等腰直角三角形的性質(zhì)可得④正確；設(shè)點，則OD=m，AD=2+m，可得到，，再由，求出m，即可求解．
【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AC=BC，
當時，，當時，，
∴A（0，2），B（-2，0），
∴OA=OB=2，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABO=15°，∠CAF=∠BAC-∠BAO=15°，
∴∠AEB=∠ACB+∠CBE=75°，故①正確；
如圖，過點Ｇ作ＣＧ⊥ｘ軸于點Ｇ，ＣＨ⊥ｙ軸于點Ｈ，則∠BGC=∠AHC=90°，
∵∠CBE=15°，∠CAF=15°，
∴∠CBE=∠CAF，
∵∠BGC=∠AHC=90°，AC=BC，
∴△BCG≌△ACH，
∴CG=CH，
∵∠CBE=∠CAF， OB = OA，∠BOF=∠AOE=90°，
∴△BOF≌△AOE，
∴OE=OF，
∴OA+OF=OB+OE，即AF=BE，
∵，
∴，故②正確；
∵，AB=BC=AC，
∴AD=AB=AC，
∴∠ABD=∠ADB=，∠ADC=∠ACD=，
∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=150°，故③正確；
如圖，過點C作CP⊥AB于點P，
∵OA=OB，
∴CP過點O，
∵∠ABO=45°，∠ABC=60°，
∴∠COE=∠BOP=45°，∠BCP=30°，
∴OP=BP，，∠OCG=45°，
∵OA=OB=2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵∠COE=∠OCG=45°，
∴CG=OG，
∵，
∴，
∴，
∴點C的坐標為，故④正確；
設(shè)點，則OD=m，AD=2+m，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
解得：，
∴，故⑤正確
所以正確的有①②③④⑤，共5個．
故選：D
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，坐標與圖形，熟練掌握相關(guān)知識點，并利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
9．（2023秋·四川成都·八年級?？计谀┤鐖D，平面直角坐標系中，已知直線上一點，連接，以為邊做等腰直角三角形，，過點作線段軸，直線與直線交于點，且，直線與直線交于點，則點的坐標是_____．
【答案】
【分析】過作軸，交軸于，交于，過作軸，交軸于，，求出，證，推出，，設(shè)，求出，得出，求出，得出的坐標，由兩點坐標公式求出，在中，由勾股定理求出，得出的坐標，設(shè)直線的解析式是，把代入求出直線的解析式，解由兩函數(shù)解析式組成的方程組，求出方程組的解即可．
【詳解】解：過作軸，交軸于，交于，過作軸，交軸于，
，
，，
，
，
，，
在和中，
，
，，
，
設(shè)，，
，
，
則，
，即．
直線，
，
點
，
在中，由勾股定理得：，
則的坐標是，
設(shè)直線的解析式是，
把代入得：，
即直線的解析式是，
組成方程組
解得：
點，，
故答案為：，．
【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定，解方程組，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，題目比較好，但是有一定的難度．
10．（2022秋·遼寧沈陽·八年級沈陽市第七中學(xué)校考期末）如圖，一次函數(shù)與軸交于點，點在直線上且橫坐標為．點為軸上一點，，若點是軸上的動點，在直線上找在一點（點與點不重合），使與全等，點的坐標為______．
【答案】或或．
【分析】把點代入一次函數(shù)中，即可求出；然后令，代入一次函數(shù)解析式，即可求得即可求得y，從而得出點坐標；設(shè)，根據(jù)利用，利用勾股定理求得點的坐標，然后分兩種情況：①當時，②當時，分別求解即可．
【詳解】解：點代入，得
，
解得：，
，
當時，則，
；
令，則，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
；
∵，，，
∴，，
∵點是軸上的動點，點在直線上，
設(shè)且與點不重合，
分兩種情況：①當時，則
，即，
解得：，，
∴或，
∴或；
②當時，則，
，即，
解得：，，
或，
∵點與點不重合，
，
綜上，存在點(點與點不重合)，使與全等，點N的坐標為或或．
故答案為：或或．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)上點的坐標特征，一次函數(shù)與坐標軸的交點，兩點間的距離，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)、分類討論思想，是一次函數(shù)與全等三角形的綜合題，解答本題的關(guān)鍵在分類討論．
11．（2022春·廣東江門·八年級江門市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，直線：與x軸交于點，以為邊長作等邊三角形，過點作平行于軸，交直線于點，以為邊長作等邊三角形，過點作平行于軸，交直線于點，以為邊長作等邊三角形，……，則點的橫坐標是__________．
【答案】
【分析】求出直線與x軸y軸的交點，根據(jù)題意可得，，可求出的橫坐標，的橫坐標，的橫坐標，的橫坐標，即可得到答案．
【詳解】解：當時，，
當，，解得，
∴與x軸交于點的坐標為，與y軸交于點D坐標為，
∴，，
∴，
∴，
∵以為邊長作等邊三角形，
∴，
過作軸的垂線，
∴，
∴的橫坐標，
同理可得，
的橫坐標，的橫坐標，
∴的橫坐標，
∴，
故答案為．
【點睛】本題考查一次函數(shù)圖像及性質(zhì)，等邊三角形，直角三角形的性質(zhì)；利用特殊三角形求點的坐標是解題的關(guān)鍵．
12．（2022秋·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知，點P在線段上（點P不與點A重合），點Q在線段上，，當最小時，點Q的坐標________．
【答案】
【分析】如圖所示，過點Q作軸于D，過點B作于E，設(shè)，利用勾股定理求出，再利用三角形面積法求出，則，即可利用勾股定理求出，要使最小就相當于在x軸上找一點到點G和點H的距離最小，該點即為直線與x軸的交點，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：如圖所示，過點Q作軸于D，過點B作于E，設(shè)，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的和就相當于點到點G和點H的距離之和，
∵要使最小，
∴即為直線與x軸的交點，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
令，則，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，坐標與圖形，一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，正確得到要使最小就相當于在x軸上找一點到點G和點H的距離最小是解題的關(guān)鍵．
13．（2022秋·北京·九年級北大附中校考開學(xué)考試）如圖，直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點．從點P（1，0）射出的光線經(jīng)直線AB反射后又經(jīng)直線OB反射回到P點，則光線第一次的反射點Q的坐標是________．
【答案】
【分析】由題意知的點A（4，0），點B（0，4），也可知點P（1，0），設(shè)光線分別射在AB、OB上的Q、M處，由于光線從點P經(jīng)兩次反射后又回到P點，反射角等于入射角，則∠PQA=∠BQM；∠PMO=∠BMQ．由而求得的坐標．求出直線，由此能求出點Q的坐標．
【詳解】解：∵直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點，
∴點A（4，0），點B（0，4），
設(shè)光線分別射在AB、OB上的Q、M處，由于光線從點P經(jīng)兩次反射后又回到P點，
根據(jù)反射規(guī)律，則∠PQA=∠BQM；∠PMO=∠BMQ．
∵點P（1，0），
作出點P關(guān)于OB的對稱點，則，
作出點P關(guān)于AB的對稱點，則：
∴共線，
∵，
即；
∴（4，3），
設(shè)直線的解析式為,則有：，
解得：，
∴直線的解析式為，
，
解得：，
∴Q點的坐標為：．
故答案為：．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合題，主要利用物理中反射角等于入射角，正確畫出圖形，用待定系數(shù)法求出直線解析式來解．
14．（2022春·浙江金華·八年級校聯(lián)考期中）已知直線與軸，軸分別交于點A，，點是射線上的動點，點在坐標平面內(nèi) ，以O(shè)，A，C，D為頂點的四邊形是菱形．則點的坐標為______．
【答案】或
【分析】先根據(jù)題意求得分C點在第二象限和第一象限兩種情況討論，根據(jù)點D關(guān)于直線OC的對稱點恰好落在y軸，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，在第一象限時候，證明是等邊三角形，在第二象限時候證明是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)，分別求得C點的坐標．
【詳解】∵與軸，軸分別交于點A，，
令∴，
令∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
如圖，當C點在第二象限時，設(shè)交x軸于點E，交AO于點F，CD交y軸于點G
∵四邊形OACD是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，,
∴，
∴，
∵，
∴，
∵點D關(guān)于直線OC的對稱點為，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵
∴
∴點為的中點，
∵，，
∴．
如圖，當C點在第二象限時，延長DC交y軸于點H，則．
∵點D關(guān)于直線OC的對稱點為，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
綜合①②可知OC的坐標為或．
故答案為：或．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，此題方法較多，利用等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2022秋·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）定義：叫做關(guān)于直線的“分邊折疊函數(shù)”．
(1)已知“分邊折疊函數(shù)”
①直接寫出該函數(shù)與y軸的交點坐標；
②若直線與該函數(shù)只有一個交點，求t的取值范圍；
(2)已知“分邊折疊函數(shù)”的圖像被直線與y軸所夾的線段長為，則k的值為___________．
【答案】(1)①；②當或
(2)
【分析】（1）①求出當時，的值即可得到答案；②分別求出當時，的函數(shù)值和的函數(shù)值，然后令函數(shù)經(jīng)過求出的對應(yīng)函數(shù)函數(shù)值的對應(yīng)坐標即可得到答案；
（2）先求出函數(shù)與直線的交點坐標，與y軸的交點坐標，再利用勾股定理進行求解即可．
【詳解】（1）解：①∵，，
∴當時，
∴函數(shù)與y軸的交點坐標為；
②令，代入得，
令經(jīng)過點，
∴，
∴，
同理，令，代入得，
令經(jīng)過點，
∴，
∴，
綜上分析所得，當或時，與該函數(shù)只有一個交點；
（2）解：∵，
∴函數(shù)與y軸的交點坐標為，與直線的交點坐標為，
∵“分邊折疊函數(shù)”的圖像被直線與y軸所夾的線段長為，
∴，
∴，
∴（m等于0時，直線與y軸重合，不符合題意），
解得．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，勾股定理，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
16．（2023秋·廣東梅州·八年級豐順縣豐順中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，直線AB：與軸交于點C，且點，.
(1)點C的坐標為
(2)求原點O到直線的距離；
(3)在x軸上是否存在一點P，使得是直角三角形?若存在，求出點P的坐標.
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，點的坐標為或
【分析】(1)令，即可求解；
(2)首先可求得點A、B的坐標，根據(jù)兩點間距離公式可求得的長，再根據(jù)，設(shè)原點到直線的距離為，列方程即可求解；
(3)設(shè)點的坐標為，根據(jù)題意可知不為直角，分兩種情況，利用勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：令，則，
解得：，
所以點的坐標為；
（2）解：代入A、兩點可得：，，
解得：，，
故，，
，
，
設(shè)原點到直線的距離為，
則，
解得：，
故原點到直線的距離為；
（3）解：存在，
設(shè)點的坐標為，根據(jù)題意可知不為直角，
所以當是直角三角形分兩種情況：
①當時，此時點的坐標為；
②當，，
故，
解得：，
此時點的坐標為；
綜上所述，滿足條件的點的坐標為或．
【點睛】本題考查了兩點間距離公式，坐標與圖形，求不規(guī)則圖形的面積，直角三角形的判定，解答的關(guān)鍵是采用分類討論的思想．
17．（2023秋·廣東深圳·八年級深圳外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D，已知函數(shù)的圖象與軸交于點，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸以及的圖象分別交于點，且點的坐標為，
(1)求的值；
(2)若函數(shù)的函數(shù)值不大于函數(shù)的函數(shù)值，直接寫出的取值范圍______；
(3)求的面積．
【答案】(1)的值為2，的值為3，的值為
(2)
(3)的面積為
【分析】（1）把點的坐標為代入得，從而得到點的坐標為，將點的坐標代入，得到，解得，即可得到答案；
（2）直接根據(jù)函數(shù)圖象即可得到答案；
（3）過點作軸交軸于點，根據(jù)計算即可得到答案．
【詳解】（1）解：把點的坐標為代入得：
，
，
點的坐標為，
將點，點代入得：
，
解得，
一次函數(shù)的解析式為，
的值為2，的值為3，的值為；
（2）解：由（1）得點的坐標為，
由圖象可得：當時，函數(shù)的函數(shù)值不大于函數(shù)的函數(shù)值，
故答案為：；
（3）解：如圖所示，過點作軸交軸于點，
則點的坐標為，
函數(shù)的圖象與軸交于點，
當時，，
點的坐標為，
一次函數(shù)的圖象與軸交于點，
當時，，
解得，
點的坐標為，
，
的面積為．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)圖象的性質(zhì)、求三角形的面積，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．
18．（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過和．
(1)求這個一次函數(shù)的表達式．
(2)當時，對于x的每一個值，函數(shù)的值都小于的值，直接寫出m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得；
（2）由題意知，當時，，根據(jù)題意：，如圖，當時，與平行，可知當時，成立；當時，將代入中，得，解得，由一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，當時，當時，成立；進而可得的取值范圍．
【詳解】（1）解：設(shè)，
過和得：
解得，
∴所求一次函數(shù)解析式為：；
（2）由（1）得，當時，，
根據(jù)題意：，如圖
當時，與平行，當時，成立；
當時，將代入中，得，解得，
由一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，當時，當時，成立；
綜上所述，．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與一元一次不等式，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．運用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．
19．（2023秋·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，A、B、C為坐標軸上的三個點，且，過點A的直線交直線于點D，交y軸于點E，的面積為8．
(1)求點D的坐標．
(2)求直線的表達式．
(3)過點C作，交直線于點F交與G，求的面積．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先確定點A、B、C的坐標，再依據(jù)待定系數(shù)法即可得到的解析式，再根據(jù)的面積即可得
到點D的坐標；
（2）利用待定系數(shù)法即可得到的解析式；
（3）如圖：先根據(jù)題意確定點E的坐標，進而確定的長，再證明可得
，進而確定的長，求出兩直線的交點坐標，確定的高，最后根據(jù)三角
形的面積公式即可解答．
【詳解】（1）由題可得，，
設(shè)為，
則:，解得：，
∴的解析式為，
∵，
∴，
∵的面積為8，
∴，解得，
當時，，解得．
∴點D的坐標為．
（2）設(shè)直線的表達式為，則
，解得：，
∴直線的表達式為．
（3）如圖
∵直線與y軸交于點E，
∴令可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴
∵
∴
設(shè)直線的表達式為，則
，解得：，
∴直線的表達式為．
聯(lián)立直線的表達式和直線的表達式，
，解得：，
∴的高為，
∴的面積為．
【點睛】本題主要考查了運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)與幾何問題綜合，三角形的面積等知識點，正確
求出各函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．
20．（2023秋·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系xOy中，點，，，點D在第四象限，其中，，，，．
(1)如圖1，求證：；
(2)若，且．
①如圖1，求四邊形的面積；（用含a的式子表示）
②如圖2，交y軸于點E，連接，當E關(guān)于的對稱點K落在x軸上時，求的長．
【答案】(1)見解析；
(2)①；②．
【分析】（1）先得出，得出，再根據(jù)，即可得出結(jié)論；
（2）①利用絕對值的非負性，求出，，作，證明，得出，再利用即可得出答案；
②作，連接，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，進而得出，，得出，進而得出，求出的解析式為，再得出，求出，得出，最后求出．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
作，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，

；
②作，連接，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵E關(guān)于的對稱點K落在x軸上，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)的解析式為，
，
解得：，
∴的解析式為，
當時，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形，勾股定理，求一次函數(shù)，絕對值的非負性，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

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