【壓軸專訓(xùn)】
1．（2022秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，、、分別平分，外角，外角，以下結(jié)論：①，②，③，④，其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
2．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，中，交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：
①；
②；
③；
④.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）△ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)，得；和的平分線交于點(diǎn)，得和的平分線交于點(diǎn)，則為（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·福建龍巖·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)D、E、F分別在三角形ABC的上，連結(jié)，若，則的角度為（ ）
A．B．C．D．
5．（2022春·福建廈門·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，則∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）

A．540°B．180°nC．180°(n-1)D．180°(n+1)
6．（2022春·河南信陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖a是長(zhǎng)方形紙帶，∠DEF=26°，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù)是（ ）
A．102°B．108°C．124°D．128°
7．（2022春·安徽蕪湖·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB∥CD，BF,DF 分別平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 與∠ABE 互補(bǔ)，則∠F 的度數(shù)為
A．30°B．35°C．36°D．45°
8．（2022春·黑龍江綏化·七年級(jí)校考期末）如圖，已知，，，則___度．
9．（2022春·山東泰安·六年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果的兩邊分別平行于的兩邊，且比的2倍少，則________．
10．（2021春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠AEM＝∠DFN＝a，∠EMN＝∠MNF＝b，∠PEM＝∠AEM，∠MNP＝∠FNP，∠BEP，∠NFD的角平分線交于點(diǎn)I，若∠I＝∠P，則a和b的數(shù)量關(guān)系為_____（用含a的式子表示b）．
11．（2022春·重慶璧山·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知，、的交點(diǎn)為，現(xiàn)作如下操作：
第一次操作，分別作和的平分線，交點(diǎn)為，
第二次操作，分別作和的平分線，交點(diǎn)為，
第三次操作，分別作和的平分線，交點(diǎn)為，
…
第次操作，分別作和的平分線，交點(diǎn)為．
若度，那等于__________度．
12．（2021春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，∠ABG為銳角，AH∥BG，點(diǎn)C從點(diǎn)B（C不與B重合）出發(fā)，沿射線BG的方向移動(dòng)，CD∥AB交直線AH于點(diǎn)D，CE⊥CD交AB于點(diǎn)E，CF⊥AD，垂足為F（F不與A重合），若∠ECF＝n°，則∠BAF的度數(shù)為_____度．（用n來表示）
13．（2022秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小明將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖所示的方式疊放在一起，當(dāng)∠ACE＜180°且點(diǎn)E在直線AC的上方時(shí)，他發(fā)現(xiàn)若∠ACE＝_____，則三角板BCE有一條邊與斜邊AD平行．
14．（2022春·重慶·七年級(jí)重慶市綦江中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，直線MN∥PQ，點(diǎn)A在直線MN與PQ之間，點(diǎn)B在直線MN上，連接AB．∠ABM的平分線BC交PQ于點(diǎn)C，連接AC，過點(diǎn)A作AD⊥PQ交PQ于點(diǎn)D，作AF⊥AB交PQ于點(diǎn)F，AE平分∠DAF交PQ于點(diǎn)E，若∠CAE=45°，∠ACB=∠DAE，則∠ACD的度數(shù)是_____．
15．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB∥CD, AC∥BD, CE平分∠ACD，交BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，且∠BEF=∠CEF，若∠DEF=∠EDF，則∠A的度數(shù)為_____.
16．（2022春·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC的角平分線CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列結(jié)論：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正確的結(jié)論是_______．
17．（2022秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）直線相交于點(diǎn)于點(diǎn)，作射線，且在的內(nèi)部．
(1)當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)；
①如圖1，若，求的度數(shù)；
②如圖2，若平分，請(qǐng)判斷是否平分，并說明理由；
(2)若，請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．
18．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）已知，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)F．
(1)在圖1中，求證：
①；
②；
(2)如圖2，當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)你寫出與之間的關(guān)系，并加以證明；
(3)當(dāng)，，且時(shí)，請(qǐng)你直接寫出的度數(shù)（用含m，n的式子表示）
19．（2022春·北京·七年級(jí)北京市第一六一中學(xué)校考期末）如圖1，已知直線與直線交于點(diǎn)E，直線與直線交于點(diǎn)F，平分交直線于點(diǎn)M，且．點(diǎn)G是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M、F重合），平分交直線于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作交直線于點(diǎn)N，設(shè)，．
圖1
圖2
(1)求證：；
(2)當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，
①依據(jù)題意在圖1中補(bǔ)全圖形；
②若，則α＝ 度；
(3)當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．
20．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線、被所截，直線分別交、于、兩點(diǎn)，．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，、分別為夾在、中的兩條直線，，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，為上一點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，連接，，平分交于點(diǎn)，，，，，求的度數(shù)．
21．（2022春·河北石家莊·七年級(jí)統(tǒng)考期中）【問題情景】（1）如圖，，，，求的度數(shù)；
【問題遷移】（2）如圖，已知，ADBC，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在，兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接，，，，求與，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
【知識(shí)拓展】（3）在（2）的條件下，若將“點(diǎn)在，兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)”改為“點(diǎn)在，兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)，，三點(diǎn)不重合”其他條件不變，請(qǐng)直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系．
22．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）已知AB∥CD，點(diǎn)M為平面內(nèi)的一點(diǎn)，∠AMD＝90°．
(1)當(dāng)點(diǎn)M在如圖1的位置時(shí)，求∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系（寫出說理過程）；
(2)當(dāng)點(diǎn)M在如圖2的位置時(shí)，則∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系是 （直接寫出答案）；
(3)在（2）條件下，如圖3，過點(diǎn)M作ME⊥AB，垂足為E，∠EMA與∠EMD的角平分線分別交射線EB于點(diǎn)F、G，回答下列問題（直接寫出答案）：圖中與∠MAB相等的角是 ，∠FMG＝ 度．
23．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）已知，點(diǎn)A，點(diǎn)B分別在線段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．
(1)如圖1，求證：MNPQ；
(2)分別過點(diǎn)A和點(diǎn)C作直線AG、CH使AGCH，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的直角∠DBI的兩邊分別與直線CH，AG交于點(diǎn)F和點(diǎn)E，如圖2，試判斷∠CFB、∠BEG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
(3)在（2）的條件下，若BD和AE恰好分別平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB的度數(shù)．（直接寫出答案）
24．（2022春·河北石家莊·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖至圖，在中，，點(diǎn)在邊所在直線上，作垂直于直線，垂足為點(diǎn)；為的角平分線，的平分線交直線于點(diǎn)．
(1)特例感悟：
如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若BMDG，．
解決問題：
①______；
②求證：；
(2)深入探究；
如圖，當(dāng)，與反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，用含的代數(shù)式表示______；
(3)拓展延伸：
當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，若射線與射線相交，設(shè)交點(diǎn)為，直接寫出與的關(guān)系式．
25．（2022秋·海南海口·七年級(jí)?？计谀c(diǎn)E在射線DA上，點(diǎn)F、G為射線BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，，DG平分．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F右側(cè)時(shí)，
①試說明：；
②試說明；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F左側(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論②是否成立，若不成立，請(qǐng)寫出正確結(jié)論；（不用說理）
(3)如圖3，在（2）的條件下，P為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DM平分，交BC于點(diǎn)M，DN平分，交EF于點(diǎn)N，連接NG，若，，求的度數(shù)．
26．（2022春·湖南邵陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于湘教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第110頁(yè)第15題：“如圖1，OB、OD分別平分∠ABD和∠BDC，∠1＋∠2＝90°，那么AB與CD有什么關(guān)系？試說明理由．”
小亮同學(xué)在做完了該題后，與學(xué)習(xí)小組的同學(xué)在“課后服務(wù)”進(jìn)一步開展了探究活動(dòng)：
如圖，AB∥CD，OB、OD分別平分∠ABD和∠BDC．
(1)如圖1，那么OB與OD有什么關(guān)系？試說明理由．
(2)延長(zhǎng)BO與CD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BE，EF與BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，
①如圖2，∠DFE＝28°，小亮發(fā)現(xiàn)可以求出∠DEF的大小，請(qǐng)你幫助小亮同學(xué)寫出求∠DEF的大小的過程．
②如圖3，連接OF，點(diǎn)M是EF上一點(diǎn)，∠MOF＝∠MFO，ON平分∠BOM交BD于點(diǎn)N，學(xué)習(xí)小組的小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)∠FON的大小不變，請(qǐng)你直接寫出∠FON的大小是 ．
27．（2022春·海南省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，已知直線AMBG，點(diǎn)C為射線BG上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作CDAB交AM于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段AB上，∠DCE＝90°，點(diǎn)F在線段AD上，∠FCG＝90°，點(diǎn)H在線段BC上，∠AHG＝90°，∠ECF＝60°．
(1)寫出一個(gè)與∠ADC相等的角 （寫一個(gè)即可）；
(2)如圖2，求∠BCD的度數(shù)；
(3)若點(diǎn)F是直線AM上的一點(diǎn)，點(diǎn)H是直線BG上的一點(diǎn)，在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中（點(diǎn)C不與點(diǎn)B、H重合），求∠BAF的度數(shù)．
28．（2021春·遼寧葫蘆島·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知直線射線CD，．P是射線EB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作交射線CD于點(diǎn)Q，連接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直線AB于點(diǎn)F，CG平分∠ECF．
(1)若點(diǎn)P，F(xiàn)，G都在點(diǎn)E的右側(cè)．
①求∠PCG的度數(shù)；
②若，求∠CPQ的度數(shù)．
(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
29．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
(1)當(dāng)∠EAC＝∠ACE＝45°時(shí)，AB與CD的位置關(guān)系是______；
當(dāng)∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時(shí)，AB與CD的位置關(guān)系是______；
當(dāng)∠EAC+∠ACE＝90°，請(qǐng)判斷AB與CD的位置關(guān)系并說明理由；
(2)【探究】如圖2，AB∥CD，M是AE上一點(diǎn)，∠AEC＝90°保持不變，移動(dòng)頂點(diǎn)E，使CE平分∠MCD，∠BAE與∠MCD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由，
(3)【拓展】如圖3，AB∥CD，P為線段AC上一定點(diǎn)，Q為直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)Q不與點(diǎn)C重合．直接寫出∠CPQ+∠CQP與∠BAC的數(shù)量關(guān)系．
30．（2022春·江蘇淮安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．
(1)閱讀理解：如圖1，已知點(diǎn)A是BC外一點(diǎn)，連接AB，AC，求的度數(shù)．
閱讀并補(bǔ)充下面推理過程
解：過點(diǎn)A作
，_________________．
__________________
解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將，，“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．
(2)方法運(yùn)用：如圖2，已知，求證：提示：過點(diǎn)C作．
(3)深化拓展：已知，點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)，平分，DE平分，BE，DE所在的直線交于點(diǎn)E，點(diǎn)E在AB與CD兩條平行線之間．
①如圖3，點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)，若，求的度數(shù)。
②如圖4，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，且，若，則的度數(shù)為___________．
31．（2022春·河南安陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）猜想說理：
（1）如圖，，分別就圖1、圖2、圖3寫出，，的關(guān)系，并任選其中一個(gè)圖形說明理由：
拓展應(yīng)用：
（2）如圖4，若，則 度；
（3）在圖5中，若，請(qǐng)你用含n的代數(shù)式表示的度數(shù)．
32．（2022春·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，連接，兩點(diǎn)．
(1)如圖1，與的平分線交于點(diǎn)，則等于__________度；
(2)如圖2，點(diǎn)在射線反向延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在射線上．與的平分線交于點(diǎn)．若，，求的度數(shù)；
(3)如圖3，圖4，，分別為射線，射線上的點(diǎn)，與的平分線交于點(diǎn)．設(shè)，，請(qǐng)直接寫出圖中的度數(shù)（用含，的式子表示）．
專題03 角度計(jì)算的綜合壓軸題型專訓(xùn)
【壓軸專訓(xùn)】
1．（2022秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，、、分別平分，外角，外角，以下結(jié)論：①，②，③，④，其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【分析】根據(jù)角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、平行線的判定一一判定即可．
【詳解】解：①設(shè)點(diǎn)A、B在直線上，
∵、分別平分的內(nèi)角，外角，
∴平分的外角，
∴，
∵，且，
∴，
∴，故①正確．
②∵、分別平分的內(nèi)角、外角，
∴，
∴，故②正確．
③∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正確．
④∵
∴，
∴，故④正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、平行線的判定等，熟悉各個(gè)概念的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，中，交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：
①；
②；
③；
④.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】如圖，①根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到；②根據(jù)角平分線的定義得，由三角形的內(nèi)角和定理得，變形可得結(jié)論；③根據(jù)三角形的內(nèi)角和和外角的性質(zhì)即刻得到；④根據(jù)三角形的面積公式即可得到．
【詳解】如圖，交于，
①，，
，
，
，故①正確；
②平分交于，
，
，
，
，
，
，
故②正確；
③，，
，
，
，
，故③正確；
④平分交于，
點(diǎn)到和的距離相等，
，故④正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，三角形外角的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）△ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)，得；和的平分線交于點(diǎn)，得和的平分線交于點(diǎn)，則為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得，再結(jié)合角平分線的定義，找出角變化的規(guī)律即可求解．
【詳解】∵平分∠ABC，平分∠ACD，
∴＝∠ABC，＝∠ACD，
∴＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A，
同理可得＝＝∠A，
∴＝∠A，
∵，
∴＝，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖，然后求出后一個(gè)角是前一個(gè)角的一半是解題的關(guān)鍵．
4．（2022春·福建龍巖·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)D、E、F分別在三角形ABC的上，連結(jié)，若，則的角度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，結(jié)合，求得，根據(jù)同位角相等，兩直線平行證得，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠3的度數(shù)．
【詳解】解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵ ，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練應(yīng)用判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．
5．（2022春·福建廈門·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，則∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）

A．540°B．180°nC．180°(n-1)D．180°(n+1)
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，作，，，由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，作，，，
∵，
∴，，，……
∴，……
∴；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，熟練運(yùn)用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)進(jìn)行證明．
6．（2022春·河南信陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖a是長(zhǎng)方形紙帶，∠DEF=26°，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù)是（ ）
A．102°B．108°C．124°D．128°
【答案】A
【分析】先由矩形的性質(zhì)得出∠BFE=∠DEF=26°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠CFG=180°-2∠BFE，∠CFE=∠CFG-∠EFG即可．
【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問題）、矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)；熟練掌握翻折變換和矩形的性質(zhì)，弄清各個(gè)角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
7．（2022春·安徽蕪湖·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB∥CD，BF,DF 分別平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 與∠ABE 互補(bǔ)，則∠F 的度數(shù)為
A．30°B．35°C．36°D．45°
【答案】C
【分析】延長(zhǎng)BG交CD于G,然后運(yùn)用平行的性質(zhì)和角平分線的定義，進(jìn)行解答即可.
【詳解】解：如圖延長(zhǎng)BG交CD于G
∵BF∥ED
∴∠F=∠EDF
又∵DF 平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠F，
∵BF∥ED
∴∠CGF=∠EDF=2∠F，
∵AB∥CD
∴∠ABF=∠CGF=2∠F，
∵BF平分∠ABE
∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，
又∵∠F 與∠ABE 互補(bǔ)
∴∠F +∠ABE =180°即5∠F=180°，解得∠F=36°
故答案選C.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行的性質(zhì)和角平分線的定義，做出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.
8．（2022春·黑龍江綏化·七年級(jí)校考期末）如圖，已知，，，則___度．
【答案】65°
【分析】過點(diǎn)作∥，根據(jù)平行公理得，再依據(jù)平行線的性質(zhì)求角即可．
【詳解】解：過點(diǎn)作∥，如圖：
，
．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是依據(jù)平行公理作輔助線，熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)解決問題
9．（2022春·山東泰安·六年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果的兩邊分別平行于的兩邊，且比的2倍少，則________．
【答案】或
【分析】由兩個(gè)角的兩邊分別平行，畫出圖形可得這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，依此列出方程，解方程即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵∠1比∠2的2倍少30°，∴∠1=2∠2-30°．
根據(jù)∠1的兩邊與∠2的兩邊分別平行，分兩種情況：
如圖①，根據(jù)平行可得，∠1=∠3，∠2=∠3，∴∠1=∠2，則
2∠2-30°=∠2，解得∠2=30°，∴∠1=30°；
如圖②，根據(jù)平行可知，∠1=∠3，∠2+∠3=180°，∴∠1+∠2=180°，則
2∠2-30°+∠2=180°，解得∠2=70°，∴∠1=110°．
綜上所述，∠1的度數(shù)為30°或110°．
故答案為：30°或110°．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是注意由兩個(gè)角的兩邊分別平行，可得這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，注意分類討論思想的應(yīng)用．
10．（2021春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠AEM＝∠DFN＝a，∠EMN＝∠MNF＝b，∠PEM＝∠AEM，∠MNP＝∠FNP，∠BEP，∠NFD的角平分線交于點(diǎn)I，若∠I＝∠P，則a和b的數(shù)量關(guān)系為_____（用含a的式子表示b）．
【答案】．
【分析】分別過點(diǎn)P、I作ME∥PH，AB∥GI，設(shè)∠AME=2x，∠PNF=2y，知∠PEM=x，∠MNP=y，由PH∥ME知∠EPH=x，由EM∥FN知PH∥FN，據(jù)此得∠HPN=2y，∠EPN=x+2y，同理知，根據(jù)∠EPN=∠EIF可得答案．
【詳解】分別過點(diǎn)P、I作ME∥PH，AB∥GI，
設(shè)∠AEM＝2x，∠PNF＝2y，則∠PEM＝x，∠MNP＝y(tǒng)，
∴∠DFN＝2x=a，∠MNF＝b=3y
∵PH∥ME，
∴∠EPH＝x，
∵EM∥FN，
∴PH∥FN，
∴∠HPN＝2y，∠EPN＝x+2y，
同理，，
∵∠EPN＝∠EIF，
∴＝x+2y，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．
11．（2022春·重慶璧山·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知，、的交點(diǎn)為，現(xiàn)作如下操作：
第一次操作，分別作和的平分線，交點(diǎn)為，
第二次操作，分別作和的平分線，交點(diǎn)為，
第三次操作，分別作和的平分線，交點(diǎn)為，
…
第次操作，分別作和的平分線，交點(diǎn)為．
若度，那等于__________度．
【答案】
【分析】先過E作EF∥AB，根據(jù)AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠B=∠1，∠C=∠2，進(jìn)而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；根據(jù)∠ABE和∠DCE的平分線交點(diǎn)為E1，則可得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC；根據(jù)∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點(diǎn)為E3，得出∠BE3C∠BEC；…據(jù)此得到規(guī)律∠En∠BEC，最后求得∠BEC的度數(shù)．
【詳解】如圖1，過E作EF∥AB．
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2．
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
如圖2．
∵∠ABE和∠DCE的平分線交點(diǎn)為E1，
∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分線交點(diǎn)為E2，
∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC；
∵∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點(diǎn)為E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3∠ABE2∠DCE2∠CE2B∠BEC；
…
以此類推，∠En∠BEC，
∴當(dāng)∠En=1度時(shí)，∠BEC等于2n度．
故答案為：2n．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義以及平行線性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的運(yùn)用．解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，解題時(shí)注意：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．
12．（2021春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，∠ABG為銳角，AH∥BG，點(diǎn)C從點(diǎn)B（C不與B重合）出發(fā)，沿射線BG的方向移動(dòng)，CD∥AB交直線AH于點(diǎn)D，CE⊥CD交AB于點(diǎn)E，CF⊥AD，垂足為F（F不與A重合），若∠ECF＝n°，則∠BAF的度數(shù)為_____度．（用n來表示）
【答案】n或180﹣n
【分析】分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在線段上；點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：過A作AM⊥BC于M，如圖1，
當(dāng)點(diǎn)C在BM延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)F在線段AD上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，
過A作AM⊥BC于M，如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在線段BM上時(shí)，點(diǎn)F在DA延長(zhǎng)線上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝∠B＝n°，
綜上所述，∠BAF的度數(shù)為n°或180°﹣n°，
故答案為：n或180﹣n．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
13．（2022秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小明將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖所示的方式疊放在一起，當(dāng)∠ACE＜180°且點(diǎn)E在直線AC的上方時(shí)，他發(fā)現(xiàn)若∠ACE＝_____，則三角板BCE有一條邊與斜邊AD平行．
【答案】或或
【分析】分三種情形畫出圖形分別建立好幾何模型求解，即可解決問題．
【詳解】解：有三種情形： ①如圖1中，當(dāng)AD∥BC時(shí)．
∵AD∥BC， ∴∠D＝∠BCD＝30°，
∵∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB＝30°．
②如圖2中，當(dāng)AD∥CE時(shí)，
∠DCE＝∠D＝30°，可得∠ACE＝90°+30°＝120°．
③如圖2中，當(dāng)AD∥BE時(shí)，延長(zhǎng)BC交AD于M．
∵AD∥BE， ∴∠AMC=∠B=45°，
∴∠ACM＝180°-60°-45°＝75°，
∴∠ACE＝75°+90＝165°，
綜上所述，滿足條件的∠ACE的度數(shù)為30°或120°或165°．
故答案為30°或120°或165°．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、平行線的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的首先思考問題，屬于中考?？碱}型．
14．（2022春·重慶·七年級(jí)重慶市綦江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線MN∥PQ，點(diǎn)A在直線MN與PQ之間，點(diǎn)B在直線MN上，連接AB．∠ABM的平分線BC交PQ于點(diǎn)C，連接AC，過點(diǎn)A作AD⊥PQ交PQ于點(diǎn)D，作AF⊥AB交PQ于點(diǎn)F，AE平分∠DAF交PQ于點(diǎn)E，若∠CAE=45°，∠ACB=∠DAE，則∠ACD的度數(shù)是_____．
【答案】##27度
【分析】延長(zhǎng)FA與直線MN交于點(diǎn)K，通過角度的不斷轉(zhuǎn)換解得∠BCA=45°，然后結(jié)合圖形，利用各角之間的關(guān)系求解即可．
【詳解】解：延長(zhǎng)FA與直線MN交于點(diǎn)K，
由圖可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠FAD=45°-(90°-∠AFD)=∠AFD，
∵M(jìn)N∥PQ，
∴∠AFD=∠BKA=90°-∠KBA=90°-(180°-∠ABM)=∠ABM-90°，
∴∠ACD=∠AFD=(∠ABM-90°)=∠BCD-45°，
即∠BCD-∠ACD=∠BCA=45°，
∴∠ACD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠EAD=45°-∠BCA=45°-18°=27°，
故∠ACD的度數(shù)是27°，
故答案為：27°．
【點(diǎn)睛】本題利用平行線、垂直、角平分線綜合考查角度的計(jì)算，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
15．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB∥CD, AC∥BD, CE平分∠ACD，交BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，且∠BEF=∠CEF，若∠DEF=∠EDF，則∠A的度數(shù)為_____.
【答案】108
【詳解】分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠A+∠ACD=180°，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到∠ACE=∠ECD=∠CED，然后根據(jù)題意和三角形的外角的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和求解.
詳解：∵CE平分∠ACD
∴∠ACE=∠DCE
∵AB∥CD，AC∥BD,
∴∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠ACD+∠A=180°，∠ACE=∠CED
∵∠EDF=∠DEF =∠ECD+∠CED
∴∠CEF=∠FEB=∠CED+∠DEF
設(shè)∠B=x，則∠A=180°-x，∠ACE=∠ECD=∠CED=x，
∴∠EDF=x，∠BEF=x
∴∠CEB=360°-2×∠BEF=360°-3x
∴∠A+∠B+∠BEC+∠ACE=180°-x+x+360°-3x+x=360°
解得x=72°
∴∠A=180°-72°=108°.
故答案為108.
點(diǎn)睛：此題主要考查了平行線的性質(zhì)和三角形的外角的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是利用平行線的性質(zhì)和三角形的外角確定角之間的關(guān)系，有一定的難度.
16．（2022春·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC的角平分線CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列結(jié)論：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正確的結(jié)論是_______．
【答案】①②③
【詳解】①∵EG∥BC，
∴∠CEG=∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分線，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，則①正確；
②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC=90°+（∠ABC+∠ACB）=135°，
∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，
∴∠DFB=45°=∠CGE，則②正確；
③∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°．
∵EG∥BC，且EG⊥CG，
∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD，則③正確；
④無法證明CA平分∠BCG，則④錯(cuò)誤．
故答案為①②③．
17．（2022秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）直線相交于點(diǎn)于點(diǎn)，作射線，且在的內(nèi)部．
(1)當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)；
①如圖1，若，求的度數(shù)；
②如圖2，若平分，請(qǐng)判斷是否平分，并說明理由；
(2)若，請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)①；②平分，理由見解析
(2)或
【分析】（1）①由，得出，根據(jù)平角的定義得出，根據(jù)即可求解；
②由平分，得出，根據(jù)得出，即可得結(jié)論；
（2）分當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)在直線的異側(cè)時(shí)兩種情況，結(jié)合圖形分析即可求解．
【詳解】（1）解：①∵于點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴的度數(shù)為；
②平分，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即平分．
（2）當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，如圖，
記，則，
∵，
∴，
∴①，
∴②，
得，；
當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)在直線的異側(cè)時(shí)，如圖，
記，則，
∵，
∴，
∴①，
∴②，
得，．
綜上可知，或．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的有關(guān)計(jì)算，垂直的定義，與余角補(bǔ)角相關(guān)的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
18．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）已知，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)F．
(1)在圖1中，求證：
①；
②；
(2)如圖2，當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)你寫出與之間的關(guān)系，并加以證明；
(3)當(dāng)，，且時(shí)，請(qǐng)你直接寫出的度數(shù)（用含m，n的式子表示）
【答案】(1)證明見詳解；
(2)，證明見詳解；
(3)
【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：，
②根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：，
（2）設(shè)，，則，，，根據(jù)（1）和四邊形內(nèi)角和得等式可得結(jié)論；
（3）同（2）將3倍換為n倍，同理可得結(jié)論；
【詳解】（1）證明：①如圖１，過點(diǎn)作
，
，
，
，
證明：②如圖１，過點(diǎn)作
，
，
即
（2）解：關(guān)系式為，
證明：設(shè)，
，時(shí)，且平分，平分，
，

由（１）得，
，
，
，
即，
，
（3）解：設(shè)則
，，
由（１）可得
，
，
，
，
，
即的度數(shù)（用含m，n的式子表示）表示為
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線、n等分線及四邊形的內(nèi)角和的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造同旁內(nèi)角以及內(nèi)錯(cuò)角，依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算，解題時(shí)注意類比思想的運(yùn)用．
19．（2022春·北京·七年級(jí)北京市第一六一中學(xué)?？计谀┤鐖D1，已知直線與直線交于點(diǎn)E，直線與直線交于點(diǎn)F，平分交直線于點(diǎn)M，且．點(diǎn)G是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M、F重合），平分交直線于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作交直線于點(diǎn)N，設(shè)，．
圖1
圖2
(1)求證：；
(2)當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，
①依據(jù)題意在圖1中補(bǔ)全圖形；
②若，則α＝ 度；
(3)當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析；②50
(3)或；證明見解析
【分析】（1）根據(jù)平分和，可證明，即可解答．
（2）①根據(jù)題意畫圖即可；
②依據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平分，，即可得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解答；
（3）分兩種情況解答：當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，由（2）可得結(jié)果；當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，進(jìn)行解答即可．
【詳解】（1）證明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①如圖1，
②∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
，
∴，
∵，
∴，
解得；
故答案為：50；
（3）解：α和β之間的數(shù)量關(guān)系為或．
理由如下：
當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)，由（2）得，
當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，如圖2，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
，
∴，
即，
綜上所述，α和β之間的數(shù)量關(guān)系為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握這些知識(shí)，并熟練利用角的和差關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
20．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線、被所截，直線分別交、于、兩點(diǎn)，．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，、分別為夾在、中的兩條直線，，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，為上一點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，連接，，平分交于點(diǎn)，，，，，求的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）只需要證明即可證明；
（2）先由平行線的性質(zhì)得到，進(jìn)而證明，即可證明；
（3）如圖所示，過點(diǎn)N作直線，則，設(shè)，先證明，再由平行線的性質(zhì)得到，，由，得到，則，，進(jìn)而求出，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，從而求出，再由平分，得到，最后根據(jù)，即可得到 ．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴；
（2）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如圖所示，過點(diǎn)N作直線，則，設(shè)，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．
21．（2022春·河北石家莊·七年級(jí)統(tǒng)考期中）【問題情景】（1）如圖，，，，求的度數(shù)；
【問題遷移】（2）如圖，已知，ADBC，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在，兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接，，，，求與，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
【知識(shí)拓展】（3）在（2）的條件下，若將“點(diǎn)在，兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)”改為“點(diǎn)在，兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)，，三點(diǎn)不重合”其他條件不變，請(qǐng)直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）與、之間的數(shù)量關(guān)系為：或
【分析】（1）過點(diǎn)P作PE與AB平行，繼而根據(jù)的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)即可得；
（2）過作交于，推出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，即可得出答案；
（3）畫出圖形分兩種情況點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，即可得出答案．
【詳解】解：（1）過點(diǎn)作，
如圖所示：
，
，平行于同一條直線的兩條直線平行
，，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)
，，
，，
．
（2），理由如下：
如圖所示，過作交于，
，
，
，，
；
（3）當(dāng)在延長(zhǎng)線時(shí)，如圖所示：
過作交于，
同（2）可知：，，
；
當(dāng)在延長(zhǎng)線時(shí)，如圖所示：
同（2）可知：，，
．
綜上所述，與、之間的數(shù)量關(guān)系為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定定理，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．
22．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）已知AB∥CD，點(diǎn)M為平面內(nèi)的一點(diǎn)，∠AMD＝90°．
(1)當(dāng)點(diǎn)M在如圖1的位置時(shí)，求∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系（寫出說理過程）；
(2)當(dāng)點(diǎn)M在如圖2的位置時(shí)，則∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系是 （直接寫出答案）；
(3)在（2）條件下，如圖3，過點(diǎn)M作ME⊥AB，垂足為E，∠EMA與∠EMD的角平分線分別交射線EB于點(diǎn)F、G，回答下列問題（直接寫出答案）：圖中與∠MAB相等的角是 ，∠FMG＝ 度．
【答案】(1)∠MAB+∠D＝90°；見解析
(2)∠MAB﹣∠D＝90°
(3)∠MAB＝∠EMD；45
【分析】（1）在題干的基礎(chǔ)上，通過平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）仿照（1）的解題思路，過點(diǎn)M作MN∥AB，由平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）利用（2）中的結(jié)論，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖①，過點(diǎn)M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥CD（如果一條直線和兩條平行線中的一條平行，那么它和另一條也平行）．
∴∠D＝∠NMD．
∵M(jìn)N∥AB，
∴∠MAB+∠NMA＝180°．
∴∠MAB+∠AMD+∠DMN＝180°．
∵∠AMD＝90°，
∴∠MAB+∠DMN＝90°．
∴∠MAB+∠D＝90°；
（2）解：如圖②，過點(diǎn)M作MN∥AB，
∵M(jìn)N∥AB，
∴∠MAB+∠AMN＝180°．
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥CD．
∴∠D＝∠NMD．
∵∠AMD＝90°，
∴∠AMN＝90°﹣∠NMD．
∴∠AMN＝90°﹣∠D．
∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°．
∴∠MAB﹣∠D＝90°．
即∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系是：∠MAB﹣∠D＝90°．
故答案為：∠MAB﹣∠D＝90°．
（3）解：如圖③，
∵M(jìn)E⊥AB，
∴∠E＝90°．
∴∠MAE+∠AME＝90°
∵∠MAB+∠MAE＝180°，
∴∠MAB﹣∠AME＝90°．
即∠MAB＝90°+∠AME．
∵∠AMD＝90°，
∴∠MAB＝∠AMD+∠AME＝∠EMD．
∵M(jìn)F平分∠EMA，
∴∠FME＝∠FMA＝∠EMA．
∵M(jìn)G平分∠EMD，
∴∠EMG＝∠GMD＝∠EMD．
∵∠FMG＝∠EMG﹣∠EMF，
∴∠FMG＝∠EMD﹣∠EMA＝（∠EMD﹣∠EMA）．
∵∠EMD﹣∠EMA＝90°，
∴∠FMG＝45°．
故答案為：∠MAB＝∠EMD；45．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，過點(diǎn)M作MN∥AB是解題的關(guān)鍵．
23．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）已知，點(diǎn)A，點(diǎn)B分別在線段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．
(1)如圖1，求證：MNPQ；
(2)分別過點(diǎn)A和點(diǎn)C作直線AG、CH使AGCH，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的直角∠DBI的兩邊分別與直線CH，AG交于點(diǎn)F和點(diǎn)E，如圖2，試判斷∠CFB、∠BEG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
(3)在（2）的條件下，若BD和AE恰好分別平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB的度數(shù)．（直接寫出答案）
【答案】(1)見解析
(2)，證明見解析
(3)∠CFB=130°
【分析】（1）過C作CEMN，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）過B作BRAG，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，等量代換即可得到結(jié)論；
（3）過E作ESMN，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，根據(jù)角平分線的定義得到∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖，過C作CEMN，
∴∠1=∠MAC，
∵∠2=∠ACB-∠1，
∴∠2=∠ACB-∠MAC，
∵∠ACB-∠MAC=∠CBP，
∴∠2=∠CBP，
∴CEPQ，
∴MNPQ；
（2）如圖，過B作BRAG，
∵AGCH，
∴BRHF，
∴∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，
∵∠EBF=90°，
∴∠BEG=∠EBR=90°-∠RBF，
∴∠BEG=90°-∠RBF=90°-（180°-∠CFB），
∴∠CFB-∠BEG=90°；
（3）如圖，過E作ESMN，
∵M(jìn)NPQ，
∴ESPQ，
∴∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，
∵BD和AE分別平分∠CBP和∠CAN，
∴∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，
∴∠CAE=∠AES，
∵∠EBD=90°，
∴∠EBQ+∠PBD=∠EBC+∠CBD=90°，
∴∠QBE=∠EBC，
∴∠EBC=∠BES，
∴∠AEB=∠AES+∠BES=∠CAE+∠EBC=，
∵∠ACB=80°，
∴∠AEB=140°，
∴∠BEG=40°，
∵∠CFB-∠BEG=90°，
∴∠CFB=130°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
24．（2022春·河北石家莊·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖至圖，在中，，點(diǎn)在邊所在直線上，作垂直于直線，垂足為點(diǎn)；為的角平分線，的平分線交直線于點(diǎn)．
(1)特例感悟：
如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若BMDG，．
解決問題：
①______；
②求證：；
(2)深入探究；
如圖，當(dāng)，與反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，用含的代數(shù)式表示______；
(3)拓展延伸：
當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，若射線與射線相交，設(shè)交點(diǎn)為，直接寫出與的關(guān)系式．
【答案】(1)①；②見解析
(2)
(3)或
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得答案；根據(jù)平行線的性質(zhì)得，再根據(jù)垂直的定義和角平分線的定義可得結(jié)論；
由八字模型可得，和中，，再整理可得答案；
分情況討論，分別畫出對(duì)應(yīng)圖形，再整理即可．
（1）
解：BMDG，
，
為的角平分線，
，
故答案為：；
證明：由得，，
∵BMDG，
，
，
，
平分，
，
，
；
（2）
由八字模型可得，和中，
,
故答案為：；
（3）
如圖，
由八字模型可得，和中，
；
如圖，
由四邊形的內(nèi)角和得，
；
如圖，
由八字模型可得，，
；
綜上，或．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和是解題關(guān)鍵．
25．（2022秋·海南?？凇て吣昙?jí)?？计谀c(diǎn)E在射線DA上，點(diǎn)F、G為射線BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，，DG平分．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F右側(cè)時(shí)，
①試說明：；
②試說明；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F左側(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論②是否成立，若不成立，請(qǐng)寫出正確結(jié)論；（不用說理）
(3)如圖3，在（2）的條件下，P為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DM平分，交BC于點(diǎn)M，DN平分，交EF于點(diǎn)N，連接NG，若，，求的度數(shù)．
【答案】(1)①見解析；②見解析；
(2)∠DGE＝∠BDG＋∠FEG，理由見解析；
(3)
【分析】（1）①根據(jù)角平分線的定義即可得到∠BDG＝∠ADG，從而可得∠ADG＝∠DGB，則，可得∠DEF＝∠EFG，即可得到∠DBF＝∠EFG，從而證明；②過點(diǎn)G作GHDB交DA于點(diǎn)H，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；
（2）過點(diǎn)G作交AD于K，則，可得∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，即可得到∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；
（3）設(shè)，則，，由角平分線的定義可得，然后分別求出，，進(jìn)行求解即可．
（1）
證明：①∵DG平分∠BDE，
∴∠BDG＝∠ADG，
又∵∠BDG＝∠BGD，
∴∠ADG＝∠DGB，
∴，
∴∠DEF＝∠EFG，
∵∠DBF＝∠DEF，
∴∠DBF＝∠EFG，
∴；
②過點(diǎn)G作GHDB交DA于點(diǎn)H，
由①得，
∴GHDBEF，
∴∠BDG＝∠DGH，∠FEG＝∠EGH，
∴∠DGE＝∠DGH-∠EGH，
∴∠DGE=∠BDG-∠FEG；
（2）
解：過點(diǎn)G作交AD于K，
同理可證，
∴，
∴∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，
∴∠DGE＝∠DGK＋∠KGE，
∴∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；
（3）
解：設(shè)，則，，，
∵DN平分∠PDM，
∴，
∴，，
∵DG⊥NG，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，垂直的定義，余角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是能夠熟知平行線的性質(zhì)與判定條件．
26．（2022春·湖南邵陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于湘教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第110頁(yè)第15題：“如圖1，OB、OD分別平分∠ABD和∠BDC，∠1＋∠2＝90°，那么AB與CD有什么關(guān)系？試說明理由．”
小亮同學(xué)在做完了該題后，與學(xué)習(xí)小組的同學(xué)在“課后服務(wù)”進(jìn)一步開展了探究活動(dòng)：
如圖，AB∥CD，OB、OD分別平分∠ABD和∠BDC．
(1)如圖1，那么OB與OD有什么關(guān)系？試說明理由．
(2)延長(zhǎng)BO與CD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BE，EF與BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，
①如圖2，∠DFE＝28°，小亮發(fā)現(xiàn)可以求出∠DEF的大小，請(qǐng)你幫助小亮同學(xué)寫出求∠DEF的大小的過程．
②如圖3，連接OF，點(diǎn)M是EF上一點(diǎn)，∠MOF＝∠MFO，ON平分∠BOM交BD于點(diǎn)N，學(xué)習(xí)小組的小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)∠FON的大小不變，請(qǐng)你直接寫出∠FON的大小是 ．
【答案】(1)OB⊥OD，見解析；
(2)①∠DEF＝28°，過程見解析；②45°．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)即可證明OB⊥OD；
（2）①根據(jù)平行線的判定定理證明EF∥OD．得到：∠DEF＝∠EDO，∠DFE＝∠BDO．再利用角平分線的性質(zhì)得到∠DEF＝∠DFE．即可求出∠DEF＝28°；
②解法一：由①知EF∥OD，證明∠MOF＝∠FOD．利用角之間的關(guān)系可得：∠FON＝90°－（∠DON＋∠FOD）＝90°－∠FON，即可求出∠FON＝45°．解法二：作∠EOM的角平分線交EM于點(diǎn)K，證明∠KON＝90°．利用∠MOF＝∠FOD，∠EOD＝90°．得到∠KOF＝（∠EOM＋∠MOD）＝∠EOD＝45°，進(jìn)一步可得：∠FON＝∠KON－∠KOF＝90°－45°＝45°．
（1）
解：OB⊥OD．
∵AB∥CD，
∴∠ABD＋∠CDB＝180°．
∵OB、OD分別平分∠ABD和∠BDC，
∴∠ABD＝2∠OBD，∠CDB＝2∠ODB．
∴2∠OBD＋2∠ODB＝180°，
即∠OBD＋∠ODB＝90°．
∴∠BOD＝90°，即OB⊥OD．
（2）
解：①由（1）可知OB⊥OD， 即BE⊥OD．
又EF⊥BE，
∴EF∥OD．
∴∠DEF＝∠EDO，∠DFE＝∠BDO．
又∠EDO＝∠BDO，
∴∠DEF＝∠DFE．
又∵∠DFE＝28°，
∴∠DEF＝∠DFE＝28°．
②∠FON＝45°．
解法1：由①知EF∥OD，
∴∠MFO＝∠FOD．
又∵∠MOF＝∠MFO，
∴∠MOF＝∠FOD．
又∵ON平分∠BOM，即∠MON＝∠BON，
∴∠FON＝∠MON－∠MOF＝∠BON－∠FOD．
又∠BON＝90°－∠DON
∴∠FON＝90°－（∠DON＋∠FOD）
＝90°－∠FON，
∴∠FON＝45°．
解法2：作∠EOM的角平分線交EM于點(diǎn)K，
∵ON平分∠BOM，
可得∠KON＝90°．
由解法1知∠MOF＝∠FOD，
由（1）知OB⊥OE，即∠EOD＝90°．
∴∠KOF＝（∠EOM＋∠MOD）＝∠EOD＝45°
∴∠FON＝∠KON－∠KOF＝90°－45°＝45°．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，理解題意，結(jié)合圖形求解．
27．（2022春·海南省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，已知直線AMBG，點(diǎn)C為射線BG上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作CDAB交AM于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段AB上，∠DCE＝90°，點(diǎn)F在線段AD上，∠FCG＝90°，點(diǎn)H在線段BC上，∠AHG＝90°，∠ECF＝60°．
(1)寫出一個(gè)與∠ADC相等的角 （寫一個(gè)即可）；
(2)如圖2，求∠BCD的度數(shù)；
(3)若點(diǎn)F是直線AM上的一點(diǎn)，點(diǎn)H是直線BG上的一點(diǎn)，在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中（點(diǎn)C不與點(diǎn)B、H重合），求∠BAF的度數(shù)．
【答案】(1)∠DCG
(2)120°
(3)60°或120°
【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得；
（2）根據(jù)、可得，從而得到；
（3）先計(jì)算出，根據(jù)得，再根據(jù)點(diǎn)F在線段AD上和線段AD的左側(cè)兩種情況分別計(jì)算出的度數(shù)．
（1）
∵，
∴，
故答案為：；
（2）
∵∠ECF＝60°，∠DCE＝90°，
∴∠FCD＝30°，
又∵∠BCF＝∠FCG＝90°，
∴∠BCD＝30°+90°＝120°；
（3）
如圖，當(dāng)點(diǎn)C在線段BH上時(shí)，點(diǎn)F在DA延長(zhǎng)線上，
∵∠DCE=90°，∠ECF=60°，
∴∠FCD=30°，
∵∠FCG=90°，
∴∠DCG=60°，
∵ADBC，
∴∠BAF＝∠ABC＝60°；
如圖，當(dāng)點(diǎn)C在BH延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)F在線段AD上，
∵∠ABC＝60°，ADBC，
∴∠BAF＝180°﹣60°＝120°．
綜上所述，∠BAF的度數(shù)為60°或120°．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同位角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
28．（2021春·遼寧葫蘆島·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知直線射線CD，．P是射線EB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作交射線CD于點(diǎn)Q，連接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直線AB于點(diǎn)F，CG平分∠ECF．
(1)若點(diǎn)P，F(xiàn)，G都在點(diǎn)E的右側(cè)．
①求∠PCG的度數(shù)；
②若，求∠CPQ的度數(shù)．
(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)①；②
(2)存在，或
【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的定義即可得到的度數(shù)；②根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到，再根據(jù)即可得出；
（2）設(shè)，則，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，得出等量關(guān)系，列方程求解即可．
（1）
解：①∵，，
∴，
∵，平分，
∴
∴；
②∵，，
∴，，
∴，
又，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
，
，
∵，
∴．
（2）
解：設(shè)，則，
由題意，分以下兩種情況：
①如圖，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，
∵，
，
，
∵，
，
∵平分，
，
，
∵，
∴，
∵，
，即，
解得，
∴；
②如圖，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，
∵，
，
，
∵，
，
∵平分，
，
，
∵，
∴，
∵，
，即，
解得，
∴；
綜上，存在這樣的情形，使，此時(shí)的度數(shù)為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、一元一次方程的應(yīng)用，較難的是題（2），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．
29．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
(1)當(dāng)∠EAC＝∠ACE＝45°時(shí)，AB與CD的位置關(guān)系是______；
當(dāng)∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時(shí)，AB與CD的位置關(guān)系是______；
當(dāng)∠EAC+∠ACE＝90°，請(qǐng)判斷AB與CD的位置關(guān)系并說明理由；
(2)【探究】如圖2，AB∥CD，M是AE上一點(diǎn)，∠AEC＝90°保持不變，移動(dòng)頂點(diǎn)E，使CE平分∠MCD，∠BAE與∠MCD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由，
(3)【拓展】如圖3，AB∥CD，P為線段AC上一定點(diǎn)，Q為直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)Q不與點(diǎn)C重合．直接寫出∠CPQ+∠CQP與∠BAC的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)AB∥CD；AB∥CD；AB∥CD，理由見解析
(2)∠BAE+∠MCD＝90°，理由見解析
(3)∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°
【分析】（1）由角平分線的定義得∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，則∠BAC+∠ACD＝180°，可得結(jié)論AB∥CD；
（2）過點(diǎn)E作EF∥AB，利用平行線的性質(zhì)可得答案；
（3）利用平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得答案．
【詳解】（1）解：當(dāng)∠EAC＝∠ACE＝45°時(shí)，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案為：AB∥CD；
當(dāng)∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時(shí)，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°
∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案為：AB∥CD；
當(dāng)∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠BAE+∠MCD＝90°，理由如下：
過點(diǎn)E作EF∥AB，如圖所示，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，
∵CE平分∠MCD，
∴∠ECD＝∠MCD，
∴∠BAE+∠MCD＝90°；
（3）解：分兩種情況分類討論，
第一種情況如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，
理由：過點(diǎn)P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴EP∥AB∥CD，
∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，
∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC
∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；
第二種情況如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠PCQ，
∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
綜上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵需要根據(jù)題意作出相關(guān)的輔助線，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，從圖形中尋找角之間的位置關(guān)系，根據(jù)平行線的性質(zhì)從而判斷角之間的大小關(guān)系，同時(shí)注意運(yùn)用分類討論的思想方法．
30．（2022春·江蘇淮安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．
(1)閱讀理解：如圖1，已知點(diǎn)A是BC外一點(diǎn)，連接AB，AC，求的度數(shù)．
閱讀并補(bǔ)充下面推理過程
解：過點(diǎn)A作
，_________________．
__________________
解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將，，“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．
(2)方法運(yùn)用：如圖2，已知，求證：提示：過點(diǎn)C作．
(3)深化拓展：已知，點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)，平分，DE平分，BE，DE所在的直線交于點(diǎn)E，點(diǎn)E在AB與CD兩條平行線之間．
①如圖3，點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)，若，求的度數(shù)。
②如圖4，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，且，若，則的度數(shù)為___________．
【答案】(1)∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC
(2)見詳解
(3)①55°；②160
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）過C作CFAB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠D+∠FCD＝180°，∠B＝∠BCF，然后根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論；
（3）①過點(diǎn)E作EF∥AB，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求∠BED的度數(shù)；
②∠BED的度數(shù)改變．過點(diǎn)E作EF∥AB，先由角平分線的定義可得：∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等及同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得：∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，進(jìn)而可求∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°．
【詳解】（1）如圖1，過點(diǎn)A作EDBC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°，
故答案為：∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC；
（2）如圖2，過C作CFAB，
，
∵ABDE，
∴CFDE，
∴∠D+∠FCD＝180°，
∵CFAB，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠D+∠BCD＝180°+∠BCF，
∴∠D+∠BCD＝180°+∠B，
即∠D+∠BCD﹣∠B＝180°；
（3）①如圖3，過點(diǎn)E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABCDEF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE∠ABC＝25°，∠CDE∠ADC＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝25°+30°＝55°；
②如圖4，過點(diǎn)E作EFAB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝100°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，
∵ABCD，
∴ABCDEF，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°，
故答案為：160．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線．
31．（2022春·河南安陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）猜想說理：
（1）如圖，，分別就圖1、圖2、圖3寫出，，的關(guān)系，并任選其中一個(gè)圖形說明理由：
拓展應(yīng)用：
（2）如圖4，若，則 度；
（3）在圖5中，若，請(qǐng)你用含n的代數(shù)式表示的度數(shù)．
【答案】（1）；；
（2）
（3）
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可直接得到結(jié)論；
（2）過點(diǎn)F作AB的平行線，利用平行線的性質(zhì)，計(jì)算出的度數(shù)；
（3）過點(diǎn)E作AB的平行線，過點(diǎn)F作AB的平行線，利用平行線的性質(zhì)，計(jì)算出度數(shù)；通過前面的計(jì)算，找出規(guī)律．利用規(guī)律得到有n個(gè)折點(diǎn)的結(jié)論；
【詳解】解：（1）如圖1：，
如圖2：，
如圖3：，
如圖1說明理由如下：
∵，
∴，
∴，
即；
（2）如下圖：
過F作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即；
故答案為：；
（3）如下圖：，
過E作，過F作，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
即；
綜上所述：
由當(dāng)平行線AB與CD間沒有點(diǎn)的時(shí)候，，
當(dāng)A、C之間加一個(gè)折點(diǎn)F時(shí)，；
當(dāng)A、C之間加二個(gè)折點(diǎn)E、F時(shí)，則；
以此類推，如圖5，，
當(dāng)、之間加三個(gè)折點(diǎn)時(shí)，
則；
…
當(dāng)、之間加n個(gè)折點(diǎn)時(shí)，
則，
即的度數(shù)是．
【點(diǎn)睛】本題是探索型試題，主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，利用平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)求解是解答此題的關(guān)鍵．
32．（2022春·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，連接，兩點(diǎn)．
(1)如圖1，與的平分線交于點(diǎn)，則等于__________度；
(2)如圖2，點(diǎn)在射線反向延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在射線上．與的平分線交于點(diǎn)．若，，求的度數(shù)；
(3)如圖3，圖4，，分別為射線，射線上的點(diǎn)，與的平分線交于點(diǎn)．設(shè)，，請(qǐng)直接寫出圖中的度數(shù)（用含，的式子表示）．
【答案】(1)90；
(2)；
(3)或
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)角平分線的定義可得，從而可求出；
（2）過E作EF∥AB，利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義計(jì)算即可．
（3）分兩種情況，過E作EF∥AB，利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義計(jì)算即可．
（1）
∵與的平分線交于點(diǎn)，
即
故答案為：
（2）
如圖，過點(diǎn)作，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵平分，平分，
∴，
．
∴；
（3）
過點(diǎn)E作如圖3，
∵∠與∠的平分線交于點(diǎn)E，∠
∴∠
如圖4，
∵AB//CD
∵AB//CD
綜上，的度數(shù)為或
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，結(jié)合圖形等量代換是解答此題的關(guān)鍵．

相關(guān)試卷

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練期末重難點(diǎn)特訓(xùn)(四)之壓軸滿分題型專訓(xùn)(原卷版+解析)：

這是一份人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練期末重難點(diǎn)特訓(xùn)(四)之壓軸滿分題型專訓(xùn)(原卷版+解析)，共131頁(yè)。

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練期末重難點(diǎn)特訓(xùn)(一)之一次函數(shù)壓軸題型專訓(xùn)(原卷版+解析)：

這是一份人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練期末重難點(diǎn)特訓(xùn)(一)之一次函數(shù)壓軸題型專訓(xùn)(原卷版+解析)，共95頁(yè)。

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練專題16一次函數(shù)與幾何綜合壓軸題型專訓(xùn)(原卷版+解析)：

這是一份人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練專題16一次函數(shù)與幾何綜合壓軸題型專訓(xùn)(原卷版+解析)，共106頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練專題17不等式與不等式組壓軸題型專訓(xùn)(原卷版+解析)

人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練專題17不等式與不等式組壓軸題型專訓(xùn)(原卷版+解析)
人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練專題06實(shí)數(shù)相關(guān)計(jì)算30道題專訓(xùn)(原卷版+解析)

人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練專題06實(shí)數(shù)相關(guān)計(jì)算30道題專訓(xùn)(原卷版+解析)
人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練專題05實(shí)數(shù)章末重難點(diǎn)題型專訓(xùn)(原卷版+解析)

人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練專題05實(shí)數(shù)章末重難點(diǎn)題型專訓(xùn)(原卷版+解析)
初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)第十一章 三角形11.2 與三角形有關(guān)的角本節(jié)綜合當(dāng)堂檢測(cè)題

初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)第十一章 三角形11.2 與三角形有關(guān)的角本節(jié)綜合當(dāng)堂檢測(cè)題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部