1．（2023春·廣東佛山·九年級(jí)校考期末）如圖，在正方形中，為對(duì)角線，為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，與、分別交于點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，連接，，，，下列結(jié)論中結(jié)論正確的有（ ）
①；②；③；④若，則，其中結(jié)論正確的有（ ）
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
2．（2022秋·福建漳州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，分別以，，為邊在的同側(cè)作正方形、正方形、正方形，四塊陰影部分的面積分別為，，，，則等于（ ）
A．20B．18C．16D．14
3．（2022春·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正方形中，為上一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于，為垂足，交正方形的兩邊于、，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
4．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)校考期中）如圖，在正方形中，E、F分別是，的中點(diǎn)，交于點(diǎn)G，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
5．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)校考期末）如圖，在菱形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，以為斜邊作，與交于點(diǎn)，連接，使得，且，若，則菱形的周長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．4
6．（2022春·湖北武漢·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，．O為中點(diǎn)，交于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，交于點(diǎn)M，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．若，則下列結(jié)論正確的（ ）
①；
②；
③；
④．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
7．（2022·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形中，是對(duì)角線上一點(diǎn)，且滿足，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．在下列結(jié)論中：①；②；③；④平分．其中不正確的結(jié)論有（ ）
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
8．（2021秋·廣東佛山·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，將正方形翻折，使點(diǎn)、分別與點(diǎn)、重合，折痕為，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、．給出以下結(jié)論：①垂直平分；②；③；④的周長(zhǎng)等于的2倍．其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
9．（2022秋·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且，分別交于，交于，點(diǎn)是中點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
①；②；③是等邊三角形；④
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
10．（2022秋·山東泰安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，四邊形中.為的平分線，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
11．（2022·重慶·重慶八中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，連接，且有．將沿翻折，若點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在上，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
12．（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在一張矩形紙片中，，，點(diǎn)，分別在， 邊上，將紙片沿直線折疊，點(diǎn)落在上的一點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，有以下四個(gè)結(jié)論：①四邊形是菱形；②平分；③線段的取值范圍為；④當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)A重合時(shí)，．以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的有（ ）個(gè)．
A．1B．2C．3D．4
13．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖．已知在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，連接，，．將沿翻折，將沿翻折，若翻折后，點(diǎn)，分別落在上的，處，連接，則四邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)____．
14．（2021春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)無(wú)錫市江南中學(xué)校考期中）如圖，以的斜邊為一邊，在的右側(cè)作正方形，正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，連接，如果，，那么______．
15．（2021秋·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，線段的長(zhǎng)為10，點(diǎn)在上（不與端點(diǎn)重合），以為邊向上作等邊，過(guò)作與垂直的射線，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），以、為邊作矩形，對(duì)角線與交于點(diǎn)，連接，則線段的最小值為_(kāi)_______．
16．（2022·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形外取一點(diǎn)，連接，，，過(guò)點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)，若，．下列結(jié)論：①；②點(diǎn)到直線的距離為；③；④．其中正確的是________．
17．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知正方形，點(diǎn)E在線段上，連接，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為G，過(guò)點(diǎn)D作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接，則與的數(shù)量關(guān)系為 _____．
18．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，于點(diǎn)，點(diǎn)在上，，連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)___________．
19．（2022秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在菱形ABCD中，，，點(diǎn)M為邊中點(diǎn)，點(diǎn)E為菱形四條邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿的方向運(yùn)動(dòng)，連接，以為邊作直角三角形，其中，，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)_____．
20．（2022秋·重慶渝中·九年級(jí)重慶市第二十九中學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，點(diǎn)是的邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折能與重合，若，，，則點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_______
21．（2022秋·廣東深圳·九年級(jí)深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點(diǎn)A、B、D恰好都落在點(diǎn)O處，且點(diǎn)G、O、C在同一條直線上，同時(shí)點(diǎn)E、O、F在另一條直線上．則的值是___________．
22．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)鄭州市第七十三中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，對(duì)角線，點(diǎn)，分別是線段，上的點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)，分別落在點(diǎn)，處．當(dāng)點(diǎn)落在折線上，且時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
23．（2022春·廣西賀州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的對(duì)角線上的點(diǎn)，M、N分別是AB、AD的中點(diǎn)，連接PM、PN．若AB = 2，∠ADB = 30°，則PM+PN的最小值是__________________．
24．（2020秋·新疆·九年級(jí)新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對(duì)角線上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，．當(dāng)取最小值時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．
25．（2022春·遼寧盤(pán)錦·九年級(jí)?？计谥校┰谥?，，過(guò)點(diǎn)A作直線，以C為頂點(diǎn)作，分別交直線，于點(diǎn)D，E．
(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段與的數(shù)量關(guān)系，不必說(shuō)明理由；
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)當(dāng)時(shí)，且，時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．
26．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D1，在矩形中，，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使，連接．
(1)若點(diǎn)E與點(diǎn)B重合（如圖2），判斷AF與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)若以A，F(xiàn)，B，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)度．
27．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀咎岢鰡?wèn)題】在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，李老師給出了一道題．如圖①，點(diǎn)P是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，連接、、．當(dāng)，，時(shí)，求的度數(shù)．
【解決問(wèn)題】小明在解決此題時(shí)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到點(diǎn)D，連接、、，并結(jié)合已知條件證得．
請(qǐng)利用小明的作法及結(jié)論求的度數(shù)．
【方法應(yīng)用】如圖②，點(diǎn)P是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接、、．若，，，則______°．
28．（2021春·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，菱形中，，、分別是邊和上的點(diǎn)，且．
(1)求證：．
(2)如圖2，在延長(zhǎng)線上，且，求證：．
(3)如圖3，在（2）的條件下，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
29．（2022秋·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，正方形的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P、G分別在射線、邊上，連接，點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為Q，連接．
(1)如圖1，取的中點(diǎn)E、F，連接，若點(diǎn)Q剛好落在線段上，且點(diǎn)P在線段FC上，則的度數(shù)不可能是下列選項(xiàng)中的______；（填序號(hào)）
①45°，②59°，③72°
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q落在邊上（不與點(diǎn)D重合）時(shí)，試判斷點(diǎn)P是否一定在射線BC上點(diǎn)C的右側(cè)，并說(shuō)明理由；
(3)在（2）的條件下，
①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；
②若線段與相交于點(diǎn)N，連接，試探索點(diǎn)Q落在不同位置時(shí)，的度數(shù)是否發(fā)生變化，若不變，求出的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．
30．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)校考期末）如圖，在中，為銳角，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
(1)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，_____________；點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，_____________．（用含的代數(shù)式表示）
(2)點(diǎn)在上，時(shí)，求的值．
(3)當(dāng)直線平分的面積時(shí)，求的值．
(4)若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度改變?yōu)槊棵雮€(gè)單位．當(dāng)?，的某兩個(gè)頂點(diǎn)與、所圍成的四邊形為菱形時(shí)，直接寫(xiě)出的值．
31．（2022秋·江西上饒·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）【操作發(fā)現(xiàn)】
(1)如圖，在等邊中，點(diǎn)在直線上，為邊上的一點(diǎn)，連接，并把線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段與的數(shù)量關(guān)系是___________，線段與直線所夾銳角的度數(shù)是___________．
【類比探究】
(2)如圖，在等邊中，點(diǎn)在直線上，若為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接，并把線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，上述兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【拓展應(yīng)用】
如圖，在正方形中，點(diǎn)在直線上，為直線上的任意一點(diǎn)，連接，并把線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．
(3)試探究線段與的數(shù)量關(guān)系及線段與直線所夾銳角的度數(shù)，并說(shuō)明理由．
(4)若正方形的邊長(zhǎng)為，連接，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．
32．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）我們稱長(zhǎng)與寬之比為的矩形為“奇異矩形”，特別地，我們稱長(zhǎng)為，寬為1的矩形為“基本奇異矩形”，如圖1所示，它的奇異之處在于：可以用若干個(gè)基本奇異矩形（互不重疊且不留縫隙地）拼成一般的奇異矩形，例如，圖2中用2個(gè)基本奇異矩形拼成了一個(gè)奇異矩形．
(1)①請(qǐng)你在圖3的虛線框中畫(huà)出用4個(gè)基本奇異矩形拼成的奇異矩形（請(qǐng)仿照?qǐng)D1、圖2標(biāo)注必要的數(shù)據(jù)）；
②請(qǐng)你在圖4的虛線框中畫(huà)出用8個(gè)基本奇異矩形拼成的奇異矩形；
(2)若用K個(gè)基本奇異矩形可以拼成一般的奇異矩形，你發(fā)現(xiàn)正整數(shù)K有何特點(diǎn)？請(qǐng)敘述你的發(fā)現(xiàn)___________；
(3)①用32個(gè)基本奇異矩形拼成的奇異矩形，其對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi)__________；
②用256個(gè)基本奇異矩形拼成的奇異矩形，其對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi)__________；
③用n個(gè)基本奇異矩形拼成的奇異矩形，其對(duì)角線長(zhǎng)為32，則___________．
33．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春市第八十七中學(xué)校考期末）如圖，長(zhǎng)方形中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒的速度沿的方向，向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒的速度沿的方向向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．以為邊向右上方作正方形，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
(1)當(dāng)時(shí)，＝______（用含t的代數(shù)式表示）；
(2)當(dāng)點(diǎn)N落在邊上時(shí)，求t的值；
(3)當(dāng)正方形與長(zhǎng)方形的重疊部分為四邊形時(shí)，求重疊部分的面積S（用含t的代數(shù)式表示）；
(4)請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)t滿足什么條件時(shí)，正方形與長(zhǎng)方形的重疊部分為三角形．
34．（2022秋·黑龍江大慶·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知：正方形中，，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交，或它們的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到時(shí)如圖，易證．
(1)當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到時(shí)如圖，線段，和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出猜想，并加以證明．
(2)當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時(shí)，線段，和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．
(3)圖中若，，求的面積為_(kāi)_____．
35．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知正方形，E是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)F在直線上，且，將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，過(guò)點(diǎn)C作的平行線，交射線于點(diǎn)H，連接．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在中點(diǎn)時(shí)，重合，請(qǐng)判斷四邊形的形狀并證明你的結(jié)論；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上時(shí)，補(bǔ)全圖形并回答下列問(wèn)題：
①四邊形的形狀是否發(fā)生改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②連接，交于點(diǎn)M，若， ，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
36．（2022·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知：四邊形是正方形，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且．

(1)如圖，與有怎樣的關(guān)系．寫(xiě)出你的結(jié)果，并加以證明；
(2)如圖，對(duì)角線與交于點(diǎn)．，分別與，交于點(diǎn)，點(diǎn)．
①求證：；
②連接，若，，求的長(zhǎng)．
專題12 平行四邊形經(jīng)典壓軸題型專訓(xùn)（36道）
【平行四邊形經(jīng)典壓軸題型專訓(xùn)】
1．（2023春·廣東佛山·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在正方形中，為對(duì)角線，為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，與、分別交于點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，連接，，，，下列結(jié)論中結(jié)論正確的有（ ）
①；②；③；④若，則，其中結(jié)論正確的有（ ）
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
【答案】D
【分析】根據(jù)正方形，為對(duì)角線，，可知四邊形是矩形，由此可證、
、、是等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，，可知是等腰
直角三角形，由此即可求解．
【詳解】解：結(jié)論①，
∵正方形中，為對(duì)角線，，
∴，，
∴，四邊形是矩形，、是等腰直角三角形，
∴，
∴，故結(jié)論①正確；
結(jié)論②，
由結(jié)論①正確可知，是等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，
∴，且、是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，且，
∴，
∴，
∵，故結(jié)論②正確；
結(jié)論③，
∵、、、是等腰直角三角形，，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，故結(jié)論③正確；
結(jié)論④若，則，
由結(jié)論②正確，可知；由結(jié)論③正確可知，，
且、、、是等腰直角三角形，
∴，即是等腰直角三角形，
如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)，則，，，
∴，，
∴，故結(jié)論④正確；
綜上所示，正確的有①②③④，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形與三角形的綜合，主要考查正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·福建漳州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，分別以，，為邊在的同側(cè)作正方形、正方形、正方形，四塊陰影部分的面積分別為，，，，則等于（ ）
A．20B．18C．16D．14
【答案】B
【分析】過(guò)F作于N，通過(guò)證明的面積，依此即可求解．
【詳解】解：過(guò)F作于N，連接，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可證，
所以．
由可得：，
∴，
∵，即，且，，
∴，又，
∴四邊形是平行四邊形，
又，
∴平行四邊形是矩形，
∴，
又∵，
，
∴，
同理可得，
∴，
∵，
∴，
∴
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，有一定難度，解題關(guān)鍵是將勾股定理和正方形的面積公式進(jìn)行靈活的結(jié)合和應(yīng)用．
3．（2022春·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正方形中，為上一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于，為垂足，交正方形的兩邊于、，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】B
【分析】①過(guò)N作，則，先證明△BSN是等腰直角三角形，得出，再由，證明，得出，證出，即可得出；
②，是等腰直角三角形，，即可得出；
③假設(shè)成立，證明，得出，可判斷③不一定成立；
④過(guò)P作的平行線交于K，證出，，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：①正確；過(guò)N作分別交、于S、T，則，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵線段的垂直平分線交于點(diǎn)N，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正確；
由①得：，是等腰直角三角形，，
∴，故②正確；
∵，，
∴，
若，
則．
∵，
∴，
∴，顯然不一定成立，故③錯(cuò)誤；
過(guò)P作的平行線交于K，
∴．
∵垂直平，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，
則，
由①得：，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正確；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是需要通過(guò)作輔助線證明三角形全等．
4．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在正方形中，E、F分別是，的中點(diǎn)，交于點(diǎn)G，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
【答案】B
【分析】證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，故①正確；求得，根據(jù)垂直的定義得到，故②正確；延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，由是斜邊的中線，得到，求得，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，故③正確；假設(shè)，根據(jù)，可得，結(jié)合，，可得，即有，進(jìn)而可得，則有，顯然，即假設(shè)不成立，即可判斷④錯(cuò)誤．
【詳解】解：四邊形是正方形，
，，
，分別是，的中點(diǎn)，
，，
，
在與中，
，
，
，，故①正確；
，
，
，
，故②正確；
，
如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，，，
，
，
已證明，
是斜邊的中線，
，
，
，，
．故③正確；
根據(jù)可得，
若成立，
，
，
，，
，
，
在中，有，
，
，
顯然，
假設(shè)不成立，
，故④錯(cuò)誤，
故正確的有①②③，
故選B．
【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是能夠綜合運(yùn)用上述知識(shí)．
5．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在菱形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，以為斜邊作，與交于點(diǎn)，連接，使得，且，若，則菱形的周長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，由直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)一步得出，再根據(jù)證明得出，連接，設(shè)求出，由勾股定理可得出，進(jìn)一步可得出結(jié)論．
【詳解】連接,
∵菱形，，
在中，
又
，
又
在和中，
連接，設(shè)，，
在中，
（舍去）
∴
∴菱形的周長(zhǎng)為，
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的四條邊相等、對(duì)角線互相垂直、靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
6．（2022春·湖北武漢·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，．O為中點(diǎn)，交于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，交于點(diǎn)M，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．若，則下列結(jié)論正確的（ ）
①；
②；
③；
④．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】先根據(jù)等腰直角三角形得性質(zhì)和平行線得性質(zhì)得出，，即可證明，得，即可判斷①；由，，， 可證明，得，則，所以，即可判斷②；由，即可判斷③；連接，設(shè)，由， 可推導(dǎo)出，，則，得，所以,即可判斷④．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵O為中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①正確；
∵于點(diǎn)F，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正確；
∵，
∴，
∵，
∴，故③錯(cuò)誤；
連接，設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正確，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形得判斷和性質(zhì)、同角的余角相等，全等三角形得判斷和性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．
7．（2022·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形中，是對(duì)角線上一點(diǎn)，且滿足，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．在下列結(jié)論中：①；②；③；④平分．其中不正確的結(jié)論有（ ）
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
【答案】A
【分析】先判斷出，求得，得出，再判斷出從而得到①正確，根據(jù)平角的定義求出，得出②正確；連接，判斷出，得出③錯(cuò)誤，根據(jù)，得到④正確．
【詳解】解：∵是正方形的對(duì)角線，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是線段的垂直平分線，，
在和中，，
∴，
∴，故①正確；
∵，
∴，故②正確；
如圖，連接，
∵是線段的垂直平分線，
∴，
∴，
∵，是對(duì)角線上任意一點(diǎn)，
∴的長(zhǎng)是變化的，
∴，
∴，
∴，故③錯(cuò)誤；
∵，，
∴平分，故④正確；
綜上，①②④正確，不正確的只有③一個(gè)；
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出，難點(diǎn)是作出輔助線．
8．（2021秋·廣東佛山·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，將正方形翻折，使點(diǎn)、分別與點(diǎn)、重合，折痕為，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、．給出以下結(jié)論：①垂直平分；②；③；④的周長(zhǎng)等于的2倍．其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【分析】由折疊的性質(zhì)可得垂直平分，故結(jié)論①正確；過(guò)點(diǎn)作于，由“”證明，可得，，故結(jié)論②正確；過(guò)點(diǎn)作于，由“”證明，可得，，由“”證明，可得，即可求得，故結(jié)論③正確；延長(zhǎng)至，使，連接，由“”證明，可得，，由“”證明，可得，由線段的和差關(guān)系即可證明結(jié)論④正確．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，，
∵將正方形沿翻折，
∴垂直平分，故結(jié)論①正確；
∴，
如圖，過(guò)點(diǎn)作于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故結(jié)論②正確；
如圖，過(guò)點(diǎn)作于，
∵將正方形沿翻折，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故結(jié)論③正確；
如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周長(zhǎng)，
故結(jié)論④正確．
綜上所述，結(jié)論正確的有①②③④，共計(jì)4個(gè)．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識(shí)，正確添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．
9．（2022秋·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且，分別交于，交于，點(diǎn)是中點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
①；②；③是等邊三角形；④
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
【答案】D
【分析】利用垂直平分線的性質(zhì)可得，利用三角形的中位線定理可得，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，則，則，通過(guò)證明，可得，則得，于是可得，由于，可得①正確；利用，可以判定②錯(cuò)誤；利用三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得，則得為等邊三角形，可得③正確；通過(guò)說(shuō)明，可得④正確．
【詳解】解：連接，如圖，
為中點(diǎn)，且，
，
為中點(diǎn)， G為的中點(diǎn)，
，
，G為的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
∵四邊形是矩形，
，
，故①正確；
，，
，故②錯(cuò)誤；
，，
為等邊三角形，故③正確；
，，
，
，
，
，
，
，
，故④正確．
故結(jié)論正確的有①③④，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，三角形的全等的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，角的直角三角形的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．
10．（2022秋·山東泰安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，四邊形中.為的平分線，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】A
【分析】根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到，求得，如圖：連接并延長(zhǎng)交于G，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得，再根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵為的平分線，
∴，
∴，
∴，
如圖：連接并延長(zhǎng)交于G
∵
∴，
∵F是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E是BD的中點(diǎn)，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
11．（2022·重慶·重慶八中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，連接，且有．將沿翻折，若點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在上，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)，設(shè)，，根據(jù)勾股定理列方程求得，即可．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如下圖：
設(shè)，，則，，
由題意可得：，，為等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
由勾股定理可得：，
，即，解得，
，即，解得，
，
故選：D.
【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．
12．（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在一張矩形紙片中，，，點(diǎn)，分別在， 邊上，將紙片沿直線折疊，點(diǎn)落在上的一點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，有以下四個(gè)結(jié)論：①四邊形是菱形；②平分；③線段的取值范圍為；④當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)A重合時(shí)，．以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的有（ ）個(gè)．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先判斷出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；
②根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角線可得，然后求出只有時(shí)平分，判斷出②錯(cuò)誤；
③點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)，表示出，利用勾股定理列出方程求解得到的最小值，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，，求出，然后寫(xiě)出的取值范圍，判斷出③正確；
④過(guò)點(diǎn)F作于M，求出，再利用勾股定理列式求解得到EF，判斷出④正確．
【詳解】解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形，故①正確；
②∴
∴只有時(shí)，平分，
故②錯(cuò)誤；
③點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)，則，
在中，，
即，
解得，
點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，，
∴，
∴線段的取值范圍為，
故③正確；
過(guò)點(diǎn)F作于M，則，
由勾股定理得，，
故④正確；
綜上所述，結(jié)論正確的有①③④共3個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了折疊問(wèn)題與菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握菱形的判定定理和性質(zhì)定理、勾股定理是解本題的關(guān)鍵．
13．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖．已知在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，連接，，．將沿翻折，將沿翻折，若翻折后，點(diǎn)，分別落在上的，處，連接，則四邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)____．
【答案】
【分析】由四邊形是矩形，得，，，根據(jù)勾股定理求得，再由翻折得，，，，則，，再根據(jù)勾股定理列方程，求得；由，求得，則，得，由勾股定理求得，則，即可由勾股定理求得，而，即可求得四邊形CGHF的周長(zhǎng)為．
【詳解】解：四邊形是矩形，
，，，
，
由翻折得，，，，
，，，
，且，
，
，
，且，
，
作于點(diǎn)，則，
，
，
，
，
，
，
，
四邊形的周長(zhǎng)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理、根據(jù)面積等式求線段的長(zhǎng)度等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
14．（2021春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)無(wú)錫市江南中學(xué)?？计谥校┤鐖D，以的斜邊為一邊，在的右側(cè)作正方形，正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，連接，如果，，那么______．
【答案】
【分析】過(guò)點(diǎn)O作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，易證四邊形是矩形，利用已知條件再證明，因?yàn)?，，所以平分；進(jìn)而求出的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)．
【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)O作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，
，
，
∴四邊形是矩形，
，
∵正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
∴矩形是正方形，，
，，
，
，
，
由勾股定理得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，解答時(shí)作輔助線，構(gòu)建全等三角形和等腰直角三角形是關(guān)鍵．
15．（2021秋·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，線段的長(zhǎng)為10，點(diǎn)在上（不與端點(diǎn)重合），以為邊向上作等邊，過(guò)作與垂直的射線，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），以、為邊作矩形，對(duì)角線與交于點(diǎn)，連接，則線段的最小值為_(kāi)_______．
【答案】5
【分析】連接，證明平分，從而確定點(diǎn)O在定直線上，結(jié)合等邊，確定，是定角，根據(jù)垂線段最短計(jì)算即可．
【詳解】如圖，連接，
因?yàn)榈冗?，矩形?br>所以，
所以，
所以，
所以，
所以平分，
因?yàn)槭嵌ń牵?br>所以的角平分線是唯一確定的射線，
所以點(diǎn)O在定直線上，
所以，
過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，
因?yàn)椋?br>所以，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂線段最短，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（2022·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形外取一點(diǎn)，連接，，，過(guò)點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)，若，．下列結(jié)論：①；②點(diǎn)到直線的距離為；③；④．其中正確的是________．
【答案】①③④
【分析】①利用同角的余角相等，易得，再結(jié)合已知條件利用可證兩三角形全等；③利用①中的全等，可得，結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)，易得，即可證；②過(guò)B作，交的延長(zhǎng)線于F，利用③中的，利用勾股定理可求，結(jié)合是等腰直角三角形，可證是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面積．
【詳解】解：①∵，，
∴，
在和中 ，
∴故①正確；
③，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故③正確；
②過(guò)B作，交的延長(zhǎng)線于F，
∵，，
∴，
又∵③中，，
∴，
∵，
∴，
∴，故②不正確；
④∵，，
∴在中，，
∴，故④正確，
故答案為：①③④
【點(diǎn)睛】本題利用了全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
17．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知正方形，點(diǎn)E在線段上，連接，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為G，過(guò)點(diǎn)D作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接，則與的數(shù)量關(guān)系為 _____．
【答案】
【分析】先證四邊形是平行四邊形可得，進(jìn)而得到，再證明可得，進(jìn)而得到是等腰直角三角形，從而完成解答．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，
∵
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)判定和性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．
18．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，于點(diǎn)，點(diǎn)在上，，連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)___________．
【答案】
【分析】先證明，可得，設(shè)，則，，，，由，，可證，，再利用，可得，進(jìn)一步證明，可得，，由勾股定理，可列出方程，解出的值，即可求出，的長(zhǎng)，在根據(jù)勾股定理求出線段的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∵，
設(shè)，則，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在正方形中，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，（舍），
∴，，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意設(shè)出，并表示出、、，利用勾股定理列出方程，解出的值是解答本題的關(guān)鍵．
19．（2022秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在菱形ABCD中，，，點(diǎn)M為邊中點(diǎn)，點(diǎn)E為菱形四條邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿的方向運(yùn)動(dòng)，連接，以為邊作直角三角形，其中，，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】根據(jù)點(diǎn)E在菱形的邊、、、的運(yùn)動(dòng)，可確定點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑，即可求得的最大值．
【詳解】如圖，當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，則點(diǎn)F在射線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，且；當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，則點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)，且；當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，則點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)，且；當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，，則點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)，且，；所以點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑是一個(gè)菱形，其邊長(zhǎng)為4，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，點(diǎn)F與點(diǎn)重合時(shí)，最長(zhǎng)；連結(jié)；
∵在菱形ABCD中，，，點(diǎn)M為邊中點(diǎn)，
∴，，
∴，
由勾股定理得：，
∴在中，；
所以線段長(zhǎng)度的最大值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，確定點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵與難點(diǎn)．
20．（2022秋·重慶渝中·九年級(jí)重慶市第二十九中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，點(diǎn)是的邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折能與重合，若，，，則點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_______
【答案】
【分析】連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，如圖所示，由折疊的性質(zhì)及中點(diǎn)性質(zhì)可得三角形為直角三角形，且為中點(diǎn)，從而，由勾股定理可得的長(zhǎng)，再根據(jù)，即，從而可求得的長(zhǎng)．
【詳解】連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，如圖所示，
由折疊的性質(zhì)可得：，，
則為的中垂線，
，
為中點(diǎn)，
，，，
，，
，
即，
，
即，
在直角三角形中，由勾股定理可得：
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，點(diǎn)到直線的距離，直角三角形的判定、勾股定理、線段中垂線的判定，解決本題的關(guān)鍵是利用面積相等求相應(yīng)線段的長(zhǎng)．
21．（2022秋·廣東深圳·九年級(jí)深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點(diǎn)A、B、D恰好都落在點(diǎn)O處，且點(diǎn)G、O、C在同一條直線上，同時(shí)點(diǎn)E、O、F在另一條直線上．則的值是___________．
【答案】
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱和矩形的性質(zhì)，得，，；設(shè)，，根據(jù)勾股定理和一元一次方程的性質(zhì)計(jì)算，得，從而完成求解.
【詳解】由折疊性質(zhì)可得：，，，，，，，
∴，，
設(shè)，，則，，
∴
在直角中，，
∴
∴
在直角中，設(shè)，則
∴
解得：
∴
∵
∴
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形、軸對(duì)稱、勾股定理、一元一次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱、矩形、勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解.
22．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)鄭州市第七十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，對(duì)角線，點(diǎn)，分別是線段，上的點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)，分別落在點(diǎn)，處．當(dāng)點(diǎn)落在折線上，且時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】2或
【分析】分兩種情況討論，由折疊的性質(zhì)和勾股定理可求解．
【詳解】解：，，
，
當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，
將沿直線折疊，
，
，
，
；
當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，如圖2，連接，過(guò)點(diǎn)作于，
，
，
，
，
，
將沿直線折疊，
，
，
，
，
綜上所述：的長(zhǎng)為2或．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．
23．（2022春·廣西賀州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的對(duì)角線上的點(diǎn)，M、N分別是AB、AD的中點(diǎn)，連接PM、PN．若AB = 2，∠ADB = 30°，則PM+PN的最小值是__________________．
【答案】
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)作點(diǎn)N關(guān)于對(duì)稱軸BD的對(duì)稱點(diǎn)E，線段ME即為PM＋PN的最小值，利用等邊三角形性質(zhì)和勾股定理即可求出線段ME長(zhǎng)度．
【詳解】解：如圖，作點(diǎn)N關(guān)于線段BD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接ME交線段BD于P點(diǎn)，ME即為PM＋PN的最小值；
連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，EG⊥AB．
∴四邊形AFEG為矩形．
∴AG = FE，AF = GE
∵點(diǎn)N、點(diǎn)E關(guān)于線段BD對(duì)稱，點(diǎn)P、點(diǎn)D在線段BD上．
∴PE = PN，DN = DE
∴PM＋PN = PM＋PE
當(dāng)點(diǎn)P、M、E在同一直線時(shí)，PM＋PE有最小值．
∵∠ADB = 30°
∴∠NDE = 60°
∴△DNE是等邊三角形．
∴點(diǎn)F垂直平分DN
∵AB = 2，∠ADB = 30°
∴AD =
∵點(diǎn)M、N是線段AB、AD中點(diǎn)
∴DN = DE = NE = AN = ，NF = ，AM = 1
∴EF = = =
∵AF = AN＋NF =
∴GE = AF = ，EF = AG =
∵M(jìn)G = AG－AM = =
∴ME = = =
所以PM＋PN的最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，學(xué)會(huì)通過(guò)軸對(duì)稱的性質(zhì)轉(zhuǎn)移線段以及理解兩點(diǎn)之間線段最短定理是解題的關(guān)鍵．
24．（2020秋·新疆·九年級(jí)新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對(duì)角線上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，．當(dāng)取最小值時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】根據(jù)正方形以及等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，得出，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出為等邊三角形，即，則可得，從而得到當(dāng)在一條直線上時(shí)，最小，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),正方形的邊長(zhǎng)為，分別表示出的長(zhǎng)度，然后根據(jù)勾股定理列方程求解即可．
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴，
∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
∴，
∴,
在和中，
，
∴，
∴，
連接，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
即當(dāng)在一條直線上時(shí)，最小，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),
∵取最小值，
即，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，
則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即：，
解得：，（負(fù)值舍去），
故正方形的邊長(zhǎng)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意得出最短時(shí)的情形是解本題的關(guān)鍵．
25．（2022春·遼寧盤(pán)錦·九年級(jí)?？计谥校┰谥?，，過(guò)點(diǎn)A作直線，以C為頂點(diǎn)作，分別交直線，于點(diǎn)D，E．
(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段與的數(shù)量關(guān)系，不必說(shuō)明理由；
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)當(dāng)時(shí)，且，時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
(3)2或5
【分析】（1）證明，即可完成求證；
（2）利用截長(zhǎng)法構(gòu)造全等三角形，可得到，，即可求解；
（3）分為E點(diǎn)在A點(diǎn)左邊和右邊兩種情況討論，構(gòu)造全等三角形求解即可．
【詳解】（1）
理由：∵AB=BC，，，
∴是等邊三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）；
理由：如圖，過(guò)點(diǎn)C作于F，
∴
∵，，，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴．
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
過(guò)點(diǎn)C作于G，于H，
∴，
∴，
∵，
∴，
如圖①所示，當(dāng)E點(diǎn)在A點(diǎn)左邊時(shí)，；
如圖②所示，當(dāng)E點(diǎn)在A點(diǎn)右邊時(shí)，；
∵，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴圖①中，，
圖②中，，
∵
∴
∴圖①中，；圖②中，；
∴圖①中，，
圖②中，，
∴的長(zhǎng)為2或5．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、含角的直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造全等三角形．
26．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D1，在矩形中，，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使，連接．
(1)若點(diǎn)E與點(diǎn)B重合（如圖2），判斷AF與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)若以A，F(xiàn)，B，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)度．
【答案】(1)且；
(2)1或3
【分析】（1）若點(diǎn)E與點(diǎn)B重合根據(jù)矩形得到，，結(jié)合，即可得到四邊形為平行四邊形；
（2）先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到，，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，如圖1根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，則，即可得到一個(gè)答案；當(dāng)為邊時(shí)，如圖，此時(shí)E點(diǎn)與D點(diǎn)重合，即可得到答案．
【詳解】（1）解：且，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴,
∴四邊形是平行四邊形，
∴，；
（2）解：∵四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴，，
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，如下圖
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
當(dāng)為邊時(shí)，如下圖
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∵，
∴此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，
∴；
綜上所述的長(zhǎng)度為1或3．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)：平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；矩形的四個(gè)角都是直角；也考查了平行四邊形的判定和三角形中位線性質(zhì)．
27．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀咎岢鰡?wèn)題】在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，李老師給出了一道題．如圖①，點(diǎn)P是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，連接、、．當(dāng)，，時(shí)，求的度數(shù)．
【解決問(wèn)題】小明在解決此題時(shí)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到點(diǎn)D，連接、、，并結(jié)合已知條件證得．
請(qǐng)利用小明的作法及結(jié)論求的度數(shù)．
【方法應(yīng)用】如圖②，點(diǎn)P是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接、、．若，，，則______°．
【答案】【解決問(wèn)題】；【方法應(yīng)用】135
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，可以證明，，證明，得出，由勾股定理的逆定理可得為直角三角形，且，即可求解；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，，利用等腰三角形性質(zhì)求出，，得出，，根據(jù)勾股定理的逆定理證明為直角三角形，得出，即可求出結(jié)果．
【詳解】解：【解決問(wèn)題】∵為等邊三角形，
∴，，
∵將點(diǎn)P繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到點(diǎn)D，
∴，，
∴為等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴為直角三角形，且，
∴．
解：【方法應(yīng)用】將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，，
∴，，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴為直角三角形，
∴，
∴．
故答案為：135．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
28．（2021春·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，菱形中，，、分別是邊和上的點(diǎn)，且．
(1)求證：．
(2)如圖2，在延長(zhǎng)線上，且，求證：．
(3)如圖3，在（2）的條件下，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)詳解
(2)見(jiàn)詳解
(3)
【分析】（1）連接，如圖1，根據(jù)菱形的性質(zhì)得，即可判定為等邊三角形，得到，，然后利用可證明，即可解答；
（2）過(guò)點(diǎn)F作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，利用平行線的性質(zhì)求得是等邊三角形，得到，然后利用定理求得，從而問(wèn)題得解；
（3）過(guò)點(diǎn)B作，交于點(diǎn)K，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行求得四邊形是平行四邊形，從而求得，，A作，然后利用含的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得，，即有，在中，利用勾股定理可得，問(wèn)題隨之得解．
【詳解】（1）連接，如圖1，
∵四邊形為菱形，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（2）過(guò)點(diǎn)F作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如圖2，
在（1）中已證為等邊三角形，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
又∵是等邊三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴；
（3）過(guò)點(diǎn)B作，交于點(diǎn)K，如圖3，
∵，，，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
過(guò)點(diǎn)A作，
由（2）可知，，
∴在中，，
∴，，
∴，
在中，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，及平行四邊形的判定和性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，題目有一定的綜合性，正確添加輔助線解題是關(guān)鍵的突破點(diǎn)．
29．（2022秋·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，正方形的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P、G分別在射線、邊上，連接，點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為Q，連接．
(1)如圖1，取的中點(diǎn)E、F，連接，若點(diǎn)Q剛好落在線段上，且點(diǎn)P在線段FC上，則的度數(shù)不可能是下列選項(xiàng)中的______；（填序號(hào)）
①45°，②59°，③72°
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q落在邊上（不與點(diǎn)D重合）時(shí)，試判斷點(diǎn)P是否一定在射線BC上點(diǎn)C的右側(cè)，并說(shuō)明理由；
(3)在（2）的條件下，
①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；
②若線段與相交于點(diǎn)N，連接，試探索點(diǎn)Q落在不同位置時(shí)，的度數(shù)是否發(fā)生變化，若不變，求出的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)③
(2)是，見(jiàn)解析
(3)①3；②的度數(shù)不變，且，見(jiàn)解析
【分析】（1）可推出，進(jìn)而得出結(jié)果；
（2）作，可證得，進(jìn)而得出結(jié)果；
（3）①作，交的延長(zhǎng)線于E，連接，在中求得，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，設(shè)，則，在中，由勾股定理列出方程求得結(jié)果；
②先證得，，進(jìn)而證得，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果．
【詳解】（1）解：如圖1，
當(dāng)點(diǎn)P在F點(diǎn)時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)時(shí)，，
∴，
觀察四個(gè)選項(xiàng)，不可能是③，
故答案為：③；
（2）解：如圖2，
點(diǎn)P落在點(diǎn)C的右側(cè)，理由如下：
連接，作于E，
∵點(diǎn)B和點(diǎn)Q關(guān)于對(duì)稱，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴點(diǎn)P是否一定在射線上點(diǎn)C的右側(cè)；
（3）解：①如圖3，
作，交的延長(zhǎng)線于E，連接，
∵是的垂直平分線，
∴，，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
∴；
②如圖4，
不發(fā)生變化，理由如下：
作，
由（2）可知：，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度數(shù)不發(fā)生變化．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．
30．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，為銳角，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
(1)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，_____________；點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，_____________．（用含的代數(shù)式表示）
(2)點(diǎn)在上，時(shí)，求的值．
(3)當(dāng)直線平分的面積時(shí)，求的值．
(4)若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度改變?yōu)槊棵雮€(gè)單位．當(dāng)?，的某兩個(gè)頂點(diǎn)與、所圍成的四邊形為菱形時(shí)，直接寫(xiě)出的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
(4)
【分析】（1）根據(jù)題意：當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
（2）點(diǎn)在上，時(shí)，，即可求得
（3）根據(jù)題意求得，然后根據(jù)點(diǎn)和點(diǎn)在各邊上的情況分類討論即可求得的值
（4）當(dāng)時(shí)，菱形只能為，據(jù)此可求得的值
【詳解】（1）根據(jù)題意：
當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，
故答案為：；
（2）當(dāng)點(diǎn)在上，時(shí)，點(diǎn)在上，且，
∴，
∴，
解得：，
∴的值為：
（3）∵當(dāng)點(diǎn)依次在、、、上時(shí)，
的取值范圍依次為：、、、，
當(dāng)點(diǎn)依次在、、、上時(shí)，
的取值范圍依次為：、、、，
由于當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
∴
當(dāng)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時(shí)，直線平分的面積，
∴，即，
解得：，
當(dāng)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時(shí)，直線平分的面積，
∴，即，
解得：，
綜上所述：當(dāng)直線平分的面積時(shí)，的取值為：或
（4）∵，
∴，
∴點(diǎn)在上，
∴，且，
∴的某兩個(gè)頂點(diǎn)與、所圍成的菱形只能是：，
∴點(diǎn)在邊上，，
∵此時(shí)：，
∴，
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是用分類討論的數(shù)學(xué)思想思考問(wèn)題
31．（2022秋·江西上饒·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）【操作發(fā)現(xiàn)】
(1)如圖，在等邊中，點(diǎn)在直線上，為邊上的一點(diǎn)，連接，并把線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段與的數(shù)量關(guān)系是___________，線段與直線所夾銳角的度數(shù)是___________．
【類比探究】
(2)如圖，在等邊中，點(diǎn)在直線上，若為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接，并把線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，上述兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【拓展應(yīng)用】
如圖，在正方形中，點(diǎn)在直線上，為直線上的任意一點(diǎn)，連接，并把線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．
(3)試探究線段與的數(shù)量關(guān)系及線段與直線所夾銳角的度數(shù)，并說(shuō)明理由．
(4)若正方形的邊長(zhǎng)為，連接，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)，
(2)成立，見(jiàn)解析
(3)，見(jiàn)解析
(4)或
【分析】（1）如圖中，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)證明≌，可得結(jié)論；
（2）結(jié)論不變，如圖2，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明≌，可得結(jié)論；
（3）結(jié)論：，線段與直線所夾銳角的度數(shù)為在上取一點(diǎn)，使得利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；
（4）分兩種情形：如圖中，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，如圖中，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，分別求解即可．
【詳解】（1）解：如圖中，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．

是等邊三角形，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故答案為：；
（2）解：如圖中，結(jié)論成立．
理由：過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

是等邊三角形，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
（3）解：結(jié)論：，線段與直線所夾銳角的度數(shù)為．
理由：在上取一點(diǎn)，使得．

四邊形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
（4）解：如圖中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，是等腰直角三角形，，
，
，
，
．
如圖中，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的下方時(shí)，同法可得，
，

綜上所述，的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．
32．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）我們稱長(zhǎng)與寬之比為的矩形為“奇異矩形”，特別地，我們稱長(zhǎng)為，寬為1的矩形為“基本奇異矩形”，如圖1所示，它的奇異之處在于：可以用若干個(gè)基本奇異矩形（互不重疊且不留縫隙地）拼成一般的奇異矩形，例如，圖2中用2個(gè)基本奇異矩形拼成了一個(gè)奇異矩形．
(1)①請(qǐng)你在圖3的虛線框中畫(huà)出用4個(gè)基本奇異矩形拼成的奇異矩形（請(qǐng)仿照?qǐng)D1、圖2標(biāo)注必要的數(shù)據(jù)）；
②請(qǐng)你在圖4的虛線框中畫(huà)出用8個(gè)基本奇異矩形拼成的奇異矩形；
(2)若用K個(gè)基本奇異矩形可以拼成一般的奇異矩形，你發(fā)現(xiàn)正整數(shù)K有何特點(diǎn)？請(qǐng)敘述你的發(fā)現(xiàn)___________；
(3)①用32個(gè)基本奇異矩形拼成的奇異矩形，其對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi)__________；
②用256個(gè)基本奇異矩形拼成的奇異矩形，其對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi)__________；
③用n個(gè)基本奇異矩形拼成的奇異矩形，其對(duì)角線長(zhǎng)為32，則___________．
【答案】(1)①見(jiàn)解析，②見(jiàn)解析
(2)若用k個(gè)基本奇異矩形拼成奇異矩形，則或．
(3)①，②，③2048
【分析】（1）根據(jù)“奇異矩形”定義，可知“奇異矩形”必須滿足長(zhǎng)是寬的倍，依此規(guī)律可畫(huà)出圖形；
（2）根據(jù)觀察，能夠拼成奇異矩形，則都需要1個(gè)、2個(gè)、4個(gè)、8個(gè)基本奇異矩形，這些數(shù)據(jù)分別對(duì)應(yīng)或需要個(gè)基本奇異矩形，
（3）由勾股定理可知：奇異矩形的寬、長(zhǎng)、對(duì)角線之比為，由此規(guī)律即可解答
【詳解】（1）解：①如圖①，相關(guān)數(shù)據(jù)已標(biāo)出，
圖①中，長(zhǎng)為，寬為2，
長(zhǎng)：寬=；
符合奇異矩形的條件；
②圖②中，長(zhǎng)為4，寬為，
長(zhǎng)：寬=，
符合奇異矩形的條件．
（2）解：根據(jù)觀察，能夠拼成奇異矩形，則都需要1個(gè)、2個(gè)、4個(gè)、8個(gè)基本奇異矩形，這些數(shù)據(jù)分別對(duì)應(yīng)或需要個(gè)基本奇異矩形．
故答案為：若用k個(gè)基本奇異矩形拼成奇異矩形，則或．
（3）解：①若用32個(gè)奇異矩形組成奇異矩形，
則長(zhǎng)，寬=，此時(shí)滿足奇異矩形的條件，
根據(jù)勾股定理，，
故答案為：對(duì)角線為，
②若用256個(gè)基本奇異矩形拼成奇異矩形，則長(zhǎng)=，寬，
此時(shí)滿足奇異矩形的條件，
根據(jù)勾股定理： ，
故答案為：；
③根據(jù)規(guī)律可知：個(gè)基本矩形拼成的奇異矩形，長(zhǎng)為，寬為，則對(duì)角線為，
∴
∴，
∴．
故答案為：2048．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)、尋找規(guī)律的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，較好的動(dòng)手畫(huà)圖操作能力是解答本題的關(guān)鍵．
33．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春市第八十七中學(xué)?？计谀┤鐖D，長(zhǎng)方形中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒的速度沿的方向，向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒的速度沿的方向向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．以為邊向右上方作正方形，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
(1)當(dāng)時(shí)，＝______（用含t的代數(shù)式表示）；
(2)當(dāng)點(diǎn)N落在邊上時(shí)，求t的值；
(3)當(dāng)正方形與長(zhǎng)方形的重疊部分為四邊形時(shí)，求重疊部分的面積S（用含t的代數(shù)式表示）；
(4)請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)t滿足什么條件時(shí)，正方形與長(zhǎng)方形的重疊部分為三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
(4)當(dāng)或時(shí)，正方形與長(zhǎng)方形的重疊部分為三角形
【分析】（1）根據(jù)題意可得當(dāng)時(shí)，；
（2）證明，則，即，求t的值即可；
（3）畫(huà)出圖形，當(dāng)時(shí)，正方形在長(zhǎng)方形的內(nèi)部；當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)處，，此時(shí)正方形與長(zhǎng)方形的重疊部分為三角形，當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)處時(shí)，當(dāng)時(shí)，正方形與長(zhǎng)方形的重疊部分為三角形，則可知 時(shí)，正方形與長(zhǎng)方形的重疊部分為三角形；當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與C點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)正方形與長(zhǎng)方形的重疊部分為三角形；則時(shí)，正方形與長(zhǎng)方形的重疊部分為四邊形；
（4）由（3）的討論直接求解即可．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；
故答案為：；
（2）如圖1，
∵，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴；
（3）由（2）知，時(shí)，正方形在長(zhǎng)方形的內(nèi)部，
∴，正方形與長(zhǎng)方形的重疊部分為四邊形，
∴；
如圖2，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)處，，此時(shí)正方形與長(zhǎng)方形的重疊部分為三角形，
如圖3，當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)處時(shí)，
∵，
∴，
解得，
∴當(dāng)時(shí)，正方形與長(zhǎng)方形的重疊部分為三角形，
∴時(shí)，正方形與長(zhǎng)方形的重疊部分為三角形；
如圖4，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與C點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)正方形與長(zhǎng)方形的重疊部分為三角形；
∴時(shí)，正方形與長(zhǎng)方形的重疊部分為四邊形，
如圖5，

＝
＝；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ；
（4）由（3）可知當(dāng)時(shí)，正方形與長(zhǎng)方形的重疊部分為三角形；
當(dāng)時(shí)，正方形與長(zhǎng)方形的重疊部分為三角形；
綜上所述：當(dāng)或時(shí)，正方形與長(zhǎng)方形的重疊部分為三角形．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，分類討論是解題的關(guān)鍵．
34．（2022秋·黑龍江大慶·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：正方形中，，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交，或它們的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到時(shí)如圖，易證．
(1)當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到時(shí)如圖，線段，和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出猜想，并加以證明．
(2)當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時(shí)，線段，和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．
(3)圖中若，，求的面積為_(kāi)_____．
【答案】(1)，理由見(jiàn)解析
(2)，理由見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）分別證明、，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；
（2）由（1）的證明方法相同，證明即可；
（3）根據(jù)題意求出的面積，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答．
【詳解】（1）解：猜想：，證明如下：
如圖，在的延長(zhǎng)線上，截取，連接，
∵在和中，
∴，
，，
，，
，
，
，
∵在和中，
，
，
又，
；
（2）解：，證明如下：
如圖，在上截取，連接，
∵和中，
，
，，
，
即，
，
，
∵在和中，
∴，
，
，
；
（3）解：∵，
，
的面積為：，
則的面積為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題為四邊形的綜合題，涉及知識(shí)點(diǎn)有正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的判定和性質(zhì)等．在（1）中證得是解題的關(guān)鍵，在（2）中構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．
35．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知正方形，E是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)F在直線上，且，將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，過(guò)點(diǎn)C作的平行線，交射線于點(diǎn)H，連接．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在中點(diǎn)時(shí)，重合，請(qǐng)判斷四邊形的形狀并證明你的結(jié)論；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上時(shí)，補(bǔ)全圖形并回答下列問(wèn)題：
①四邊形的形狀是否發(fā)生改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②連接，交于點(diǎn)M，若， ，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
【答案】(1)四邊形是菱形，理由見(jiàn)解析
(2)①四邊形的形狀不會(huì)發(fā)生改變，四邊形是菱形，理由見(jiàn)解析；②
【分析】（1）設(shè)與交與點(diǎn)M，利用正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到，再利用菱形的判定定理解答即可；
（2）①延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，利用正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到，再利用菱形的判定定理解答即可；
②設(shè)交于點(diǎn)N，利用①的結(jié)論證明，得到，則和為等腰直角三角形，設(shè),則，利用勾股定理列出方程即可求得x值，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)，則．
【詳解】（1）解：四邊形是菱形，理由：
設(shè)與交與點(diǎn)M，如圖，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∵點(diǎn)E在中點(diǎn)，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴，．
在和中，
，
∴，
∴，
∵重合，
∴，
∵將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴．
∵，
∴．
∴四邊形是菱形；
（2）四邊形的形狀不會(huì)發(fā)生改變，四邊形是菱形，理由：
延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，如圖，
由題意得：，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形；
②設(shè)與交于點(diǎn)N，如圖，
由①知：，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴，
設(shè)，則，
∵，，
∴．
在中，
∵，
∴，
解得：（負(fù)數(shù)不合題意，舍去），
∴，
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
36．（2022·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知：四邊形是正方形，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且．

(1)如圖，與有怎樣的關(guān)系．寫(xiě)出你的結(jié)果，并加以證明；
(2)如圖，對(duì)角線與交于點(diǎn)．，分別與，交于點(diǎn)，點(diǎn)．
①求證：；
②連接，若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)；．證明見(jiàn)解析
(2)①見(jiàn)解析；②
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，然后利用“邊角邊”證明，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，，然后求出，再求出，然后根據(jù)垂直的定義解答即可；
（2）①根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分可得，，對(duì)角線平分一組對(duì)角可得，然后求出，再利用“角邊角”證明，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得；②過(guò)點(diǎn)作于，作于，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，再利用“角角邊”證明，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，然后判斷出四邊形是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求出即可．
【詳解】（1）解：；．
證明：四邊形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）①證明：四邊形是正方形，
，，，
，
，
即，
在和中，
，
，
；
②解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，作于，
，
，
在和中，
，
，
，
四邊形是正方形，
，
，
，
，
在中，，
正方形的邊長(zhǎng)．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題型，主要利用了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，（2）②難度較大，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和以為對(duì)角線的正方形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)

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