知識(shí)點(diǎn)1：二元二次方程組的解法
方程
是一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，這樣的方程叫做二元二次方程．其中，，叫做這個(gè)方程的二次項(xiàng)，，叫做一次項(xiàng)，6叫做常數(shù)項(xiàng)．
我們看下面的兩個(gè)方程組：
，
第一個(gè)方程組是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的，第二個(gè)方程組是由兩個(gè)二元二次方程組成的，像這樣的方程組叫做二元二次方程組．
下面我們主要來(lái)研究由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組的解法．
一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組一般可以用代入消元法來(lái)解．
知識(shí)點(diǎn)2：一元二次不等式的解法
為了方便起見，我們先來(lái)研究二次項(xiàng)系數(shù)時(shí)的一元二次不等式的解．
我們知道，對(duì)于一元二次方程()，設(shè)，它的解的情形按照分別為下列三種情況——有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解和沒(méi)有實(shí)數(shù)解，相應(yīng)地，拋物線與軸分別有兩個(gè)公共點(diǎn)、一個(gè)公共點(diǎn)和沿有公共點(diǎn)(如圖所示)，因此，我們可以分下列三種情況討論對(duì)應(yīng)的一元二次不等式與的解．
(1)當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)和，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和，由圖2．3-2①可知
不等式的解為，或；
不等式的解為．
(2)當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，由圖②可知
不等式的解為；
不等式無(wú)解．
(3)如果，拋物線與軸沒(méi)有公共點(diǎn)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，由圖2．3-2③可知
不等式的解為一切實(shí)數(shù)；
不等式無(wú)解．
今后，我們?cè)诮庖辉尾坏仁綍r(shí)，如果二次項(xiàng)系數(shù)大于零，可以利用上面的結(jié)論直接求解；如果二次項(xiàng)系數(shù)小于雪，則可以先在不等式兩邊同乘以，將不等式變成二次項(xiàng)系數(shù)大于零的形式，再利用上面的結(jié)論去解不等式．
【題型歸納目錄】
題型一：一元二次不等式的解法
題型二：二元二次方程組的解法
【典例例題】
題型一：一元二次不等式的解法
例1．解不等式：
【解析】，所以原不等式的解為或.
例2．解不等式：；
【解析】，∴
例3．求下列不等式的解集.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】
(1)解：原不等式即為，解得，
(2)解：將原不等式變形為，
即，解得或，
(3)解：將原不等式變形為，解得，
(4)解：對(duì)于不等式，，故原不等式的解集為全體實(shí)數(shù).
變式1．求不等式的解集：
(1)；
(2)；
【解析】(1)由，得，
解得或，
(2)由得，，
題型二：二元二次方程組的解法
例4．(2023·上海靜安·八年級(jí)上海市回民中學(xué)?？计谥?解方程組：
【解析】
方程①可化為：
即：或
方程②可化為：
或，
原方程組可以組成四個(gè)二元一次方程組：
，，，，
分別解這四個(gè)方程組，得原方程組的解是：
，，，．
例5．(2023·上海楊浦·統(tǒng)考三模)解方程組：
【解析】由②得：，
∴或
解得：或，
∴原方程組的解為：或．
例6．(2023·上海青浦·統(tǒng)考二模)解方程組：
【解析】方程①可變形為．
得或．
方程②可變形為．
得或．
因此，原方程組可組成以下四個(gè)二元一次方程組：
，，，．
分別解這四個(gè)方程組，得原方程組的解是
，，，．
變式2．(2023·上海虹口·校聯(lián)考二模)解方程組：
【解析】由，得，
∴，
∴原方程組可轉(zhuǎn)化為： 或
解得：或
∴原方程組的解為：或．
變式3．(2023·上海崇明·統(tǒng)考二模)解方程組：
【解析】由①得：，
把代入②得：，
整理，得：，
解得：；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
∴方程組的解為：或．
變式4．(2023·上海寶山·統(tǒng)考二模)解方程組：．
【解析】，
由①得，，
將②代入，③，
②③得，，解得：，
②③得，，解得：，
則方程組的解為．
變式5．(2023·上海金山·統(tǒng)考二模)解方程組：．
【解析】∵，
∴，
∴或，
解得或，
故原方程組的解為或．
變式6．(2023·上海松江·統(tǒng)考二模)解方程組：
【解析】
由②得：，
∴或，
由①③得
得：，
解得：，
把代入③得：，
∴方程解為；
由①④得
得：，
解得：，
把代入得：，
∴方程解為；
綜上所述：原方程解為：或
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．(2023·八年級(jí)單元測(cè)試)方程組的解是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得：，
把代入得：，即，
解得：．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
∴方程組的解為：或
故選D．
2．(2023·上海·八年級(jí)期中)方程組解的情況是( )
A．有兩組不同的實(shí)數(shù)解B．有兩組相同的實(shí)數(shù)解
C．沒(méi)有實(shí)數(shù)解D．不能確定
【答案】A
【解析】
方程減去方程，
消去得：，
整理得：，
，
，
即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
所以方程組也有兩組不相等的實(shí)數(shù)解，
故選：A．
3．(2023·浙江·九年級(jí)自主招生)若實(shí)數(shù)x,y滿足，則的值是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)方程組 ；
得到 ，
從而解得 ；
將以上x和y的值代入，
當(dāng)= ；
當(dāng)= ，
當(dāng)=；
當(dāng)，=；
故答案為：A
4．(2023·福建泉州·九年級(jí)泉州五中校考開學(xué)考試)已知x，y為實(shí)數(shù)，且滿足，記的最大值為M，最小值為m，則( )．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∵
，
當(dāng)且僅當(dāng)，
即，，
或，時(shí)，等號(hào)成立，
∴的最小值為，
∴最小值為：，
即，
∵
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
即，，
或，時(shí)等號(hào)成立，
∴的最大值為，
∴的最大值為，
即，
∴，
故選：C．
5．(2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模)已知點(diǎn)在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線l上，且，則的值為( )
A．B．C．0D．
【答案】A
【解析】對(duì)方程組通分化簡(jiǎn)得到
①-②得， ③
對(duì)③式進(jìn)行移項(xiàng)，因式分解得，
∴或
又∵在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線l
∴與是正比例函數(shù)關(guān)系，即
∴，即
代入得
故答案為A．
6．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí))已知且，那么的值為 ( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】
由①+②可得③，
由②可得x=，
∴，把代入③得：
，
，
∵x＞0，y＞0，
∴y=或y=，
當(dāng)y=時(shí)，代入②得x=-不合題意，舍去；
∴y=，當(dāng)y=時(shí)代入②得x=，
∴=(+)2=3.
故選：B.
7．(2023·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽)方程的整數(shù)解的組數(shù)為( )
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】把方程變形得：(x+y)2+2y2=34，
∵34與2y2是偶數(shù)，
∴x+y必須是偶數(shù)，
設(shè)x+y=2t，則原方程變?yōu)椋?2t)2+2y2=34，
∴2t2+y2=17，
它的整數(shù)解為：，
∴當(dāng)y=3，t=2時(shí)，x=1；
當(dāng)y=3，t=?2時(shí)，x=?7；
當(dāng)y=?3，t=2時(shí)，x=7；
當(dāng)y=?3，t=?2時(shí)，x=?1．
∴原方程的整數(shù)解為：(1，3)，(?7，3)，(7，?3)，(?1，?3)，共4組．
故選B．
8．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí))二元二次方程組的解的個(gè)數(shù)是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】，
由①得
(x-y)(x+2y)=0，
∴x-y=0或x+2y=0，
∴原方程組可變?yōu)椋?br>或，
由③得
x=y，
把x=y代入④得
y2+4y=-2，
解得
y=-2±，
∴，；
由⑤得
x=-2y，
把x=-2y代入⑥得
4y2+4y+2=0，即2y2+2y+1=0，
?=4-8=-4＜0，
∴此時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
綜上可知，方程組有兩組，．
故選B．
9．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí))方程組有四組不同的實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是( )
A．B．C．D．，且
【答案】D
【解析】
由②，得③
將③代入①，得
∵方程組有四組不同的實(shí)數(shù)解，
∴且
∴，且
故選：D.
10．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí))下列各對(duì)未知數(shù)的值中，是方程組的解的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】把四個(gè)選項(xiàng)的答案分別代入方程組，發(fā)現(xiàn)只有A中的答案適合兩個(gè)方程．
故選A．
二、填空題
11．(2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模)方程組的解是______．
【答案】或．
【解析】
由①得：，
∴或，
∴或，
解可得：，
解可得：，
∴原方程組的解為：或．
故答案為：或．
12．(2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí))寫出一個(gè)由二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的二元二次方程組___________，使它的解是和．
【答案】(答案不唯一)
【解析】方程組的解為和，
，
，
方程組可以是，
故答案為：答案不唯一)．
13．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)上外附中?？茧A段練習(xí))已知關(guān)于x，y的方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解，則n的范圍為___________．
【答案】
【解析】由方程2可得， ,
所以應(yīng)該是方程 有大于等于4的解；
當(dāng) 時(shí)，只有 一組解，
所以得出x的解應(yīng)大于4；
方程有大于4的解，
構(gòu)造二次函數(shù) ，開口向上，
所以有當(dāng)時(shí)，y小于0，即 ,
解得
14．(2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí))方程組的解是______________________．
【答案】
【解析】
由①得③，
將②代入③得④，
②+④得，
解得，
將代入④得，
解得，
所以方程組的解為：，
故答案為：．
15．(2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí))把二次方程轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一次方程，那么這兩個(gè)一次方程是_______和_______．
【答案】 x－3－y=0
【解析】，，
，．
故答案為：，x－3－y=0．
三、解答題
16．(2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模)解方程組：
【解析】由方程②，得③
將③代入①，得
解，得
將代入③，得；
將代入③，得
所以，原方程的解是，．
17．(2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí))解方程組：
【解析】，
由①得：，
∴或，
∴原方程組化為：或，
由可得：，
由可得：，
∴方程組的解為：或．
18．(2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí))解方程組：
【解析】
由①得，
則或，
∴或，
解得：或．
19．(2023·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中)解新類型的方程(組)時(shí)，可以通過(guò)去分母、換元等方法轉(zhuǎn)化求解．
(1)請(qǐng)按要求填寫下表．
(2)解方程組：
【解析】(1)，
設(shè)，則方程變形為，
∴，
解得或，
∴或(無(wú)解)，
解得，
故答案為：；2或；；
(2)，
由第一個(gè)方程得，，
∴，
①當(dāng)時(shí)，
∵，
∴x、y是一元二次方程得兩個(gè)根，
解得或，
∴；
②當(dāng)時(shí)，
∵，
∴x、y是一元二次方程得兩個(gè)根，
解得或，
∴，
綜上所述，這個(gè)方程組得解為，．
20．(2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí))閱讀材料：小強(qiáng)同學(xué)在解方程組時(shí)，采用了一種“整體代換”解法：
將方程②變形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程組的解為．
請(qǐng)你解決以下問(wèn)題
(1)模仿小強(qiáng)同學(xué)的“整體代換”法解方程組；
(2)已知x，y滿足方程組
(i)求的值；
(ii)求出這個(gè)方程組的所有整數(shù)解．
【解析】(1)，
將方程②變形：，
即③，
把方程①代入③得：，
解得，
把代入方程①，得，
所以方程組的解為；
(2)(i)原方程組化為，
將①代入方程②得：，
∴；
(ii)由(i)得，
∵x與y是整數(shù)，
∴或或或，
由(i)可求得，
∴和符合題意，
故原方程組的所有整數(shù)解是或．
21．(2023·上海浦東新·九年級(jí)上海市進(jìn)才實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥?解方程組：．
【解析】∵，
∴或，
∴原方程可化為或，
加減消元得：y=-1或y=，
∴原方程的解為：或，
22．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)上海市西南模范中學(xué)?？计谥?解方程組
【解析】
由①可得：x(x-y)=0，
∴或，
由②得：(2x-y)=1，
把x=0代入(2x-y)=1得：，
解得：y=1，y2=?1；
由x-y=0得：x=y，
把x=y代入(2x-y)=1得：(2y-y)=1，
解得：或，
∴當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
綜上可得，原方程組的解為：，，，．
23．(2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí))(1)解方程組：
(2)
【解析】(1)
由②可得：
兩邊平方化簡(jiǎn)得：，即
代入①得：，即
解得：或
將代入②得：，解得：
將代入②得：，解得：
故原方程組的解為：或；
(2)
去括號(hào)化簡(jiǎn)得：，即
得：，解得：
將代入①得：，解得：
故原方程組的解為.
原方程
①轉(zhuǎn)化
設(shè)，則
②求解

③檢驗(yàn)
，2都是原方程的解
…
④結(jié)論

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