第09講直線(xiàn)的方程-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（人教A版2019）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第09講直線(xiàn)的方程
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一：直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程
方程由直線(xiàn)上一定點(diǎn)及其斜率決定，我們把叫做直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)點(diǎn)斜式.
知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?
1.點(diǎn)斜式方程是由直線(xiàn)上一點(diǎn)和斜率確定的，點(diǎn)斜式的前提是直線(xiàn)的斜率存在.點(diǎn)斜式不能表示平行于y軸的直線(xiàn)，即斜率不存在的直線(xiàn)；
2.當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為時(shí)，直線(xiàn)方程為；
3.當(dāng)直線(xiàn)傾斜角為時(shí)，直線(xiàn)沒(méi)有斜率，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.這時(shí)直線(xiàn)方程為：.
4.表示直線(xiàn)去掉一個(gè)點(diǎn)；表示一條直線(xiàn).
知識(shí)點(diǎn)二：直線(xiàn)的斜截式方程
如果直線(xiàn)的斜率為，且與軸的交點(diǎn)為，根據(jù)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可得，即.我們把直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做直線(xiàn)在軸上的截距，方程由直線(xiàn)的斜率與它在軸上的截距確定，所以方程叫做直線(xiàn)的斜截式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)斜截式.
知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?br /> 1.b為直線(xiàn)在y軸上截距，截距可以取一切實(shí)數(shù)，即可以為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)；距離必須大于或等于零；
2.斜截式方程可由過(guò)點(diǎn)的點(diǎn)斜式方程得到；
3.當(dāng)時(shí)，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式.
4.斜截式的前提是直線(xiàn)的斜率存在.斜截式不能表示平行于y軸的直線(xiàn)，即斜率不存在的直線(xiàn).
5.斜截式是點(diǎn)斜式的特殊情況，在方程中，是直線(xiàn)的斜率，是直線(xiàn)在軸上的截距.
知識(shí)點(diǎn)三：直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程
經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(其中)的直線(xiàn)方程為，稱(chēng)這個(gè)方程為直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)兩點(diǎn)式.
知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?br /> 1.這個(gè)方程由直線(xiàn)上兩點(diǎn)確定；
2.當(dāng)直線(xiàn)沒(méi)有斜率()或斜率為時(shí)，不能用兩點(diǎn)式求出它的方程.
3.直線(xiàn)方程的表示與選擇的順序無(wú)關(guān).
4．在應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線(xiàn)方程時(shí)，往往把分式形式通過(guò)交叉相乘轉(zhuǎn)化為整式形式，從而得到的方程中，包含了或的情況，但此轉(zhuǎn)化過(guò)程不是一個(gè)等價(jià)的轉(zhuǎn)化過(guò)程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的討論．要避免討論，可直接假設(shè)兩點(diǎn)式的整式形式．
知識(shí)點(diǎn)四：直線(xiàn)的截距式方程
若直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，與y軸的交點(diǎn)為，其中，則過(guò)AB兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，這個(gè)方程稱(chēng)為直線(xiàn)的截距式方程.a叫做直線(xiàn)在x軸上的截距，b叫做直線(xiàn)在y軸上的截距.
知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?br /> 1.截距式的條件是，即截距式方程不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)以及不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn).
2.求直線(xiàn)在坐標(biāo)軸上的截距的方法：令x=0得直線(xiàn)在y軸上的截距；令y= 0得直線(xiàn)在x軸上的截距.
知識(shí)點(diǎn)五：直線(xiàn)方程幾種表達(dá)方式的選取
在一般情況下，使用斜截式比較方便，這是因?yàn)樾苯厥街恍枰獌蓚€(gè)獨(dú)立變數(shù)，而點(diǎn)斜式需要三個(gè)獨(dú)立變數(shù)．在求直線(xiàn)方程時(shí)，要根據(jù)給出的條件采用適當(dāng)?shù)男问剑话愕兀阎稽c(diǎn)的坐標(biāo)，求過(guò)這點(diǎn)的直線(xiàn)，通常采用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定斜率；已知直線(xiàn)的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在y 軸上的截距；已知截距或兩點(diǎn)選擇截距式或兩點(diǎn)式．從結(jié)論上看，若求直線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積或周長(zhǎng)，則選擇截距式求解較方便，但不論選用哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏．
知識(shí)點(diǎn)六：直線(xiàn)方程的一般式
關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線(xiàn)．我們把方程寫(xiě)為，這個(gè)方程(其中A、B不全為零)叫做直線(xiàn)方程的一般式．
知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?br /> 1．A、B不全為零才能表示一條直線(xiàn)，若A、B全為零則不能表示一條直線(xiàn).
當(dāng)時(shí)，方程可變形為，它表示過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線(xiàn)．
當(dāng)，時(shí)，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線(xiàn)．
由上可知，關(guān)于、的二元一次方程，它都表示一條直線(xiàn)．
2．在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)關(guān)于、的二元一次方程對(duì)應(yīng)著唯一的一條直線(xiàn)，反過(guò)來(lái)，一條直線(xiàn)可以對(duì)應(yīng)著無(wú)數(shù)個(gè)關(guān)于、的一次方程.
知識(shí)點(diǎn)七：直線(xiàn)方程的不同形式間的關(guān)系
名稱(chēng)
方程的形式
常數(shù)的幾何意義
適用范圍
點(diǎn)斜式

是直線(xiàn)上一定點(diǎn)，是斜率
不垂直于軸
斜截式

是斜率，是直線(xiàn)在y軸上的截距
不垂直于軸
兩點(diǎn)式

，是直線(xiàn)上兩定點(diǎn)
不垂直于軸和軸
截距式

是直線(xiàn)在x軸上的非零截距，是直線(xiàn)在y軸上的非零截距
不垂直于軸和軸，且不過(guò)原點(diǎn)
一般式

、、為系數(shù)
任何位置的直線(xiàn)
直線(xiàn)方程的五種形式的比較如下表：
知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?br /> 在直線(xiàn)方程的各種形式中，點(diǎn)斜式與斜截式是兩種常用的直線(xiàn)方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線(xiàn)存在斜率，兩點(diǎn)式是點(diǎn)斜式的特例，其限制條件更多，應(yīng)用時(shí)若采用的形式，即可消除局限性．截距式是兩點(diǎn)式的特例，在使用截距式時(shí)，首先要判斷是否滿(mǎn)足“直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距存在且不為零”這一條件．直線(xiàn)方程的一般式包含了平面上的所有直線(xiàn)形式．一般式?；癁樾苯厥脚c截距式．若一般式化為點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式，由于取點(diǎn)不同，得到的方程也不同．
知識(shí)點(diǎn)八：直線(xiàn)方程的綜合應(yīng)用
1．已知所求曲線(xiàn)是直線(xiàn)時(shí)，用待定系數(shù)法求．
2．根據(jù)題目所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€(xiàn)方程的形式，求出直線(xiàn)方程．
對(duì)于兩直線(xiàn)的平行與垂直，直線(xiàn)方程的形式不同，考慮的方向也不同．
（1）從斜截式考慮
已知直線(xiàn),,
；

于是與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)可以設(shè)為；垂直的直線(xiàn)可以設(shè)為．
（2）從一般式考慮：

且或，記憶式（）
與重合，，，
于是與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)可以設(shè)為；垂直的直線(xiàn)可以設(shè)為.
【題型歸納目錄】
題型一：點(diǎn)斜式方程、兩點(diǎn)式方程、斜截式方程、截距式
題型二：直線(xiàn)的一般式方程
題型三：判斷動(dòng)直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)
題型四：直線(xiàn)與坐標(biāo)軸形成三角形問(wèn)題
題型五：由一般式方程判斷平行、垂直
題型六：由兩條直線(xiàn)平行、垂直求直線(xiàn)方程
題型七：直線(xiàn)方程的綜合問(wèn)題
【典型例題】
題型一：點(diǎn)斜式方程、兩點(diǎn)式方程、斜截式方程、截距式
1．（2022·江蘇·高二）直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（1，1）且在x軸和y軸上的截距的絕對(duì)值相等，則這樣的直線(xiàn)有且僅有（???????）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】B
【解析】
【分析】
分截距為0，截距不為0兩種情況討論，結(jié)合條件即得.
【詳解】
當(dāng)在x軸和y軸上的截距為0時(shí)，直線(xiàn)為，適合題意，
當(dāng)在x軸和y軸上的截距不為0時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)方程為，
則，解得，即直線(xiàn)為，
綜上，這樣的直線(xiàn)有且僅有兩條.
故選：B
（多選題）2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)，且與軸和軸圍成一個(gè)內(nèi)角為的直角三角形，則滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l的方程可以是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由題意，求出直線(xiàn)的傾斜角可以是或或或，從而可得直線(xiàn)斜率，利用點(diǎn)斜式可寫(xiě)出直線(xiàn)方程，最后檢驗(yàn)即可得答案.
【詳解】
解：由題意，直線(xiàn)的傾斜角可以是或或或，
所以直線(xiàn)的斜率或或或，
所以直線(xiàn)的方程可以為或或或，
由，整理得，此時(shí)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，無(wú)法與軸和軸圍成直角三角形.
故選：ABC.
3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為60°的直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由點(diǎn)斜式求得方程，化為一般式即可.
【詳解】
由題知，直線(xiàn)斜率為，
則直線(xiàn)點(diǎn)斜式方程為：
故答案為：
4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)l的斜率是1，在y軸上的截距是，則直線(xiàn)l的斜截式方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)直線(xiàn)的斜截式方程公式代入即可.
【詳解】

由直線(xiàn)的斜截式方程得：
直線(xiàn)的斜截式方程為：，
故答案為：.
5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與x軸垂直的直線(xiàn)l的方程為_(kāi)_____．
【答案】（或）
【解析】
【分析】
利用與x軸垂直的直線(xiàn)斜率不存在，可直接寫(xiě)出直線(xiàn)方程.
【詳解】
直線(xiàn)與軸垂直，直線(xiàn)的斜率不存在
又直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)
直線(xiàn)的方程為：
故答案為：.
6．（2022·全國(guó)·高二期末）直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)、，則直線(xiàn)的方程為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】
應(yīng)用兩點(diǎn)式求斜率，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程.
【詳解】
由題設(shè)，，則直線(xiàn)的方程為，整理得.
故答案為：
7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為，則直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用點(diǎn)斜式方程可得出直線(xiàn)的方程.
【詳解】
由題意可知，直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程為.
故答案為：.
8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則直線(xiàn)l的方程為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】
求出直線(xiàn)斜率，點(diǎn)斜式求解.
【詳解】
因?yàn)橹本€(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，
所以,
所以直線(xiàn)的方程為
故答案為：
9．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線(xiàn)在x軸上的截距為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】
寫(xiě)出直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，令，即可求得結(jié)果.
【詳解】
由題可知所求直線(xiàn)方程為：，
令，解得，即直線(xiàn)在x軸上的截距為.
故答案為：.
10．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)、，則直線(xiàn)AB的兩點(diǎn)式方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程代入即可.
【詳解】
直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程為：
將點(diǎn)、代入得：.
故答案為：.
11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)?的直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程，即可求解.
【詳解】
因?yàn)橹本€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)?，
由直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程可得，可得，即，
所以直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程為.
故答案為：.
12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線(xiàn)l的方程．
【答案】或
【解析】
【分析】
根據(jù)題意直線(xiàn)的斜率一定存在，設(shè)出直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，求出兩坐標(biāo)軸的截距建立等式，解出斜率的值即可求出直線(xiàn)方程.
【詳解】
設(shè)直線(xiàn)l的點(diǎn)斜式方程為．
當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)．
由題意，或．
綜上，直線(xiàn)方程為或．
13．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，．
(1)求的三邊所在直線(xiàn)的方程；
(2)求的三條中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程．
【答案】(1)；；；
(2)邊上的中線(xiàn)；邊上的中線(xiàn)；邊上的中線(xiàn)
【解析】
【分析】
（1）利用直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程求解即可；
（2）先分別求出各邊的中點(diǎn)，再利用直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程求解即可；
(1)
由，，
知直線(xiàn)的方程為，整理得
直線(xiàn)的方程為整理得
直線(xiàn)的方程為，整理得
(2)
的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又
所以邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為，整理得
的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又
所以邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為，整理得
的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又
所以邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為，整理得
14．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件，分別寫(xiě)出直線(xiàn)的方程：
(1)過(guò)點(diǎn)，斜率為；
(2)過(guò)點(diǎn)，與x軸垂直；
(3)斜率為，在y軸上的截距為7；
(4)斜率為3，在x軸上的截距為；
(5)過(guò)點(diǎn)，；
(6)過(guò)點(diǎn)，．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)直線(xiàn)與橫軸垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可
（3）根據(jù)直線(xiàn)的斜截式方程進(jìn)行求解即可；
（4）根據(jù)直線(xiàn)的斜截式方程，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；
（5）根據(jù)直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程進(jìn)行求解即可；
（6）根據(jù)直線(xiàn)的截距式方程進(jìn)行求解即可.
(1)
因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，斜率為，
所以直線(xiàn)方程為：；
(2)
因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，與x軸垂直，
所以直線(xiàn)方程為：；
(3)
因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，在y軸上的截距為7，
所以直線(xiàn)方程為：；
(4)
因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為3，所以設(shè)直線(xiàn)的方程為：，
又因?yàn)橹本€(xiàn)在x軸上的截距為，所以，
所以直線(xiàn)的方程為：；
(5)
因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，
所以直線(xiàn)的方程為：；
(6)
因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，
所以直線(xiàn)方程為：.
題型二：直線(xiàn)的一般式方程
1．（2022·浙江·海寧一中高二期中）直線(xiàn)的傾斜角為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)直線(xiàn)的一般式方程，求得斜率，即可求得直線(xiàn)的傾斜角.
【詳解】
直線(xiàn)的斜率
設(shè)其傾斜角為，故可得，又，故.
故選：C.
（多選題）2．（2022·江蘇·高二）已知直線(xiàn)l的方程是，則下列說(shuō)法中正確的是（???????）
A．若，則直線(xiàn)l不過(guò)原點(diǎn)
B．若，則直線(xiàn)l必過(guò)第四象限
C．若直線(xiàn)l不過(guò)第四象限，則一定有
D．若且，則直線(xiàn)l不過(guò)第四象限
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根據(jù)直線(xiàn)一般式的特點(diǎn)依次判斷即可.
【詳解】
對(duì)A，若，則都不等于0，當(dāng)時(shí)，，所以直線(xiàn)l不過(guò)原點(diǎn)，故A正確；
對(duì)B，若，則直線(xiàn)斜率，則直線(xiàn)一定過(guò)第二四象限，故B正確；
對(duì)C，若直線(xiàn)l不過(guò)第四象限，若有直線(xiàn)過(guò)第一二象限時(shí)，此時(shí)，則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，若且，則，所以直線(xiàn)的斜率大于0，在軸上截距小于0，所以直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第一二三象限，不經(jīng)過(guò)第四象限，故D正確.
故選：ABD.
3．（2022·江蘇·高二）過(guò)定點(diǎn)且傾斜角是直線(xiàn)x－y＋1＝0的傾斜角的兩倍的直線(xiàn)一般方程為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出直線(xiàn)x－y＋1＝0的傾斜角，從而得到所求直線(xiàn)的傾斜角，得到直線(xiàn)方程.
【詳解】
直線(xiàn)x－y＋1＝0的傾斜角為45°，故過(guò)定點(diǎn)的所求直線(xiàn)的傾斜角為90°，故所求直線(xiàn)方程為：.
故答案為：
4．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）直線(xiàn)方程為，若直線(xiàn)不過(guò)第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由直線(xiàn)在y軸上截距為知，只需直線(xiàn)斜率不小于0即可.
【詳解】
不過(guò)第二象限,
，解得，
故答案為：
5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若，，則直線(xiàn)不通過(guò)第______象限．
【答案】三
【解析】
【分析】
將直線(xiàn)方程化為，由斜率以及縱截距的正負(fù)判斷即可.
【詳解】
直線(xiàn)可化為，即
因?yàn)?，，所以直線(xiàn)的斜率為負(fù)，縱截距為正
即直線(xiàn)通過(guò)第一、二、四象限，不通過(guò)第三象限.
故答案為：三
6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在直線(xiàn)方程中，當(dāng)時(shí)，，求此直線(xiàn)的方程．
【答案】或
【解析】
【分析】
設(shè)出直線(xiàn)方程，分與兩種情況，得到方程組，求出，得到直線(xiàn)方程.
【詳解】
方程化為．
當(dāng)時(shí)，為嚴(yán)格增函數(shù)，由
解得：，此時(shí)直線(xiàn)方程為；
當(dāng)時(shí)，為嚴(yán)格減函數(shù)，由
解得：，此時(shí)直線(xiàn)方程為．
所以，直線(xiàn)方程為或．
7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)l ：，若直線(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求此時(shí)直線(xiàn)l的方程.
【答案】或
【解析】
【分析】
分別令和求出直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距，利用截距相等解方程求出，從而可得直線(xiàn)的方程.
【詳解】
因?yàn)橹本€(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，所以，
在中，
令，得，令，得，
依題意可得，即，
解得或，
所以直線(xiàn)的方程為或.
8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）說(shuō)明方程表示的圖形是什么，并畫(huà)出該方程表示的圖形．
【答案】表示的是一條直線(xiàn)，其圖象見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
整理得到一次函數(shù)，是一條直線(xiàn)，畫(huà)出圖象.
【詳解】
，整理得：，表示的是一條直線(xiàn)，其圖象如下：

9．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)（其中，不全為0）．
(1)寫(xiě)出直線(xiàn)的一個(gè)法向量的坐標(biāo)；
(2)若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則，，滿(mǎn)足的條件是什么？
(3)若直線(xiàn)與軸平行或重合，則，，滿(mǎn)足的條件是什么？
(4)若直線(xiàn)與軸和軸都相交且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則，，滿(mǎn)足的條件是什么？
【答案】(1)；
(2)，不全為零；
(3)；
(4)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)直線(xiàn)的方向向量，即可容易求得法向量；
（2）根據(jù)點(diǎn)不滿(mǎn)足直線(xiàn)方程，即可求得結(jié)果；
（3）根據(jù)直線(xiàn)斜率為零，即可求得結(jié)果；
（4）根據(jù)點(diǎn)不滿(mǎn)足直線(xiàn)方程，以及直線(xiàn)斜率存在且不為零，即可求得結(jié)果.
(1)
因?yàn)橹本€(xiàn)的一個(gè)方向向量為，
故該直線(xiàn)的一個(gè)法向量可以為，也可是與其平行且非零的其它向量.
(2)
若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，即滿(mǎn)足直線(xiàn)方程，
故只需，不全為零即可.
(3)
若直線(xiàn)與軸平行或重合，則其斜率為零，
故只需.
(4)
若直線(xiàn)與軸和軸都相交且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
故只需.
10．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線(xiàn)的方程中的A，B，C滿(mǎn)足什么條件時(shí)直線(xiàn)分別具有如下性質(zhì)？
(1)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；
(2)與兩條坐標(biāo)軸都相交；
(3)與x軸無(wú)交點(diǎn)；
(4)與y軸無(wú)交點(diǎn)；
(5)與x軸垂直；
(6)與y軸垂直．
【答案】(1)C=0，
(2)，
(3)A=0，
(4)B=0，
(5)B=0，
(6)A=0.
【解析】
【分析】
首先要理解的含義，就是A和B不能同時(shí)為0；
（1）直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)也是過(guò)定點(diǎn)，只要把原點(diǎn)坐標(biāo)代入即可；
（2）與兩個(gè)都坐標(biāo)軸相交，就是既不平行于x軸，也不平行與y軸；
（3）與x軸無(wú)交點(diǎn)，就是平行于x軸；
（4）與y軸無(wú)交點(diǎn)，就是平行與y軸；
（5）與x軸垂直，就是平行與y軸；
（6）與y軸垂直，就是平行與x軸.
(1)
將（0，0）代入直線(xiàn)方程，得C=0；
(2)
與兩個(gè)都坐標(biāo)軸相交，就是既不平行于x軸，也不平行與y軸，直線(xiàn)的斜率，也不能不存在，即即；
(3)
依題意，與x軸無(wú)交點(diǎn)，就是平行于x軸，k=0，即A=0；
(4)
依題意，k不存在，即B=0；
(5)
依題意與y軸無(wú)交點(diǎn)，就是平行與y軸，k不存在，即B=0；
(6)
依題意，與y軸垂直，就是平行與x軸，k=0，即A=0.
11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的圖像由兩條射線(xiàn)組成，求這兩條射線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程．
【答案】和.
【解析】
【分析】
根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】
因?yàn)椋?br /> 所以這兩條射線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為：和，
化成一般式為：和.
12．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩條直線(xiàn)和都過(guò)點(diǎn)，求過(guò)兩點(diǎn)，的直線(xiàn)的方程．
【答案】
【解析】
【分析】
把點(diǎn)代入，可得，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)閮蓷l直線(xiàn)和都過(guò)點(diǎn)，
所以；
所以，均在直線(xiàn)上，
又兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，所以過(guò)兩點(diǎn)，的直線(xiàn)的方程為.
13．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為8和6，以菱形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，較長(zhǎng)對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)為x軸，建立直角坐標(biāo)系，求出菱形各邊所在直線(xiàn)的方程．
【答案】；；；.
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件求出菱形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用直線(xiàn)的截距式方程直接求解作答.
【詳解】
依題意，如圖，菱形的頂點(diǎn)，

直線(xiàn)的方程為，即；
直線(xiàn)的方程為，即；
直線(xiàn)的方程為，即；
直線(xiàn)的方程為，即，
所以菱形各邊所在直線(xiàn)的方程分別是：；；；.
14．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)k為實(shí)數(shù)，若直線(xiàn)l的方程為，根據(jù)下列條件分別確定k的值：
(1)直線(xiàn)l的斜率為；
(2)直線(xiàn)l在x軸、y軸上截距之和等于1．
【答案】(1)5；
(2)2.
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)給定條件求出直線(xiàn)l的斜率，再列式計(jì)算作答.
(2)求出直線(xiàn)l在x軸、y軸上截距，再列式計(jì)算作答.
(1)
因直線(xiàn)l的方程為，則直線(xiàn)l的斜率為，
于是得，解得，
所以k的值為5.
(2)
因直線(xiàn)l的方程為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
于是得，解得，
所以k的值為2.

題型三：判斷動(dòng)直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)
1．（2022·北京市十一學(xué)校高一階段練習(xí)）不論為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
將直線(xiàn)方程化為，令可得，，從而可得定點(diǎn).
【詳解】
直線(xiàn)，即，
令，得，，可得它恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).
故答案為：.
2．（2022·湖北·武漢市第十九中學(xué)高二期末）已知，，若直線(xiàn)上存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足，則l的傾斜角的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，求得直線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合只需求得線(xiàn)段與直線(xiàn)有交點(diǎn)時(shí)的斜率，結(jié)合斜率和傾斜角的關(guān)系即可求得結(jié)果.
【詳解】
對(duì)直線(xiàn)，變形為，故其恒過(guò)定點(diǎn)，
若直線(xiàn)存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足，只需直線(xiàn)與線(xiàn)段有交點(diǎn)即可.

數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，其斜率取得最大值，此時(shí)，對(duì)應(yīng)傾斜角；
當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，其斜率取得最小值，此時(shí)，對(duì)應(yīng)傾斜角為.
根據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系，要滿(mǎn)足題意，直線(xiàn)的傾斜角的范圍為：.
故選：A.
3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)與過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)交于點(diǎn)，則的最大值為(???????)
A．1 B．3 C．4 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由題意可得，且兩直線(xiàn)始終垂直，可得，由基本不等式可得的最大值．
【詳解】
由題意可知，動(dòng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，
動(dòng)直線(xiàn)即，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，
∵過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)與過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)始終垂直，又是兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，
∴，∴．
故 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”)．
故選：C．
（多選題）4．（2022·江蘇·高二）下列說(shuō)法正確的是（???????）
A．直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)
B．直線(xiàn)在y軸上的截距為2
C．直線(xiàn)的傾斜角為60°
D．過(guò)點(diǎn)且平行于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為
【答案】AC
【解析】
【分析】
將直線(xiàn)方程化為，即可求出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，從而判斷A，令求出，即可判斷B，求出直線(xiàn)的斜率即可得到傾斜角，從而判斷C，根據(jù)兩直線(xiàn)平行斜率相等求出直線(xiàn)方程即可判斷D；
【詳解】
解：對(duì)于A，，即，
令，即，所以直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B，對(duì)于直線(xiàn)，令得，所以直線(xiàn)在軸上的截距為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，直線(xiàn)，即，所以斜率，其傾斜角為，故C正確；
對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)且平行于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為：，即，故D錯(cuò)誤，
故選：AC．
5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是______；若點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)PQ與直線(xiàn)l的夾角為時(shí)，m的值為_(kāi)_____．
【答案】???? ???? 或
【解析】
【分析】
直線(xiàn)l化為點(diǎn)斜式，看出所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，先求出直線(xiàn)PQ的傾斜角為45°，從而確定以直線(xiàn)l的傾斜角為30°或60°，求出m的值.
【詳解】
變形為，故過(guò)定點(diǎn)，
直線(xiàn)PQ：，即，直線(xiàn)PQ的斜率為1，傾斜角為45°，
所以直線(xiàn)l的傾斜角為30°或60°，所以或.
故答案為：，或
6．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模（文））已知直線(xiàn)，若直線(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)__________；若直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)第三象限，則k的取值范圍是___________.
【答案】???? 或；???? .
【解析】
【分析】
分別令和求出直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距，利用截距相等解方程求出的值；先分析過(guò)定點(diǎn)，然后根據(jù)條件結(jié)合圖示判斷出直線(xiàn)斜率滿(mǎn)足的不等式，由此求解出的取值范圍.
【詳解】
因?yàn)橹本€(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，所以，
在中，
令，得，令，得，
依題意可得，即，
解得或；
直線(xiàn)的方程可化為，所以，
所以，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，
所以，由直線(xiàn)可得：，
若不經(jīng)過(guò)第三象限，則，
故答案為：或；.
7．（2022·浙江溫州·二模）直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)_________，傾斜角的最小值是_________.
【答案】???? ；???? ##.
【解析】
【分析】
根據(jù)直線(xiàn)含參數(shù)且恒過(guò)定點(diǎn)，讓參數(shù)前面的系數(shù)為零即可，先求出斜率的取值范圍，進(jìn)而可求出直線(xiàn)的傾斜角的最小值.
【詳解】
直線(xiàn)可以化為恒定點(diǎn)，則.
直線(xiàn)可化為.
.
則傾斜角的最小值是.???????
故答案為：；.
8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)A，則過(guò)點(diǎn)A且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知得直線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn)，由兩直線(xiàn)垂直其方程間的關(guān)系設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)方程為，代入可求得答案.
【詳解】
解：因?yàn)?，所以?br /> 所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，即，
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A且與直線(xiàn)垂直，
所以設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)方程為，
所以，即，
所以所求直線(xiàn)方程為，
故答案為：.
9．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）對(duì)于任意m、，直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)方程恒成立可建立方程組，求解即可得出所過(guò)定點(diǎn).
【詳解】
由原方程可得對(duì)于任意m、成立，
由，解得，
故直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn).
故答案為：
10．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】
【分析】
化簡(jiǎn)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立方程組，即可求解.
【詳解】
由直線(xiàn)方程，可化簡(jiǎn)為，
又由，解得，
即直線(xiàn)恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn).
故答案為：.
11．（2022·安徽·高二開(kāi)學(xué)考試）直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
將直線(xiàn)方程化簡(jiǎn)為，進(jìn)而令即可解得答案.
【詳解】
把直線(xiàn)l的方程改寫(xiě)成：，
令，解得：，所以直線(xiàn)l總過(guò)定點(diǎn).
故答案為：（1,1）.
12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn).求證：
(1)無(wú)論取何值，直線(xiàn)l都經(jīng)過(guò)一個(gè)確定的點(diǎn)M；
(2)無(wú)論取何值，對(duì)于直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，向量均與向量垂直.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）將直線(xiàn)方程重新整理一番，把含參數(shù)的項(xiàng)結(jié)合在易求，其他項(xiàng)結(jié)合在一起，利用恒等式的原理即可判斷定點(diǎn)坐標(biāo)（2）要證，只需證即可
(1)
：，

，故
所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)
(2)
設(shè)，則
所以

因?yàn)?br /> 所以
所以
13．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)：，當(dāng)為何值時(shí)，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大.
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)與垂直時(shí)，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大，即可求出；
【詳解】
解：由，得，
聯(lián)立，解得，則直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；
由，得，
當(dāng)直線(xiàn)與垂直時(shí)，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大，最大值為，
因?yàn)?，所以，即?dāng)時(shí)原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大.

題型四：直線(xiàn)與坐標(biāo)軸形成三角形問(wèn)題
1．（2022·江蘇·高二）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)l，與兩坐標(biāo)軸相交所得三角形面積為4，則直線(xiàn)l有（???????）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】D
【解析】
【分析】
設(shè)直線(xiàn)的方程為，由直線(xiàn)過(guò)，得，再由三角形面積得，聯(lián)立求出方程組的解即可得．
【詳解】
由題意設(shè)直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)過(guò)，則，
直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為,
又，，
，，
時(shí)，，由，得或，
時(shí)，，由，得或，
所以直線(xiàn)共有4條．
故選：D．
2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知過(guò)定點(diǎn)作直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，這樣的直線(xiàn)有（???????）條
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
設(shè)直線(xiàn)的方程為，求出直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，由已知條件可得出關(guān)于的方程，判斷出方程根的個(gè)數(shù)，即可得解.
【詳解】
由題意可知，直線(xiàn)的斜率存在且不為零，設(shè)直線(xiàn)的方程為，即.
在直線(xiàn)的方程中，令，可得；令，可得.
所以，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).
由題意可得，即.
①當(dāng)時(shí)，可得，即，；
②當(dāng)時(shí)，可得，即，.
綜上所述，符合條件的直線(xiàn)有條.
故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題考查直線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
3．（2022·湖北·荊州中學(xué)高三期末）已知直線(xiàn)l的斜率為，且和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，則直線(xiàn)l的方程為_(kāi)__________.
【答案】或
【解析】
【分析】
設(shè)直線(xiàn)方程為，根據(jù)題設(shè)條件得到關(guān)于的方程組，解方程組后可得所求的直線(xiàn)方程.
【詳解】
設(shè)直線(xiàn)的方程為，則，且，
解得或者，
∴直線(xiàn)l的方程為或，即或.
故答案為：或.
4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)．若直線(xiàn)交軸負(fù)半軸于，交軸正半軸于，的面積為為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值并求此時(shí)直線(xiàn)的方程．
【答案】，直線(xiàn)的方程為．
【解析】
【分析】
求出、的坐標(biāo)，代入三角形的面積公式化簡(jiǎn)，再使用基本不等式求出面積的最小值，注意等號(hào)成立條件要檢驗(yàn)，求出面積最小時(shí)的值，從而得到直線(xiàn)方程．
【詳解】
解：直線(xiàn)：，當(dāng)時(shí)直線(xiàn)：，顯然不滿(mǎn)足題意，所以，令得，令得，即，．
依題意得，解得．
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以，此時(shí)直線(xiàn)的方程為．
5．（2022·吉林·長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二開(kāi)學(xué)考試）已知直線(xiàn).
(1)若直線(xiàn)不能過(guò)第三象限，求的取值范圍；
(2)若直線(xiàn)交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最小值及此時(shí)直線(xiàn)的方程．
【答案】(1)
(2)的最小值為，此時(shí)直線(xiàn)的方程為
【解析】
【分析】
（1）分、兩種情況討論，在時(shí)直接驗(yàn)證即可；在時(shí)，求出直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，求得，利用基本不等式結(jié)合三角形的面積公式可求得的最最小值，利用等號(hào)成立的條件可求得的值，即可得出直線(xiàn)的方程.
(1)
解：由，
當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，此時(shí)直線(xiàn)不過(guò)第三象限，合乎題意；
當(dāng)時(shí)，在直線(xiàn)的方程中，令，可得，
令，可得，
若直線(xiàn)不過(guò)第三象限，則，解得.
綜上所述，.
(2)
解：由（1）可知，，
又在軸負(fù)半軸，在軸正半軸，所以，，可得.
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，的最小值為，此時(shí)直線(xiàn)的方程.
6．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4, 1)，且與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積為8，求直線(xiàn)l的點(diǎn)斜式方程.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意設(shè)直線(xiàn)l的方程為，進(jìn)而得直線(xiàn)l與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)與，再結(jié)合面積解方程即可得，最后書(shū)寫(xiě)方程即可.
【詳解】
解：根據(jù)題意知直線(xiàn)l不垂直于x軸，其斜率存在且為負(fù)數(shù)，
故可設(shè)直線(xiàn)l的方程為.
在方程中，令，得；令，得.
故直線(xiàn)l與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)與.　
因?yàn)橹本€(xiàn)l與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積為8，
所以，即：，解得，
故直線(xiàn)l的點(diǎn)斜式方程為
7．（2022·湖北省武漢市青山區(qū)教育局高二期末）已知直線(xiàn)方程為．
(1)若直線(xiàn)的傾斜角為，求的值；
(2)若直線(xiàn)分別與軸、軸的負(fù)半軸交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)直線(xiàn)的方程．
【答案】(1)；
(2)面積的最小值為，此時(shí)直線(xiàn)的方程為.
【解析】
【分析】
（1）由直線(xiàn)的斜率和傾斜角的關(guān)系可求得的值；
（2）求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件求出的取值范圍，求出的面積關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可求得面積的最小值，利用等號(hào)成立的條件可求得的值，即可得出直線(xiàn)的方程.
(1)
解：由題意可得.
(2)
解：在直線(xiàn)的方程中，令可得，即點(diǎn)，
令可得，即點(diǎn)，
由已知可得，解得，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)直線(xiàn)的方程為，即.
8．（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市教育教學(xué)研究中心高一期末）已知一條動(dòng)直線(xiàn)，
(1)求證：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若直線(xiàn)與、軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在直線(xiàn)同時(shí)滿(mǎn)足下列條件：①的周長(zhǎng)為；②的面積為.若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)；
(2)存在，且直線(xiàn)方程為.
【解析】
【分析】
（1）將直線(xiàn)方程變形為，解方程組，可得定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，根據(jù)求出的值，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線(xiàn)的方程，可求出該直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得的周長(zhǎng)，即可得解.
(1)
證明：將直線(xiàn)方程變形為，
由，可得，
因此，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).
(2)
解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，若，則，
則、，直線(xiàn)的斜率為，
故直線(xiàn)的方程為，即，
此時(shí)直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，則，，，
此時(shí)的周長(zhǎng)為.
所以，存在直線(xiàn)滿(mǎn)足題意.
9．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)?分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線(xiàn)?的方程；
(2)當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，求直線(xiàn)?的方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
由題意設(shè)，，其中，為正數(shù)，可設(shè)直線(xiàn)的截距式為，代點(diǎn)可得，
（1）由基本不等式可得，由等號(hào)成立的條件可得和的值，由此得到直線(xiàn)方程，
（2），由基本不等式等號(hào)成立的條件可得直線(xiàn)的方程．
【詳解】
由題意設(shè)，，其中，為正數(shù)，可設(shè)直線(xiàn)的截距式為，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，
（1）由基本不等式可得，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即且時(shí)，上式取等號(hào)，
面積，則當(dāng)，時(shí)，面積最小，此時(shí)直線(xiàn)的方程為，即，
（2）由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即且時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)，時(shí)，的值最小，此時(shí)直線(xiàn)的方程為，即．
【點(diǎn)睛】
本題考查直線(xiàn)的截距式方程，涉及不等式求最值，屬于中檔題．
10．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與兩軸圍成的三角形面積為4，求直線(xiàn)的方程.
【答案】或
【解析】
【分析】
由題意知，直線(xiàn)的斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn).求出直線(xiàn)與軸、軸的交點(diǎn)，在根據(jù)面積公式計(jì)算得，即，再分類(lèi)討論計(jì)算可得；
【詳解】
解：由題意知，直線(xiàn)的斜率存在且不為0.設(shè)直線(xiàn).
設(shè)此直線(xiàn)與軸、軸的交點(diǎn)分別為，則點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
因此面積為，
即.
若，得，無(wú)解；
若，得.
解方程，得或.
所以，直線(xiàn)，即；
或直線(xiàn)，即.
【點(diǎn)睛】
本題考查點(diǎn)斜式求直線(xiàn)方程，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

題型五：由一般式方程判斷平行、垂直
1．（2022·遼寧大連·高二期末）直線(xiàn)l1：2x＋3y－2＝0，l2：2x＋3y＋2＝0的位置關(guān)系是（???????）
A．垂直 B．平行 C．相交 D．重合
【答案】B
【解析】
【分析】
先將直線(xiàn)方程化為斜截式，比較斜率和在軸的截距，得到答案.
【詳解】
由題，，則兩直線(xiàn)的斜率相等，在在軸的截距，
故兩條件直線(xiàn)的位置關(guān)系為平行.
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題考查了由兩直線(xiàn)方程的一般式判斷兩直線(xiàn)位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.
2．（2022·上?！じ裰轮袑W(xué)高二階段練習(xí)）直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則的值為（???????）
A． B．1 C． D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
利用直線(xiàn)的一般式方程判定直線(xiàn)垂直的條件進(jìn)行求解.
【詳解】
由題意，得，解得.
故選：B.
3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直，垂足為.則等于（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由兩直線(xiàn)垂直得，進(jìn)而根據(jù)垂足是兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)代入計(jì)算即可得答案.
【詳解】
由兩直線(xiàn)垂直得，解得，
所以原直線(xiàn)直線(xiàn)可寫(xiě)為，
又因?yàn)榇棺銥橥瑫r(shí)滿(mǎn)足兩直線(xiàn)方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故選:D
4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)相互垂直”的（???????）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】
直線(xiàn)與直線(xiàn)相互垂直得到，再利用充分必要條件的定義判斷得解.
【詳解】
因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)相互垂直，
所以，
所以.
所以時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)相互垂直，所以“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)相互垂直”的充分條件；
當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)相互垂直時(shí)，不一定成立，所以“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)相互垂直”的非必要條件.
所以“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)相互垂直”的充分非必要條件.
故選：A
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：充分必要條件的判定，常用的方法有：（1）定義法；（2）集合法；（3）轉(zhuǎn)化法. 要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.
5．（2022·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）若關(guān)于、的二元一次方程組無(wú)解，則實(shí)數(shù)________
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)方程組無(wú)解，得到直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，根據(jù)兩直線(xiàn)平行的充要條件，即可求出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)殛P(guān)于、的二元一次方程組無(wú)解，
所以直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，
所以，解得：.
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題主要考查由方程組無(wú)解求參數(shù)，熟記直線(xiàn)與直線(xiàn)平行的判定條件，靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想即可，屬于?？碱}型.
6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)l1：kx－y＋4＝0與直線(xiàn)l2：x＋ky－3＝0(k≠0)分別過(guò)定點(diǎn)A，B，又l1，l2相交于點(diǎn)M，則|MA|·|MB|的最大值為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由題意可知，直線(xiàn)l1：kx－y＋4＝0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0，4)，直線(xiàn)l2：x＋ky－3＝0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)B(3，0)，且兩直線(xiàn)垂直，所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25，然后利用基本不等式可求出|MA|·|MB|的最大值
【詳解】
由題意可知，直線(xiàn)l1：kx－y＋4＝0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0，4)，直線(xiàn)l2：x＋ky－3＝0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)B(3，0)，
注意到直線(xiàn)l1：kx－y＋4＝0和直線(xiàn)l2：x＋ky－3＝0始終垂直，點(diǎn)M又是兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，
則有MA⊥MB，所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25.
故|MA|·|MB|≤(當(dāng)且僅當(dāng)|MA|＝|MB|＝時(shí)取“＝”).
故答案為：
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查兩直線(xiàn)的位置關(guān)系，考查基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由直線(xiàn)方程得到兩直線(xiàn)垂直，從而有|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25，再利用基本不等式可求得答案，屬于中檔題
7．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列各組直線(xiàn)是否平行，并說(shuō)明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【答案】(1)平行，理由見(jiàn)解析；
(2)平行，理由見(jiàn)解析；
(3)不平行，理由見(jiàn)解析；
(4)平行，理由見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
根據(jù)直線(xiàn)的斜率、平行的判定及與數(shù)軸的位置關(guān)系，結(jié)合各直線(xiàn)與數(shù)軸的截距判斷兩直線(xiàn)是否平行即可.
(1)
由題設(shè)，、的斜率為，又，，即不重合，
所以、平行.
(2)
由題設(shè)，中、中，
所以，又，，即不重合，
所以、平行.
(3)
由題設(shè)，、的斜率，且，，即兩線(xiàn)重合，
所以、重合.
(4)
由題設(shè)，、均垂直于x軸，又，，故不重合，
所以、平行.
8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）方程在a取不同實(shí)數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)不同的直線(xiàn)，這些不同的直線(xiàn)的位置關(guān)系如何？在平面直角坐標(biāo)系中，分別作出時(shí)方程表示的直線(xiàn)．
【答案】這些不同的直線(xiàn)的位置關(guān)系為平行，圖像見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
依據(jù)兩直線(xiàn)平行判定充要條件即可解決.
【詳解】
a取不同實(shí)數(shù)時(shí)，方程對(duì)應(yīng)不同的直線(xiàn)，
這些不同的直線(xiàn)斜率相同，均為，y軸截距不同，為.
故這些不同的直線(xiàn)的位置關(guān)系為平行.
時(shí)方程表示的直線(xiàn)如下圖所示：

9．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)，直線(xiàn)，且，求m的值．
【答案】6或-1
【解析】
【分析】
根據(jù)直線(xiàn)垂直的充要條件，列出等式，求解，即可得出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)垂直，
所以，
即，解得或.
10．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列各組直線(xiàn)是否垂直，并說(shuō)明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【答案】(1)與垂直；
(2)與垂直；
(3)與不垂直；
(4)與不垂直.
【解析】
【分析】
（1）計(jì)算兩條直線(xiàn)的斜率乘積是否等于即可；
（2）計(jì)算兩條直線(xiàn)的斜率乘積是否等于即可；
（3）計(jì)算兩條直線(xiàn)的斜率乘積是否等于即可；
（4）根據(jù)方程可得與平行.
(1)
因?yàn)?，?br /> 所以直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，
因?yàn)?，所以與垂直，
(2)
因?yàn)椋?br /> 所以直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，
因?yàn)?，所以與垂直，
(3)
因?yàn)?，?br /> 所以直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，
因?yàn)?，所以與不垂直，
(4)
因?yàn)?，?br /> 所以與平行，不垂直.
11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列各對(duì)直線(xiàn)是否垂直：
(1)；
(2)．
【答案】(1)兩直線(xiàn)互相垂直.
(2)兩直線(xiàn)不互相垂直.
【解析】
【分析】
以?xún)芍本€(xiàn)垂直充要條件去判斷兩直線(xiàn)是否垂直即可解決.
(1)

，故兩直線(xiàn)互相垂直.
(2)

，故兩直線(xiàn)不互相垂直.

題型六：由兩條直線(xiàn)平行、垂直求直線(xiàn)方程
1．（2022·吉林白山·高二期末）與直線(xiàn)平行，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3）的直線(xiàn)的方程為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由直線(xiàn)平行及直線(xiàn)所過(guò)的點(diǎn)，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程即可.
【詳解】
與直線(xiàn)平行，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3）的直線(xiàn)的方程為，整理得．
故選：C
2．（2022·貴州·遵義四中高二期末）過(guò)點(diǎn)且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程是（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)所求直線(xiàn)垂直于直線(xiàn)，設(shè)其方程為，然后將點(diǎn)代入求解.
【詳解】
因?yàn)樗笾本€(xiàn)垂直于直線(xiàn)，
所以設(shè)其方程為，
又因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
所以，
解得
所以直線(xiàn)方程為：，
故選：A.
3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)該直線(xiàn)為，代入求出得出所求直線(xiàn)方程.
【詳解】
設(shè)該直線(xiàn)為，因?yàn)樵撝本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，解得
即所求直線(xiàn)為
故答案為：
4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若直線(xiàn)和直線(xiàn)重合，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)兩直線(xiàn)重合可直接構(gòu)造方程組求解.
【詳解】
直線(xiàn)可寫(xiě)為：，
兩條直線(xiàn)重合，，解得：.
故答案為：.
5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)A，則過(guò)點(diǎn)A且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知得直線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn)，由兩直線(xiàn)垂直其方程間的關(guān)系設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)方程為，代入可求得答案.
【詳解】
解：因?yàn)?，所以?br /> 所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，即，
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A且與直線(xiàn)垂直，
所以設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)方程為，
所以，即，
所以所求直線(xiàn)方程為，
故答案為：.
6．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）原點(diǎn)在直線(xiàn)l上的射影為，則直線(xiàn)l的方程為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)垂直求出斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式可求出結(jié)果.
【詳解】
原點(diǎn)與連線(xiàn)的斜率為：，
所以直線(xiàn)的斜率為，
所以直線(xiàn)的方程為：，即.
故答案為：
7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）將直線(xiàn)繞其與軸的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到直線(xiàn)
l，則直線(xiàn)l的方程為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】
求出點(diǎn)A，再由直線(xiàn)垂直得出斜率，點(diǎn)斜式即可求解.
【詳解】
直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，
由直線(xiàn)l與直線(xiàn)垂直，可得，
所以直線(xiàn)l的方程為，即.
故答案為：
8．（2022·江蘇·高二）已知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所構(gòu)成的三角形的面積為12，求直線(xiàn)的方程.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)直線(xiàn)的方程為，求出截距后可求面積，從而可求直線(xiàn)的方程.
【詳解】
設(shè)直線(xiàn)的方程為.
令，得；令，得.
由題設(shè)得.解得，因此直線(xiàn)的方程為.
9．（2022·陜西·銅川陽(yáng)光中學(xué)高一期末）已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
(1)若點(diǎn)在直線(xiàn)上，求直線(xiàn)的方程；
(2)若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，求直線(xiàn)的方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用兩點(diǎn)式求得直線(xiàn)的方程.
（2）利用點(diǎn)斜式求得直線(xiàn)的方程.
(1)
∵直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)在直線(xiàn)上，
∴由兩點(diǎn)式方程得，即，
∴直線(xiàn)的方程為．
(2)
若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則直線(xiàn)的斜率為，
∵直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴直線(xiàn)的方程為，即．
10．（2022·陜西西安·高一期末）已知直線(xiàn)，點(diǎn).
(1)求過(guò)點(diǎn)且與平行的直線(xiàn)的方程；
(2)求過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線(xiàn)的方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由于直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，所以直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率相等，所以利用點(diǎn)斜式可求出直線(xiàn)方程，
（2）由于直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，所以直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率乘積等于，從而可求出直線(xiàn)的斜率，再利用點(diǎn)斜式可求出直線(xiàn)方程，
(1)
已知直線(xiàn)的斜率為，
設(shè)直線(xiàn)的斜率為，
∵與平行，
∴，
∴直線(xiàn)的方程為，
即直線(xiàn)的方程為，
(2)
已知直線(xiàn)的斜率為，
設(shè)直線(xiàn)的斜率為，
∵與垂直，
∴，
∴，
∴直線(xiàn)的方程為，
即直線(xiàn)的方程為.
11．（2022·江蘇揚(yáng)州·高二開(kāi)學(xué)考試）已知直線(xiàn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn).
(1)若，求直線(xiàn)的方程；
(2)若，求直線(xiàn)的方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）依據(jù)兩直線(xiàn)平行充要條件即可解決；
（2）依據(jù)兩直線(xiàn)垂直充要條件即可解決.
(1)
因?yàn)?，且，所以直線(xiàn)的斜率為，
又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
所以直線(xiàn)的方程為，即.
(2)
因?yàn)?，且?br /> 所以直線(xiàn)的斜率為，又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
所以直線(xiàn)的方程為，即.
12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）分別求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行、垂直的直線(xiàn)的一般式方程．
【答案】平行的直線(xiàn)方程為，垂直的直線(xiàn)方程為；
【解析】
【分析】
根據(jù)平行直線(xiàn)系方程與垂直直線(xiàn)系方程設(shè)出直線(xiàn)方程，再代入點(diǎn)，即可求出參數(shù)的值，從而得解；
【詳解】
解：依題意設(shè)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程為，又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以；
設(shè)與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程為，又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以；
故過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程為，垂直的直線(xiàn)方程為；
13．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)不在直線(xiàn)上，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且它的斜率與直線(xiàn)的斜率相等，證明：直線(xiàn)的方程可以寫(xiě)成．
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
設(shè)點(diǎn)是直線(xiàn)上除點(diǎn)的任意一點(diǎn)，化簡(jiǎn)即得證.
【詳解】
證明：由題得直線(xiàn)的斜率為.
設(shè)點(diǎn)是直線(xiàn)上除點(diǎn)的任意一點(diǎn)，所以，
化簡(jiǎn)得.
顯然點(diǎn)也滿(mǎn)足此方程，
所以直線(xiàn)的方程可以寫(xiě)成.
故得證.
14．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）分別求滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)的方程：
(1)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)平行；
(2)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)垂直；
(3)過(guò)點(diǎn)，且與x軸垂直；
(4)過(guò)點(diǎn)，且平行于過(guò)兩點(diǎn)和的直線(xiàn)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）由題意設(shè)直線(xiàn)方程為，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求出，從而可得直線(xiàn)方程，
（2）由題意設(shè)直線(xiàn)方程為，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求出，從而可得直線(xiàn)方程，
（3）由于直線(xiàn)垂直于x軸，所以斜率不存在，直接寫(xiě)直線(xiàn)方程，
（4）由題意求出直線(xiàn)的斜率，再由點(diǎn)斜式可求得直線(xiàn)方程
(1)
由題意設(shè)直線(xiàn)方程為，
因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
所以，得，
所以所求直線(xiàn)方程為
(2)
由題意設(shè)直線(xiàn)方程為，
因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
所以，得，
所以所求直線(xiàn)方程為
(3)
因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與x軸垂直，
所以所求直線(xiàn)方程為
(4)
由題意可知所求直線(xiàn)的斜率為，
所以直線(xiàn)方程為，即

題型七：直線(xiàn)方程的綜合問(wèn)題
1．（2022·江蘇·高二）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)相交于點(diǎn)不重合），則面積的最大值是（???????）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由題意結(jié)合直線(xiàn)位置關(guān)系的判斷可得兩直線(xiàn)互相垂直，由直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)可得定點(diǎn)與定點(diǎn)，進(jìn)而可得，再利用基本不等式及三角形面積公式即得．
【詳解】
由題意直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，
直線(xiàn)可變?yōu)?，所以該直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，
所以，
又，
所以直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直，
所以，
所以即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),
所以，，即面積的最大值是.
故選：D.
2．（2022·湖南·益陽(yáng)平高學(xué)校高二期中）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)交于點(diǎn)，則的最大值（???????）
A． B． C．3 D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)動(dòng)直線(xiàn)方程求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷兩動(dòng)直線(xiàn)互相垂直，進(jìn)而可得，最后由基本不等式即可求解.
【詳解】
解：由題意，動(dòng)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，
直線(xiàn)可化為，令，可得，
又，所以?xún)蓜?dòng)直線(xiàn)互相垂直，且交點(diǎn)為，
所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
故選：D.
3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)l分別與x，y軸正半軸交于點(diǎn)A，B.
(1)若是等腰直角三角形，求直線(xiàn)l的方程；
(2)對(duì)于①最小，②面積最小，若選擇___________作為條件，求直線(xiàn)l的方程.
【答案】(1)
(2)選①：；選②：.
【解析】
【分析】
（1）由題意，求出直線(xiàn)l的傾斜角為，進(jìn)而可得直線(xiàn)l的斜率，最后利用點(diǎn)斜式即可寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程；
（2）設(shè)，，直線(xiàn)的方程為，把點(diǎn)代入可得，若選①：，由基本不等式等號(hào)成立的條件，即可求得直線(xiàn)l的方程；若選②：，由基本不等式等號(hào)成立的條件，即可求得直線(xiàn)l的方程．
(1)
解：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)l分別與x，y軸正半軸交于點(diǎn)A、B，且是等腰直角三角形，
所以直線(xiàn)l的傾斜角為，
所以直線(xiàn)l的斜率為，
所以直線(xiàn)l的方程為，即；
(2)
解：設(shè)，，直線(xiàn)l的方程為，代入點(diǎn)可得，
若選①：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)直線(xiàn)l的斜率，
所以直線(xiàn)l的方程為，即；
若選②：由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，即面積最小為4，
此時(shí)直線(xiàn)l的斜率，
所以直線(xiàn)l的方程為，即.
4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為，邊上的高所在直線(xiàn)的方程為.分別求，邊所在直線(xiàn)的方程.
【答案】邊所在直線(xiàn)方程為，邊所在直線(xiàn)方程為.
【解析】
【分析】
由邊上的高所在直線(xiàn)的方程可求得直線(xiàn)的斜率，又直線(xiàn)AC過(guò)點(diǎn)，從而根據(jù)點(diǎn)斜式即可求解邊所在直線(xiàn)方程；由是中線(xiàn)所在直線(xiàn)方程，設(shè)中點(diǎn)，則，根據(jù)點(diǎn)B在直線(xiàn)上，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，從而即可求解邊所在直線(xiàn)的方程.
【詳解】
解：因?yàn)檫吷系母咚谥本€(xiàn)的方程為，所以邊上的高所在直線(xiàn)的斜率為，
所以，又直線(xiàn)AC過(guò)點(diǎn)，
所以邊所在直線(xiàn)方程為，即；
因?yàn)槭侵芯€(xiàn)所在直線(xiàn)方程，
所以設(shè)中點(diǎn)，則，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)B在直線(xiàn)上，
所以，解得，
所以，
因?yàn)樗诘闹本€(xiàn)的斜率為，
所以邊所在直線(xiàn)方程為，即.
5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若兩條相交直線(xiàn)，的傾斜角分別為，，斜率均存在，分別為，，且，若，滿(mǎn)足______（從①；②兩個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答），求：
(1)，滿(mǎn)足的關(guān)系式；
(2)若，交點(diǎn)坐標(biāo)為，同時(shí)過(guò)，過(guò)，在（1）的條件下，求出，滿(mǎn)足的關(guān)系；
(3)在（2）的條件下，若直線(xiàn)上的一點(diǎn)向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，仍在該直線(xiàn)上，求實(shí)數(shù)，的值．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)答案見(jiàn)解析
(3)答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）依題意，，若選①利用誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；若選②根據(jù)兩直線(xiàn)垂直的充要條件得解；
（2）首先表示出直線(xiàn)、，再將點(diǎn)代入方程，再結(jié)合（1）的結(jié)論計(jì)算可得；
（3）按照函數(shù)的平移變換規(guī)則將直線(xiàn)進(jìn)行平移變換，即可求出，從而求出直線(xiàn)的方程，即可求出，再根據(jù)（1）求出直線(xiàn)的方程，即可求出的值；
(1)
解：依題意，，且，均不為或，
若選①，則，則，即；
若選②，則
(2)
解：依題意直線(xiàn)：，直線(xiàn)：，
又過(guò)，所以且，即且，又過(guò)，所以且，即且；
若選①，則，所以，即且、；
若選②，則，所以，即且、；
(3)
解：直線(xiàn)：，將直線(xiàn)向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到，
即，所以，解得，此時(shí)直線(xiàn)：，所以，解得；
若選①，則，此時(shí)直線(xiàn)：，所以，解得；
若選②，則，此時(shí)直線(xiàn)：，所以，解得；
6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，.

(1)求平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)求邊AB的高所在直線(xiàn)方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得正確答案.
（2）結(jié)合點(diǎn)斜式求得求邊AB的高所在直線(xiàn)方程.
(1)
的頂點(diǎn)，，，則對(duì)角線(xiàn)AC中點(diǎn)為.
于是得對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)是，設(shè)，因此有，，
解得：.
所以平行四邊形ABCD的頂點(diǎn).
(2)
依題意，直線(xiàn)AB的斜率，
則邊AB上的高所在直線(xiàn)的斜率為，于是有：，
即.
所以邊AB上的高所在直線(xiàn)的方程為.
7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD分別在x軸和y軸上，且，，求菱形ABCD四邊所在直線(xiàn)的方程．
【答案】答案見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
作出圖象，根據(jù)菱形性質(zhì)可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式求出直線(xiàn)方程即可.
【詳解】
如圖，

由菱形在坐標(biāo)系中的位置及性質(zhì)得,
, ,
，,,
即菱形ABCD 四邊所在直線(xiàn)的方程分別為,

8．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)l:＋＝1.
(1)如果直線(xiàn)l的斜率為2，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)如果直線(xiàn)l與兩坐標(biāo)軸的正半軸相交，求與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積最大時(shí)直線(xiàn)l的方程．
【答案】(1)m＝4；
(2)x＋y－1＝0.
【解析】
【分析】
（1）解方程＝2即得解；
（2）解不等式組得到的取值范圍，再求出S＝－(m－1)2＋，利用二次函數(shù)求解.
(1)
解：直線(xiàn)l的方程可化為y＝x＋m，所以＝2，解得m＝4.
(2)
解：直線(xiàn)l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(2－m，0)， (0，m)．
據(jù)題意知解得0

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