第07講空間向量的應(yīng)用-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（人教A版2019）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第07講空間向量的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：直線的方向向量和平面的法向量 1.直線的方向向量：點(diǎn)A是直線l上的一個(gè)點(diǎn)，是直線l的方向向量，在直線l上取，取定空間中的任意一點(diǎn)O，則點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使或，這就是空間直線的向量表達(dá)式. 知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?（1）在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．（2）在解具體立體幾何題時(shí)，直線的方向向量一般不再敘述而直接應(yīng)用，可以參與向量運(yùn)算或向量的坐標(biāo)運(yùn)算． 2.平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量，那么過(guò)點(diǎn)A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合. 知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)阂粋€(gè)平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時(shí)，可適當(dāng)取平面的一個(gè)法向量．已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個(gè)法向量． 3.平面的法向量確定通常有兩種方法：（1）幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；（2）幾何體中沒(méi)有具體的直線，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：（i）設(shè)出平面的法向量為；（ii）找出（求出）平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)，；（iii）根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x、y、z的方程；（iv）解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量．由于一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè)，故可在代入方程組的解中取一個(gè)最簡(jiǎn)單的作為平面的法向量．知識(shí)點(diǎn)二：用向量方法判定空間中的平行關(guān)系空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．（1）線線平行設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．（2）線面平行線面平行的判定方法一般有三種： ①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即． ②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個(gè)平面平行，可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量． ③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個(gè)平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可．（3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可． ②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．知識(shí)點(diǎn)三、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．（1）線線垂直設(shè)直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．（2）線面垂直 ①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明． ②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．（3）面面垂直 ①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直． ②證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．知識(shí)點(diǎn)四、用向量方法求空間角（1）求異面直線所成的角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為，則．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)簝僧惷嬷本€所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過(guò)這兩直線的方向向量的夾角來(lái)求得，但二者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角．（2）求直線和平面所成的角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．（3）求二面角如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，. 若分別為面的法向量，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個(gè)面的法向量的夾角或夾角的補(bǔ)角． ①當(dāng)法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于的夾角的大小． ②當(dāng)法向量的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于的夾角的補(bǔ)角的大?。?知識(shí)點(diǎn)五、用向量方法求空間距離 1.求點(diǎn)面距的一般步驟： ①求出該平面的一個(gè)法向量； ②找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量； ③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離．即：點(diǎn)A到平面的距離，其中，是平面的法向量． 2.線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解．直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量． 3. 點(diǎn)線距設(shè)直線l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點(diǎn)P到直線l的距離 . 【題型歸納目錄】題型一：求平面的法向量題型二：利用向量研究平行問(wèn)題題型三：利用向量研究垂直問(wèn)題題型四：異面直線所成的角題型五：線面角題型六：二面角題型七：距離問(wèn)題【典型例題】題型一：求平面的法向量 1．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列向量中，能作為平面的法向量的是（???????）． A．（1，，4） B．（，1，） C．（2，，1） D．（1，2，） 2．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)空間三點(diǎn)，，的平面的一個(gè)法向量是（???????） A． B． C． D． 3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若是平面的一個(gè)法向量，則下列向量中能作為平面的法向量的是( ) A．??????????B．??????????C．??????????D． 4．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處高二期中）已知平面，寫(xiě)出平面的一個(gè)法向量______． 5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知三點(diǎn)、、，則平面的法向量可以是______．（寫(xiě)出一個(gè)即可） 6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體，分別寫(xiě)出對(duì)角面和平面的一個(gè)法向量． 7．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求下列平面的一個(gè)法向量： (1)平面ABCD； (2)平面； (3)平面． 8．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知平面內(nèi)有，，三點(diǎn)，求平面的法向量． 9．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，，求平面ABC的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，并在坐標(biāo)平面中作出該向量． 10．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，求平面的一個(gè)單位法向量的坐標(biāo). 題型二：利用向量研究平行問(wèn)題 1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（???????） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 2．（2022·廣東·廣州奧林匹克中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（???????） A．// B． C．//平面 D．平面 3．（2022·四川成都·高二期中（理））若直線l的方向向量，平面的法向量，則（???????） A． B． C． D．或 4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為，、分別為和上的點(diǎn)，，則與平面的位置關(guān)系是______． 5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，P、Q是正方體表面上相異兩點(diǎn)．若P、Q均在平面上，滿足，． (1)判斷PQ與BD的位置關(guān)系； (2)求的最小值． 6．（2022·福建寧德·高二期中）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點(diǎn)M在棱PD上，點(diǎn)N為BC中點(diǎn). (1)若，證明：直線平面PAB： (2)線段PD上是否存在點(diǎn)M，使NM與平面PCD所成角的正弦值為？若存在求出值；若不存在，說(shuō)明理由 7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體中，棱長(zhǎng)為2a，M是棱的中點(diǎn).求證：平面. 8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體中，、分別為、的中點(diǎn)． (1)用向量法證明平面平面； (2)用向量法證明平面． 9．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)S、P在棱、上，且，，點(diǎn)R、Q分別為AB、的中點(diǎn)．求證：直線直線． 10．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正方形和正方形的中心．求證： (1)平面； (2)平面； (3)平面平面． 11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是該正方體六個(gè)面的中心，求證：平面平面HMN． 12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體中，M與N分別是棱與對(duì)角線的中點(diǎn)．求證：，并且．題型三：利用向量研究垂直問(wèn)題 1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））在直三棱柱中，底面是以B為直角項(xiàng)點(diǎn)，邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，若在棱上有唯一的一點(diǎn)E使得，那么（???????） A．1 B．2 C． D． 2．（2022·江蘇·徐州市王杰中學(xué)高二階段練習(xí)）已知平面的法向量為，若直線平面，則直線的方向向量可以為（???????）. A．（8，6，4） B． C． D． 3．（2022·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)高二期末（理））平面的法向量為，平面的法向量為，則下列命題正確的是（???????） A．，平行 B．，垂直 C．，重合 D．，相交不垂直 4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度是___________. 5．（2022·湖南·高三階段練習(xí)）若直線的方向向量，平面的法向量，且直線平面，則實(shí)數(shù)的值是______. 6．（2022·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高二期末（理））設(shè)分別是平面的法向量，若，則實(shí)數(shù)的值是________． 7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E?F分別是棱AB?BC上的動(dòng)點(diǎn)，且. (1)求證：； (2)若?E?F?四點(diǎn)共面，求證：. 8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知長(zhǎng)方體中，，判斷滿足下列條件的點(diǎn)M，N是否存在：. 9．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，O是AC與BD的交點(diǎn)，M是的中點(diǎn)．求證：平面MBD． 10．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，，、分別、的中點(diǎn). （1）求證：平面；（2）求證：平面. 11．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，試確定E點(diǎn)的位置． 12．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正三棱錐中，是高上一點(diǎn)，，直線與底面所成角的正切值為. （1）求證：平面；（2）求三棱錐外接球的體積. 13．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，，平面，且，平面與平面的交線為. （1）求證：；（2）試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并求點(diǎn)在平面上的射影的坐標(biāo). 題型四：異面直線所成的角 1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））將正方形沿對(duì)角線折起，使得平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為（???????） A． B． C． D． 2．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）已知直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，為的中點(diǎn)，則與所成角的正弦值為（???????） A． B． C． D． 3．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)（理））在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（???????） A． B． C． D． 4．（2022·河南安陽(yáng)·高一階段練習(xí)）已知在四棱柱中，底面為正方形，側(cè)棱底面.若，，是線段的中點(diǎn)，，則異面直線與所成角的余弦值為（???????） A． B． C． D． 5．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)（理））在矩形ABCD中，O為BD中點(diǎn)且，將平面ABD沿對(duì)角線BD翻折至二面角為90°，則直線AO與CD所成角余弦值為（???????） A． B． C． D． 6．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，是棱長(zhǎng)為的正方體，、分別是下底面的棱、的中點(diǎn)，是上底面的棱上的一點(diǎn)，，過(guò)、、的平面交上底面于，在上，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)__________． 7．（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）如圖，四棱雉的底面為直角梯形，∥，，，，平面． (1)求異面直線與所成的角的余弦值； (2)求出點(diǎn)A在平面上的投影M的坐標(biāo)． 8．（2022·天津·一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平而ABCD，E為CD的中點(diǎn)，M在AB上，且 (1)求證：EM∥平面PAD； (2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值； (3)點(diǎn)F是線段PD上異于兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若滿足異面直線EF與AC所成角為45°，求AF的長(zhǎng). 9．（2022·江蘇常州·高二期中）如圖，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，是線段的中點(diǎn). (1)求證：平面； (2)試在線段上確定一點(diǎn)，使與所成角是60°. 10．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，直三棱柱中，底面邊長(zhǎng)為. (1)若側(cè)棱長(zhǎng)為1，求證：； (2)若與所成角的大小為，求側(cè)棱的長(zhǎng). 題型五：線面角 1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））在四棱錐中，底面． (1)證明：； (2)求PD與平面所成的角的正弦值． 2．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，三棱臺(tái)中，，，． (1)證明：； (2)求直線與平面所成的角． 3．（2022·北京市十一學(xué)校高三階段練習(xí)）圖1是直角梯形，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，并且，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2. (1)求證：平面平面； (2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值. 4．（2022·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，是斜邊為的等腰直角三角形． (1)若時(shí)，求證：平面平面； (2)若時(shí)，求直線與平面所成的角的正弦值． 5．（2022·北京市第十二中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面是梯形，點(diǎn)E在上，． (1)求證：平面平面； (2)求直線與平面所成的角的正弦值． 6．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)． (1)證明：； (2)求直線與平面所成角的正弦值． 7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)． (1)求證：平面； (2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分． 8．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)． (1)求證：平面； (2)求直線與平面所成角的正弦值． 9．（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，且，平面ABCD，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱PC上一點(diǎn)． (1)求證：平面平面PAD； (2)若G為PD的中點(diǎn)，，是否存在點(diǎn)F，使得直線EG與平面AEF所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 10．（2022·吉林·三模（理））如圖，四棱柱中，平面平面，底面為菱形，與交于點(diǎn)O，． (1)求證：平面； (2)線段上是否存在點(diǎn)F，使得與平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由．題型六：二面角 1．（2022·廣東·廣州奧林匹克中學(xué)高二階段練習(xí)）在四棱錐中，底面為直角梯形，，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，. (1)證明：平面平面； (2)若與所成角為，求平面和平面所成角的余弦值. 2．（2022·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形為菱形，，將沿折起，得到三棱錐，點(diǎn)M，N分別為和的重心． (1)證明：∥平面； (2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值． 3．（2022·青海玉樹(shù)·高三階段練習(xí)（理））如圖，在多面體ABCDFE中，平面平面ABEF，四邊形ABCD是矩形，四邊形ABEF為等腰梯形，且，，． (1)求證：； (2)求二面角的余弦值． 4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在四棱錐中，，，，，，平面平面. (1)證明：平面； (2)求二面角的余弦值. 5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為． (1)求A到平面的距離； (2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值． 6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，等腰直角△ACD的斜邊AC為直角△ABC的直角邊，E是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC上．將三角形ACD沿AC翻折，分別連接DE，DF，EF，使得平面平面ABC．已知，， (1)證明：平面ABD； (2)若，求二面角的余弦值． 7．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，在平面的投影為邊的中點(diǎn)..，，，，． (1)求證：平面； (2)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值． 8．（2022·河南·開(kāi)封市東信學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在三棱錐中，D，E分別為的中點(diǎn)，且平面． (1)證明：； (2)若，求銳二面角的大小． 9．（2022·山東聊城·三模）已知四邊形ABCD為平行四邊形，E為CD的中點(diǎn)，AB=4，為等邊三角形，將三角形ADE沿AE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面平面ABCE. (1)求證：； (2)試判斷在線段PB上是否存在點(diǎn)F，使得平面AEF與平面AEP的夾角為45°.若存在，試確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 10．（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，CDAB，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4，側(cè)面PAD平面ABCD，PA=PD=2，E為PA中點(diǎn). (1)求證：ED平面PBC； (2)已知平面PAD與平面PBC的交線為，在上是否存在點(diǎn)N，使二面角P-DC-N的余弦值為？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)N位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 題型七：距離問(wèn)題 1．（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知平面的法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（???????） A． B． C． D． 2．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）長(zhǎng)方體中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與之間的距離是（???????） A． B． C． D． 3．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處高二期中）將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____． 4．（2022·江西南昌·高二期中（理））如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，點(diǎn)Р到直線的距離的最小值為_(kāi)______. 5．（2022·福建·廈門(mén)一中高二階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則到直線的距離為_(kāi)_________． 6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，多面體是由長(zhǎng)方體一分為二得到的，，，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，則異面直線與的距離是______． 7．（2022·全國(guó)·高二期末）如圖，在正方體中，AB＝1，M，N分別是棱AB，的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，則異面直線，EN間的距離為_(kāi)_____. 8．（2022·浙江·杭州市富陽(yáng)區(qū)第二中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，正四棱錐的棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別為直線AB，CE上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值為_(kāi)_____． 9．（2022·江蘇·南京師大附中高二期末）在矩形ABCD中，，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折起到△PBE位置（如圖），點(diǎn)F是線段CP的中點(diǎn)． (1)求證：DF∥平面PBE： (2)若二面角的大小為，求點(diǎn)A到平面PCD的距離． 10．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，是正四棱錐，是正方體，其中，． (1)求該幾何體的表面積； (2)求點(diǎn)到平面PAD的距離． 11．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，M，N，E，F(xiàn)分別為，，，的中點(diǎn)，棱長(zhǎng)為4，求平面MNA與平面EFBD之間的距離． 12．（2022·全國(guó)·高二）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點(diǎn)． (1)求證：平面平面EFG； (2)求平面與平面EFG間的距離． 13．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）正方體的棱長(zhǎng)為1，E?F分別為?CD的中點(diǎn)，求點(diǎn)F到平面的距離. 14．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，為與的交點(diǎn). (1)若點(diǎn)到平面的距離為，求正四棱柱的高； (2)在（1）的條件下，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離.

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