經(jīng)歷探索垂徑定理的推論的過程，掌握垂徑定理的推論．學(xué)會運用垂徑定理的推論解決有關(guān)弦、弧、弦心距以及半徑之間的證明和計算問題．
我國歷史上著名的趙州橋建于隋大業(yè)(公元605~618)年間，橋長64.40m，是現(xiàn)存世界上跨徑最大、建造最早的單孔敞肩型石拱橋.你知道怎樣確定橋拱圓弧的半徑嗎？
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.
反過來，平分弦的直徑一定垂直于這條弦嗎？平分弧的直徑一定垂直于弧所對的弦嗎？
請在白紙上畫一個以點O為圓心， OA為半徑的圓，在⊙O上任意畫出一條弦CD (不是直徑).
①找到弦CD的中點E；②過點E作⊙O的直徑MN；③測量∠MED的度數(shù).
∠MED=90°，即MN⊥CD.
當(dāng)弦CD是直徑時，平分弦的直徑不一定垂直于這條弦.
平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧.
你能對垂徑定理的推論1進(jìn)行證明嗎？
請在白紙上畫一個以點O為圓心， OA為半徑的圓，在⊙O上任意找出一段弧CD，連結(jié)CD.
①找到弧CD的中點E；②過點E作⊙O的直徑EF，交弦CD于點P；③測量∠FPD的度數(shù).
∠FPD=90°，即EF⊥CD.
平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦.
你能對垂徑定理的推論2進(jìn)行證明嗎？
所以點A與點B重合，即A，B關(guān)于直線CD對稱，所以CD垂直平分弦AB，這就證明了推論2.
比較垂徑定理、推論1、推論2的條件和結(jié)論，你發(fā)現(xiàn)了什么？
垂徑定理及其推論可以看成由五個事項構(gòu)成：①兩條弦互相垂直； ②一條弦經(jīng)過圓心；③一條弦(不是直徑)被平分； ④平分弦所對的一條??；⑤平分弦所對的另一條弧.這五個事項中，已知其中任意兩個，必然能推出其余的三個.
已知趙州橋的跨徑(橋拱圓弧所對的弦的長)為37.02m，拱高(橋拱圓弧的中點到弦的距離)為7.23m，求趙州橋的橋拱圓弧的半徑(精確到0.1m)．
垂徑定理推論的實際應(yīng)用
如圖，武漢晴川橋可以近似地看成半徑為250 m的圓弧，橋拱和路面之間用數(shù)根鋼索垂直相連，橋拱正下方的路面AB長度為300 m，那么這些鋼索中最長的一根為(　　)A．50 m B．45 m C．40 m D．60 m
解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.
某一條公路隧道的形狀如圖所示，半圓拱的圓心距離地面2m，半徑為1.5m.一輛高3m，寬2.3m的集裝箱卡車能順利通過這個隧道嗎？如果要使高度不超過4m，寬為2.3m的大貨車也能順利通過這個隧道，且不改變圓心到地面的距離，半圓拱的半徑至少為多少米？
下列命題中，正確的是(　　)A．過弦的中點的直線平分弦所對的弧B．過弦中點的直線必經(jīng)過圓心C．弦所對的兩條弧的中點的連線垂直平分弦D．弦的垂線平分弦所對的弧
【2023·金華一?！咳鐖D是以點O為圓心的圓的一部分，M是⊙O中弦CD的中點，連結(jié)MO，并延長交⊙O于點E，若CD＝6，ME＝9，則⊙O的半徑為(　　)A．8 B．7 C．6 D．5
如圖，武漢晴川橋可以近似地看成半徑為250 m的圓弧，橋拱和路面之間用數(shù)根鋼索垂直相連，橋拱正下方的路面AB長度為300 m，那么這些鋼索中最長的一根為(　　)A．50 m B．45 m C．40 m D．60 m

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3.3 垂徑定理

版本： 浙教版

年級： 九年級上冊

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