解題大招一 完全平方式概念的分類討論的解法
完全平方式的特點：首末兩項是兩個數(shù)(或式子)的平方且符號相同，中間項是這兩個數(shù)(或式子)的積的2倍，所以根據(jù)中間項的符號可以是“＋”號，也可以是“－”號分類討論即可．
例1 若關(guān)于x的多項式9x2－kxy＋4y2是一個完全平方式，則常數(shù)k的值為±12.
解析：因為9x2＝(3x)2，4y2＝(2y)2，
所以－kxy＝±2×3x×2y＝±12xy，所以k＝±12.
解題大招二 利用完全平方公式分解因式
例2 分解因式：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2.
分析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一個因式x2－8x＋16用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.
解題大招三 利用因式分解進行簡便運算
要將計算的式子“湊”成完全平方式，再利用完全平方公式轉(zhuǎn)化為(a±b)2的形式后計算即可．
例3 利用因式分解計算：
(1)342＋34×32＋162; (2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
解：(1)342＋34×32＋162＝342＋2×34×16＋162＝(34＋16)2＝502＝2 500；
(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝(－10)2＝100.
解題大招四 利用完全平方公式分解因式再整體代入求值
先對原式進行變形，將原式轉(zhuǎn)化為含已知式子的形式，然后整體代入計算．
例4 已知a＋b＝5，ab＝6，求eq \f(1,2)a3b＋a2b2＋eq \f(1,2)ab3的值．
分析：將eq \f(1,2)a3b＋a2b2＋eq \f(1,2)ab3分解為eq \f(1,2)ab與(a＋b)2的乘積，再運用整體代入的數(shù)學(xué)思想來解答．
解：eq \f(1,2)a3b＋a2b2＋eq \f(1,2)ab3＝eq \f(1,2)ab(a2＋2ab＋b2)＝eq \f(1,2)ab(a＋b)2.當(dāng)a＋b＝5，ab＝6時，原式＝eq \f(1,2)×6×52＝75.
培優(yōu)點一 利用因式分解判斷三角形的形狀
通過配方將原式轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)的和的形式，然后利用非負(fù)性解答，這是解決此類問題一般的思路．
例1 已知a，b，c分別是△ABC三邊的長，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，請判斷△ABC的形狀，并說明理由．
分析：首先利用完全平方公式分組進行因式分解，進一步分析探討三邊關(guān)系得出結(jié)論即可．
解：△ABC是等邊三角形，理由如下：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，所以a－b＝0，b－c＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC是等邊三角形．
培優(yōu)點二 十字相乘法分解因式
例2 【閱讀與思考】將多項式x2－x－6分解因式．
這個多項式的常數(shù)項－6＝2×(－3)，一次項系數(shù)－1＝2＋(－3)，這個過程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；然后分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；再交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項系數(shù)，如圖所示．這種分解二次三項式的方法叫做“十字相乘法”．
因此，x2－x－6＝(x＋2)(x－3)．
試用上述方法分解因式：x2＋7x－18.
分析：
解：7＝－2＋9，－18＝－2×9，則x2＋7x－18＝(x－2)(x＋9)．
教學(xué)目標(biāo)
課題
14.3.2 第2課時 利用完全平方公式分解因式
授課人
素養(yǎng)目標(biāo)
1.理解完全平方公式進行因式分解的意義，掌握公式的特點.
2.能用完全平方公式進行因式分解，發(fā)展學(xué)生的運算能力和推理能力.
3.經(jīng)歷探索利用完全平方公式進行因式分解的推導(dǎo)過程，發(fā)展學(xué)生的逆向思維，感受數(shù)學(xué)知識的完整性.
教學(xué)重點
利用完全平方公式分解因式．
教學(xué)難點
靈活應(yīng)用公式法分解因式.
教學(xué)活動
教學(xué)步驟
師生活動
活動一：復(fù)習(xí)導(dǎo)入，引出新課
設(shè)計意圖
通過復(fù)習(xí)前面所學(xué)的利用平方差公式分解因式，引出不能用此法分解的式子，激發(fā)學(xué)生的好奇心和探索欲，從而引出新課.
【復(fù)習(xí)導(dǎo)入】
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了利用平方差公式分解因式，同學(xué)們能用所學(xué)的知識完成下面的題目嗎？
分解因式：(1)－9x2＋4y2；(2)(x＋3y)2－(x－3y)2；
(3)eq \f(9,49)x2－0.01y2；(4)81a4－16.
那我們再來看兩個題.
(1)m2－8mn＋16n2； (2)m2＋8mn＋16n2.
大家試一試！看看用前面所學(xué)的方法能將它們分解因式嗎？
我們發(fā)現(xiàn)不能，那怎么才能將它們分解因式呢？這就是我們今天這節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容！
【教學(xué)建議】
對于練習(xí)部分，先讓學(xué)生獨立演算，之后與同桌互相訂正，教師最后集體訂正．并強調(diào)分解因式需要分解到不能分解為止.
活動二：實踐探究，獲取新知
設(shè)計意圖
根據(jù)前面學(xué)習(xí)利用平方差公式分解因式的經(jīng)驗，慢慢構(gòu)建利用完全平方公式分解因式的新知，增強學(xué)生的自信心．通過問題培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力．讓學(xué)生經(jīng)歷思考、探究、交流、歸納的過程，從而掌握新知.
探究點1 利用完全平方公式分解因式
計算：
(1)(m－4n)2；
(2)(m＋4n)2.(大家在下面做，兩位同學(xué)上臺板演)
解：(1)(m－4n)2＝m2－8mn＋16n2；
(2)(m＋4n)2＝m2＋8mn＋16n2.
問題1 大家說說計算的依據(jù)是什么呢？
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
根據(jù)上面兩道題，請大家試著分解因式：
(1)m2－8mn＋16n2；
(2)m2＋8mn＋16n2.(大家在下面做，兩位同學(xué)上臺板演)
解：(1)m2－8mn＋16n2＝(m－4n)2；
(2)m2＋8mn＋16n2＝(m＋4n)2.
問題2 同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律呢？
把等號兩邊互換位置就可以得到因式分解的結(jié)果.
問題3 我們把這些式子推廣到一般式a2＋2ab＋b2與a2－2ab＋b2，先觀察多項式a2＋2ab＋b2與a2－2ab＋b2有什么特點？
(學(xué)生先獨立思考，再小組討論，最后教師請代表發(fā)言)
【教學(xué)建議】
教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)完全平方式的特點：
1.必須是三項式(或可以看成三項的).
2.有兩個同號的平方項.
3.有一個乘積項(等于平方項底數(shù)的±2倍).
教學(xué)步驟
師生活動
設(shè)計意圖
為了使學(xué)生掌握運用完全平方公式分解因式的基本思路和方法，在引出公式后，結(jié)合例題作了示范性分析，說明運用公式分解因式的思考過程.
兩式的共同特點是：它們都是兩個數(shù)的平方和加上或減去這兩個數(shù)的積的2倍．我們把a2＋2ab＋b2與a2－2ab＋b2這樣的式子叫做完全平方式．
請大家判斷下列各式是不是完全平方式．
(1)a2－2ab－b2；（不是） (2)a2＋b2－2ab；（是）
(3)－6xy＋9x2＋y2；（是）(4)x2＋x＋eq \f(1,4).（是）
問題4 你能將多項式a2＋2ab＋b2與a2－2ab＋b2分解因式嗎？
把整式乘法的完全平方公式
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
的等號兩邊互換位置，就得到
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，
a2－2ab＋b2＝(a－b)2，
即兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方．
這樣，我們就得到了將形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的式子分解因式的辦法了！
通過上一節(jié)課和本節(jié)課的探究，我們把整式乘法的平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2和完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2的等號兩邊互換位置，就得到了用于分解因式的公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2，用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法．
接下來，我們來看兩個例題．
例 (教材P118例5)分解因式：
(1)16x2＋24x＋9； (2)－x2＋4xy－4y2.
分析：在(1)中，16x2＝(4x)2，9＝32，24x＝2·4x·3，所以16x2＋24x＋9是一個完全平方式，即
解：(1)16x2＋24x＋9＝(4x)2＋2·4x·3＋32
＝(4x＋3)2；
(2)－x2＋4xy－4y2＝－(x2－4xy＋4y2)
＝－[(x2－2·x·2y＋(2y)2]
＝－(x－2y)2.
【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P119練習(xí)第1，2(1)～(4)題．
【教學(xué)建議】
這里教學(xué)的重點是讓學(xué)生掌握公式的特點，牢記公式，并且在運用完全平方公式分解因式時，要先進行觀察，判斷所要分解的多項式是否符合某個公式的特點，特別需注意檢驗中間的一項是否符合公式．
教學(xué)時要求學(xué)生通過充分地練習(xí)基本類型的題來記憶和運用公式，不要讓學(xué)生死記硬背．
【教學(xué)建議】
這種圖示對照的形式，是為了說明怎樣運用完全平方公式來分解因式，關(guān)鍵是讓學(xué)生能夠指明哪一項相當(dāng)于公式中的a2，哪一項相當(dāng)于公式中的b2，哪一項相當(dāng)于公式中的2ab.為了讓學(xué)生看起來直觀，這里采用這種對照的形式．學(xué)生做作業(yè)時不必如此，但讓學(xué)生練習(xí)幾道類似的題目對掌握公式有好處．
設(shè)計意圖
再次強調(diào)因式分解需要分解徹底的問題，并以此活動總結(jié)因式分解的完整步驟．
探究點2 先提公因式，再用完全平方公式分解因式
問題1 對于多項式2a2＋4ab＋2b2，我們在進行因式分解的時候該怎么做？
先提公因式化為2(a2＋2ab＋b2)．
問題2 分解因式結(jié)束了嗎？
我們發(fā)現(xiàn)，還可以繼續(xù)分解，所以2a2＋4ab＋2b2＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2.
按照這個思路，我們來看看下面這個例題．
例 [教材P118例6(1)]分解因式：3ax2＋6axy＋3ay2.
【教學(xué)建議】
教師總結(jié)：
因式分解的步驟
因式分解時可按下面三個步驟進行，一提公因式，二套公式，三檢查．套公式時，若多項式有兩項，可考慮用平方差公式法
教學(xué)步驟
師生活動
分析：原式中有公因式3a，應(yīng)先提出公因式，再進一步分解.
解：3ax2＋6axy＋3ay2
＝3a(x2＋2xy＋y2)
＝3a(x＋y)2.
【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P119練習(xí)第2(5)～(6)題.
分解因式；若多項式有三項，可考慮用完全平方公式法分解因式．簡記為“一提二套三變形，分解徹底才能?！?
活動三：拓展提升，鞏固新知
設(shè)計意圖
通過把一個多項式視為一個整體的處理方式，培養(yǎng)學(xué)生的整體思想和轉(zhuǎn)化思想.
例 [教材P118例6(2)]分解因式：(a＋b)2－12(a＋b)＋36.
分析：將a＋b看作一個整體，設(shè)a＋b＝m，則原式化為完全平方式m2－12m＋36.
解：(a＋b)2－12(a＋b)＋36
＝(a＋b)2－2·(a＋b)·6＋62
＝(a＋b－6)2.
【對應(yīng)訓(xùn)練】
分解因式：a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2.
解：原式＝[a－(b＋c)]2＝(a－b－c)2.
【教學(xué)建議】
教師需提醒學(xué)生對于a2±2ab＋b2＝(a±b)2中的a，b可以是單項式，也可以是多項式．當(dāng)為多項式時，需把這個式子看作一個整體，再來識別是否符合完全平方式的特點.
活動四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)
【隨堂訓(xùn)練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子相應(yīng)課時隨堂訓(xùn)練.
【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：
什么是完全平方式？如何利用完全平方公式分解因式？因式分解的步驟是什么？什么是公式法？
【知識結(jié)構(gòu)】
【作業(yè)布置】
1.教材P119習(xí)題14.3第3，5題.
2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時訓(xùn)練．
板書設(shè)計
第2課時 利用完全平方公式分解因式
符號語言：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
文字語言：兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方．
教學(xué)反思
本節(jié)課在教學(xué)過程中，始終關(guān)注學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)和鍛煉．由乘法公式得到因式分解公式的探索中，運用逆向思維發(fā)現(xiàn)新知識；在用公式法因式分解時，通過多項式與公式的對應(yīng)比較，培養(yǎng)公式化思維；在解決復(fù)雜問題時所采用的整體思想，都有效促進了學(xué)生思維的發(fā)展.

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14.3.2 公式法

版本： 人教版

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