利用二次函數(shù)解決實際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實際意義.
利用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟是：
(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担?br> (2)把實際問題中的一些數(shù)據(jù)與點的坐標聯(lián)系起來；
(3)用待定系數(shù)法求出拋物線的關(guān)系式；
(4)利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問題、解決問題.
要點詮釋：
常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.
1.列二次函數(shù)關(guān)系
【例題精選】
例1(2023?昌圖縣校級一模）把160元的電器連續(xù)兩次降價后的價格為y元，若平均每次降價的百分率是x，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（ ）
A．y＝320（x﹣1）B．y＝320（1﹣x）
C．y＝160（1﹣x2）D．y＝160（1﹣x）2
例2(2023?山西）北中環(huán)橋是省城太原的一座跨汾河大橋（如圖1），它由五個高度不同，跨徑也不同的拋物線型鋼拱通過吊橋，拉索與主梁相連，最高的鋼拱如圖2所示，此鋼拱（近似看成二次函數(shù)的圖象﹣拋物線）在同一豎直平面內(nèi)，與拱腳所在的水平面相交于A，B兩點．拱高為78米（即最高點O到AB的距離為78米），跨徑為90米（即AB＝90米），以最高點O為坐標原點，以平行于AB的直線為x軸建立平面直角坐標系，則此拋物線鋼拱的函數(shù)表達式為（ ）
A．y＝x2B．y＝﹣x2
C．y＝x2D．y＝﹣x2
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?永嘉縣期中）共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個月投放a輛單車，計劃第三個月投放單車y輛，設(shè)該公司第二、三兩個月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（ ）
A．y＝x2+aB．y＝a（1+x）2C．y＝（1﹣x）2+aD．y＝a（1﹣x）2
2．(2023秋?廬陽區(qū)校級月考）某單車公司第一個月投放a輛單車，計劃第三個月投放單車y輛，該公司第二、三兩個月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（ ）
A．y＝a（1﹣x）2B．y＝a（1+x）2C．y＝ax2D．y＝x2+a

2．實際問題
【例題精選】
例1(2023秋?廬陽區(qū)校級期中）如圖，從某建筑物9米高的窗口A處用水管向外噴水，噴出的水成拋物線狀（拋物線
所在平面與墻面垂直），如果拋物線的最高點M離墻1米，離地面12米，建立平面直角坐標系，如圖．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求水流落地點B離墻的距離OB．
例2 (2023秋?香坊區(qū)校級月考）如圖，某養(yǎng)殖場在養(yǎng)殖面積擴建中，準備將總長為78米的籬笆圍成矩形ABCD形狀的雞舍，其中AD一邊利用現(xiàn)有的一段足夠長的圍墻，其余三邊用籬笆，且在與墻平行的一邊BC上開一個2米寬的門PQ．設(shè)AB邊長為x米，雞舍面積為y平方米．
（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（不需寫自變量的取值范圍）
（2）當雞舍的面積為800平方米時，求出雞舍的一邊AB的長．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?淮南期中）某地網(wǎng)紅秋千在推出后吸引了大量游客前來，其秋千高度h（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關(guān)系可以近似地用二次函數(shù)刻畫，其圖象如圖所示，已知秋千在靜止時的高度為0.6m．根據(jù)圖象，當推出秋千3s后，秋千的高度為（ ）
A．10mB．15mC．16mD．18m
2．(2023秋?江岸區(qū)校級月考）一位運動員在距籃下4m處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離為2.5m時，達到最大高度3.5m，然后準確落入籃圈．如圖所示，建立平面直角坐標系，已知籃圈中心到地面的距離為3.05m，該運動員身高1.9m，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25m處出手球出手時，他跳離地面的高度是（ ）
A．0.1mB．0.2mC．0.3mD．0.4m
3．(2023?銅仁市模擬）趙州橋的橋拱可以用拋物線的一部分表示，函數(shù)關(guān)系為，當水面寬度AB為20m時，水面與橋拱頂?shù)母叨菵O等于（ ）
A．2mB．4mC．10mD．16m
4．(2023?寶安區(qū)二模）如圖，小明想用長為12米的柵欄（虛線部分），借助圍墻圍成一個矩形花園ABCD，則矩形ABCD的最大面積是（ ）平方米．
A．16B．18C．20D．24
3．二次函數(shù)與幾何綜合
【例題精選】
例1 (2023?雨花區(qū)校級模擬）如圖1，已知拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0），與y軸交于點A（0，6），與x軸交于點B（6，0）．
（1）求這條拋物線的表達式及其頂點坐標；
（2）設(shè)點P是拋物線上的動點，若在此拋物線上有且只有三個P點使得△PAB的面積是定值S，求這三個點的坐標及定值S．
（3）若點F是拋物線對稱軸上的一點，點P是（2）中位于直線AB上方的點，在拋物線上是否存在一點Q，使得P、Q、B、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存請說明理由．
【隨堂練習(xí)】
1.(2023?無為縣一模）如圖，點E、F、G、H分別是正方形ABCD邊AB、BC、CD、DA上的點，且AE＝BF＝CG＝DH．設(shè)A、E兩點間的距離為x，四邊形EFGH的面積為y，則y與x的函數(shù)圖象可能為（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023?雁塔區(qū)校級一模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C，D為y軸上一點，點D關(guān)于直線BC的對稱點為D′．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當點D在x軸上方，且△OBD的面積等于△OBC的面積時，求點D的坐標；
（3）當點D'剛好落在第四象限的拋物線上時，求出點D的坐標；
（4）點P在拋物線上（不與點B、C重合），連接PD、PD′、DD′，是否存在點P，使△PDD′是以D為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
綜合練習(xí)
一．選擇題（共3小題）
1．將進貨單價為70元的某種商品按零售價100元一個售出時，每天能賣出20個．若這種商品的零售價在一定范圍內(nèi)每降價1元，其日銷售量就增加1個，則能獲取的最大利潤是（ ）
A．600元B．625元C．650元D．675元
2．汽車剎車后行駛的距離s（單位：米）關(guān)于行駛的時間t（單位：秒）的函數(shù)解析式為s＝﹣6t2+bt（b為常數(shù)）．已知t＝時，s＝6，則汽車剎車后行駛的最大距離為（ ）
A．米B．8米C．米D．10米
3．超市有一種“喜之郎“果凍禮盒，內(nèi)裝兩個上下倒置的果凍，果凍高為4cm，底面是個直徑為6cm的圓，軸截面可以近似地看作一個拋物線，為了節(jié)省成本，包裝應(yīng)盡可能的小，這個包裝盒的長AD（不計重合部分，兩個果凍之間沒有擠壓）至少為（ ）
A．（6+3）cmB．（6+2）cmC．（6+2）cmD．（6+3）cm
二．解答題（共5小題）
4．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣1，拋物線交x軸于A、C兩點，與直線y＝x﹣1交于A、B兩點，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E．
（1）求拋物線的解板式．
（2）點P在直線AB上方的拋物線上運動，若△ABP的面積最大，求此時點P的坐標．
（3）在平面直角坐標系中，以點B、E、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出符合條件點D的坐標．
5．某商場試銷一種成本為60元/件的T恤，規(guī)定試銷期間單價不低于成本單價，又獲利不得高于40%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（件）不銷售單價x（元/件）符合一次函數(shù)y＝kx+b，且x＝70時，y＝50；x＝80時，y＝40；
（1）寫出銷售單價x的取值范圍；
（2）求出一次函數(shù)y＝kx+b的解析式；
（3）若該商場獲得利潤為w元，試寫出利潤w與銷售單價x之間的關(guān)系式，銷售單價定為多少時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少？
6．某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)：銷售量y（件）與銷售單價x（元）符合一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0），且當x＝65時，y＝55；當x＝70時，y＝50．
（1）求y與x之間的解析式；
（2）若該商場獲得利潤為w元，寫出利潤w與銷售單價x之間的關(guān)系式，并求出利潤是500元時的銷售單價；
（3）銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？
7．公司銷售一種進價為20元/個的計算器，銷售過程中的其他開支（不含造價）總計40萬元，其銷售量y（萬個）與銷售價格x（元/個）的變化如下表：
（1）求出當銷售量等于2.5萬個時，銷售價格等于多少？
（2）求出該公司銷售這種計算器的凈得利潤z（萬元）與銷售價格x（元/個）的函數(shù)解析式；
（3）銷售價格應(yīng)定為多少元時，獲得利潤最大，最大利潤是多少？
8．如圖隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長是12m，寬是4m．按照圖中所示的直角坐標系，拋物線可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且拋物線上的點C到OB的水平距離為3m，到地面OA的距離為m．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并計算出拱頂D到地面OA的距離；
（2）一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向車道，那么這輛貨車能否安全通過？
銷售價格x（元/個）
銷售量y（萬元）
30≤x≤60
﹣x+8
60≤x≤80
第5講 二次函數(shù)（三）

利用二次函數(shù)解決實際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實際意義.
利用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟是：
(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担?br> (2)把實際問題中的一些數(shù)據(jù)與點的坐標聯(lián)系起來；
(3)用待定系數(shù)法求出拋物線的關(guān)系式；
(4)利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問題、解決問題.
要點詮釋：
常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.
1.列二次函數(shù)關(guān)系
【例題精選】
例1(2023?昌圖縣校級一模）把160元的電器連續(xù)兩次降價后的價格為y元，若平均每次降價的百分率是x，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（ ）
A．y＝320（x﹣1）B．y＝320（1﹣x）
C．y＝160（1﹣x2）D．y＝160（1﹣x）2
分析：由原價160元可以得到第一次降價后的價格是160（1﹣x），第二次降價是在第一次降價后的價格的基礎(chǔ)上降價的，為160（1﹣x）（1﹣x），由此即可得到函數(shù)關(guān)系式．
【解答】解：第一次降價后的價格是160（1﹣x），
第二次降價為160（1﹣x）×（1﹣x）＝160（1﹣x）2
則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝160（1﹣x）2．
故選：D．
【點評】此題考查從實際問題中得出二次函數(shù)解析式，需注意第二次降價是在第一次降價后的價格的基礎(chǔ)上降價的，所以會出現(xiàn)自變量的二次，即關(guān)于x的二次函數(shù)．
例2(2023?山西）北中環(huán)橋是省城太原的一座跨汾河大橋（如圖1），它由五個高度不同，跨徑也不同的拋物線型鋼拱通過吊橋，拉索與主梁相連，最高的鋼拱如圖2所示，此鋼拱（近似看成二次函數(shù)的圖象﹣拋物線）在同一豎直平面內(nèi)，與拱腳所在的水平面相交于A，B兩點．拱高為78米（即最高點O到AB的距離為78米），跨徑為90米（即AB＝90米），以最高點O為坐標原點，以平行于AB的直線為x軸建立平面直角坐標系，則此拋物線鋼拱的函數(shù)表達式為（ ）
A．y＝x2B．y＝﹣x2
C．y＝x2D．y＝﹣x2
分析：直接利用圖象假設(shè)出拋物線解析式，進而得出答案．
【解答】解：設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2，
將B（45，﹣78）代入得：﹣78＝a×452，
解得：a＝﹣，
故此拋物線鋼拱的函數(shù)表達式為：y＝﹣x2．
故選：B．
【點評】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)解析式，正確假設(shè)出拋物線解析式是解題關(guān)鍵．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?永嘉縣期中）共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個月投放a輛單車，計劃第三個月投放單車y輛，設(shè)該公司第二、三兩個月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（ ）
A．y＝x2+aB．y＝a（1+x）2C．y＝（1﹣x）2+aD．y＝a（1﹣x）2
【解答】解：設(shè)該公司第二、三兩個月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，
依題意得第三個月第三個月投放單車a（1+x）2輛，
則y＝a（1+x）2．
故選：B．
2．(2023秋?廬陽區(qū)校級月考）某單車公司第一個月投放a輛單車，計劃第三個月投放單車y輛，該公司第二、三兩個月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（ ）
A．y＝a（1﹣x）2B．y＝a（1+x）2C．y＝ax2D．y＝x2+a
【解答】解：設(shè)該公司第二、三兩個月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，
依題意得第三個月第三個月投放單車a（1+x）2輛，
則y＝a（1+x）2．
故選：B．

2．實際問題
【例題精選】
例1(2023秋?廬陽區(qū)校級期中）如圖，從某建筑物9米高的窗口A處用水管向外噴水，噴出的水成拋物線狀（拋物線
所在平面與墻面垂直），如果拋物線的最高點M離墻1米，離地面12米，建立平面直角坐標系，如圖．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求水流落地點B離墻的距離OB．
分析：（1）根據(jù)拋物線上點的坐標特點確定二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)（1）中求得的二次函數(shù)解析式即可求解．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，得
A（0，9），頂點M（1，12），
設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2+12，
把A（0，9）代入，得
a＝﹣3，
所以拋物線的解析式為y＝﹣3（x﹣1）2+12＝﹣3x2+6x+9．
答：拋物線的解析式為y＝﹣3x2+6x+9．
（2）當y＝0時，0＝﹣3x2+6x+9
解得x1＝3，x2＝﹣1
所以B（3，0）．
答：水流落地點B離墻的距離OB為3米．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線上點的坐標特點求解析式．
例2 (2023秋?香坊區(qū)校級月考）如圖，某養(yǎng)殖場在養(yǎng)殖面積擴建中，準備將總長為78米的籬笆圍成矩形ABCD形狀的雞舍，其中AD一邊利用現(xiàn)有的一段足夠長的圍墻，其余三邊用籬笆，且在與墻平行的一邊BC上開一個2米寬的門PQ．設(shè)AB邊長為x米，雞舍面積為y平方米．
（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（不需寫自變量的取值范圍）
（2）當雞舍的面積為800平方米時，求出雞舍的一邊AB的長．
分析：解：（1）設(shè)AB邊長為x米，雞舍面積為y平方米，
由題意得：y＝AB×AD＝x（78+2﹣2x）＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x；
（2）由題意得：y＝﹣2x2+80x＝800，
解得：x＝20，
答雞舍的一邊AB的長為20米．
【解答】解：（1）設(shè)AB邊長為x米，雞舍面積為y平方米，
由題意得：y＝AB×AD＝x（78+2﹣2x）＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x；
（2）由題意得：y＝﹣2x2+80x＝800，
解得：x＝20，
答雞舍的一邊AB的長為20米．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用．面積最大的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實際選擇最優(yōu)方案．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?淮南期中）某地網(wǎng)紅秋千在推出后吸引了大量游客前來，其秋千高度h（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關(guān)系可以近似地用二次函數(shù)刻畫，其圖象如圖所示，已知秋千在靜止時的高度為0.6m．根據(jù)圖象，當推出秋千3s后，秋千的高度為（ ）
A．10mB．15mC．16mD．18m
【解答】解：觀察圖象可知：
當推出秋千3s后，秋千的高度為15m．
故選：B．
2．(2023秋?江岸區(qū)校級月考）一位運動員在距籃下4m處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離為2.5m時，達到最大高度3.5m，然后準確落入籃圈．如圖所示，建立平面直角坐標系，已知籃圈中心到地面的距離為3.05m，該運動員身高1.9m，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25m處出手球出手時，他跳離地面的高度是（ ）
A．0.1mB．0.2mC．0.3mD．0.4m
【解答】解：∵當球運行的水平距離為2.5米時，達到最大高度3.5米，
∴拋物線的頂點坐標為（0，3.5），
∴設(shè)拋物線的表達式為y＝ax2+3.5．
由圖知圖象過以下點：（1.5，3.05）．
∴2.25a+3.5＝3.05，
解得：a＝﹣0.2，
∴拋物線的表達式為y＝﹣0.2x2+3.5．
設(shè)球出手時，他跳離地面的高度為hm，
因為y＝﹣0.2x2+3.5，
則球出手時，球的高度為h+1.9+0.25＝（h+2.15）m，
∴h+2.15＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，
∴h＝0.1（m）．
故選：A．
3．(2023?銅仁市模擬）趙州橋的橋拱可以用拋物線的一部分表示，函數(shù)關(guān)系為，當水面寬度AB為20m時，水面與橋拱頂?shù)母叨菵O等于（ ）
A．2mB．4mC．10mD．16m
【解答】解：根據(jù)題意B的橫坐標為10，
把x＝10代入y＝﹣x2，
得y＝﹣4，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
即水面與橋拱頂?shù)母叨菵O等于4m．
故選：B．
4．(2023?寶安區(qū)二模）如圖，小明想用長為12米的柵欄（虛線部分），借助圍墻圍成一個矩形花園ABCD，則矩形ABCD的最大面積是（ ）平方米．
A．16B．18C．20D．24
【解答】解：
設(shè)AB＝x，則BC＝12﹣2x
得矩形ABCD的面積：S＝x（12﹣2x）＝﹣2x2+12＝﹣2（x﹣3）2+18
即矩形ABCD的最大面積為18平方米
故選：B．
3．二次函數(shù)與幾何綜合
【例題精選】
例1 (2023?雨花區(qū)校級模擬）如圖1，已知拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0），與y軸交于點A（0，6），與x軸交于點B（6，0）．
（1）求這條拋物線的表達式及其頂點坐標；
（2）設(shè)點P是拋物線上的動點，若在此拋物線上有且只有三個P點使得△PAB的面積是定值S，求這三個點的坐標及定值S．
（3）若點F是拋物線對稱軸上的一點，點P是（2）中位于直線AB上方的點，在拋物線上是否存在一點Q，使得P、Q、B、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存請說明理由．
分析：（1）將交點坐標代入解析式可求解；
（2）設(shè)AB上方的拋物線上有點P，過點P作AB的平行線交對稱軸于點C，且與拋物線只有一個交點為P，設(shè)區(qū)PC解析式與拋物線解析式組成方程組，由△＝0，可求PC解析式，可求點P坐標，由等底等高的三角形面積相等，可得另兩個點所在直線與AB，PC都平行，且與AB的距離等于PC與AB的距離，可求P'E的解析式，即可求解；
（3）分兩種情況討論，由平行四邊形的性質(zhì)可求解．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0），與y軸交于點A（0，6），與x軸交于點B（6，0）．
∴
∴
∴拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+6，
∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，
∴頂點坐標為（2，8）
（2）∵點A（0，6），點B（6，0），
∴直線AB解析式y(tǒng)＝﹣x+6，
當x＝2時，y＝4，
∴點D（2，4）
如圖1，設(shè)AB上方的拋物線上有點P，過點P作AB的平行線交對稱軸于點C，且與拋物線只有一個交點為P，
設(shè)直線PC解析式為y＝﹣x+b，
∴﹣x2+2x+6＝﹣x+b，且只有一個交點，
∴△＝9﹣4××（b﹣6）＝0
∴b＝，
∴直線PC解析式為y＝﹣x+，
∴當x＝2，y＝
∴點C坐標（2，），
∴CD＝
∵﹣x2+2x+6＝﹣x+，
∴x＝3，
∴點P（3，）
∵在此拋物線上有且只有三個P點使得△PAB的面積是定值S，
∴另兩個點所在直線與AB，PC都平行，且與AB的距離等于PC與AB的距離，
∴DE＝CD＝，
∴點E（2，﹣），
設(shè)P'E的解析式為y＝﹣x+m，
∴﹣＝﹣2+m，
∴m＝
∴P'E的解析式為y＝﹣x+，
∴﹣x2+2x+6＝﹣x+，
∴x＝3±3，
∴點P'（3+3，﹣﹣3），P''（3﹣3，﹣+3），
∴S＝×6×（﹣3）＝．
（3）設(shè)點Q（x，y）
若PB是對角線，
∵P、Q、B、F為頂點的四邊形是平行四邊形
∴BP與FQ互相平分，
∴
∴x＝7
∴點Q（7，﹣）；
若PB為邊，
∵P、Q、B、F為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴BF∥PQ，BF＝PQ，或BQ∥FP，BQ＝PF，
∴xB﹣xF＝xP﹣xQ，或xB﹣xQ＝xP﹣xF，
∴xQ＝3﹣（6﹣2）＝﹣1，或xQ＝6﹣（3﹣2）＝5，
∴點Q（﹣1，）或（5，）；
綜上所述，點Q（7，﹣）或（﹣1，）或（5，）．
【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．
【隨堂練習(xí)】
1.(2023?無為縣一模）如圖，點E、F、G、H分別是正方形ABCD邊AB、BC、CD、DA上的點，且AE＝BF＝CG＝DH．設(shè)A、E兩點間的距離為x，四邊形EFGH的面積為y，則y與x的函數(shù)圖象可能為（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：設(shè)正方形的邊長為m，則m＞0，
∵AE＝x，
∴DH＝x，
∴AH＝m﹣x，
∵EH2＝AE2+AH2，
∴y＝x2+（m﹣x）2，
y＝x2+x2﹣2mx+m2，
y＝2x2﹣2mx+m2，
＝2[（x﹣m）2+]，
＝2（x﹣m）2+m2，
∴y與x的函數(shù)圖象是A．
故選：A．
2．(2023?雁塔區(qū)校級一模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C，D為y軸上一點，點D關(guān)于直線BC的對稱點為D′．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當點D在x軸上方，且△OBD的面積等于△OBC的面積時，求點D的坐標；
（3）當點D'剛好落在第四象限的拋物線上時，求出點D的坐標；
（4）點P在拋物線上（不與點B、C重合），連接PD、PD′、DD′，是否存在點P，使△PDD′是以D為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（4，0）
∴
解得，
∴拋物線解析式為：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）∵拋物線y＝x2﹣3x﹣4與y軸交于點C，
∴點C（0，﹣4），
∴OC＝4，
設(shè)點D（0，y）（y＞0）
∵△OBD的面積等于△OBC的面積，
∴×OB×y＝OB×4，
∴y＝4，
∴點D（0，4）
（3）∵OB＝OC＝4，
∴∠OCB＝45°，
∵點D關(guān)于直線BC的對稱點為D′．
∴∠DCB＝∠D'CB＝45°，CD＝CD'，
∴∠DCD'＝90°，
∴CD'∥OB，
∴點D'的縱坐標為﹣4，
∴﹣4＝x2﹣3x﹣4，
∴x1＝0（舍去），x2＝3，
∴CD＝CD'＝3，
∴點D（0，﹣1）
（4）若點D在點C上方，如圖1，過點P作PH⊥y軸，
∵∠DCD'＝90°，CD＝CD'，
∴∠CDD'＝45°，
∵∠D'DP＝90°
∴∠HDP＝45°，且PH⊥y軸，
∴∠HDP＝∠HPD＝45°，
∴HP＝HD，
∵∠CDD'＝∠HDP，∠PHD＝∠DCD'＝90°，DP＝DD'，
∴△DPH≌△DD'C（AAS）
∴CD＝CD'＝HD＝HP，
設(shè)CD＝CD'＝HD＝HP＝a，
∴點P（a，﹣4+2a）
∴a2﹣3a﹣4＝﹣4+2a，
∴a＝5，a＝0（不合題意舍去），
∴點P（5，6）
若點D在點C下方，如圖2，
∵DD'＝DP，∠DCD'＝90°，
∴CD＝CP，∠DCP＝∠COB，
∴CP∥AB，
∴點P縱坐標為﹣4，
∴﹣4＝x2﹣3x﹣4，
∴x1＝0（舍去），x2＝3，
∴點P（3，﹣4）
綜上所述：點P（5，6）或（3，﹣4）．
綜合練習(xí)
一．選擇題（共3小題）
1．將進貨單價為70元的某種商品按零售價100元一個售出時，每天能賣出20個．若這種商品的零售價在一定范圍內(nèi)每降價1元，其日銷售量就增加1個，則能獲取的最大利潤是（ ）
A．600元B．625元C．650元D．675元
【解答】解：設(shè)降價x元，所獲得的利潤為W元，
則W＝（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600＝﹣（x﹣5）2+625，
∵﹣1＜0
∴當x＝5元時，二次函數(shù)有最大值W＝625．
∴獲得的最大利潤為625元．
故選：B．
2．汽車剎車后行駛的距離s（單位：米）關(guān)于行駛的時間t（單位：秒）的函數(shù)解析式為s＝﹣6t2+bt（b為常數(shù)）．已知t＝時，s＝6，則汽車剎車后行駛的最大距離為（ ）
A．米B．8米C．米D．10米
【解答】解：把t＝，s＝6代入s＝﹣6t2+bt得，
6＝﹣6×+b×，
解得，b＝15
∴函數(shù)解析式為s＝﹣6t2+15t＝﹣6（t﹣）2+，
∴當t＝時，s取得最大值，此時s＝，
故選：C．
3．超市有一種“喜之郎“果凍禮盒，內(nèi)裝兩個上下倒置的果凍，果凍高為4cm，底面是個直徑為6cm的圓，軸截面可以近似地看作一個拋物線，為了節(jié)省成本，包裝應(yīng)盡可能的小，這個包裝盒的長AD（不計重合部分，兩個果凍之間沒有擠壓）至少為（ ）
A．（6+3）cmB．（6+2）cmC．（6+2）cmD．（6+3）cm
【解答】解：設(shè)左側(cè)拋物線的方程為：y＝ax2，
點A的坐標為（﹣3，4），將點A坐標代入上式并解得：a＝，
則拋物線的表達式為：y＝x2，
由題意得：點MG是矩形HFEO的中線，則點N的縱坐標為2，
將y＝2代入拋物線表達式得：2＝x2，解得：x＝（負值已舍去），
則AD＝2AH+2x＝6+3，
故選：A．
二．解答題（共5小題）
4．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣1，拋物線交x軸于A、C兩點，與直線y＝x﹣1交于A、B兩點，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E．
（1）求拋物線的解板式．
（2）點P在直線AB上方的拋物線上運動，若△ABP的面積最大，求此時點P的坐標．
（3）在平面直角坐標系中，以點B、E、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出符合條件點D的坐標．
【解答】解：（1）令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，
∴點A（1，0），
∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣1，
∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即點C（﹣3，0），
∴，解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵點P在直線AB上方的拋物線上運動，
∴設(shè)點P（m，﹣m2﹣2m+3），
∵拋物線與直線y＝x﹣1交于A、B兩點，
∴，解得：，，
∴點B（﹣4，﹣5），
如圖，過點P作PM∥y軸交直線AB于點M，
則點M（m，m﹣1），
∴PM＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，
∴S△ABP＝S△PBM+S△PBA
＝（﹣m2﹣3m+4）（m+4）+（﹣m2﹣3m+4）（1﹣m）
＝，
∴當m＝時，P最大，
∴點P（，）；
（3）當x＝﹣1時，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴點E（﹣1，﹣2），
如圖，直線BC的解析式為y＝5x+15，直線BE的解析式為y＝x﹣1，直線CE的解析式為y＝﹣x﹣3，
∵以點B、C、E、D為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴直線D1D3的解析式為y＝5x+3，直線D1D2的解析式為y＝x+3，直線D2D3的解析式為y＝﹣x﹣9，
聯(lián)立得D1（0，3），
同理可得D2（﹣6，﹣3），D3（﹣2，﹣7），
綜上所述，符合條件的點D的坐標為D1（0，3），D2（﹣6，﹣3），D3（﹣2，﹣7）．
5．某商場試銷一種成本為60元/件的T恤，規(guī)定試銷期間單價不低于成本單價，又獲利不得高于40%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（件）不銷售單價x（元/件）符合一次函數(shù)y＝kx+b，且x＝70時，y＝50；x＝80時，y＝40；
（1）寫出銷售單價x的取值范圍；
（2）求出一次函數(shù)y＝kx+b的解析式；
（3）若該商場獲得利潤為w元，試寫出利潤w與銷售單價x之間的關(guān)系式，銷售單價定為多少時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少？
【解答】解：（1）根據(jù)題意得，
60≤x≤60×（1+40%），
即60≤x≤84；
（2）由題意得：，
∴．
∴一次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x+120；
（3）w＝（x﹣60）（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900，
∵拋物線開口向下，
∴當x＜90時，w隨x的增大而增大，
而60≤x≤84，
∴當x＝84時，w＝（84﹣60）×（120﹣84）＝864．
答：當銷售價定為84元/件時，商場可以獲得最大利潤，最大利潤是864元．
6．某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)：銷售量y（件）與銷售單價x（元）符合一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0），且當x＝65時，y＝55；當x＝70時，y＝50．
（1）求y與x之間的解析式；
（2）若該商場獲得利潤為w元，寫出利潤w與銷售單價x之間的關(guān)系式，并求出利潤是500元時的銷售單價；
（3）銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？
【解答】解：（1）∵當x＝65時，y＝55；當x＝70時，y＝50．
∴，
解得：，
∴y＝﹣x+120（60≤x≤87）．
（2）w＝（﹣x+120）（x﹣60），
w＝﹣x2+180x﹣7200，
w＝﹣（x﹣90）2+900，
當w＝500時，有500＝﹣（x﹣90）2+900，
解得，x＝110（舍去）或x＝70，
故利潤是500元時的銷售單價70元/件．
（3）又∵60＜x≤60×（1+45%），
即60≤x≤87，
則x＝87時獲利最多，
將x＝87代入，得w＝﹣（87﹣90）2+900＝891元．
答：售價定為87元有最大利潤為891元．
7．公司銷售一種進價為20元/個的計算器，銷售過程中的其他開支（不含造價）總計40萬元，其銷售量y（萬個）與銷售價格x（元/個）的變化如下表：
（1）求出當銷售量等于2.5萬個時，銷售價格等于多少？
（2）求出該公司銷售這種計算器的凈得利潤z（萬元）與銷售價格x（元/個）的函數(shù)解析式；
（3）銷售價格應(yīng)定為多少元時，獲得利潤最大，最大利潤是多少？
【解答】解：（1）由題意得，﹣x+8＝2.5，
解得，x＝55，
答：當銷售量等于2.5萬個時，銷售價格等于55元/個；
（2）當30≤x≤60時，w＝（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣40＝﹣0.1x2+10x﹣200；
當60＜x≤80時，w＝（x﹣20）?﹣40＝﹣+89；
（3）當30≤x≤60時，w＝﹣0.1x2+10x﹣200＝﹣0.1（x﹣50）2+50，
∴當x＝50時，w取得最大值50（萬元）；
當60＜x≤80時，w＝﹣+89，
∵﹣2580＜0，
∴w隨x的增大而增大，當x＝80時，w最大＝121.25（萬元）＞50萬元，
∴銷售價格定為80元/件時，獲得的利潤最大，最大利潤是121.25萬元．
答：銷售價格定為80元/件時，獲得的利潤最大，最大利潤是121.25萬元．
8．如圖隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長是12m，寬是4m．按照圖中所示的直角坐標系，拋物線可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且拋物線上的點C到OB的水平距離為3m，到地面OA的距離為m．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并計算出拱頂D到地面OA的距離；
（2）一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向車道，那么這輛貨車能否安全通過？
【解答】解：（1）根據(jù)題意得B（0，4），C（3，），
把B（0，4），C（3，）代入y＝﹣x2+bx+c得
解得．
所以拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+4，
則y＝﹣（x﹣6）2+10，
所以D（6，10），
所以拱頂D到地面OA的距離為10m；
（2）由題意得貨運汽車最外側(cè)與地面OA的交點為（2，0）或（10，0），
當x＝2或x＝10時，y＝＞6，
所以這輛貨車能安全通過．
銷售價格x（元/個）
銷售量y（萬元）
30≤x≤60
﹣x+8
60≤x≤80

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