新九年級(jí)數(shù)學(xué)時(shí)期講義第5講二次函數(shù)(三)-滿(mǎn)分班(學(xué)生版+解析)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問(wèn)題.在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.
利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是：
(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；
(2)把實(shí)際問(wèn)題中的一些數(shù)據(jù)與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)；
(3)用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的關(guān)系式；
(4)利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?br>常見(jiàn)的問(wèn)題：求最大(小)值(如求最大利潤(rùn)、最大面積、最小周長(zhǎng)等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線(xiàn)的模型問(wèn)題等.解決這些實(shí)際問(wèn)題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.
1.列二次函數(shù)關(guān)系
【例題精選】
例1(2023?開(kāi)遠(yuǎn)市一模）某商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，現(xiàn)在的售價(jià)為每件40元，每星期可賣(mài)出150件．市場(chǎng)調(diào)查反映：如果每件的售價(jià)每漲1元（售價(jià)每件不能高于45元），那么每星期少賣(mài)10件．設(shè)每件漲價(jià)x元（x為非負(fù)整數(shù)），每星期的銷(xiāo)量為y件．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；
（2）設(shè)利潤(rùn)為W元，寫(xiě)出W與x的函數(shù)關(guān)系式．
【隨堂練習(xí)】
1.(2023秋?岑溪市期中）小李家用40m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻足夠長(zhǎng)）的矩形菜園，如圖．
（1）寫(xiě)出這塊菜園的面積y（m2）與垂直于墻的邊長(zhǎng)x（m）之間的函數(shù)解析式；
（2）直接寫(xiě)出x的取值范圍．

2．實(shí)際問(wèn)題
【例題精選】
例1 (2023?南關(guān)區(qū)校級(jí)一模）在美化校園的活動(dòng)中，某興趣小組想幫助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長(zhǎng)），用28m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形花園ABCD（籬笆只圍AB、BC兩邊），設(shè)AB＝m，若在P處有一棵樹(shù)與墻CD、AD的距離分別是18m和6m，要將這棵樹(shù)圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹(shù)的粗細(xì)），則花園面積的最大值為 180 ．
例2 (2023秋?洛寧縣期末）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一種每件價(jià)格為90元的新商品，在商場(chǎng)試銷(xiāo)時(shí)發(fā)現(xiàn)：銷(xiāo)售單價(jià)x（元/件）與每天銷(xiāo)售量y（件）之間滿(mǎn)足如圖所示的關(guān)系．
（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）寫(xiě)出每天的利潤(rùn)W與銷(xiāo)售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出售價(jià)定為多少時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?杭州模擬）某旅行社有100張床位，每床每晚收費(fèi)100元時(shí)，可全部租出，每床每晚收費(fèi)提高20元，則有10張床位未租出；若每床每晚收費(fèi)再提高20元，則再減少10張床位未租出；以每次提高20元的這種方法變化下去，為了獲利最大，每床每晚收費(fèi)應(yīng)提高（）
A．40元或60元B．40元C．60元D．80元
2．(2023?沈河區(qū)一模）某網(wǎng)店銷(xiāo)售某種商品，成本為30元/件，當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為60元/件時(shí)，每天可售出100件，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷(xiāo)售單價(jià)每降1元，每天銷(xiāo)量增加10件，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為_(kāi)________元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)最大．
3．(2023?襄陽(yáng)）如圖，若被擊打的小球飛行高度h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間具有的關(guān)系為h＝20t﹣5t2，則小球從飛出到落地所用的時(shí)間為_(kāi)______s．
4．(2023秋?長(zhǎng)興縣期中）心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力y與提出概念所用的時(shí)間x（單位：分）之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系y＝﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越強(qiáng)．
（1）x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？
（2）某同學(xué)思考10分鐘后提出概念，他的接受能力是多少？
3．二次函數(shù)與幾何綜合
【例題精選】
例1(2023秋?澧縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝mx2﹣2x+n與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（﹣3，0），B（1，0），C為頂點(diǎn)．
（1）求m、n的值．
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
例2 (2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三點(diǎn)，直線(xiàn)l是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸．
（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)M是直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A，點(diǎn)C的距離之和最短時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)N，使S△ABN＝S△ABC，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線(xiàn)L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．若拋物線(xiàn)L2與拋物線(xiàn)L1關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)．
（1）求拋物線(xiàn)L1與拋物線(xiàn)L2的解析式：
（2）在拋物線(xiàn)L1上是否存在一點(diǎn)P，在拋物線(xiàn)L2上是否存在一點(diǎn)Q，使得以BC為邊，且以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
綜合練習(xí)
一．選擇題（共3小題）
1．將進(jìn)貨單價(jià)為70元的某種商品按零售價(jià)100元一個(gè)售出時(shí)，每天能賣(mài)出20個(gè)．若這種商品的零售價(jià)在一定范圍內(nèi)每降價(jià)1元，其日銷(xiāo)售量就增加1個(gè)，則能獲取的最大利潤(rùn)是（）
A．600元B．625元C．650元D．675元
2．汽車(chē)剎車(chē)后行駛的距離s（單位：米）關(guān)于行駛的時(shí)間t（單位：秒）的函數(shù)解析式為s＝﹣6t2+bt（b為常數(shù)）．已知t＝時(shí)，s＝6，則汽車(chē)剎車(chē)后行駛的最大距離為（）
A．米B．8米C．米D．10米
3．超市有一種“喜之郎“果凍禮盒，內(nèi)裝兩個(gè)上下倒置的果凍，果凍高為4cm，底面是個(gè)直徑為6cm的圓，軸截面可以近似地看作一個(gè)拋物線(xiàn)，為了節(jié)省成本，包裝應(yīng)盡可能的小，這個(gè)包裝盒的長(zhǎng)AD（不計(jì)重合部分，兩個(gè)果凍之間沒(méi)有擠壓）至少為（）
A．（6+3）cmB．（6+2）cmC．（6+2）cmD．（6+3）cm
二．解答題（共5小題）
4．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3（a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣1，拋物線(xiàn)交x軸于A、C兩點(diǎn)，與直線(xiàn)y＝x﹣1交于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線(xiàn)的解板式．
（2）點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上方的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，若△ABP的面積最大，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)B、E、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件點(diǎn)D的坐標(biāo)．
5．某商場(chǎng)試銷(xiāo)一種成本為60元/件的T恤，規(guī)定試銷(xiāo)期間單價(jià)不低于成本單價(jià)，又獲利不得高于40%，經(jīng)試銷(xiāo)發(fā)現(xiàn)，銷(xiāo)售量y（件）不銷(xiāo)售單價(jià)x（元/件）符合一次函數(shù)y＝kx+b，且x＝70時(shí)，y＝50；x＝80時(shí)，y＝40；
（1）寫(xiě)出銷(xiāo)售單價(jià)x的取值范圍；
（2）求出一次函數(shù)y＝kx+b的解析式；
（3）若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)為w元，試寫(xiě)出利潤(rùn)w與銷(xiāo)售單價(jià)x之間的關(guān)系式，銷(xiāo)售單價(jià)定為多少時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？
6．某商場(chǎng)試銷(xiāo)一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷(xiāo)期間銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷(xiāo)發(fā)現(xiàn)：銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）符合一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0），且當(dāng)x＝65時(shí)，y＝55；當(dāng)x＝70時(shí)，y＝50．
（1）求y與x之間的解析式；
（2）若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)為w元，寫(xiě)出利潤(rùn)w與銷(xiāo)售單價(jià)x之間的關(guān)系式，并求出利潤(rùn)是500元時(shí)的銷(xiāo)售單價(jià)；
（3）銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少元？
7．公司銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為20元/個(gè)的計(jì)算器，銷(xiāo)售過(guò)程中的其他開(kāi)支（不含造價(jià)）總計(jì)40萬(wàn)元，其銷(xiāo)售量y（萬(wàn)個(gè)）與銷(xiāo)售價(jià)格x（元/個(gè)）的變化如下表：
（1）求出當(dāng)銷(xiāo)售量等于2.5萬(wàn)個(gè)時(shí)，銷(xiāo)售價(jià)格等于多少？
（2）求出該公司銷(xiāo)售這種計(jì)算器的凈得利潤(rùn)z（萬(wàn)元）與銷(xiāo)售價(jià)格x（元/個(gè)）的函數(shù)解析式；
（3）銷(xiāo)售價(jià)格應(yīng)定為多少元時(shí)，獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？
8．如圖隧道的截面由拋物線(xiàn)和長(zhǎng)方形構(gòu)成，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是12m，寬是4m．按照?qǐng)D中所示的直角坐標(biāo)系，拋物線(xiàn)可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且拋物線(xiàn)上的點(diǎn)C到OB的水平距離為3m，到地面OA的距離為m．
（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算出拱頂D到地面OA的距離；
（2）一輛貨運(yùn)汽車(chē)載一長(zhǎng)方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向車(chē)道，那么這輛貨車(chē)能否安全通過(guò)？
銷(xiāo)售價(jià)格x（元/個(gè)）
銷(xiāo)售量y（萬(wàn)元）
30≤x≤60
﹣x+8
60≤x≤80
第5講二次函數(shù)（三）

利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問(wèn)題.在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.
利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是：
(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；
(2)把實(shí)際問(wèn)題中的一些數(shù)據(jù)與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)；
(3)用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的關(guān)系式；
(4)利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?br>常見(jiàn)的問(wèn)題：求最大(小)值(如求最大利潤(rùn)、最大面積、最小周長(zhǎng)等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線(xiàn)的模型問(wèn)題等.解決這些實(shí)際問(wèn)題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.
1.列二次函數(shù)關(guān)系
【例題精選】
例1(2023?開(kāi)遠(yuǎn)市一模）某商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，現(xiàn)在的售價(jià)為每件40元，每星期可賣(mài)出150件．市場(chǎng)調(diào)查反映：如果每件的售價(jià)每漲1元（售價(jià)每件不能高于45元），那么每星期少賣(mài)10件．設(shè)每件漲價(jià)x元（x為非負(fù)整數(shù)），每星期的銷(xiāo)量為y件．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；
（2）設(shè)利潤(rùn)為W元，寫(xiě)出W與x的函數(shù)關(guān)系式．
分析：（1）漲價(jià)為x元，可用x表示出每星期的銷(xiāo)量，并得到x的取值范圍；
（2）根據(jù)總利潤(rùn)＝銷(xiāo)量×每件利潤(rùn)可得出利潤(rùn)的表達(dá)式．
【解答】解：（1）設(shè)每件漲價(jià)x元由題意得，
每星期的銷(xiāo)量為y＝150﹣10x＝﹣10x+150，（0≤x≤5且x為整數(shù)）；
（2）設(shè)每星期的利潤(rùn)為W元，
W＝（x+40﹣30）×（150﹣10x）＝﹣10x2+50x+1500．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，與實(shí)際結(jié)合得比較緊密，解答本題的關(guān)鍵是表示出漲價(jià)后的銷(xiāo)量及單件的利潤(rùn)，得出總利潤(rùn)的二次函數(shù)的表達(dá)式．
【隨堂練習(xí)】
1.(2023秋?岑溪市期中）小李家用40m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻足夠長(zhǎng)）的矩形菜園，如圖．
（1）寫(xiě)出這塊菜園的面積y（m2）與垂直于墻的邊長(zhǎng)x（m）之間的函數(shù)解析式；
（2）直接寫(xiě)出x的取值范圍．
【解答】解：（1）∵垂直于墻的邊長(zhǎng)為x，
∴平行于墻的邊長(zhǎng)為40﹣2x，
∴y＝x（40﹣2x），
即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x2+40x；
（2）由題意，得，
解得0＜x＜20．

2．實(shí)際問(wèn)題
【例題精選】
例1 (2023?南關(guān)區(qū)校級(jí)一模）在美化校園的活動(dòng)中，某興趣小組想幫助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長(zhǎng)），用28m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形花園ABCD（籬笆只圍AB、BC兩邊），設(shè)AB＝m，若在P處有一棵樹(shù)與墻CD、AD的距離分別是18m和6m，要將這棵樹(shù)圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹(shù)的粗細(xì)），則花園面積的最大值為 180 ．
分析：本題是通過(guò)構(gòu)建函數(shù)模型解答面積的問(wèn)題．只要根據(jù)題意，列出矩形面積的函數(shù)關(guān)系式即可
【解答】解：
∵P在矩形ABCD內(nèi)，P的坐標(biāo)為（18，6）
∴AB＝m≥6，BC＝28﹣m≥18，得6≤m≤10
矩形的面積為S＝m?（28﹣m）＝﹣m2+28m
整理得S＝﹣（m﹣14）2+196
∵6≤m≤10，在x＝14的左側(cè)，a＜0
∴S隨m的增大而增大
∴m＝10時(shí)，取得最大值，代入解得S＝﹣（10﹣14）2+196＝180
故答案為：180
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說(shuō)二次函數(shù)的最值不一定在x＝時(shí)取得．
例2 (2023秋?洛寧縣期末）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一種每件價(jià)格為90元的新商品，在商場(chǎng)試銷(xiāo)時(shí)發(fā)現(xiàn)：銷(xiāo)售單價(jià)x（元/件）與每天銷(xiāo)售量y（件）之間滿(mǎn)足如圖所示的關(guān)系．
（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）寫(xiě)出每天的利潤(rùn)W與銷(xiāo)售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出售價(jià)定為多少時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
分析：（1）先利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（2）用每件的利潤(rùn)乘以銷(xiāo)售量得到每天的利潤(rùn)W，即W＝（x﹣90）（﹣x+170），然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，
根據(jù)題意得，解得，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+170；
（2）W＝（x﹣90）（﹣x+170）
＝﹣x2+260x﹣15300，
∵W＝﹣x2+260x﹣15300＝﹣（x﹣130）2+1600，
而a＝﹣1＜0，
∴當(dāng)x＝130時(shí)，W有最大值1600．
答：售價(jià)定為130元時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1600元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問(wèn)題，先利用利潤(rùn)＝?jīng)]件的利潤(rùn)乘以銷(xiāo)售量構(gòu)建二次函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求二次函數(shù)的最值，一定要注意自變量x的取值范圍．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?杭州模擬）某旅行社有100張床位，每床每晚收費(fèi)100元時(shí)，可全部租出，每床每晚收費(fèi)提高20元，則有10張床位未租出；若每床每晚收費(fèi)再提高20元，則再減少10張床位未租出；以每次提高20元的這種方法變化下去，為了獲利最大，每床每晚收費(fèi)應(yīng)提高（）
A．40元或60元B．40元C．60元D．80元
【解答】解：設(shè)每張床位提高x個(gè)20元，每天收入為y元．
則有y＝（100+20x）（100﹣10x）
＝﹣200x2+1000x+10000．
當(dāng)x＝﹣＝＝2.5時(shí)，可使y有最大值．
又x為整數(shù)，則x＝2或3時(shí)，y＝11200；
∴每張床位提高40元或60元．
故選：A．
2．(2023?沈河區(qū)一模）某網(wǎng)店銷(xiāo)售某種商品，成本為30元/件，當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為60元/件時(shí)，每天可售出100件，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷(xiāo)售單價(jià)每降1元，每天銷(xiāo)量增加10件，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為_(kāi)________元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)最大．
【解答】解：設(shè)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為x元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)為y元，
則y＝（x﹣30）[100+10（60﹣x）]
＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∴當(dāng)x＝50時(shí)，y有最大值，且為4000，
故答案為：50．
3．(2023?襄陽(yáng)）如圖，若被擊打的小球飛行高度h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間具有的關(guān)系為h＝20t﹣5t2，則小球從飛出到落地所用的時(shí)間為_(kāi)______s．
【解答】解：
依題意，令h＝0得
0＝20t﹣5t2
得t（20﹣5t）＝0
解得t＝0（舍去）或t＝4
即小球從飛出到落地所用的時(shí)間為4s
故答案為4．
4．(2023秋?長(zhǎng)興縣期中）心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力y與提出概念所用的時(shí)間x（單位：分）之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系y＝﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越強(qiáng)．
（1）x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？
（2）某同學(xué)思考10分鐘后提出概念，他的接受能力是多少？
【解答】解：（1）∵y＝﹣0.1（x2﹣26x+169）+16.9+43＝﹣0.1（x﹣13）2+59.9
∴對(duì)稱(chēng)軸是：直線(xiàn)x＝13
即當(dāng)（0≤x≤13）提出概念至（13分）之間，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)；
（2）當(dāng)x＝10時(shí)，y＝﹣0.1×102+2.6×10+43＝59．
3．二次函數(shù)與幾何綜合
【例題精選】
例1(2023秋?澧縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝mx2﹣2x+n與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（﹣3，0），B（1，0），C為頂點(diǎn)．
（1）求m、n的值．
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
分析：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝mx2﹣2x+n解方程組即可得到結(jié)論；
（2）過(guò)C作CE⊥y軸于E，根據(jù)函數(shù)的解析式求得C（﹣1，4），得到CE＝1，OE＝4，設(shè)D（0，a），得到OD＝a，DE＝4﹣a，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝mx2﹣2x+n得，，
解得：；
故m的值為﹣1，n的值為3；
（2）存在，
理由：過(guò)C作CE⊥y軸于E，
∵拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，
∴y＝﹣（x+1）2+4，
∴C（﹣1，4），
∴CE＝1，OE＝4，
設(shè)D（0，a），
則OD＝a，DE＝4﹣a，
∵△ACD是以AC為斜邊的直角三角形，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
∴∠CDE＝∠DAO，
∴△CDE∽△DAO，
∴＝，
∴＝，
∴a1＝1，a2＝3，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）或（0，3）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
例2 (2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三點(diǎn)，直線(xiàn)l是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸．
（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)M是直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A，點(diǎn)C的距離之和最短時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)N，使S△ABN＝S△ABC，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．
分析：（1）拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝﹣3，即可求解．
（2）點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B，連接BC交函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為所求，即可求解．
（3）S△ABN＝S△ABC，則|yN|＝|yC|＝±4，即可求解．
【解答】解：（1）拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
即﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
故拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為y＝x2﹣2x﹣3．
（2）點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B，連接BC交函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為所求，
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b并解得：
直線(xiàn)BC的表達(dá)式為：y＝x﹣3，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣3，故點(diǎn)M（1，﹣2）．
（3）S△ABN＝S△ABC，則|yN|＝|yC|＝±4，
則x2﹣2x﹣3＝±4，
解得：x＝1或1±2，
故點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（1，﹣4）或（1+2，4）或（1﹣2，4）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性、圖形的面積計(jì)算等，其中（3），要注意分類(lèi)求解，避免遺漏．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線(xiàn)L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．若拋物線(xiàn)L2與拋物線(xiàn)L1關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)．
（1）求拋物線(xiàn)L1與拋物線(xiàn)L2的解析式：
（2）在拋物線(xiàn)L1上是否存在一點(diǎn)P，在拋物線(xiàn)L2上是否存在一點(diǎn)Q，使得以BC為邊，且以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0）
∴OB＝OC＝3OA＝3
∴B（3，0），C（0，3）
∵拋物線(xiàn)L1：y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C
∴ 解得：
∴拋物線(xiàn)L1的解析式為y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴拋物線(xiàn)L1的頂點(diǎn)D（1，4）
∵拋物線(xiàn)L2與拋物線(xiàn)L1關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)
∴兩拋物線(xiàn)開(kāi)口方向、大小相同，拋物線(xiàn)L2的頂點(diǎn)D'與點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)
∴D'（3，4）
∴拋物線(xiàn)L2的解析式為y＝﹣（x﹣3）2+4
（2）存在滿(mǎn)足條件的P、Q，使得以BC為邊且以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．
設(shè)拋物線(xiàn)L1上的P（t，﹣t2+2t+3）
①若四邊形BCPQ為平行四邊形，如圖1，
∴BQ∥PC，BQ＝PC
∴BQ可看作是CP向右平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到的
∴Q（t+3，﹣t2+2t）
∵點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)L2上
∴﹣t2+2t＝﹣（t+3﹣3）2+4
解得：t＝2
∴P（2，3），Q（5，0）
②若四邊形BCQP為平行四邊形，如圖2，
∴BP∥CQ，BP＝CQ
∴CQ可看作是BP向左平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到的
∴Q（t﹣3，﹣t2+2t+6）
∴﹣t2+2t+6＝﹣（t﹣3﹣3）2+4
解得：t＝
∴P（，﹣），Q（，﹣）
綜上所述，存在P（2，3），Q（5，0）或P（，﹣），Q（，﹣），使得以BC為邊且以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．
綜合練習(xí)
一．選擇題（共3小題）
1．將進(jìn)貨單價(jià)為70元的某種商品按零售價(jià)100元一個(gè)售出時(shí)，每天能賣(mài)出20個(gè)．若這種商品的零售價(jià)在一定范圍內(nèi)每降價(jià)1元，其日銷(xiāo)售量就增加1個(gè)，則能獲取的最大利潤(rùn)是（）
A．600元B．625元C．650元D．675元
【解答】解：設(shè)降價(jià)x元，所獲得的利潤(rùn)為W元，
則W＝（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600＝﹣（x﹣5）2+625，
∵﹣1＜0
∴當(dāng)x＝5元時(shí)，二次函數(shù)有最大值W＝625．
∴獲得的最大利潤(rùn)為625元．
故選：B．
2．汽車(chē)剎車(chē)后行駛的距離s（單位：米）關(guān)于行駛的時(shí)間t（單位：秒）的函數(shù)解析式為s＝﹣6t2+bt（b為常數(shù)）．已知t＝時(shí)，s＝6，則汽車(chē)剎車(chē)后行駛的最大距離為（）
A．米B．8米C．米D．10米
【解答】解：把t＝，s＝6代入s＝﹣6t2+bt得，
6＝﹣6×+b×，
解得，b＝15
∴函數(shù)解析式為s＝﹣6t2+15t＝﹣6（t﹣）2+，
∴當(dāng)t＝時(shí)，s取得最大值，此時(shí)s＝，
故選：C．
3．超市有一種“喜之郎“果凍禮盒，內(nèi)裝兩個(gè)上下倒置的果凍，果凍高為4cm，底面是個(gè)直徑為6cm的圓，軸截面可以近似地看作一個(gè)拋物線(xiàn)，為了節(jié)省成本，包裝應(yīng)盡可能的小，這個(gè)包裝盒的長(zhǎng)AD（不計(jì)重合部分，兩個(gè)果凍之間沒(méi)有擠壓）至少為（）
A．（6+3）cmB．（6+2）cmC．（6+2）cmD．（6+3）cm
【解答】解：設(shè)左側(cè)拋物線(xiàn)的方程為：y＝ax2，
點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，4），將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式并解得：a＝，
則拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝x2，
由題意得：點(diǎn)MG是矩形HFEO的中線(xiàn)，則點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為2，
將y＝2代入拋物線(xiàn)表達(dá)式得：2＝x2，解得：x＝（負(fù)值已舍去），
則AD＝2AH+2x＝6+3，
故選：A．
二．解答題（共5小題）
4．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3（a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣1，拋物線(xiàn)交x軸于A、C兩點(diǎn)，與直線(xiàn)y＝x﹣1交于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線(xiàn)的解板式．
（2）點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上方的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，若△ABP的面積最大，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)B、E、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，
∴點(diǎn)A（1，0），
∵拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3（a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣1，
∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即點(diǎn)C（﹣3，0），
∴，解得：，
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上方的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，
∴設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2﹣2m+3），
∵拋物線(xiàn)與直線(xiàn)y＝x﹣1交于A、B兩點(diǎn)，
∴，解得：，，
∴點(diǎn)B（﹣4，﹣5），
如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM∥y軸交直線(xiàn)AB于點(diǎn)M，
則點(diǎn)M（m，m﹣1），
∴PM＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，
∴S△ABP＝S△PBM+S△PBA
＝（﹣m2﹣3m+4）（m+4）+（﹣m2﹣3m+4）（1﹣m）
＝，
∴當(dāng)m＝時(shí)，P最大，
∴點(diǎn)P（，）；
（3）當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴點(diǎn)E（﹣1，﹣2），
如圖，直線(xiàn)BC的解析式為y＝5x+15，直線(xiàn)BE的解析式為y＝x﹣1，直線(xiàn)CE的解析式為y＝﹣x﹣3，
∵以點(diǎn)B、C、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴直線(xiàn)D1D3的解析式為y＝5x+3，直線(xiàn)D1D2的解析式為y＝x+3，直線(xiàn)D2D3的解析式為y＝﹣x﹣9，
聯(lián)立得D1（0，3），
同理可得D2（﹣6，﹣3），D3（﹣2，﹣7），
綜上所述，符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為D1（0，3），D2（﹣6，﹣3），D3（﹣2，﹣7）．
5．某商場(chǎng)試銷(xiāo)一種成本為60元/件的T恤，規(guī)定試銷(xiāo)期間單價(jià)不低于成本單價(jià)，又獲利不得高于40%，經(jīng)試銷(xiāo)發(fā)現(xiàn)，銷(xiāo)售量y（件）不銷(xiāo)售單價(jià)x（元/件）符合一次函數(shù)y＝kx+b，且x＝70時(shí)，y＝50；x＝80時(shí)，y＝40；
（1）寫(xiě)出銷(xiāo)售單價(jià)x的取值范圍；
（2）求出一次函數(shù)y＝kx+b的解析式；
（3）若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)為w元，試寫(xiě)出利潤(rùn)w與銷(xiāo)售單價(jià)x之間的關(guān)系式，銷(xiāo)售單價(jià)定為多少時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？
【解答】解：（1）根據(jù)題意得，
60≤x≤60×（1+40%），
即60≤x≤84；
（2）由題意得：，
∴．
∴一次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x+120；
（3）w＝（x﹣60）（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900，
∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，
∴當(dāng)x＜90時(shí)，w隨x的增大而增大，
而60≤x≤84，
∴當(dāng)x＝84時(shí)，w＝（84﹣60）×（120﹣84）＝864．
答：當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)定為84元/件時(shí)，商場(chǎng)可以獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是864元．
6．某商場(chǎng)試銷(xiāo)一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷(xiāo)期間銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷(xiāo)發(fā)現(xiàn)：銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）符合一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0），且當(dāng)x＝65時(shí)，y＝55；當(dāng)x＝70時(shí)，y＝50．
（1）求y與x之間的解析式；
（2）若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)為w元，寫(xiě)出利潤(rùn)w與銷(xiāo)售單價(jià)x之間的關(guān)系式，并求出利潤(rùn)是500元時(shí)的銷(xiāo)售單價(jià)；
（3）銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少元？
【解答】解：（1）∵當(dāng)x＝65時(shí)，y＝55；當(dāng)x＝70時(shí)，y＝50．
∴，
解得：，
∴y＝﹣x+120（60≤x≤87）．
（2）w＝（﹣x+120）（x﹣60），
w＝﹣x2+180x﹣7200，
w＝﹣（x﹣90）2+900，
當(dāng)w＝500時(shí)，有500＝﹣（x﹣90）2+900，
解得，x＝110（舍去）或x＝70，
故利潤(rùn)是500元時(shí)的銷(xiāo)售單價(jià)70元/件．
（3）又∵60＜x≤60×（1+45%），
即60≤x≤87，
則x＝87時(shí)獲利最多，
將x＝87代入，得w＝﹣（87﹣90）2+900＝891元．
答：售價(jià)定為87元有最大利潤(rùn)為891元．
7．公司銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為20元/個(gè)的計(jì)算器，銷(xiāo)售過(guò)程中的其他開(kāi)支（不含造價(jià)）總計(jì)40萬(wàn)元，其銷(xiāo)售量y（萬(wàn)個(gè)）與銷(xiāo)售價(jià)格x（元/個(gè)）的變化如下表：
（1）求出當(dāng)銷(xiāo)售量等于2.5萬(wàn)個(gè)時(shí)，銷(xiāo)售價(jià)格等于多少？
（2）求出該公司銷(xiāo)售這種計(jì)算器的凈得利潤(rùn)z（萬(wàn)元）與銷(xiāo)售價(jià)格x（元/個(gè)）的函數(shù)解析式；
（3）銷(xiāo)售價(jià)格應(yīng)定為多少元時(shí)，獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？
【解答】解：（1）由題意得，﹣x+8＝2.5，
解得，x＝55，
答：當(dāng)銷(xiāo)售量等于2.5萬(wàn)個(gè)時(shí)，銷(xiāo)售價(jià)格等于55元/個(gè)；
（2）當(dāng)30≤x≤60時(shí)，w＝（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣40＝﹣0.1x2+10x﹣200；
當(dāng)60＜x≤80時(shí)，w＝（x﹣20）?﹣40＝﹣+89；
（3）當(dāng)30≤x≤60時(shí)，w＝﹣0.1x2+10x﹣200＝﹣0.1（x﹣50）2+50，
∴當(dāng)x＝50時(shí)，w取得最大值50（萬(wàn)元）；
當(dāng)60＜x≤80時(shí)，w＝﹣+89，
∵﹣2580＜0，
∴w隨x的增大而增大，當(dāng)x＝80時(shí)，w最大＝121.25（萬(wàn)元）＞50萬(wàn)元，
∴銷(xiāo)售價(jià)格定為80元/件時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是121.25萬(wàn)元．
答：銷(xiāo)售價(jià)格定為80元/件時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是121.25萬(wàn)元．
8．如圖隧道的截面由拋物線(xiàn)和長(zhǎng)方形構(gòu)成，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是12m，寬是4m．按照?qǐng)D中所示的直角坐標(biāo)系，拋物線(xiàn)可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且拋物線(xiàn)上的點(diǎn)C到OB的水平距離為3m，到地面OA的距離為m．
（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算出拱頂D到地面OA的距離；
（2）一輛貨運(yùn)汽車(chē)載一長(zhǎng)方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向車(chē)道，那么這輛貨車(chē)能否安全通過(guò)？
【解答】解：（1）根據(jù)題意得B（0，4），C（3，），
把B（0，4），C（3，）代入y＝﹣x2+bx+c得
解得．
所以?huà)佄锞€(xiàn)解析式為y＝﹣x2+2x+4，
則y＝﹣（x﹣6）2+10，
所以D（6，10），
所以拱頂D到地面OA的距離為10m；
（2）由題意得貨運(yùn)汽車(chē)最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為（2，0）或（10，0），
當(dāng)x＝2或x＝10時(shí)，y＝＞6，
所以這輛貨車(chē)能安全通過(guò)．
銷(xiāo)售價(jià)格x（元/個(gè)）
銷(xiāo)售量y（萬(wàn)元）
30≤x≤60
﹣x+8
60≤x≤80

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