1 二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系
拋物線(xiàn)中，的作用：
(1)決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與中的完全一樣.
(2)和共同決定拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置.由于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，
故：①時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為軸；②(即、同號(hào))時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè)；③(即 、異號(hào))時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè).
(3)的大小決定拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)的位置.
當(dāng)時(shí)，，∴拋物線(xiàn)與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0，)：
①，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)； ②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負(fù)半軸.
以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)，則 【例題精選】
例1(2023?甘肅模擬）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），下列結(jié)論：①abc＜0；②a+b＝0；③4ac﹣b2＝4a；④a+b+c＜0．其中正確的有（ ）個(gè)．
A．1B．2C．3D．4
例2 (2023?路北區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1．下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；④4a+2b+c＞0．其中正確的是（ ）
A．①③B．②C．②④D．③④
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?嘉陵區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③abc＞0；④2a＝b．其中正確的有（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
2．(2023秋?平谷區(qū)期末）二次函數(shù)y＝kx2+2x+1的部分圖象如圖所示，則k的取值范圍是（ ）
A．k≤1B．k≥1C．k＜1D．0＜k＜1
3．(2023秋?兗州區(qū)期中）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝﹣1，有以下結(jié)論：
①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4ac﹣b2＜8a；④3a+c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b）
其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2二次函數(shù)與方程的綜合
函數(shù)，當(dāng)時(shí)，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況.
(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個(gè)不相等實(shí)根；
(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個(gè)相等實(shí)根；
(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，這時(shí)，則方程沒(méi)有實(shí)根.
【例題精選】
例1 (2023秋?阜南縣期末）如圖，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（1，0），對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝﹣1，則方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝1B．x1＝3，x2＝1C．x＝﹣3D．x＝﹣2
例2 (2023秋?興安盟期末）拋物線(xiàn)y＝﹣x2+2kx+2與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．以上都不對(duì)
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?漢陽(yáng)區(qū)期中）拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣c的解是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝6B．x1＝﹣5，x2＝2C．x1＝﹣3，x2＝4D．x1＝﹣2，x2＝5
2．(2023秋?黔東南州期末）拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c的部分圖象如圖所示，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝﹣1，則關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解為_(kāi)_________________．
3．(2023?洛寧縣三模）若二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），則方程ax2﹣2ax+c＝0的解為（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝3D．x1＝﹣3，x2＝1
3二次函數(shù)與不等式的關(guān)系
【例題精選】
例1(2023秋?澧縣期末）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），C（0，3）
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在圖中，畫(huà)出二次函數(shù)的圖象；
（3）根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出當(dāng)y≤0時(shí)，x的取值范圍．
例2(2023?灤州市模擬）二次函數(shù)y＝﹣x2+mx的圖象如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，若關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t為實(shí)數(shù)）在1＜x＜5的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（ ）
A．t＞﹣5B．﹣5＜t＜3C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?招遠(yuǎn)市一模）函數(shù)y＝ax2+2ax+m（a＜0）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，0），則使函數(shù)值y＞0成立的x的取值范圍是（ ）
A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4＜x＜2C．x＜0或x＞2D．0＜x＜2
2．(2023秋?中原區(qū)校級(jí)月考）二次函數(shù)y＝﹣x2+mx的圖象如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，若關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t為實(shí)數(shù)）在1＜x＜6的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（ ）
A．﹣12＜t＜3B．﹣5＜t＜3C．﹣12＜t≤4D．﹣5＜t≤4
綜合練習(xí)
一．選擇題（共5小題）
1．已知拋物線(xiàn)y＝x2+mx+n與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)A（a，b），B（a﹣4，b），則b的值為（ ）
A．4B．2C．6D．9
2．拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a＞0），頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣5．若|ax2+bx+c|＝m有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A．0＜m＜5B．m＞5或m＜0C．m＞5或m＝0D．m≥5或m＝0
3．關(guān)于拋物線(xiàn)y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．開(kāi)口向上
B．當(dāng)a＝2時(shí)，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O
C．拋物線(xiàn)與x軸無(wú)公共點(diǎn)
D．不論a為何值，都過(guò)定點(diǎn)
4．若m、n（m＜n）是關(guān)于x的一元二次方程3﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的兩個(gè)根，且a＜b，則m，n，b，a的大小關(guān)系是（ ）
A．m＜a＜b＜nB．a(chǎn)＜m＜n＜bC．b＜n＜m＜aD．n＜b＜a＜m
5．已知二次函數(shù)y＝x2+bx+1的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則b＝（ ）
A．2B．±2C．4D．±4
二．解答題（共4小題）
6．已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣2．
（1）b＝ ；（用含a的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，若關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范圍內(nèi)有解，求c的取值范圍；
7．如圖，拋物線(xiàn)y＝x2﹣3x+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4）．
（1）求k的值；
（2）求拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線(xiàn)y＝x2﹣3x+k的頂點(diǎn)為M，求△ABM的面積．
8．拋物線(xiàn)C1：y＝x2向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，在向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)C2．
（1）求拋物線(xiàn)C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式以及拋物線(xiàn)C2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)x取什么值時(shí)，拋物線(xiàn)C2在x軸的下方？
9．已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣3的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1．
（1）求證：2a+b＝0；
（2）若關(guān)于x的方程ax2﹣bx+6＝0的一個(gè)根是4，求方程的另一個(gè)根．
第4講 二次函數(shù)（二）
1 二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系
拋物線(xiàn)中，的作用：
(1)決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與中的完全一樣.
(2)和共同決定拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置.由于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，
故：①時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為軸；②(即、同號(hào))時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè)；③(即 、異號(hào))時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè).
(3)的大小決定拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)的位置.
當(dāng)時(shí)，，∴拋物線(xiàn)與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0，)：
①，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)； ②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負(fù)半軸.
以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)，則 【例題精選】
例1(2023?甘肅模擬）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），下列結(jié)論：①abc＜0；②a+b＝0；③4ac﹣b2＝4a；④a+b+c＜0．其中正確的有（ ）個(gè)．
A．1B．2C．3D．4
分析：①根據(jù)拋物線(xiàn)開(kāi)口向下可得出a＜0，由拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為x＝可得出b＝﹣a＞0，結(jié)合拋物線(xiàn)圖象可知c＞0，進(jìn)而可得出abc＜0，①正確；②由b＝﹣a可得出a+b＝0，②正確；③根據(jù)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，），由此可得出＝1，去分母后即可得出4ac﹣b2＝4a，③正確；④根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得出x＝1與x＝0時(shí)y值相等，由此可得出a+b+c＝c＞0，④錯(cuò)誤．綜上即可得出結(jié)論．
【解答】解：①∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，
∴a＜0，
∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∵拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)在y軸正半軸，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正確；
②∵b＝﹣a，
∴a+b＝0，②正確；
③∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），
∴＝1，
∴4ac﹣b2＝4a，③正確；
④∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝，
∴x＝1與x＝0時(shí)y值相等，
∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝c＞0，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a+b+c＞0，④錯(cuò)誤．
綜上所述：正確的結(jié)論為①②③．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象分析出a、b、c之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
例2 (2023?路北區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1．下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；④4a+2b+c＞0．其中正確的是（ ）
A．①③B．②C．②④D．③④
分析：①根據(jù)拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸位置、拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)位置判定a、b、c的符號(hào)；
②根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的x＝1來(lái)判斷對(duì)錯(cuò)；
③由拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷對(duì)錯(cuò)；
④根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸x＝1來(lái)判斷對(duì)錯(cuò)．
【解答】解：①拋物線(xiàn)開(kāi)口方向向上，則a＞0，b＝﹣2a＜0．
拋物線(xiàn)與y軸交于正半軸，則c＞0，
所以abc＜0，
故①錯(cuò)誤；
②如圖所示，對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣＝1，則b＝﹣2a，則2a+b＝0，故②正確；
③如圖所示，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，則b2﹣4ac＞0，故③錯(cuò)誤；
④對(duì)稱(chēng)軸x＝1，當(dāng)x＝0與x＝2時(shí)的點(diǎn)是關(guān)于直線(xiàn)x＝1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，
所以x＝2與x＝0時(shí)的函數(shù)值相等，所以4a+2b+c＞0，故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論為②④．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱(chēng)軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?嘉陵區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③abc＞0；④2a＝b．其中正確的有（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【解答】解：∵x＝1時(shí)，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以①正確；
∵x＝﹣1時(shí)，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，所以②正確；
∴拋物線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，
∴c＝0，
∴abc＝0，所以③錯(cuò)誤；
∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣＝﹣1
∴b＝2a，所以④正確．
故選：B．
2．(2023秋?平谷區(qū)期末）二次函數(shù)y＝kx2+2x+1的部分圖象如圖所示，則k的取值范圍是（ ）
A．k≤1B．k≥1C．k＜1D．0＜k＜1
【解答】解：觀察二次函數(shù)y＝kx2+2x+1的部分圖象可知：
k＞0，且4﹣4k＞0即k＜1，
解得0＜k＜1．
故選：D．
3．(2023秋?兗州區(qū)期中）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝﹣1，有以下結(jié)論：
①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4ac﹣b2＜8a；④3a+c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b）
其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①根據(jù)拋物線(xiàn)可知：
a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，
所以①錯(cuò)誤；
②因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸x＝﹣1，即﹣＝﹣1，
∴b＝2a，∴2a﹣b＝0．
所以②正確；
③從圖象可知，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)高于 y＝2，
所以 ＞2 解不等式，兩邊同乘以4a，因?yàn)殚_(kāi)口向下，a＜0，不等號(hào)方向改變，
4ac﹣b2＜8a
所以③正確；
④當(dāng)x＝1時(shí)，y＜0，
即a+b+c＜0，
所以a+2a+c＜0，
所以3a+c＜0．
所以④正確；
⑤當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y有最大值，
所以當(dāng)x＝﹣1時(shí)，a﹣b+c的值最大，
當(dāng)x＝m時(shí)，y＝am2+bm+c，
所以a﹣b+c＞am2+bm+c，
即a﹣b＞m（am+b）．
所以⑤錯(cuò)誤．
所以有②③④正確．
故選：C．
2二次函數(shù)與方程的綜合
函數(shù)，當(dāng)時(shí)，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況.
(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個(gè)不相等實(shí)根；
(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個(gè)相等實(shí)根；
(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，這時(shí)，則方程沒(méi)有實(shí)根.
【例題精選】
例1 (2023秋?阜南縣期末）如圖，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（1，0），對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝﹣1，則方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝1B．x1＝3，x2＝1C．x＝﹣3D．x＝﹣2
分析：直接利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性以及結(jié)合對(duì)稱(chēng)軸以及拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是A（1，0），得出另一個(gè)與x軸的交點(diǎn)，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是A（1，0），對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣1，
∴拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（﹣3，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是：x1＝﹣3，x2＝1．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，正確得出拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
例2 (2023秋?興安盟期末）拋物線(xiàn)y＝﹣x2+2kx+2與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．以上都不對(duì)
分析：讓函數(shù)值為0，得到一元二次方程，根據(jù)根的判別式判斷有幾個(gè)解就有與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)．
【解答】解：當(dāng)與x軸相交時(shí)，函數(shù)值為0．
0＝﹣x2+2kx+2，
△＝b2﹣4ac＝4k2+8＞0，
∴方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴拋物線(xiàn)y＝﹣x2+2kx+2與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】用到的知識(shí)點(diǎn)為：x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)值為0的一元二次方程的解的個(gè)數(shù)相同．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?漢陽(yáng)區(qū)期中）拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣c的解是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝6B．x1＝﹣5，x2＝2C．x1＝﹣3，x2＝4D．x1＝﹣2，x2＝5
【解答】解：關(guān)于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣c變形為a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0，
把拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c沿x軸向右平移2個(gè)單位得到y(tǒng)＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c，
因?yàn)閽佄锞€(xiàn)y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）、B（4，0），
所以?huà)佄锞€(xiàn)y＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），（6，0），
所以一元二方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0的解為x1＝﹣1，x2＝6．
故選：A．
2．(2023秋?黔東南州期末）拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c的部分圖象如圖所示，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝﹣1，則關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解為_(kāi)_________________．
【解答】解：由圖象可得，
拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝﹣1，
則拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（﹣3，0），
即當(dāng)y＝0時(shí)，0＝﹣x2+bx+c，此時(shí)方程的解是x1＝1，x2＝﹣3，
故答案為：x1＝1，x2＝﹣3．
3．(2023?洛寧縣三模）若二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），則方程ax2﹣2ax+c＝0的解為（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝3D．x1＝﹣3，x2＝1
【解答】解：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣＝1，
而拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），
所以?huà)佄锞€(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
所以方程ax2﹣2ax+c＝0的解為x1＝﹣1，x2＝3．
故選：B．
3二次函數(shù)與不等式的關(guān)系
【例題精選】
例1(2023秋?澧縣期末）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），C（0，3）
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在圖中，畫(huà)出二次函數(shù)的圖象；
（3）根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出當(dāng)y≤0時(shí)，x的取值范圍．
分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），C（0，3），可以求得該函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)（1）中求得的函數(shù)解析式可以得到該函數(shù)經(jīng)過(guò)的幾個(gè)點(diǎn)，從而可以畫(huà)出該函數(shù)的圖象；
（3）根據(jù)（2）中畫(huà)出的函數(shù)圖象，可以寫(xiě)出當(dāng)y≤0時(shí)，x的取值范圍．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），C（0，3），
∴，得，
即該函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，4），開(kāi)口向上，過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），（3，0），（0，3），（2，3），
該函數(shù)圖象如右圖所示；
（3）由圖象可得，
當(dāng)y≤0時(shí)，x的取值范圍x≤﹣1或x≥3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．
例2(2023?灤州市模擬）二次函數(shù)y＝﹣x2+mx的圖象如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，若關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t為實(shí)數(shù)）在1＜x＜5的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（ ）
A．t＞﹣5B．﹣5＜t＜3C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4
分析：如圖，關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是拋物線(xiàn)y＝﹣x2+mx與直線(xiàn)y＝t的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用圖象法即可解決問(wèn)題．
【解答】解：如圖，關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是拋物線(xiàn)y＝﹣x2+mx與直線(xiàn)y＝t的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3，
當(dāng)x＝5時(shí)，y＝﹣5，
由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t為實(shí)數(shù)）在1＜x＜5的范圍內(nèi)有解，
直線(xiàn)y＝t在直線(xiàn)y＝﹣5和直線(xiàn)y＝4之間包括直線(xiàn)y＝4，
∴﹣5＜t≤4．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)、一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用圖象法解決問(wèn)題，畫(huà)出圖象是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中考選擇題中的壓軸題．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?招遠(yuǎn)市一模）函數(shù)y＝ax2+2ax+m（a＜0）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，0），則使函數(shù)值y＞0成立的x的取值范圍是（ ）
A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4＜x＜2C．x＜0或x＞2D．0＜x＜2
【解答】解：∵函數(shù)y＝ax2+2ax+m（a＜0），
∴該函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝﹣＝﹣1，
又∵函數(shù)y＝ax2+2ax+m（a＜0）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，0），
∴該函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（﹣4，0），
∴使函數(shù)值y＞0成立的x的取值范圍是﹣4＜x＜2，
故選：B．
2．(2023秋?中原區(qū)校級(jí)月考）二次函數(shù)y＝﹣x2+mx的圖象如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，若關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t為實(shí)數(shù)）在1＜x＜6的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（ ）
A．﹣12＜t＜3B．﹣5＜t＜3C．﹣12＜t≤4D．﹣5＜t≤4
【解答】解：∵對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣＝2，
∴m＝4，
∴拋物線(xiàn)解析式為y＝﹣x2+4x，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣4+8＝4，即拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），
∵關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t為實(shí)數(shù)）在1＜x＜6的范圍內(nèi)有解，
∴拋物線(xiàn)y＝﹣x2+4x與直線(xiàn)y＝t在1＜x＜6的范圍內(nèi)有交點(diǎn)，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1+4＝3；當(dāng)x＝6時(shí)，y＝﹣36+24＝﹣12，
即1＜x＜6時(shí)，y的范圍為﹣12＜y≤4，
∴當(dāng)﹣12＜t≤4時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t為實(shí)數(shù)）在1＜x＜6的范圍內(nèi)有解．
故選：C．
綜合練習(xí)
一．選擇題（共5小題）
1．已知拋物線(xiàn)y＝x2+mx+n與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)A（a，b），B（a﹣4，b），則b的值為（ ）
A．4B．2C．6D．9
【解答】解：∵拋物線(xiàn)y＝x2+mx+n與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n＝0，
∴n＝m2，
∵拋物線(xiàn)y＝x2+mx+n過(guò)點(diǎn)A（a，b），B（a﹣4，b），
∴b＝a2+ma+n，b＝（a﹣4）2+m（a﹣4）+n，
∴a2+ma+n＝（a﹣4）2+m（a﹣4）+n，
化簡(jiǎn)，得
a＝，
∴b＝a2+ma+n＝（）2+m×+m2＝4，
故選：A．
2．拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a＞0），頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣5．若|ax2+bx+c|＝m有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A．0＜m＜5B．m＞5或m＜0C．m＞5或m＝0D．m≥5或m＝0
【解答】解：由圖象可知：將此拋物線(xiàn)在x軸下方的部分沿x軸往上翻折，得到一個(gè)新的函數(shù)圖象的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5，
∵|ax2+bx+c|＝m的圖象是x軸上方部分（包含與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)），
（1）當(dāng)m＝0時(shí)，|ax2+bx+c|＝m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
（2）在x軸上方時(shí)，只有m＞5時(shí)，作平行于x軸的直線(xiàn)才會(huì)與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴m＝0或m＞5．
故選：C．
3．關(guān)于拋物線(xiàn)y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．開(kāi)口向上
B．當(dāng)a＝2時(shí)，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O
C．拋物線(xiàn)與x軸無(wú)公共點(diǎn)
D．不論a為何值，都過(guò)定點(diǎn)
【解答】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為1＞0，所以?huà)佄锞€(xiàn)開(kāi)口向上，故選項(xiàng)A正確；
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x2﹣3x＝x（x﹣3），由于拋物線(xiàn)與x軸交于（0，0）和（3，0），故選項(xiàng)B正確；
∵△＝[﹣（a+1）]2﹣4（a﹣2）＝a2﹣2a+9＝（a﹣1）2+8＞0，所以?huà)佄锞€(xiàn)與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1﹣a﹣1﹣2＝﹣2，此時(shí)拋物線(xiàn)不再含有a，即不論a為何值，都過(guò)定點(diǎn)（1，﹣2），故選項(xiàng)D正確．
故選：C．
4．若m、n（m＜n）是關(guān)于x的一元二次方程3﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的兩個(gè)根，且a＜b，則m，n，b，a的大小關(guān)系是（ ）
A．m＜a＜b＜nB．a(chǎn)＜m＜n＜bC．b＜n＜m＜aD．n＜b＜a＜m
【解答】解：
如圖拋物線(xiàn)y2＝（x﹣a）（x﹣b）與x軸交點(diǎn)（a，0），（b，0），拋物線(xiàn)與直線(xiàn)y1＝3的交點(diǎn)為（m，3）（n，3）由圖象可知m＜a＜b＜n，
故選：A．
5．已知二次函數(shù)y＝x2+bx+1的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則b＝（ ）
A．2B．±2C．4D．±4
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2+bx+1的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△＝b2﹣4＝0，
解得b＝±2，
故選：B．
二．解答題（共4小題）
6．已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣2．
（1）b＝ 4a ；（用含a的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，若關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范圍內(nèi)有解，求c的取值范圍；
【解答】解：（1）由題意得：
拋物線(xiàn)的x＝＝﹣2 解得b＝4a，
故答案為：4a；
（2）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，b＝﹣4；
∴拋物線(xiàn)y＝﹣x2﹣4x+c；
∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范圍內(nèi)有解，即關(guān)于x的方程x2+4x﹣c＝0在﹣3＜x＜1的范圍內(nèi)有解
∴△＝b2﹣4ac≥0 即：（﹣4）2﹣4×（﹣1）?c＝16+4c≥0，解得c≥﹣4
∴拋物線(xiàn)y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4與直線(xiàn)y＝c 在﹣3＜x＜1的范圍內(nèi)有交點(diǎn)
當(dāng)x＝﹣2時(shí) y＝﹣4；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝5
故可得：﹣4＜c＜5
7．如圖，拋物線(xiàn)y＝x2﹣3x+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4）．
（1）求k的值；
（2）求拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線(xiàn)y＝x2﹣3x+k的頂點(diǎn)為M，求△ABM的面積．
【解答】解：
（1）將點(diǎn)C（0，﹣4）代入y＝x2﹣3x+k得﹣4＝k．
故k的值為﹣4．
（2）由（1）得拋物線(xiàn)為y＝x2﹣3x﹣4，
∴令y＝0，得0＝x2﹣3x﹣4，解得，x1＝4，x2＝﹣1．
故拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)A（﹣1，0）；點(diǎn)B（4，0）．
（3）如圖，
∵拋物線(xiàn)為y＝x2﹣3x﹣4，化為頂點(diǎn)式得：．
∴頂點(diǎn)M為
∴△ABM的高為
∵|AB|＝|4﹣（﹣1）|＝5，
∴S△ABM＝，
故△ABM的面積為．
8．拋物線(xiàn)C1：y＝x2向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，在向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)C2．
（1）求拋物線(xiàn)C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式以及拋物線(xiàn)C2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)x取什么值時(shí)，拋物線(xiàn)C2在x軸的下方？
【解答】解：（1）∵拋物線(xiàn)C1：y＝x2，
∴C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），
根據(jù)題意，得平移后拋物線(xiàn)C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣1，﹣4），
∴拋物線(xiàn)C2的解析式為：y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3，
當(dāng)y＝0時(shí)，有x2+2x﹣3＝0，
解得，x1＝﹣3，x2＝1，
∴拋物線(xiàn)C2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0）和（1，0）；
（2）∵拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)C2的解析式為：y＝x2+2x﹣3，其中a＝1＞0，
∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，
∴當(dāng)﹣3＜x＜1時(shí)，拋物線(xiàn)C2在x軸的下方．
9．已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣3的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1．
（1）求證：2a+b＝0；
（2）若關(guān)于x的方程ax2﹣bx+6＝0的一個(gè)根是4，求方程的另一個(gè)根．
【解答】（1）證明：∵拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣3的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0；
（2）解：把b＝﹣2a代入方程ax2﹣bx+6＝0得：ax2+2ax+6＝0，
把x＝4代入方程ax2+2ax+6＝0得：16a+8a+6＝0，
a＝﹣，則b＝．
即方程為﹣x2﹣x+6＝0，
解得：x＝﹣6，x＝4，
即方程的另一個(gè)根為﹣6．

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