1 圓的認(rèn)識
1. 圓的定義
(1)動(dòng)態(tài)：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑. 以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．

(2)靜態(tài)：圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合.
2.圓的性質(zhì)
①旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心；
②圓是軸對稱圖形：任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.或者說，經(jīng)過圓心的任何一條直線都是圓的對稱軸.
3.兩圓的性質(zhì)
兩個(gè)圓組成的圖形是一個(gè)軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線（經(jīng)過兩圓圓心的直線叫做兩圓連心線）.
4. 弦
弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.
直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.
弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.

證明：連結(jié)OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(當(dāng)且僅當(dāng)CD過圓心O時(shí)，取“=”號)
∴直徑AB是⊙O中最長的弦.
5. 弧
?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點(diǎn)的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.
半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；
優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧；
劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧.
5.同心圓與等圓
圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓.
圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.
6.等弧
在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.
【例題精選】
例1(2023秋?臨西縣期中）下列說法中，錯(cuò)誤的是（ ）
A．半圓是弧B．半徑相等的圓是等圓
C．過圓心的線段是直徑D．直徑是弦
例2 (2023春?高密市期末）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．圓有無數(shù)條直徑
B．連接圓上任意兩點(diǎn)之間的線段叫弦
C．過圓心的線段是直徑
D．能夠重合的圓叫做等圓
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?通州區(qū)模擬）⊙O中，直徑AB＝a，弦CD＝b，則a與b大小為（ ）
A．a(chǎn)＞bB．a(chǎn)≥bC．a(chǎn)＜bD．a(chǎn)≤b
2．(2023春?巨野縣期末）已知⊙O的半徑為6cm，P為線段OA的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在⊙O上，則OA的長（ ）
A．等于6cmB．等于12cmC．小于6cmD．大于12cm
3．(2023秋?朝陽區(qū)校級期中）在以下所給的命題中，正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①直徑是弦；②弦是直徑；③半圓是弧，但弧不一定是半圓；④半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧；⑤長度相等的弧是等弧．
A．1B．2C．3D．4
2垂徑定理
1.垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
2.推論
平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

要點(diǎn)詮釋：
(1)垂徑定理是由兩個(gè)條件推出兩個(gè)結(jié)論，即

(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.
注意：根據(jù)圓的對稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：
平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?br>弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；
平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.
【例題精選】
例1(2023?南崗區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則BD的長為________．
例2(2023秋?德城區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，已知CD＝8，OE＝3，則⊙O的半徑為________．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?寧津縣一模）如圖是水平放置的水管截面示意圖，已知水管的半徑為50cm，水面寬AB＝80cm，則水深CD約為_______cm．
2．(2023秋?鳳凰縣期末）如圖，⊙O的半徑OA與弦BC交于點(diǎn)D．若OD＝3，AD＝2，BD＝CD，則BC的長為_______．
3．(2023秋?南寧期末）如圖是一個(gè)隧道的橫截圖，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中點(diǎn)，EM經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)E，若CD＝4m，EM＝6m，則⊙O的半徑為________m．
4．(2023秋?伊通縣期末）如圖，AB是⊙O的弦，C是AB的中點(diǎn)，連接OC并延長交⊙O于點(diǎn)D．若CD＝1，AB＝4，則⊙O的半徑是________．

3弦、弧、圓心角的關(guān)系
1.圓心角定義
如圖所示，∠AOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．

2.定理：
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
3.推論：
在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等．
在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．
【例題精選】
例1(2023秋?崇川區(qū)校級期中）如圖，∠AOB＝110°，弦AB所對的圓周角為（ ）
A．55°B．55°或70°C．55°或125°D．55°或110°
例2(2023?資中縣一模）如圖，AB，CD是⊙O的直徑，＝，若∠AOE＝32°，則∠COE的度數(shù)是（ ）
A．32°B．60°C．68°D．64°
【隨堂練習(xí)】
1.(2023?港南區(qū)四模）P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別交⊙O于C、D兩點(diǎn)，已知、的度數(shù)別為88°、32°，則∠P的度數(shù)為（ ）
A．26°B．28°C．30°D．32°
2．(2023秋?澧縣期末）如圖，在⊙O中，，AB＝3，則AC＝_______．
3．(2023?金華模擬）如圖，已知半⊙O的直徑AB為3，弦AC與弦BD交于點(diǎn)E，OD⊥AC，垂足為點(diǎn)F，AC＝BD，則弦AC的長為________．
4．(2023?青島模擬）如圖，已知AB、CD是⊙O的直徑，，∠AOE＝32°，那么∠COE的度數(shù)為________度．
4圓周角定理
1.圓周角定義：
像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．

2.圓周角定理：
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
3.圓周角定理的推論：
半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
【例題精選】
例1 (2023?哈爾濱模擬）如圖：已知CD為⊙O的直徑，過點(diǎn)D的弦DE∥OA，∠D＝50°，則∠C的度數(shù)是（ ）
A．25°B．40°C．30°D．50°
例2(2023?大鵬新區(qū)二模）如圖，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD＝70°，則∠CAD的度數(shù)是（ ）
A．15°B．30°C．25°D．35°
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?海東市一模）如圖，AB，BC為⊙O中異于直徑的兩條弦，OA交BC于點(diǎn)D，若∠AOC＝50°，∠C＝35°，則∠A的度數(shù)為_________．
2．(2023?廣東模擬）如圖⊙O中，∠BAC＝74°，則∠BOC＝_________．
3．(2023秋?蒙陰縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，若∠CDB＝30°，⊙O的半徑為5cm則圓心O到弦CD的距離為_________．
4．(2023秋?河北區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為CD延長線上一點(diǎn)，若∠B＝100°，則∠ADE＝________．

綜合練習(xí)
一．選擇題
1．如圖，AB、BC為⊙O的兩條弦，∠AOC﹣∠ABC＝60°，則∠ABC的度數(shù)為（ ）
A．120°B．100°C．160°D．150°
2．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，AO⊥BC，垂足為點(diǎn)E，若∠ADC＝130°，則∠BDC的度數(shù)為（ ）
A．70°B．80°C．75°D．60°
3．如圖，在圓O中，點(diǎn)A、B、C在圓上，∠OAB＝50°，則∠C的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．如圖，已知∠AOB是⊙O的圓心角，∠AOB＝50°，則圓周角∠ACB的度數(shù)是（ ）
A．50°B．25°C．100°D．30°
5．如圖，⊙O的直徑CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝4：5，則AB的長為（ ）
A．6B．7C．8D．9
二．解答題
6．如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度數(shù)；
（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的長．
7．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，已知∠ADC＝140°，求∠ABC和∠AOC的度數(shù)．
8．如圖，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，求∠ADC的度數(shù)．
9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，E為的中點(diǎn)，CE交AB于點(diǎn)H，且AH＝AC，AF平分線∠CAH．
（1）求證：BE∥AF；
（2）若AC＝6，BC＝8，求EH的長．
第7講 圓的認(rèn)識
1 圓的認(rèn)識
1. 圓的定義
(1)動(dòng)態(tài)：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑. 以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．

(2)靜態(tài)：圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合.
2.圓的性質(zhì)
①旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心；
②圓是軸對稱圖形：任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.或者說，經(jīng)過圓心的任何一條直線都是圓的對稱軸.
3.兩圓的性質(zhì)
兩個(gè)圓組成的圖形是一個(gè)軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線（經(jīng)過兩圓圓心的直線叫做兩圓連心線）.
4. 弦
弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.
直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.
弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.

證明：連結(jié)OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(當(dāng)且僅當(dāng)CD過圓心O時(shí)，取“=”號)
∴直徑AB是⊙O中最長的弦.
5. 弧
?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點(diǎn)的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.
半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；
優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)?。?br> 劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.
5.同心圓與等圓
圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓.
圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.
6.等弧
在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.
【例題精選】
例1(2023秋?臨西縣期中）下列說法中，錯(cuò)誤的是（ ）
A．半圓是弧B．半徑相等的圓是等圓
C．過圓心的線段是直徑D．直徑是弦
分析：根據(jù)圓的有關(guān)概念進(jìn)行判斷．
【解答】解：A、半圓是弧，所以A選項(xiàng)的說法正確；
B、半徑相等的圓是等圓，所以B選項(xiàng)的說法正確；
C、過圓心的弦為直徑，所以C選項(xiàng)的說法錯(cuò)誤；
D、直徑是弦，所以D選項(xiàng)的說法正確．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了圓的認(rèn)識：熟練掌握與圓有關(guān)的概念（ 弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．
例2 (2023春?高密市期末）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．圓有無數(shù)條直徑
B．連接圓上任意兩點(diǎn)之間的線段叫弦
C．過圓心的線段是直徑
D．能夠重合的圓叫做等圓
分析：根據(jù)直徑、弧、弦的定義進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A、圓有無數(shù)條直徑，故本選項(xiàng)說法正確；
B、連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，故本選項(xiàng)說法正確；
C、過圓心的弦是直徑，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤；
D、能夠重合的圓全等，則它們是等圓，故本選項(xiàng)說法正確；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查圓的認(rèn)識，學(xué)習(xí)中要注意區(qū)分：弦與直徑，弧與半圓之間的關(guān)系．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?通州區(qū)模擬）⊙O中，直徑AB＝a，弦CD＝b，則a與b大小為（ ）
A．a(chǎn)＞bB．a(chǎn)≥bC．a(chǎn)＜bD．a(chǎn)≤b
【解答】解：直徑是圓中最長的弦，因而有a≥b．
故選：B．
2．(2023春?巨野縣期末）已知⊙O的半徑為6cm，P為線段OA的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在⊙O上，則OA的長（ ）
A．等于6cmB．等于12cmC．小于6cmD．大于12cm
【解答】解：根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，得OP＝6，再根據(jù)線段的中點(diǎn)的概念，得OA＝2OP＝12．
故選：B．
3．(2023秋?朝陽區(qū)校級期中）在以下所給的命題中，正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①直徑是弦；②弦是直徑；③半圓是弧，但弧不一定是半圓；④半徑相等的兩個(gè)半圓是等??；⑤長度相等的弧是等?。?br>A．1B．2C．3D．4
【解答】解：根據(jù)直徑和弦的概念，知①正確，②錯(cuò)誤；
根據(jù)弧和半圓的概念，知③正確；
根據(jù)等弧的概念，半徑相等的兩個(gè)半圓一定能夠重合，是等弧，④正確；
長度相等的兩條弧不一定能夠重合，⑤錯(cuò)誤．
故選：C．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布
2垂徑定理
1.垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
2.推論
平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

要點(diǎn)詮釋：
(1)垂徑定理是由兩個(gè)條件推出兩個(gè)結(jié)論，即

(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.
注意：根據(jù)圓的對稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：
平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?br>弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；
平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.
【例題精選】
例1(2023?南崗區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則BD的長為________．
分析：首先過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，由∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，可求得AB的長，又面積法，即可求得CE的長，由勾股定理求得AE的長，然后由垂徑定理求得AD的長，從而得BD的長．
【解答】解：過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，
則AE＝DE，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CE，
∴CE＝＝，
∴AE＝＝＝，
∴AD＝2AE＝，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
例2(2023秋?德城區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，已知CD＝8，OE＝3，則⊙O的半徑為________．
分析：連接OD，根據(jù)垂徑定理求出DE，根據(jù)勾股定理求出OD即可．
【解答】解：連接OD，
∵CD⊥AB于點(diǎn)E，直徑AB過O，
∴DE＝CE＝CD＝×8＝4，∠OED＝90°，
由勾股定理得：OD＝＝＝5，
即⊙O的半徑為5．
故答案為：5．
【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，能根據(jù)垂徑定理求出DE的長是解此題的關(guān)鍵．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?寧津縣一模）如圖是水平放置的水管截面示意圖，已知水管的半徑為50cm，水面寬AB＝80cm，則水深CD約為_______cm．
【解答】解：連接OA、如圖，設(shè)⊙O的半徑為R，
∵CD為水深，即C點(diǎn)為弧AB的中點(diǎn)，CD⊥AB，
∴CD必過圓心O，即點(diǎn)O、D、C共線，AD＝BD＝AB＝40，
在Rt△OAD中，OA＝50，OD＝50﹣x，AD＝40，
∵OD2+AD2＝OA2，
∴（50﹣x）2+402＝502，解得x＝20，
即水深CD約為為20．
故答案為；20
2．(2023秋?鳳凰縣期末）如圖，⊙O的半徑OA與弦BC交于點(diǎn)D．若OD＝3，AD＝2，BD＝CD，則BC的長為_______．
【解答】解：∵BD＝CD，
∴OD⊥BC，
在Rt△OBD中，∵OB＝5，OD＝3，
∴BD＝＝4，
∴BC＝2BD＝8．
故答案為8．
3．(2023秋?南寧期末）如圖是一個(gè)隧道的橫截圖，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中點(diǎn)，EM經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)E，若CD＝4m，EM＝6m，則⊙O的半徑為________m．
【解答】解：∵M(jìn)是⊙O弦CD的中點(diǎn)，
根據(jù)垂徑定理：EM⊥CD，
又CD＝4則有：CM＝CD＝2，
設(shè)圓的半徑是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
所以圓的半徑長是．
故答案為：．
4．(2023秋?伊通縣期末）如圖，AB是⊙O的弦，C是AB的中點(diǎn)，連接OC并延長交⊙O于點(diǎn)D．若CD＝1，AB＝4，則⊙O的半徑是________．
【解答】解：連接OA，
∵C是AB的中點(diǎn)，
∴AC＝AB＝2，OC⊥AB，
∴OA2＝OC2+AC2，即OA2＝（OA﹣1）2+22，
解得，OA＝，
故答案為：．

3弦、弧、圓心角的關(guān)系
1.圓心角定義
如圖所示，∠AOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．

2.定理：
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
3.推論：
在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等．
在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．
【例題精選】
例1(2023秋?崇川區(qū)校級期中）如圖，∠AOB＝110°，弦AB所對的圓周角為（ ）
A．55°B．55°或70°C．55°或125°D．55°或110°
分析：首先在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)C，連接BC，AC，在劣弧AB上取點(diǎn)D，連接AD，BD，由圓周角定理，即可求得∠C的度數(shù)，又由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求得∠D的度數(shù)，繼而求得答案．
【解答】解：如圖，在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)C，連接BC，AC，在劣弧AB上取點(diǎn)D，連接AD，BD，
∵∠AOB＝110°，
∴∠ACB＝∠AOB＝55°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ACB＝125°．
∴弦AB所對的圓周角為：55°或125°．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理以及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．注意在圓周中，弦所對的圓周角有兩類且互補(bǔ)．
例2(2023?資中縣一模）如圖，AB，CD是⊙O的直徑，＝，若∠AOE＝32°，則∠COE的度數(shù)是（ ）
A．32°B．60°C．68°D．64°
分析：根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，由＝得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用對頂角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠COE＝64°．
【解答】解：∵＝，
∴∠BOD＝∠AOE＝32°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝32°
∴∠COE＝32°+32°＝64°．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．
【隨堂練習(xí)】
1.(2023?港南區(qū)四模）P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別交⊙O于C、D兩點(diǎn)，已知、的度數(shù)別為88°、32°，則∠P的度數(shù)為（ ）
A．26°B．28°C．30°D．32°
【解答】解：∵和所對的圓心角分別為88°和32°，
∴∠A＝×32°＝16°，∠ADB＝×88°＝44°，
∵∠P+∠A＝∠ADB，
∴∠P＝∠ADB﹣∠A＝44°﹣16°＝28°．
故選：B．
2．(2023秋?澧縣期末）如圖，在⊙O中，，AB＝3，則AC＝_______．
【解答】解：∵在⊙O中，，
∴AC＝AB＝3，
故答案為：3
3．(2023?金華模擬）如圖，已知半⊙O的直徑AB為3，弦AC與弦BD交于點(diǎn)E，OD⊥AC，垂足為點(diǎn)F，AC＝BD，則弦AC的長為________．
【解答】解：∵OD⊥AC，
∴＝，∠AFO＝90°，
又∵AC＝BD，
∴＝，即+＝+，
∴＝，
∴＝＝，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，
∵AB＝3，
∴AO＝BO＝，
∴AF＝AOsin∠AOF＝×＝，
則AC＝2AF＝；
4．(2023?青島模擬）如圖，已知AB、CD是⊙O的直徑，，∠AOE＝32°，那么∠COE的度數(shù)為________度．
【解答】解：∵，（已知）
∴∠AOE＝∠COA（等弧所對的圓心角相等）；
又∠AOE＝32°，
∴∠COA＝32°，
∴∠COE＝∠AOE+∠COA＝64°．
故答案是：64°．
4圓周角定理
1.圓周角定義：
像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．

2.圓周角定理：
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
3.圓周角定理的推論：
半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
【例題精選】
例1 (2023?哈爾濱模擬）如圖：已知CD為⊙O的直徑，過點(diǎn)D的弦DE∥OA，∠D＝50°，則∠C的度數(shù)是（ ）
A．25°B．40°C．30°D．50°
分析：由DE∥OA，∠D＝50°，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得∠AOD的度數(shù)，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得∠C的度數(shù)．
【解答】解：∵DE∥OA，∠D＝50°，
∴∠AOD＝∠D＝50°，
∴∠C＝∠AOD＝25°．
故選：A．
【點(diǎn)評】此題考查了圓周角的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
例2(2023?大鵬新區(qū)二模）如圖，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD＝70°，則∠CAD的度數(shù)是（ ）
A．15°B．30°C．25°D．35°
分析：由在⊙O中，OD⊥BC，根據(jù)垂徑定理的即可求得：，然后利用圓周角定理求解即可求得答案．
【解答】解：∵在⊙O中，OD⊥BC，
∴，
∴∠CAD＝∠BOD＝×70°＝35°．
故選：D．
【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理以及垂徑定理．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?海東市一模）如圖，AB，BC為⊙O中異于直徑的兩條弦，OA交BC于點(diǎn)D，若∠AOC＝50°，∠C＝35°，則∠A的度數(shù)為_________．
【解答】解：∵∠AOC＝50°，
∴∠B＝∠AOC＝25°，
∵∠ADB＝∠CDO，
∴∠A+∠B＝∠AOC+∠C，
∴∠A＝50°+35°﹣25°＝60°．
故答案為60°．
2．(2023?廣東模擬）如圖⊙O中，∠BAC＝74°，則∠BOC＝_________．
【解答】解：∠BOC＝2∠BAC＝2×74°＝148°．
故答案為148°．
3．(2023秋?蒙陰縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，若∠CDB＝30°，⊙O的半徑為5cm則圓心O到弦CD的距離為_________．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠OEC＝90°，
∵∠COB＝2∠CDB＝2×30°＝60°，
∴OE＝OC＝×5＝2.5，
即圓心O到弦CD的距離為2.5cm．
故答案為2.5cm．
4．(2023秋?河北區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為CD延長線上一點(diǎn)，若∠B＝100°，則∠ADE＝________．
【解答】解：∵∠B＝100°，
∴∠ADE＝100°．
故答案為：100°．

綜合練習(xí)
一．選擇題
1．如圖，AB、BC為⊙O的兩條弦，∠AOC﹣∠ABC＝60°，則∠ABC的度數(shù)為（ ）
A．120°B．100°C．160°D．150°
【解答】解：在優(yōu)弧上取點(diǎn)D，連接DA、DC，
由圓周角定理得，∠D＝∠AOC，
由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，∠ABC+∠D＝180°，
∵∠AOC﹣∠ABC＝60°，
∴2（180°﹣∠ABC）﹣∠ABC＝60°，
解得，∠ABC＝100°，
故選：B．
2．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，AO⊥BC，垂足為點(diǎn)E，若∠ADC＝130°，則∠BDC的度數(shù)為（ ）
A．70°B．80°C．75°D．60°
【解答】解：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ADC＝130°，
∴∠ABE＝180°﹣130°＝50°，
∵AO⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝40°，
∵AO⊥BC，
∴BC＝2BE，
∴∠BDC＝2∠BAE＝80°，
故選：B．
3．如圖，在圓O中，點(diǎn)A、B、C在圓上，∠OAB＝50°，則∠C的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝80°，
∴∠C＝∠AOB＝40°，
故選：B．
4．如圖，已知∠AOB是⊙O的圓心角，∠AOB＝50°，則圓周角∠ACB的度數(shù)是（ ）
A．50°B．25°C．100°D．30°
【解答】解：∵∠AOB＝50°，
∴∠ACB＝∠AOB＝25°．
故選：B．
5．如圖，⊙O的直徑CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝4：5，則AB的長為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：如圖所示，連接OA．
⊙O的直徑CD＝10cm，
則⊙O的半徑為5cm，
即OA＝OC＝5，
又∵OM：OC＝4：5，
所以O(shè)M＝4，
∵AB⊥CD，垂足為M，
∴AM＝BM，
在Rt△AOM中，AM＝＝3，
∴AB＝2AM＝2×3＝6．
故選：A．
二．解答題
6．如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度數(shù)；
（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的長．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，
∴＝，
∴∠DEB＝∠AOD＝×50°＝25°；
（2）根據(jù)勾股定理得，AC＝＝＝8，
∵AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，
∴AB＝2AC＝2×8＝16．
7．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，已知∠ADC＝140°，求∠ABC和∠AOC的度數(shù)．
【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，又∠ADC＝140°，
∴∠ABC＝40°，
由圓周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝80°，
8．如圖，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，求∠ADC的度數(shù)．
【解答】解：∵⊙O中，OA⊥BC，
∴＝，
∴∠ADC＝∠AOB＝×50°＝25°．
9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，E為的中點(diǎn)，CE交AB于點(diǎn)H，且AH＝AC，AF平分線∠CAH．
（1）求證：BE∥AF；
（2）若AC＝6，BC＝8，求EH的長．
【解答】（1）證明：
∵AH＝AC，AF平分線∠CAH
∴∠HAF＝∠CAF，AF⊥EC，
∴∠HAF+∠ACH＝90°
∵∠ACB＝90°，即∠BCE+∠ACH＝90°，
∴∠HAF＝∠BCE，
∵E為的中點(diǎn)，
∴，
∴∠EBD＝∠BCE，
∴∠HAF＝∠EBD，
∴BE∥AF；
（2）解：連接OH、CD．
∵BC為直徑，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝，
∵AH＝AC＝6
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，
∵∠EBH＝∠ECB，∠BEH＝∠CEB
∴△EBH∽△ECB，
∴，
EB＝2EH，
由勾股定理得 BE2+EH2＝BH2，
即（2EH）2+EH2＝42，
∴EH＝．

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