新人教版高一(初升高)暑期數(shù)學銜接第10講冪函數(shù)練習(學生版+解析)-試卷下載-教習網

通過具體實例，結合的圖象，理解它們的變化規(guī)律，了解冪函數(shù)．
【基礎知識】
一、冪函數(shù)的概念
1.一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)(pwer functin)，其中x是自變量，α是常數(shù)．
2．冪函數(shù)的特征
(1)xα的系數(shù)是1；
(2)xα的底數(shù)x是自變量；
(3)xα的指數(shù)α為常數(shù)．
只有滿足這三個條件，才是冪函數(shù)．對于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函數(shù)都不是冪函數(shù)．
二、一些常用冪函數(shù)的圖象
同一坐標系中，冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x eq \s\up15( eq \f (1,2)) 的圖象(如圖)．
三、冪函數(shù)的性質
1.所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)；
2.如果α＞0，那么冪函數(shù)的圖象過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調遞增；
3.如果α＜0，那么冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞減，在第一象限內，當x從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方無限接近y軸，當x從原點趨向于＋∞時，圖象在x軸上方無限接近x軸；
4.在(1，＋∞)上，隨冪指數(shù)的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸．
【考點剖析】
考點一：冪函數(shù)的定義
例1．(2022學年河北省滄州市高一上學期期末)下列函數(shù)是冪函數(shù)的是( )
A．B．
C．D．
考點二：冪函數(shù)的圖象及應用
例2．(2022學年河北省博野中學高一上學期開學考試)函數(shù)和的圖象如圖所示，有下列四個說法：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
④如果時，那么.
其中正確的是( ).
A．①④B．①C．①②D．①③④
考點三：利用冪函數(shù)單調性比較大小
例3．比較下列各題中兩個值的大?。?br>(1)和 (2)和.
考點四：冪函數(shù)圖象與性質的綜合應用
例4．(多選)(2022學年廣東省普寧市高一上學期期末)已知冪函數(shù)的圖象經過點(9,3)，則下列結論正確的有( )
A．為偶函數(shù)B．為增函數(shù)
C．若，則D．若，則
【真題演練】
1.(2022學年廣西憑祥市高級中學高一下學期素質檢測)冪函數(shù)在上單調遞減，則實數(shù)m的值為( )
A．B．3C．或3D．
2.(2022學年四川省南充高級中學高一上學期期中)已知冪函數(shù)(a是常數(shù))，則( )
A．的定義域是RB．在單調遞增
C．過定點D．可能過定點
3.(2020-2021學年上海市晉元高級中學高一上學期期中)已知冪函數(shù)的圖象經過點，則的大致圖象是( )
A．B．
C．D．
4. (多選)(2022學年廣東省深圳市光明區(qū)高一上學期期末)已知冪函數(shù)，則( )
A．B．定義域為
C．D．
5.(多選)(2022學年湖北省十堰市區(qū)縣普通高中聯(lián)合體高一上學期期中)黃同學在研究冪函數(shù)時，發(fā)現(xiàn)有的具有以下三個性質：①是奇函數(shù)；②值域是且；③在上是減函數(shù)則以下冪函數(shù)符合這三個性質的有( )
A．B．
C．D．
6. (2022學年甘肅省慶陽市寧縣高一上學期期末)已知冪函數(shù)的圖象過點，則此函數(shù)的解析式為______．
7.(2022學年湖北省“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟”高一下學期期中)已知冪函數(shù)的圖象關于y軸對稱，則___________．
8.(2022學年廣西十八校高一10月聯(lián)考)已知冪函數(shù)的圖象經過點．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)設函數(shù)，寫出函數(shù)的單調區(qū)間和值域．
【過關檢測】
1. (2022學年安徽省宣城市六校高一上學期期中)已知點(a，2)在冪函數(shù)的圖象上，則函數(shù)f(x)的解析式是( )
A．B．
C．D．
2.下列命題中正確的是( )
A．冪函數(shù)的圖象一定過點(0，0)和點(1，1)
B．若函數(shù)f(x)＝xn是奇函數(shù)，則它在定義域上單調遞增
C．冪函數(shù)的圖象上的點一定不在第四象限
D．冪函數(shù)的圖象不可能是直線
3.(2022學年】河北省石家莊市藁城區(qū)第一中學高一上學期月考)已知冪函數(shù)的圖象過點，則下列關于說法正確的是( )
A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)
C．在單調遞減D．定義域為
4.(2022學年河南省鄭州市中牟縣高一上學期期中)若冪函數(shù)的圖像經過點，則下列結論正確的是( )
A．為奇函數(shù)
B．若，則
C．為偶函數(shù)
D．若，則
5.(多選)下列關于冪函數(shù)的性質說法正確的有( )
A．當時，函數(shù)在其定義域上遞減
B．當時，函數(shù)圖象是一條直線
C．當時，函數(shù)是偶函數(shù)
D．當時，函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標為
6. (2022學年福建省漳州市高一上學期期末教學質量檢測)已知幕函數(shù)的圖象經過點，則( )
A．函數(shù)是偶函數(shù)
B．函數(shù)是增函數(shù)
C．函數(shù)的圖象一定經過點
D．函數(shù)的最小值為0
7. (2022學年四川省德陽市什邡市什邡中學高一下學期月考)已知點在冪函數(shù)的圖象上，則=_______．
8. (2022學年遼寧省名校聯(lián)盟高一上學期12月月考)寫出一個同時具有下列性質①②③的函數(shù)______．
①；②；③任取，，且．
9.已知冪函數(shù)為偶函數(shù)．
(1)求的解析式；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求實數(shù)的值．
10.已知冪函數(shù)的圖像關于y軸對稱，且在上函數(shù)值隨著x的增大而減小.
(1)求m值.
(2)若滿足，求a的取值范圍.
第10講冪函數(shù)
【學習目標】
通過具體實例，結合的圖象，理解它們的變化規(guī)律，了解冪函數(shù)．
【基礎知識】
一、冪函數(shù)的概念
1.一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)(pwer functin)，其中x是自變量，α是常數(shù)．
2．冪函數(shù)的特征
(1)xα的系數(shù)是1；
(2)xα的底數(shù)x是自變量；
(3)xα的指數(shù)α為常數(shù)．
只有滿足這三個條件，才是冪函數(shù)．對于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函數(shù)都不是冪函數(shù)．
二、一些常用冪函數(shù)的圖象
同一坐標系中，冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x eq \s\up15( eq \f (1,2)) 的圖象(如圖)．
三、冪函數(shù)的性質
1.所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)；
2.如果α＞0，那么冪函數(shù)的圖象過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調遞增；
3.如果α＜0，那么冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞減，在第一象限內，當x從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方無限接近y軸，當x從原點趨向于＋∞時，圖象在x軸上方無限接近x軸；
4.在(1，＋∞)上，隨冪指數(shù)的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸．
【考點剖析】
考點一：冪函數(shù)的定義
例1．(2022學年河北省滄州市高一上學期期末)下列函數(shù)是冪函數(shù)的是( )
A．B．
C．D．
答案:C
解析：形如的函數(shù)為冪函數(shù)，則為冪函數(shù).故選C.
考點二：冪函數(shù)的圖象及應用
例2．(2022學年河北省博野中學高一上學期開學考試)函數(shù)和的圖象如圖所示，有下列四個說法：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
④如果時，那么.
其中正確的是( ).
A．①④B．①C．①②D．①③④
答案:A
解析：當三個函數(shù)的圖象依和次序呈上下關系時，可得，
所以，若，可得，所以①正確；當三個函數(shù)的圖象依，和次序呈上下關系時，或，所以，若，可得，所以②錯誤；
由于當三個函數(shù)的圖象沒有出現(xiàn)和次序的上下關系，所以③錯誤；
當三個函數(shù)的圖象依和次序呈上下關系時，，
所以，若時，可得，所以④正確.故選A．
考點三：利用冪函數(shù)單調性比較大小
例3．比較下列各題中兩個值的大?。?br>(1)和 (2)和.
解析：(1)考察冪函數(shù)，因為其在區(qū)間上是增函數(shù)，而且，所以.
(2)考察冪函數(shù)，因為其在區(qū)間上是減函數(shù)，而且，所以.
考點四：冪函數(shù)圖象與性質的綜合應用
例4．(多選)(2022學年廣東省普寧市高一上學期期末)已知冪函數(shù)的圖象經過點(9,3)，則下列結論正確的有( )
A．為偶函數(shù)B．為增函數(shù)
C．若，則D．若，則
答案:BCD
解析：將點代入函數(shù)得：，則，
所以，
∴的定義域為，所以不具有奇偶性，所以A不正確；
函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，所以B正確；
當時，，即，所以C正確；
若時，
=
=.
即成立，所以D正確.
故選BCD.
【真題演練】
1.(2022學年廣西憑祥市高級中學高一下學期素質檢測)冪函數(shù)在上單調遞減，則實數(shù)m的值為( )
A．B．3C．或3D．
答案:A
解析：因為是冪函數(shù)，
故，解得或，
又因為冪函數(shù)在上單調遞減，所以需要，
則故選A
2.(2022學年四川省南充高級中學高一上學期期中)已知冪函數(shù)(a是常數(shù))，則( )
A．的定義域是RB．在單調遞增
C．過定點D．可能過定點
答案:C
解析：已知冪函數(shù)(a是常數(shù))，
當，，此時定義域為，A錯誤，
當，，此時在單調遞減，B錯誤，
當時，，過定點，C正確，D錯誤.故選C.
3.(2020-2021學年上海市晉元高級中學高一上學期期中)已知冪函數(shù)的圖象經過點，則的大致圖象是( )
A．B．
C．D．
答案:A
解析：設冪函數(shù)為，
因為冪函數(shù)的圖象經過點，
所以，即，
解得，
所以，
則函數(shù)的定義域為，所以排除CD，
因為，所以在上為減函數(shù)，
所以排除B，故選A
4. (多選)(2022學年廣東省深圳市光明區(qū)高一上學期期末)已知冪函數(shù)，則( )
A．B．定義域為
C．D．
答案:AC
解析：為冪函數(shù)，，得，A對；
函數(shù)的定義域為，B錯誤；
由于在上為增函數(shù)，，C對；
，，D錯誤，故選AC.
5.(多選)(2022學年湖北省十堰市區(qū)縣普通高中聯(lián)合體高一上學期期中)黃同學在研究冪函數(shù)時，發(fā)現(xiàn)有的具有以下三個性質：①是奇函數(shù)；②值域是且；③在上是減函數(shù)則以下冪函數(shù)符合這三個性質的有( )
A．B．
C．D．
答案:CD
解析：由已知可得，此函數(shù)為奇函數(shù)，而A選項為偶函數(shù)，不滿足題意，排除選項；
選項B，的值域為，且該函數(shù)在R上單調遞增，不滿足題意條件，排除選項；選項C、D同時滿足三個條件.故選CD.
6. (2022學年甘肅省慶陽市寧縣高一上學期期末)已知冪函數(shù)的圖象過點，則此函數(shù)的解析式為______．
答案:
解析：由題意，設，代入點得，解得，則.
7.(2022學年湖北省“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟”高一下學期期中)已知冪函數(shù)的圖象關于y軸對稱，則___________．
答案:4
解析：由于是冪函數(shù)，所以，解得或.
當時，，圖象關于軸對稱，符合題意.
當時，，圖象關于原點對稱，不符合題意.
所以的值為，∴.，.
8.(2022學年廣西十八校高一10月聯(lián)考)已知冪函數(shù)的圖象經過點．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)設函數(shù)，寫出函數(shù)的單調區(qū)間和值域．
解析： (1)設，則，則，
∴函數(shù)的解析式為．
(2)因為，
∴函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，，無單調遞減區(qū)間，值域為．
【過關檢測】
1. (2022學年安徽省宣城市六校高一上學期期中)已知點(a，2)在冪函數(shù)的圖象上，則函數(shù)f(x)的解析式是( )
A．B．
C．D．
答案:A
解析：∵函數(shù)是冪函數(shù)，∴，即，
∴點(4，2)在冪函數(shù)的圖象上，∴，故．故選A.
2.下列命題中正確的是( )
A．冪函數(shù)的圖象一定過點(0，0)和點(1，1)
B．若函數(shù)f(x)＝xn是奇函數(shù)，則它在定義域上單調遞增
C．冪函數(shù)的圖象上的點一定不在第四象限
D．冪函數(shù)的圖象不可能是直線
答案:C
解析：冪函數(shù)y＝x－1的圖象不過點(0，0)，它在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調遞減，于是A，B都不正確．
冪函數(shù)y＝x的圖象是直線，D不正確．
當x>0時，f(x)＝xα>0必成立，所以，冪函數(shù)的圖象上的點一定不在第四象限，C正確
故選C．
3.(2022學年】河北省石家莊市藁城區(qū)第一中學高一上學期月考)已知冪函數(shù)的圖象過點，則下列關于說法正確的是( )
A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)
C．在單調遞減D．定義域為
答案:C
解析：設冪函數(shù)，
由題意得：，
故，定義域為，故D錯誤；
定義域不關于原點對稱，為非奇非偶函數(shù)，A，B錯誤；
由于，故在在單調遞減，C正確，故選C
4.(2022學年河南省鄭州市中牟縣高一上學期期中)若冪函數(shù)的圖像經過點，則下列結論正確的是( )
A．為奇函數(shù)
B．若，則
C．為偶函數(shù)
D．若，則
答案:D
解析：設，將代入得：，解得：，所以，定義域為，故不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，AC錯誤；
因為，所以，，B錯誤；
，，由于，則
，故，D正確.
故選D
5.(多選)下列關于冪函數(shù)的性質說法正確的有( )
A．當時，函數(shù)在其定義域上遞減
B．當時，函數(shù)圖象是一條直線
C．當時，函數(shù)是偶函數(shù)
D．當時，函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標為
答案:CD
解析：當時，，函數(shù)在(-∞，0)和(0，+∞)上遞減，不能說在定義域上遞減，故A選項錯誤；
當時，，，其圖象是去掉點的直線，故B選項錯誤；
當時，，函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，所以C選項正確；
當時，，其圖象與軸只有個交點，且交點的橫坐標為，所以D選項正確.
故選CD.
6. (2022學年福建省漳州市高一上學期期末教學質量檢測)已知幕函數(shù)的圖象經過點，則( )
A．函數(shù)是偶函數(shù)
B．函數(shù)是增函數(shù)
C．函數(shù)的圖象一定經過點
D．函數(shù)的最小值為0
答案:BD
解析：依題意，所以，
由于的定義域是，不關于原點對稱，所以是非奇非偶函數(shù)，A選項錯誤.
在上遞增，所以B選項正確.
，所以C選項錯誤.，所以D選項正確.故選BD
7. (2022學年四川省德陽市什邡市什邡中學高一下學期月考)已知點在冪函數(shù)的圖象上，則=_______．
答案:16
解析：因為點在冪函數(shù)的圖象上，所以，解得，
所以，則
8. (2022學年遼寧省名校聯(lián)盟高一上學期12月月考)寫出一個同時具有下列性質①②③的函數(shù)______．
①；②；③任取，，且．
答案:(答案不唯一)
解析：取，函數(shù)為冪函數(shù)，滿足①；，則函數(shù)為偶函數(shù)，滿足②；③表示函數(shù)在上單調遞增，由冪函數(shù)的性質可知滿足③.
9.已知冪函數(shù)為偶函數(shù)．
(1)求的解析式；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求實數(shù)的值．
解析：(1)由冪函數(shù)可知，解得或
當時，，函數(shù)為偶函數(shù)，符合題意；
當時，，不符合題意；
故求的解析式為
(2)由(1)得：
函數(shù)的對稱軸為：，開口朝上
，
由題意得在區(qū)間上，解得
所以實數(shù)的值為2.
10.已知冪函數(shù)的圖像關于y軸對稱，且在上函數(shù)值隨著x的增大而減小.
(1)求m值.
(2)若滿足，求a的取值范圍.
解析：(1)因為函數(shù)在上單調遞減，
所以，
解得.
又因為，所以，；
因為函數(shù)的圖象關于軸對稱，
所以為偶數(shù)，故.
(2)由(1)可知，，所以得，解得或，
即a的取值范圍為.

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