1. 借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義
2. 借助于單位圓的對(duì)稱性，利用定義指導(dǎo)出誘導(dǎo)公式(，的正弦，余弦，正切)
3.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一、三角函數(shù)的概念
1.單位圓中三角函數(shù)的定義
2.三角函數(shù)值的符號(hào)
規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
二、利用三角函數(shù)的定義求值的策略
1.已知角α的終邊在直線上求α的三角函數(shù)值時(shí)，常用的解題方法有以下兩種：
方法一：先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值．
方法二：在α的終邊上任選一點(diǎn)P(x，y)，P到原點(diǎn)的距離為r(r>0)．則sinα＝eq \f(y,r)，csα＝eq \f(x,r).已知α的終邊求α的三角函數(shù)值時(shí)，用這幾個(gè)公式更方便．
2.當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．
3.若終邊在直線上時(shí)，因?yàn)榻堑慕K邊是射線，應(yīng)分兩種情況處理．
三、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
1.兩個(gè)基本關(guān)系式
2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變形形式
(1)平方關(guān)系變形
sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
(2)商的變形
sinα＝tanαcsα，csα＝eq \f(sinα,tanα).
3.求三角函數(shù)值的方法
(1)已知sinθ(或csθ)求tanθ常用以下方式求解
(2)已知tanθ求sinθ(或csθ)常用以下方式求解
當(dāng)角θ的范圍不確定且涉及開方時(shí)，常因三角函數(shù)值的符號(hào)問題而對(duì)角θ分區(qū)間(象限)討論．
4．已知角α的正切求關(guān)于sinα，csα的齊次式的值的方法
(1)關(guān)于sinα，csα的齊次式就是式子中的每一項(xiàng)都是關(guān)于sinα，csα的式子且它們的次數(shù)之和相同，設(shè)為n次，將分子、分母同除以csα的n次冪，其式子可化為關(guān)于tanα的式子，再代入求值．
(2)若無分母時(shí)，把分母看作1，并將1用sin2α＋cs2α來代換，將分子、分母同除以cs2α，可化為關(guān)于tanα的式子，再代入求值．
4.三角函數(shù)求值中常見的變形公式
(1)sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即“知一求二”，它們的關(guān)系是：(sinα＋csα)2＝1＋2sinαcsα；(sinα－csα)2＝1－2sinαcsα.
(2)求sinα＋csα或sinα－csα的值，要根據(jù)α的范圍注意判斷它們的符號(hào)．
四、利用同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)的常用方法
1.化切為弦，減少函數(shù)名稱，便于約分化簡(jiǎn)；
2.對(duì)含根號(hào)的，應(yīng)先把被開方式化為完全平方，去掉根號(hào)，為防止出錯(cuò)，去掉根號(hào)后首先用絕對(duì)值符號(hào)表示，然后考慮正負(fù)；
3.對(duì)含有高次的三角函數(shù)式，可借助于因式分解，或構(gòu)造平方關(guān)系，以便于降冪化簡(jiǎn).
五、簡(jiǎn)單的三角恒等式的證明思路
1.從一邊開始，證明它等于另一邊；
2.證明左、右兩邊等于同一個(gè)式子；
3.逐步尋找等式成立的條件，達(dá)到由繁到簡(jiǎn).
六、誘導(dǎo)公式
(1)在公式一～四中，角α是任意角．
(2)公式一、二、三、四都叫做誘導(dǎo)公式，它們可概括如下：
①記憶方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，可以簡(jiǎn)單地說成“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”．
②解釋：“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名；“符號(hào)”是指等號(hào)右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)；“看象限”是指假設(shè)α是銳角，要看原三角函數(shù)是取正值還是負(fù)值，如sin(π＋α)，若把α看成銳角，則π＋α在第三象限，正弦在第三象限取負(fù)值，故sin(π＋α)＝－sinα.
【考點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：利用三角函數(shù)定義求值
例1．(2022學(xué)年遼寧省大連市大連育明高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則角的正弦值為( )
A．B．C．D．
考點(diǎn)二：確定三角函數(shù)值的符號(hào)
例2．(2022學(xué)年湖北省問津聯(lián)合體高一下學(xué)期5月質(zhì)量檢測(cè))下列各式的符號(hào)為正的是( )
A．B．
C．D．
考點(diǎn)三：確定角所在象限
例3．(2021－2022學(xué)年北京市八一學(xué)校高一6月月考)若且，則角所在的象限是( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
考點(diǎn)四：給出一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值求該角的其他三角函數(shù)值
例4．(2022學(xué)年海南省華僑中學(xué)高一上學(xué)期期末)已知，且為第二象限角，則下列選項(xiàng)正確的是( )
A．B．C．D．
考點(diǎn)五：齊次分式求值
例5. (2022學(xué)年江西省名校高一下學(xué)期期中)已知，則( )
A．B．C．D．
考點(diǎn)六：根據(jù)sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα的關(guān)系求值
例6．(2022學(xué)年山東省德州市第一中學(xué)高一下學(xué)期6月月考)在ABC中，若，則( )
A．B．C．D．
考點(diǎn)七：利用誘導(dǎo)公式求值
例7．(2022學(xué)年河南省駐馬店市環(huán)際大聯(lián)考“逐夢(mèng)計(jì)劃”高一下學(xué)期期中)______．
考點(diǎn)八：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)
例8．(2020-2021學(xué)年黑龍江省綏化市第一中學(xué)高一上學(xué)期期末)若角，則( )
A．B．C．D．
考點(diǎn)九：三角函數(shù)式證明
例9．求證：
(1)
(2)
【真題演練】
1．(2022學(xué)年遼寧省沈陽市部分學(xué)校高一下學(xué)期期中)已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸正半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則( )
A．B．C．D．1
2．(2022學(xué)年遼寧省遼南協(xié)作體高一下學(xué)期期中)已知角終邊在第一象限，，那么的值為( )
A．B．C．D．
3.(2022學(xué)年四川省德陽市第五中學(xué)高一上學(xué)期12月月考)若，則( )
A．B．C．D．
4.(多選)(2022學(xué)年湖北省部分重點(diǎn)高中高一上學(xué)期期末)已知，，那么的可能值為( )
A．B．C．D．
5.(多選) (2022學(xué)年遼寧省朝陽市建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知點(diǎn)在第一象限，則在內(nèi)的取值范圍是( )
A．B．C．D．
6.(2022學(xué)年上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬北郊高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期3月月考)已知，則的取值范圍是__．
7.(2022學(xué)年廣西桂林市第十九中學(xué)高一下學(xué)期期中)(1)已知，求的值．
(2)化簡(jiǎn)．
8. (2022學(xué)年陜西省咸陽市武功縣高一下學(xué)期月考)已知.
(1)求的值
(2)若，求的值.
【過關(guān)檢測(cè)】
1. (2022學(xué)年北京市昌平區(qū)第一中學(xué)高一下學(xué)期期中)若角滿足，，則在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2.(2022學(xué)年安徽省皖中名校高一下學(xué)期期中)設(shè)，，則( )
A．B．C．D．
3.(2022學(xué)年北京市中國人民大學(xué)附中高一3月檢測(cè))若，則( )
A．B．C．D．
4.(多選)(2022學(xué)年福建省德化一中、漳平一中、永安一中三校協(xié)作聯(lián)考高一上學(xué)期月考)以原點(diǎn)為圓心的單位圓上一點(diǎn)從出發(fā)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)不可能的是( )
A．B．C．D．
5.(多選)(2022學(xué)年山東省德州市高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期末)已知，，則可能等于( )
A．B．C．D．
6.(2022學(xué)年江西省景德鎮(zhèn)一中高一下學(xué)期期中)______．
7.(2022學(xué)年遼寧省沈陽市同澤高中高一下學(xué)期4月月考)已知，且，則的值為___________.
8.(2022學(xué)年上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬北郊高中高一下學(xué)期月考)若，則__．
9．(1)化簡(jiǎn)：tan(其中α為第二象限角)；
(2)求證：1．
10.(2022學(xué)年北京市房山中學(xué)高一年級(jí)4月月考)已知，是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，
(1)求的值；
(2)求m的值；
(3)若，求的值.
第15講 三角函數(shù)的概念及誘導(dǎo)公式
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1. 借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義
2. 借助于單位圓的對(duì)稱性，利用定義指導(dǎo)出誘導(dǎo)公式(，的正弦，余弦，正切)
3.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一、三角函數(shù)的概念
1.單位圓中三角函數(shù)的定義
2.三角函數(shù)值的符號(hào)
規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
二、利用三角函數(shù)的定義求值的策略
1.已知角α的終邊在直線上求α的三角函數(shù)值時(shí)，常用的解題方法有以下兩種：
方法一：先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值．
方法二：在α的終邊上任選一點(diǎn)P(x，y)，P到原點(diǎn)的距離為r(r>0)．則sinα＝eq \f(y,r)，csα＝eq \f(x,r).已知α的終邊求α的三角函數(shù)值時(shí)，用這幾個(gè)公式更方便．
2.當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．
3.若終邊在直線上時(shí)，因?yàn)榻堑慕K邊是射線，應(yīng)分兩種情況處理．
三、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
1.兩個(gè)基本關(guān)系式
2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變形形式
(1)平方關(guān)系變形
sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
(2)商的變形
sinα＝tanαcsα，csα＝eq \f(sinα,tanα).
3.求三角函數(shù)值的方法
(1)已知sinθ(或csθ)求tanθ常用以下方式求解
(2)已知tanθ求sinθ(或csθ)常用以下方式求解
當(dāng)角θ的范圍不確定且涉及開方時(shí)，常因三角函數(shù)值的符號(hào)問題而對(duì)角θ分區(qū)間(象限)討論．
4．已知角α的正切求關(guān)于sinα，csα的齊次式的值的方法
(1)關(guān)于sinα，csα的齊次式就是式子中的每一項(xiàng)都是關(guān)于sinα，csα的式子且它們的次數(shù)之和相同，設(shè)為n次，將分子、分母同除以csα的n次冪，其式子可化為關(guān)于tanα的式子，再代入求值．
(2)若無分母時(shí)，把分母看作1，并將1用sin2α＋cs2α來代換，將分子、分母同除以cs2α，可化為關(guān)于tanα的式子，再代入求值．
4.三角函數(shù)求值中常見的變形公式
(1)sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即“知一求二”，它們的關(guān)系是：(sinα＋csα)2＝1＋2sinαcsα；(sinα－csα)2＝1－2sinαcsα.
(2)求sinα＋csα或sinα－csα的值，要根據(jù)α的范圍注意判斷它們的符號(hào)．
四、利用同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)的常用方法
1.化切為弦，減少函數(shù)名稱，便于約分化簡(jiǎn)；
2.對(duì)含根號(hào)的，應(yīng)先把被開方式化為完全平方，去掉根號(hào)，為防止出錯(cuò)，去掉根號(hào)后首先用絕對(duì)值符號(hào)表示，然后考慮正負(fù)；
3.對(duì)含有高次的三角函數(shù)式，可借助于因式分解，或構(gòu)造平方關(guān)系，以便于降冪化簡(jiǎn).
五、簡(jiǎn)單的三角恒等式的證明思路
1.從一邊開始，證明它等于另一邊；
2.證明左、右兩邊等于同一個(gè)式子；
3.逐步尋找等式成立的條件，達(dá)到由繁到簡(jiǎn).
六、誘導(dǎo)公式
(1)在公式一～四中，角α是任意角．
(2)公式一、二、三、四都叫做誘導(dǎo)公式，它們可概括如下：
①記憶方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，可以簡(jiǎn)單地說成“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”．
②解釋：“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名；“符號(hào)”是指等號(hào)右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)；“看象限”是指假設(shè)α是銳角，要看原三角函數(shù)是取正值還是負(fù)值，如sin(π＋α)，若把α看成銳角，則π＋α在第三象限，正弦在第三象限取負(fù)值，故sin(π＋α)＝－sinα.
【考點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：利用三角函數(shù)定義求值
例1．(2022學(xué)年遼寧省大連市大連育明高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則角的正弦值為( )
A．B．C．D．
答案:D
解析：因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，則，，所以.
故選D.
考點(diǎn)二：確定三角函數(shù)值的符號(hào)
例2．(2022學(xué)年湖北省問津聯(lián)合體高一下學(xué)期5月質(zhì)量檢測(cè))下列各式的符號(hào)為正的是( )
A．B．
C．D．
答案:C
解析：因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，，所以，?br>所以，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，所以，故C正確；
因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤.故選C.
考點(diǎn)三：確定角所在象限
例3．(2021－2022學(xué)年北京市八一學(xué)校高一6月月考)若且，則角所在的象限是( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
答案:D
解析：，則角在第三，四象限，，則角在第二，四象限，
所以滿足且，角在第四象限.故選D
考點(diǎn)四：給出一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值求該角的其他三角函數(shù)值
例4．(2022學(xué)年海南省華僑中學(xué)高一上學(xué)期期末)已知，且為第二象限角，則下列選項(xiàng)正確的是( )
A．B．C．D．
答案:AB
解析：A選項(xiàng)，由誘導(dǎo)公式得：，A正確；
B選項(xiàng)，因?yàn)?，且為第二象限角，，所以，B正確；
C選項(xiàng)，，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，，D錯(cuò)誤.故選AB
考點(diǎn)五：齊次分式求值
例5. (2022學(xué)年江西省名校高一下學(xué)期期中)已知，則( )
A．B．C．D．
答案:D
解析：因?yàn)?，所以，故選D.
考點(diǎn)六：根據(jù)sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα的關(guān)系求值
例6．(2022學(xué)年山東省德州市第一中學(xué)高一下學(xué)期6月月考)在ABC中，若，則( )
A．B．C．D．
答案:D
解析：因?yàn)樵贏BC中，，兩邊平方得；，即，
所以，，即，解得，
所以，故選D
考點(diǎn)七：利用誘導(dǎo)公式求值
例7．(2022學(xué)年河南省駐馬店市環(huán)際大聯(lián)考“逐夢(mèng)計(jì)劃”高一下學(xué)期期中)______．
答案:
解析：由題意，原式=
.
考點(diǎn)八：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)
例8．(2020-2021學(xué)年黑龍江省綏化市第一中學(xué)高一上學(xué)期期末)若角，則( )
A．B．C．D．
答案:C
解析：
.故選C
考點(diǎn)九：三角函數(shù)式證明
例9．求證：
(1)
(2)
解析： (1)左邊右邊.
即證.
(2)左邊
右邊.
即證：.
【真題演練】
1．(2022學(xué)年遼寧省沈陽市部分學(xué)校高一下學(xué)期期中)已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸正半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則( )
A．B．C．D．1
答案:A
解析：由三角函數(shù)的定義可得.故選A
2．(2022學(xué)年遼寧省遼南協(xié)作體高一下學(xué)期期中)已知角終邊在第一象限，，那么的值為( )
A．B．C．D．
答案:C
解析：由題意，在第一象限，則，所以.
故選C.
3.(2022學(xué)年四川省德陽市第五中學(xué)高一上學(xué)期12月月考)若，則( )
A．B．C．D．
答案:C
解析：.故選C
4.(多選)(2022學(xué)年湖北省部分重點(diǎn)高中高一上學(xué)期期末)已知，，那么的可能值為( )
A．B．C．D．
答案:BD
解析：因?yàn)棰?，又sin2α+cs2α=1②，
聯(lián)立①②，解得或，
因?yàn)?，所以或．故選BD
5.(多選) (2022學(xué)年遼寧省朝陽市建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知點(diǎn)在第一象限，則在內(nèi)的取值范圍是( )
A．B．C．D．
答案:AB
解析：因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，
所以，即位于第一象限或者第三象限且，且滿足，
所以，當(dāng)位于第一象限時(shí)，時(shí)，；
當(dāng)位于第三象限時(shí)，時(shí)，.故選AB
6.(2022學(xué)年上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬北郊高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期3月月考)已知，則的取值范圍是__．
答案:
解析：
所以，則
即
7.(2022學(xué)年廣西桂林市第十九中學(xué)高一下學(xué)期期中)(1)已知，求的值．
(2)化簡(jiǎn)．
解析：(1)由sin，有sin，
所以sin；
.
(2).
8. (2022學(xué)年陜西省咸陽市武功縣高一下學(xué)期月考)已知.
(1)求的值
(2)若，求的值.
解析： (1)，
∴.
(2)原式=，
∵，
又∵，∴，，，
∴，∴原式.
【過關(guān)檢測(cè)】
1. (2022學(xué)年北京市昌平區(qū)第一中學(xué)高一下學(xué)期期中)若角滿足，，則在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
答案:B
解析：，是第二或第四象限角；
當(dāng)是第二象限角時(shí)，，，滿足；
當(dāng)是第四象限角時(shí)，，，則，不合題意；
綜上所述：是第二象限角.故選B.
2.(2022學(xué)年安徽省皖中名校高一下學(xué)期期中)設(shè)，，則( )
A．B．C．D．
答案:C
解析：因?yàn)?，所以，?br>與異號(hào)．而已知，所以，．
因?yàn)?，所以?。?br>故選C.
3.(2022學(xué)年北京市中國人民大學(xué)附中高一3月檢測(cè))若，則( )
A．B．C．D．
答案:C
解析：，
解得,
則
.故選C.
4.(多選)(2022學(xué)年福建省德化一中、漳平一中、永安一中三校協(xié)作聯(lián)考高一上學(xué)期月考)以原點(diǎn)為圓心的單位圓上一點(diǎn)從出發(fā)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)不可能的是( )
A．B．C．D．
答案:ABD
解析：以原點(diǎn)為圓心的單位圓上一點(diǎn)從出發(fā)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)點(diǎn)，
則設(shè)運(yùn)動(dòng)過程中弧長對(duì)應(yīng)的角為，則，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，
即.故選ABD.
5.(多選)(2022學(xué)年山東省德州市高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期末)已知，，則可能等于( )
A．B．C．D．
答案:BD
解析：因?yàn)椋?br>所以由得，
所以，
因?yàn)?，所以可能等于或，故選BD
6.(2022學(xué)年江西省景德鎮(zhèn)一中高一下學(xué)期期中)______．
答案:
解析：
.
7.(2022學(xué)年遼寧省沈陽市同澤高中高一下學(xué)期4月月考)已知，且，則的值為___________.
答案:
解析：令，則
∵，則
8.(2022學(xué)年上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬北郊高中高一下學(xué)期月考)若，則__．
答案:1
解析：因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，
所以
9．(1)化簡(jiǎn)：tan(其中α為第二象限角)；
(2)求證：1．
解析：(1)；
(2)左邊右邊.
10.(2022學(xué)年北京市房山中學(xué)高一年級(jí)4月月考)已知，是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，
(1)求的值；
(2)求m的值；
(3)若，求的值.
解析： (1)因?yàn)?，是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，
所以
(2)因?yàn)椋顷P(guān)于x的一元二次方程的兩根，
所以，，且，
所以，
所以，得，滿足，
所以
(3)由(2)可得，，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以

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